Součásti dokumentu Matematika1Priklady
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1Priklady}
\section{Derivace, inverzní funkce, tečny, normály, asymptoty}
\subsection*{\fbox{Rozcvička}}
V této úvodní části jsou příklady na derivace, které pro svou nižší náročnost nebudou ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány.
\begin{itemize}
\item \begin{priklad}
f(x) = \sqrt{x}(2x^2+3x+5); f^\prime(x)=?
\end{priklad}
\res{$\frac{10x^2+9x+5}{2\sqrt{x}}$}
\item \begin{priklad}
f(x) = \frac{2\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}; f^\prime(x)=?
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})^2} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \frac{\cos{x} - 1}{\sin{x}}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$ -\frac{1}{1+\cos{x}}$}
\item \begin{priklad}
f(x) = \sqrt[3]{x^2-1}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$ \frac{2x\sqrt[3]{x^2-1}}{3(x^2-1)}$}
\item \begin{priklad}
f(x) = \sin{(x^2-1)}; f^\prime(x)=?
\end{priklad}
\res{$2x\cos{(x^2-1)} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \sqrt[3]{x}(2x^2+1); f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\frac{\sqrt[3]{x}(14x^2+1)}{3x} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \frac{1+x}{\sqrt{x}}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\frac{x-1}{2x\sqrt{x}} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \frac{1+\cos{x}}{1-\cos{x}}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$-\frac{\sin{(2x)}}{(1-\cos{x})^2} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \sqrt{\sin{x}}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\frac{\cos{x}}{2\sqrt{\sin{x}}} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}; f^\prime(x)=?
\end{priklad}
\res{$ - \frac{x}{\sqrt{(1+x^2)^3}} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \sin{\sqrt{x}}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\frac{\cos{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\frac{\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}}{2x} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \frac{(1-\sqrt{x})^2}{2x}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\frac{\sqrt{x}-1}{2x^2} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \frac{x^3}{3} (\ln{x} - \frac{1}{3}); f^\prime(x)=?
\end{priklad}
\res{$ x^2 \ln{x} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \frac{x^2+1}{(1-x)^2}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\frac{2(x+1)}{(1-x)^3} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = x\sqrt{1+x^2}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\frac{2x^2+1}{\sqrt{1+x^2}} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = -\frac{2\cos{x}}{3} - \frac{\cos{x}\sin^2{x}}{3}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\sin^3{x} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \sin^4{x} - \cos^4{x}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\sin{(2x)} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \tan^4{x} - 2 \tan^2{x}-4 \ln{\cos{x}}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$4 \tan^5{x} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \sin{(1+\cos{x})}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\cos{x} + \cos^2{x} - \sin^2{x} $}
\item
\begin{priklad}
f(x) = \frac{2}{\sin{x}} - \frac{\cos{x}}{3} + \tan{x}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$-\frac{2\cos{x}}{\sin^2{x}} + \frac{\sin{x}}{3} + \frac{1}{\cos^2{x}} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \frac{3}{2x-4} + 6x^2\sqrt{x}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$-\frac{6}{(2x-4)^2}+15x\sqrt{x} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = (a^2 - x^2 )\frac{x-1}{x}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$(2-2x)+(a^2-x^2)x^{-2} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \sqrt{x^2-\sqrt{x}}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{2\sqrt{x^2-\sqrt{x}}}\Big( 2x - \frac{1}{2\sqrt{x}}\Big) $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \ln{(x^3)}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\frac{3}{x} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \ln^3{x}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\frac{3}{x}\ln^2{x} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \ln{\tan{x}}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\frac{2}{\sin{2x}} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \ln{\sin{x}}; f^\prime(x)=?
\end{priklad}
\res{$ \cot{x} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{1+\cos{x}} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \arctan{x^2+1}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\frac{2x}{x^4+2x^2+2} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \ln{\sin{(x^3-2x+1)}}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$(3x^2-2)\cot{(x^3-2x+1)} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \ln{(e^x + e^{-x})}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\frac{e^x - e^{-x}}{e^x+e^{-x}} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \frac{2x+7}{(x^3+2x+5)^2}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\frac{-10x^3-42x^2-4x-18}{(x^3+2x+5)^3} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = a ^ {\sqrt{x}}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\frac{\ln{a}}{2\sqrt{x}}a ^ {\sqrt{x}} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\frac{2\sin{x}}{(1+\cos{x})^2} $}
\item \begin{priklad}
f(x) = x \ln{x}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\ln{x} + 1 $}
\item \begin{priklad}
f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}; f^\prime(x)= ?
