Součásti dokumentu 01MAA4
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Vázané extrémy}
\begin{define}
Řekneme, že funkce $f$ má v~bodě $x_0\in M$
{\bf lokální extrém vzhledem k~varietě $M$}, právě když
\[(\exists\H_{x_0})(\forall x\in\H_{x_0}\cap M)(f(x)\ge f(x_0))
\text{, resp. }
(\exists\H_{x_0})(\forall x\in\H_{x_0}\cap M)(f(x)\le f(x_0)).\]
\end{define}
\begin{theorem}[nutná podmínka pro existenci extrému vzhledem k~varietě]
Buď $M$ $r$-rozměrná varieta třídy $\c{1}$, $x_0\in M$, $f:\R^n\to\R$ reálná funkce
diferencovatelná v~$x_0$. Nechť $f$ má v~$x_0$ lokální extrém vzhledem
k~varietě $M$. Potom existují čísla $\lambda_1,\dots,\lambda_m$
taková, že $x_0$ je stacionárním bodem funkce
\[\Lambda=f-\sum_{l=1}^m \lambda_l\Phi^l\]
při značení z~kapitoly 17. Čísla $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ se nazývají {\bf
Lagrangeovy multiplikátory} a $\Lambda$ {\bf Lagrangeova funkce}.
\begin{proof}
Pro každý $\vec h\in T_{x_0}M$ existuje $\psi:\R\to M$ takové, že
$\psi(0)=x_0$ a $\psi'(0)=\vec h$. Definujme $\phi:\R\to\R$
vztahem $\phi=f\circ\psi$. BÚNO nechť $f$ má v $x_0$ maximum, tedy:
$$
(\exists\H_{x_0})(\forall x\in\H_{x_0}\cap M)(f(x)\le f(x_0)) \Leftrightarrow (\exists\H_{0})(\forall t\in\H_{0})(f(\psi(t))\le f(\psi(0)))
$$
tedy $\phi$ má v $0$ maximum. Pak $\phi'(0)=0$, a platí
\[0=\phi'(0)=f'(x_0)\cdot\psi'(0)=f'(x_0)\vec h
=\left\langle \grad f(x_0),\vec h\right\rangle =0.\]
Z~toho dále vyplývá, že $\grad f(x_0)\in N_M(x_0)$
a dále existence $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ takových, že
\[\grad f(x_0)=\sum_{l=1}^m\lambda_l\grad\Phi^l(x_0),\]
a tedy
\[\grad\left(f-\sum_{l=1}^m\lambda_l\Phi^l\right)=0\]
a z~Rieszovy věty pak vyplývá nulovost derivace $\Lambda$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Derivace vzhledem k~varietě: $f_M'(x_0)=f'(x_0)|_{T_{x_0}M}$,
tj. derivace zúžená na tečný prostor.
\end{remark}
\begin{theorem}[postačující podmínka]
Buď $M$ varieta třídy $\c{2}$, nechť existuje $f''(x_0)$, $x_0\in M$,
existuje $\Lambda$ a $\Lambda'(x_0)=0$. Potom
\begin{enumerate}[(i)]
\item Má-li funkce $f|_M$ v~$x_0$ lokální minimum, potom
$\Lambda''(x_0)|_{T_{x_0}M}\ge 0$.
\item Je-li $\Lambda''(x_0)|_{T_{x_0}M}>0$, má $f|_M$ v~$x_0$ ostré
lokální minimum.
\item Má-li funkce $f|_M$ v~$x_0$ lokální maximum, potom
$\Lambda''(x_0)|_{T_{x_0}M}\le 0$.
\item Je-li $\Lambda''(x_0)|_{T_{x_0}M}<0$, má $f|_M$ v~$x_0$ ostré
lokální maximum.
\item Je-li $\Lambda''(x_0)|_{T_{x_0}M}$ indefinitní, nemá $f|_M$ v
$x_0$ lokální extrém.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)]
\item Buď $\vec h\in T_{x_0}M$. Potom existuje $\psi:\R\to M$
takové, že $\psi(0)=x_0$, $\psi'(0)=\vec h$. Provedeme Taylorův rozvoj
$\Lambda$ v~$x_0$ do druhého řádu (to můžeme, protože $f''(x_0)$
existuje a $M\in\c{2}$)
\[\Lambda(x)=\Lambda(x_0)+\underbrace{\Lambda'(x_0)(x-x_0)}_{=0}+
\frac12\Lambda''(x_0)(x-x_0)^2+\omega(x)\norm{x-x_0}^2,\]
\[\Lambda(\psi(t))=\Lambda(x_0)+
\frac12\Lambda''(x_0)(\psi(t)-\psi(0))^2+
\omega(\psi(t))\norm{\psi(t)-\psi(0)}^2.\]
Protože $\psi(t)$ je z~variety, kde splývá $f$ s~$\Lambda$, vyjde
\[\frac{1}{t^2}\left(f(\psi(t))-f(\psi(0))-
\omega(\psi(t))\norm{\psi(t)-\psi(0)}^2\right)=
\frac12\Lambda''(\psi(0))\left(\frac{\psi(t)-\psi(0)}{t}\right)^2.\]
Limitním přechodem $t\to 0$ dostáváme
\[\frac{1}{t^2}\underbrace{f(\psi(t))-f(\psi(0))}_{\ge 0}=
\frac12\Lambda''(x_0){\vec h}^2.\]
\item Buď $\Lambda''(x_0)\vec h^2>0$, $x\in M\cap H$. Potom
\[f(x)=f(x_0)+\frac12\Lambda''(x_0)(x-x_0)^2+\omega(x)\norm{x-x_0}^2.\]
Problém je v~tom, že $x-x_0$ nemusí být obecně z~$T_{x_0}M$. Položme
$\vec h=x-x_0$, potom $\vec h$ lze vyjádřit jako $\vec
h=\vec{h_1}+\vec{h_2}$, kde $\vec{h_1}\in T_{x_0}M$, $\vec{h_2}\in
N_M(x_0)$. Potom z~pozitivní definitnosti $\Lambda''$ vyplývá
\[\Lambda''(x_0)\vec{h_1}^2\ge\alpha\norm{\vec{h_1}}^2\]
pro nějaké $\alpha>0$, neboť $\vec{h_1}\in T_{x_0}M$.
