01MAA3:Kapitola6
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 22. 10. 2016, 14:53, kterou vytvořil Kubuondr (diskuse | příspěvky) (Přidána poznámka 3 k definici topologie)
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA3
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA3 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:09 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 12:36 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Klinkjak | 9. 9. 2015 | 08:50 | preamble.tex | |
Kapitola1 | editovat | Funkční posloupnosti | Kubuondr | 21. 1. 2017 | 16:45 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Funkční řady | Dedicma2 | 21. 2. 2016 | 23:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola4 | editovat | Trigonometrické řady | Peckaja1 | 11. 2. 2016 | 13:14 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Metrika | Kubuondr | 22. 1. 2017 | 17:32 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Topologie | Kubuondr | 3. 2. 2017 | 21:08 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Spojitost | Kubuondr | 22. 1. 2017 | 18:14 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Kompaktní prostory | Kubuondr | 8. 2. 2017 | 21:51 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Souvislé prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 10:28 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Úplné prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 11:08 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Afinní prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 12:43 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Totální derivace | Kubuondr | 7. 10. 2017 | 17:50 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Derivace vyšších řádů | Kubuondr | 20. 1. 2017 | 09:50 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Lokální extrémy | Klinkjak | 9. 9. 2015 | 13:31 | kapitola14.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA3} \section{Topologie} \index{topologie} \index{topologický prostor} \index{otevřená množina} \begin{define}[Hausdorff, 1914] Buď $X$ libovolná neprázdná množina, $\P(X)$ její potenční množina a $\tau\subset\P(X)$ taková, že platí: \begin{enumerate}[(I)] \item $\emptyset,X\in\tau$, \item Pro každé $A_\alpha\in\tau,\ \alpha\in\I$ ($\I$ konečná) platí: $\bigcap\limits_{\alpha\in\I} A_\alpha\in\tau$, \item Pro každé $A_\alpha\in\tau,\ \alpha\in\I$ ($\I$ libovolná) platí: $\bigcup\limits_{\alpha\in\I} A_\alpha\in\tau$. \end{enumerate} Potom $\tau$ nazýváme {\bf topologií} na $X$ a dvojici $(X,\tau)$ nazveme {\bf topologickým prostorem}. Prvky topologie nazveme {\bf otevřenými množinami}. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{4pt} \item Pojem topologie zobecňuje vlastnosti metriky \ref{metr_sjednoceni_pruniky}. Každá metrika indukuje topologii, jejíž prvky určíme podle \ref{metr_otevrena_mnozina}. Topologie je však obecnější pojem nezávislý na metrice. Prvky topologie (tj. otevřené množiny) pak mohou být klidně i množiny, jež jsou v nějaké metrice uzavřené. \item \index{topologie, diskrétní} \index{topologie, triviální} Na každé neprázdné množině $X$ lze zavézt triviální topologii $\tau_0 = \{\emptyset,X\}$ a diskrétní topologii $\tau_d=\P(X)$. Diskrétní topologie je indukovaná diskrétní metrikou. \item Topologie je systém všech otevřených množin. \end{enumerate} \end{remark} \index{uzavřená množina} \begin{define} Řekneme, že množina $A$ je {\bf uzavřená} v~$X$, právě když $X\sm A\in\tau$ (její doplněk do $X$ je otevřená). \end{define} \index{kotopologie} \begin{remark} Systém všech uzavřených množin nazýváme {\bf kotopologie}, značíme $c\tau$. \end{remark} \index{okolí bodu} \begin{define} Buď $x\in (X,\tau)$. Potom množinu $\H_x$ nazveme {\bf okolím bodu} $x$, právě když $(\exists A\in\tau)(x\in A\subset\H_x)$. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{4pt} \index{$\epsilon$ okolí} \item V~metrickém prostoru definujeme $\epsilon$-okolí $\H_x^\epsilon=H_\epsilon(x)=B(x,\epsilon)=B_\epsilon(x)$. \index{okolí množiny} \item Okolí množiny $\H_A$ definujeme jako $\H_A=\bigcup_{x\in A}\H_x$, neboli $(\exists B\in\tau)(A\subset B\subset\H_A)$. \end{enumerate} \end{remark} \begin{example} Nechť je na uzavřeném intervalu $X = [0,1] $ zavedena topologie $\tau_\text{fin}$ taková, že do ní patří $\emptyset$, $X$ a všechny doplňky konečných podmnožin $X$. Potom pro všechna $x \in X$ a libovolnou prostou posloupnost ($x_{n_1} \neq x_{n_2}$ pro $n_1\neq n_2$) platí, že $x_n \to x$, protože každé okolí $U(x)$ obsahuje $\{x_n\}$ až na konečný počet členů. Takže neplatí tvrzení o jednoznačnosti limity. \end{example} \index{axiomy oddělitelnosti} Z toho důvodu zavedeme \bf{axiomy oddělitelnosti}: \begin{itemize} \setlength{\itemsep}{4pt} \item[$T_0$:] $(\forall x\not=y)[(\exists\H_x)(y\not\in\H_x) \lor (\exists\H_y)(x\not\in\H_y)]$ \item[$T_1$:] $(\forall x\not=y)(\exists\H_x,\H_y)(y\not\in\H_x\wedge x\not\in\H_y)$ \item[$T_2$:] $(\forall x\not=y)(\exists\H_x,\H_y)(\H_x\cap\H_y=\emptyset)$ \item[$T_3$:] $(\forall A\in c\tau)(\forall x\not\in A)(\exists\H_A,\H_x)(\H_A\cap\H_x=\emptyset)$ \item[$T_4$:] $(\forall A,B\in c\tau)(A \cap B = \emptyset)(\exists\H_A,\H_B)(\H_A\cap\H_B=\emptyset)$ \end{itemize} \begin{define} Topologický prostor vyhovující: \begin{itemize} \item axiomu $T_0$ nazýváme \index{Kolmogorovův prostor} {\bf Kolmogorovův}, \item axiomu $T_2$ nazýváme \index{Hausdorffův prostor} {\bf Hausdorffův}, \item axiomu $T_3$ nazýváme\index{regulární prostor} {\bf regulární}, \item axiomu $T_4$ nazýváme \index{normální prostor} {\bf normální}. \end{itemize} \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{4pt} \item Od~této chvíle budeme předpokládat prostor $T_2$. \item Na Hausdorffovu počest se okolí bodu $x$ obvykle značí právě $\H_x$. \item Metrický prostor splňuje $T_4$, tj. je normální. \end{enumerate} \end{remark} \clearpage \begin{theorem} Nechť $(X,\tau)$ je topologický prostor, $c\tau$ jeho kotopologie. Pak platí: \begin{enumerate}[(i)] \item $\emptyset,X\in c\tau$ \item $B_i\in c\tau\Rightarrow\bigcup\limits_{i=1}^n B_i\in c\tau$ \item $B_\alpha\in c\tau,\ \alpha\in\I \Rightarrow\bigcap\limits_{\alpha\in\I} B_\alpha\in c\tau$ \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate}[(i)] \item $X\sm\emptyset=X\in\tau$, $X\sm X=\emptyset\in\tau$. \item S~využitím de Morganových zákonů dostáváme \[X\sm \bigcup_{i=1}^n B_i=\bigcap_{i=1}^n(X\sm B_i)\in\tau\] \item \[X\sm \bigcap_{\alpha\in\I}B_\alpha= \bigcup_{\alpha\in\I}(X\sm B_\alpha)\in\tau\] \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} De Morganovy zákony se dokáží aplikací vztahů $$X\sm (A\cap B) = (X\sm A)\cup( X\sm B)$$ $$X\sm (A\cup B) = (X\sm A)\cap( X\sm B)$$ Pro všechny $A,B\subset X$ pak platí: $$x\in X\sm (A\cap B) \iff x\notin A\cap B \iff x\notin A \vee x\notin B $$ $$\iff x\in X\sm A \vee x\in X\sm B \iff x \in (X\sm A)\cup( X\sm B)$$ Druhý vztah se dokáže podobně. \end{remark} \index{obojetná množina} \begin{define} Množinu $A\subset X$, pro kterou platí $A\in\tau\cap c\tau$, nazveme {\bf obojetnou}. \end{define} \begin{remark} V každém topologickém prostoru $(X,\tau)$ existují alespoň dvě obojetné množiny, a to prázdná množina $\emptyset$ a prostor $X$ samotný. \end{remark} \index{vnitřek} \begin{define} \label{vnitrek} Buď $A\subset X$. Potom {\bf vnitřkem} množiny $\vn{A}$ je sjednocení \[\vn{A}=\bigcup_{\substack{B\subset A\\B\in\tau}}B.