\end{priklad}
\res{$\frac{a}{(x^2+a) ^{3/2}} $}
\item
Nalezněte $n$. derivaci funkce
\begin{priklad}
\e^x
\end{priklad}
\res{$\e^x$}
\end{itemize}
\subsection*{\fbox{Zkouškové příklady}}
\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\odstavec{Derivace}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Nechť je dána funkce $\displaystyle f(x) = x \sqrt[3]{|x+1|}$.
\begin{enumerate}
\item Nalezněte definiční obor funkce $f$, rozhodněte o spojitosti a nalezněte derivaci funkce $f$ v každém bodě $D_f$ kromě bodu $x=-1$.
\item Rozhodněte o existenci derivace funkce $f$ v bodě $x=-1$.
\end{enumerate}
\res{spojitá na $D_f=\R$, $f^\prime(-1)$ neex}
\item Nechť je dána funkce $\displaystyle f(x) = \ln( \ln x)$.
\begin{enumerate}
\item Nalezněte definiční obor $D_f$, první derivaci $f'$ a její definiční obor $D_{f'}$.
\item Je tato funkce prostá na svém definičním oboru ? Pokud ano, nalezněte inverzní funkci $f^{-1}$ a její první derivaci $(f^{-1})'$.
\end{enumerate}
\res{$D_f=(1,+\infty)$. $f^\prime(x)=\frac{1}{x\ln{x}}$, $f^{-1}(x)=\exp(\exp(x))$, $(f^{-1})^\prime(x)=\exp(\exp(x))(\exp(x)+1)$}
\item Nechť je dána funkce $\displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array}{lll}
\cos(\sqrt{x}) & \hbox{pro} & x > 0 \\
1 & \hbox{pro} & x = 0 \\
\cos(\sqrt{-x}) & \hbox{pro} & x < 0.
\end{array}
\right.$
\begin{enumerate}
\item Je funkce $f$ spojitá v bodě $x=0$ ? Své rozhodnutí zdůvodněte.
\item Z definice jednostranné derivace nalezněte $f'_-(0)$ a $f'_+(0)$ a rozhodněte o existenci derivace $f'(0)$.
\end{enumerate}
\res{Spojitá na $\R$, $f^\prime_+(0) = -1/2$, $f^\prime_-(0)=1/2$, $f^\prime(0)$ neex}
\item
Funkci $\displaystyle f(x) = \frac{1-\cos x}{\sin x}$
dodefinujte v bodě $x=0$ tak, aby byla spojitá
a pro takto dodefinovanou funkci nalezněte z definice derivaci
$f^\prime(0)$.
\res{0, $\frac12$}
\item
Nalezněte derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = \arccos{\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}}.
\end{priklad}
\res{$\pm \frac{1}{1+x^2} $}
\item
Nalezněte derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = \arcsin{(2x\sqrt{1-x^2})}.
\end{priklad}
\res{$\pm \frac{2}{\sqrt{1-x^2}} $}
\item
Nalezněte derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = \frac{x}{x+\sqrt{x+\sqrt{a^2+x^2}}}.
\end{priklad}
\res{$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+x^2}(x+\sqrt{a^2+x^2})^2} $}
\item
Nalezněte derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = \Big( \frac{1+x}{1-x}\Big) ^ {\frac{1-x}{1+x}}.
\end{priklad}
\res{$\frac{2y}{(1+x)^2}\big(1-\ln{\frac{1+x}{1-x}}\big) $}
\item
Nalezněte derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = x ^ {1/x}.
\end{priklad}
\res{$x ^ {1/x - 2}(1- \ln{x}) $}
\item Nalezněte derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = x ^ {\sin{x}}.
\end{priklad}
\res{$x ^ {\sin{x}}(\cos{\ln{x}} + x ^ {-1}\sin{x}) $}
\item Nalezněte derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = \arctan{\big( \frac{x}{x^2+1}\big)}.
\end{priklad}
\res{$\frac{1-x^2}{1+3x^2+x^4} $}
\item Nalezněte derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = \frac{1}{2} \ln{\tan{\frac{x}{2}}} - \frac{\cos{x}}{2\sin^2{x}}.
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{\sin^3{x}} $}
\item
Nalezněte derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = \arcsin{\big(\frac{x}{x^2+1}\big)}.
\end{priklad}
\res{$\frac{1-x^2}{1+x^2}(1+x^2+x^4)^{-1/2} $}
\item
Nalezněte derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = \arcsin{\tan{x}}.
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{|\cos{x}|\sqrt{\cos{2x}}} $}
\item
Nalezněte $D_f$ a derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}.
\end{priklad}
\res{$D_f=[0,+\infty)$,
$\frac{1+
\frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x + \sqrt{x}}}
}{2\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}}$}
\item
Nalezněte $D_f$ a derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = \sqrt{\sin\sqrt{x}}.
\end{priklad}
\res{$D_f=(0,\pi^2)$,
$\frac{\cos\sqrt{x}}{4\sqrt{x}\sqrt{\sin\sqrt{x}}}$}
\item
Nalezněte derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = \sqrt[3]{\frac{1+x^3}{1-x^3}}
\end{priklad}
pro $|x|\neq1$.