\[
\begin{split}
f(x)-f(x_0)&=\frac12\Lambda''(x_0)\vec{h_1}^2+\Lambda''(x_0)\vec{h_1}\vec{h_2}+
\frac12\Lambda''(x_0)\vec{h_2}^2+\omega(x)\norm{\vec{h_1}+\vec{h_2}}^2\ge\\
&\ge\frac{\alpha}{2}\norm{\vec{h_1}}^2-\frac{\alpha}{8}\norm{\vec{h}}^2\ge
\frac{\alpha}{4}\norm{\vec{h}}^2-\frac{\alpha}{8}\norm{\vec{h}}^2=
\frac{\alpha}{8}\norm{\vec{h}}^2,
\end{split}
\]
neboť
\[
\lim_{\vec h\to\vec 0}\frac{\norm{\vec{h_2}}}{\norm{\vec{h}}}=0,\quad
\lim_{\vec h\to\vec 0}\frac{\norm{\vec{h_1}}}{\norm{\vec{h}}}=1
\]
a
\[
\lim_{\vec h\to\vec 0}\frac{1}{\norm{\vec{h}}^2}
\left(\Lambda''(x_0)\vec{h_1}\vec{h_2}+\frac12\Lambda''\vec{h_2}^2
+\omega(x)\norm{\vec{h}}^2\right)=0,
\]
takže lze zvolit takové $\alpha>0$, aby
\[
\frac{1}{\norm{\vec{h}}^2}
\left(\Lambda''(x_0)\vec{h_1}\vec{h_2}+\frac12\Lambda''\vec{h_2}^2
+\omega(x)\norm{\vec{h}}^2\right)\le\frac{\alpha}{8}.
\]
Konečně díky ortogonalitě $\vec{h_1}$ a $\vec{h_2}$
\[
\norm{\vec{h_1}}^2=\norm{\vec{h}}^2-\norm{\vec{h_2}}^2 \wedge \lim_{\vec h\to \vec 0}\frac{\norm{\vec{h_2}}}{\norm{\vec{h}}}=0 \implies
\norm{\vec{h_1}}^2\ge\frac{1}{2}\norm{\vec{h}}^2.
\]
\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Metodika hledání extrémů:
\begin{enumerate}
\item Nechť $f$, $\Phi^1,\dots,\Phi^m\in\c{2}$.
\item Ověříme, zda $M=\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\}=
\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=m\}$, tj. je varieta.
\item Sestavím funkční předpis
\[\Lambda = f-\sum_{l=1}^m \lambda_l\Phi^l,\]
kde $\lambda$ zatím neznám.
\item Položím $\Lambda'(x_0)=\Theta$, $\Lambda_j(x_0)=0$ pro $j\in\n$,
$\Phi^l(x_0)=0$ pro $l\in\hat m$. Dostanu $m+n$ rovnic pro $m+n$
neznámých.
\item Vyberu si jeden bod $x_0$, určím $\lambda_j$ a dosadím do
$\Lambda$.
\item $\Lambda''(x_0)\vec h^2=Q(\vec h)$.
\item Pokud je $Q(\vec h)$ PD nebo ND, pak je to minimum, případně maximum.
\item Jinak musím nalézt tečný prostor ($T_{x_0}M=\ker\Phi'(x_0)$) a zúžím $Q(\vec h)$ na $T_{x_0}M$.
\end{enumerate}
Tedy nalézám $q(\vec h)=Q(\vec h)|_{T_{x_0}M}$. $\Phi'(x_0)\vec h=0$
\[\sum_{i=1}^n\Phi_i^l(x_0)\vec h^i=0\text{ pro }l\in\hat m.\]
\item Prověřím definitnost $Q$.
Je nutno hlídat dimenze.
\end{remark}
\begin{remark}
Důkaz nerovnosti $f(x)\le g(x)$: $f(x)=a$ je varieta, např. uzavřená
dráha. Najdu extrém $g(x)$ na varietě $f(x)=a$, to provedu pro každé
$a$.
\end{remark}