\] Body $x \in \vn{A}$ nazýváme {\bf vnitřními body} množiny A. {\bf Vnějškem} množiny $A$ nazýváme vnitřek doplňku (tj. $\vn{(X\sm A)}$), prvky vnějšku nazýváme {\bf vnějšími body} množiny $A$. \end{define} \index{vnějšek} \index{vnější bod} \begin{remark} \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{4pt} \item Triviálně platí: $\vn{A} \in \tau$, $\vn{A} \subset A$, $x \in \vn{A} \iff \exists \H_x \subset A$. \item Vnitřek $A$ je největší otevřená podmnožina $A$; $A=\vn A$ $\iff$ $A$ je otevřená $\iff A \in \tau$. \index{okolí bodu} \item Alternativní definice okolí: $\H_x$ nazveme okolím bodu $x$ $\iff$ $x\in\vn{\H_x}$. \item Vnitřek množiny $A$ tvoří všechny body množiny $A$, jimž je $A$ okolím. \item $A \subset B \implies \vn{A} \subset \vn{B}$, $\vn{A \cup B} \supset \vn{A} \cup \vn{B}$, $\vn{A \cap B} = \vn{A} \cup \vn{B}$. \end{enumerate} \end{remark} \index{hranice} \begin{define} {\bf Hranicí množiny} $A$ nazýváme množinu $\hr{A}=X\sm(\vn{A}\cup\vn{(X\sm A)})$, její prvky pak {\bf hraniční body}. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{4pt} \item $\hr{A}\in c\tau$, tj. hranice je uzavřená. \item $\hr{(A\cup B)}\subset\hr{A}\cup\hr{B}$. \item $x\in\hr{A}\iff (\forall\H_x)(\H_x\cap A\not=\emptyset \wedge\H_x\cap(X\sm A)\not=\emptyset)$. \end{enumerate} \end{remark} \index{uzávěr} \begin{define} \label{uzaver} {\bf Uzávěrem} $\uz{A}$ množiny $A$ nazveme nejmenší uzavřenou nadmnožinu, tj. \[\uz{A}=\bigcap_{\substack{C\supset A\\C\in c\tau}}C\] \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{10pt} \item $\vn{A}\subset A\subset\uz{A}$, $\vn{A} \in \tau$, $\uz{A} \in c\tau$. \item Uzávěr a vnějšek libovolné množiny jsou disjunktním rozkladem množiny $X$: \[ X\sm\uz{A}=X\sm\bigcap_{\substack{C\supset A\\C\in c\tau}}C= \bigcup_{\substack{X\sm C\subset X\sm A\\X\sm C\in\tau}}(X\sm C)= \vn{(X\sm A)}, \] tedy $\uz{A}=\vn{X\sm(X\sm A)}$, $\uz{A}=\vn{A}\cup\hr{A}=A\cup\hr{A}$. \item Alternativní definice uzavřené množiny: $A\subset\uz{A}\subset A$, tedy $\uz{A}=A$. \item Alternativní definice otevřené množiny: $\vn{A}=A$. \item $A\subset B\implies\uz{A}\subset\uz{B}$, $\uz{A\cap B}\subset\uz{A}\cap\uz{B}$, $\uz{A\cup B}=\uz{A}\cup\uz{B}$. \item $\uz{\uz{A}}=\uz{A}$, $\vn{\vn{A}}=\vn{A}$. \item $x\in\uz{A} \iff (\forall\H_x)(\H_x\cap A\not=\emptyset)$, to jest v~metrickém prostoru $(\forall\epsilon>0)(B(x,\epsilon)\cap A\not=\emptyset)$. \item $\uz{\hr{A}}=\hr{A}$, $\hr{\uz{A}}=\uz{\uz{A}}\sm\vn{(\uz{A})}\subset \uz{A}\sm\vn{A}=\hr{A}$. \item $\hr{\hr{A}}=\uz{\hr{A}}\sm\vn{(\hr{A})}\subset\hr{A}$, $\hr{\hr{\hr{A}}}=\hr{\hr{A}}\sm\vn{(\hr{\hr{A}})}=\hr{\hr{A}}$. \end{enumerate} \end{remark} \index{topologický podprostor} \begin{define} Buď $(X,\tau)$ topologický prostor, $A\subset X$. Na $A$ definujeme {\bf relativní} (též {\bf indukovanou}) topologii $\tau_A=(B\cap A|B\in\tau)$ a $(A,\tau_A)$ nazveme {\bf topologickým podprostorem}, značíme $(A,\tau_A) \pp (X,\tau)$. \end{define} \begin{define} Buď $(X,\tau)$ topologický prostor s topologickým podprostorem $(Y,\tau_Y) \pp (X,\tau)$. Pak vnitřek množiny $A \subset Y$ v prostoru $Y$ značíme $\vn{A}^Y$ a její uzávěr v prostoru $Y$ značíme značíme $\uz{A}^Y$. \end{define} \index{metrický podprostor} \begin{define} Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $Y\subset X$, $\rho_Y=\rho|_{Y\times Y}$. Potom uspořádanou dvojici $(Y,\rho_Y)$ nazveme {\bf metrickým podprostorem}, $Y \pp X$. \end{define} \begin{example} Pokud uvažujeme prostor $X = \R$ se standardní metrikou indukovanou absolutní hodnotou a metrický podprostor $Y = [a,b]$ (\uv{uzavřený} interval), pak pro $c \in (a,b)$ je množina $A = (c,b]$ (\uv{polouzavřený} interval) otevřená v $Y$. \end{example} \begin{theorem} Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $Y \pp X$ a $A\subset Y$. Potom $\uz{A}^Y=Y\cap\uz{A}$. \begin{proof} \[ \uz{A}^Y=\{y\in Y~|~\rho(y,A)=0\} =Y\cap\underbrace{\{x\in X~|~\rho(x,A)=0\}}_{\displaystyle\uz{A}} =Y\cap\uz{A} \] \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $Y \pp X$ a $A\subset Y$. Potom platí: $$A=\uz{A}^Y\iff (A=Y\cap B,B=\uz{B}^X)$$ \begin{proof} \begin{enumerate}[a)] \item $(\Rightarrow)$: $A=\uz{A}^Y\implies A=Y\cap\uz{A}=Y\cap B$. \item $(\Leftarrow)$: $A=Y\cap B,B=\uz{B}\implies A\subset B\implies \uz{A}\subset\uz{B}=B\implies \uz{A}^Y=Y\cap\uz{A}\subset Y\cap B=A$. Opačná inkluze ($A\subset\uz{A}^Y$) je triviální. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{4pt} Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $Y \pp X$. \item Analogicky předchozí větě platí: $A = \vn{A}^Y \iff (A = Y \cap B, B = \vn{B}^X)$. \item Buď $A \subset Y$. Pak platí: $A=\uz{A}^X\implies A=\uz{A}^Y$ (důkaz: $A=Y\cap A=Y\cap\uz{A}^X=\uz{A}^Y$). \item Podobně jako v předchozím bodě: $A=\vn{A}^X\implies A=\vn{A}^Y$. \item $A=\uz{A}^Y\wedge Y=\uz{Y}^X\implies A=\uz{A}^X$ (důkaz: $A=\uz{A}^Y=\underbrace{Y\cap B}_{\text{uzavřené v~}X}$). \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} \index{izolovaný bod} \index{izolátor} {\bf Izolovaným bodem} množiny $A$ nazýváme bod $x\in A$, pro který existuje okolí $\H_x$ takové, že $\H_x\cap A=\{x\}$. Množinu všech izolovaných bodů množiny $A$ nazýváme {\bf izolátorem}, značíme $\iz{A}$. Množinu $A=\iz{A}$ nazveme {\bf diskrétní}. \end{define} \begin{define} \index{hromadný bod} \index{derivace množiny} Bod $x\in\uz{A}$ nazýváme {\bf hromadným bodem} množiny $A$, právě když není jejím izolovaným bodem. Množinu všech hromadných bodů nazýváme {\bf derivací} množiny $A$, značíme $A'$. Množinu $A=A'$ nazveme {\bf perfektní}. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{4pt} \item $\iz{A} = \iz{\uz{A}}$ \item $A'=\uz{A}\sm\iz{A}$. \item $\uz{A}=\iz{A}\cup A'=A\cup A'$. \item $A=\uz{A}\iff A'\subset A$. \item $A'=\uz{A'}$ \begin{proof} \item $\supset$: $x \in \uz{A \sm \{x\}} \iff \forall \H_x: \H_x \cap (A \sm \{x\}) \neq \emptyset$, tj. má jiný společný bod než je $x$, a tudíž dle definice $x \in A'$, \item $\subset$: zřejmé. \end{proof} \item $(A')'\subset\uz{A'}=A'$ \begin{example} Množina, která se derivováním menší, je např. $\displaystyle A=\left\lbrace \left. \begin{pmatrix}\frac{1}{n}\\\frac{1}{m}\end{pmatrix}\in\R^2 \right\vert m,n\in\N\right\rbrace $: pak $A'=\displaystyle A=\left\lbrace \left. \begin{pmatrix}\frac{1}{n}\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\\frac{1}{n}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\right\vert n\in\N\right\rbrace$ a následně $(A')'=\left\lbrace \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\right\rbrace $. \end{example} \end{enumerate} \end{remark}