\res{$
1/3\, \left( 3\,{\frac {{x}^{2}}{1-{x}^{3}}}+3\,{\frac { \left( 1+{x}^
{3} \right) {x}^{2}}{ \left( 1-{x}^{3} \right) ^{2}}} \right) \left(
{\frac {1+{x}^{3}}{1-{x}^{3}}} \right) ^{-2/3}
$}
\item
Nalezněte $D_f$ a derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = \ln\ln\ln x.
\end{priklad}
\res{$D_f=(\e,+\infty)$, $\frac{1}{\ln\ln x} \frac{1}{\ln x} \frac{1}{x} $}
\item
Nalezněte derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = \ln\left( \frac1x + \ln \frac1x \right).
\end{priklad}
\res{$- \frac{1}{x^2}\frac{x+1}{\frac1x + \ln\frac1x}$}
\item
Nalezněte derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = \ln\sqrt{\frac{1-\sin{x}}{1+\sin{x}}}.
\end{priklad}
\res{$-\frac{1}{\cos{x}}$}
\item
Nalezněte derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = x(\sin\ln{x} - \cos\ln{x}).
\end{priklad}
\res{$-2\sin\ln{x}$}
\item
Nalezněte derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = \arctg\left(x - \sqrt{1+x^2}\right).
\end{priklad}
\res{$-\frac{x-\sqrt{1+x^2}}{2\sqrt{1+x^2}(1+x^2-x\sqrt{1+x^2})}$}
\item
Nalezněte derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = x + \sqrt{1-x^2} \arccos{x}.
\end{priklad}
\res{$-\frac{x\arccos{x}}{\sqrt{1-x^2}}$}
\item
Nalezněte derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = \arcsin\frac{1-x^2}{1+x^2}
\end{priklad}
pro $x\neq 0$.
\res{$-\sign{x}\frac{2}{1+x^2}$}
\item
Nalezněte $D_f$ a derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = \arctg\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}
\end{priklad}
pro $|x|<1$.
\res{$D_f=\{|x|\leq1\}$, $f^\prime(x)=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$}
\item
Nalezněte derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = \arcctg\frac{1-2x}{2\sqrt{x-x^2}}
\end{priklad}
pro $x\in(0,1)$.
\res{$\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$}
\item
Nalezněte derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = \ln \left(\e^x + \sqrt{1+\e^{2x}} \right).
\end{priklad}
\res{$\frac{\e^x}{\sqrt{1+\e^{2x}}}$}
\item
Nalezněte derivaci funkce
\begin{priklad}
f(x) = \frac{\cosh{x}}{\sinh^2{x}} - \ln\ctgh{\frac{x}{2}}.
\end{priklad}
\res{$-\frac2{\sinh^3{x}}$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\odstavec{Derivace vyšších řádů}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item
Nalezněte derivaci řádu $n\in\N_0$ funkce
\begin{priklad}
f(x)=a^x,
\end{priklad}
kde $a>0$.
\res{$f^{(n)}(x)=(\ln^n(a)~a^x$}
\item
Nalezněte derivaci řádu $n\in\N_0$ funkce
\begin{priklad}
f(x)=\cos{x}.
\end{priklad}
\res{$f^{(2k)}(x)=(-1)^k\cos{x}$, $f^{(2k+1)}(x)=(-1)^{k+1}\sin(x)$}
\item
Nalezněte derivaci řádu $n\in\N_0$ funkce
\begin{priklad}
f(x)=\sin{x}.
\end{priklad}
\res{$f^{(2k)}(x)=(-1)^k\sin{x}$, $f^{(2k+1)}(x)=(-1)^{k}\cos(x)$}
\item
Nalezněte derivaci řádu $n\in\N_0$ funkce
\begin{priklad}
f(x)=x^n.
\end{priklad}
\res{$f^{(n)} = n!$}
\item
Nalezněte derivaci 2. řádu funkce
\begin{priklad}
f(x)=\tg{x}.
\end{priklad}
\res{$f^{\prime\prime} = \frac{2\sin{x}}{\cos^3{x}}$}
\item
Nalezněte derivaci 2. řádu funkce
\begin{priklad}
f(x)=x\ln{x}.
\end{priklad}
\res{$f^{\prime\prime} = \frac{1}{x}$}
\item
Nalezněte derivaci 2. řádu funkce
\begin{priklad}
f(x)=(1+x^2)\arctg{x}.
\end{priklad}
\res{$f^{\prime\prime} = 2\arctg{x} + \frac{2x}{1+x^2}$}
\item
Nalezněte derivaci 4. řádu funkce
\begin{priklad}
f(x)=\sqrt{x}.
\end{priklad}
\res{$f^{(4)} = -\frac{1\cdot3\cdot5\cdot7}{2\cdot2\cdot2\cdot2}x^{-\frac92}$}
\end{enumerate}
