Součásti dokumentu 02KVAN
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN}
\section{Systémy více částic}
Zatím jsme se věnovali kvantové mechanice jedné \cc e v poli
vnějších sil. Není třeba zdůrazňovat, že pro popis reálných
fyzikálních systémů je třeba rozšířit kvantově mechanický popis
na systémy více \cc, neboť i velmi jednoduchý reálný systém -- atom
vodíku, jehož elektronový obal jsme zatím modelovali jednou
kvantovou \cc í v coulombickém poli, se skládá ze dvou \cc,
protonu a elektronu. V této kapitole se proto budeme věnovat
\qv é \mi ce více \cc {} bez vazeb.
\special{src: 10 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Při budování \qv é \mi ky více \cc {}
je třeba, na rozdíl od mechaniky klasické, velmi důsledně rozlišovat,
jestli jde o systém \cc {} stejného typu či nikoliv. Pod \cc emi
stejného typu rozumíme \cc e, které se od sebe vzájemně neliší
žádným ze svých vnitřních parametrů jako jsou hmota, náboj,
magnetický moment atd., tedy parametrů, které jsou nezávislé na
pohybovém stavu. Dvě \cc e, které mají všechny tyto parametry
stejné považujeme za {\em nerozlišitelné}, zatímco
%pokud některý z jejich parametrů
v opačném případě je nazýváme rozlišitelné.
\special{src: 23 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
{\small V klasické mechanice tento pojem není podstatný, %třeba zavádět,
neboť každá \cc e se pohybuje po dané křivce určené pohybovými
\rc emi a pokud si \cc e na začátku experimentu
označíme např. jako "první", "druhá" atd., je možné v každém čase
rozhodnout, o kterou \cc i se jedná a všechny \cc e lze tedy
považovat za rozlišitelné.}
Při popisu jevů na atomární a nižší úrovni, nejsme schopni
sledovat ani teoreticky předpovědět dráhy jednotlivých \cc {} a označení "první" či "druhá" pro
nerozlišitelné \cc e ztrácí smysl, neboť
při přechodu z jednoho stavu dvou či více nerozlišitelných \cc
{ } do jiného
(ať už časovým vývojem nebo měřením) není možno rozhodnout, které z
nich je třeba přiřadit hodnoty pozorovatelných týkajících se
jednotlivých \cc.
\special{src: 43 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
\special{src: 46 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
\subsection{Systémy rozlišitelných \cc}
Úkolem \qv é mechaniky systémů více \cc {} je předpovědět \pst i různých
měření provedených na těchto systémech.
Máme-li systém dvou bezspinových rozlišitelných \cc {}%(například hmotou)
, a víme-li,
že pravděpodobnost nalézt první \cc i v oblasti $O_1$ je $w_1$ a
pravděpodobnost nalézt druhou \cc i v oblasti $O_2$ je $w_2$, pak
(za předpokladu, že tyto \pst i jsou nezávislé)
pravděpodobnost nalézt první \cc i v oblasti $O_1$ a současně
nalézt druhou \cc i v oblasti $O_2$ je $w_1w_2$. Vzhledem k tomu,
že podle Bornova postulátu je \pst {} dána amplitudou vlnové \fc e,
je celkem přirozené přiřadit systému dvou \cc, z nichž jedna je ve
stavu popsaném vlnovou \fc í $\psi_1$ a druhá ve stavu $\psi_2$,
vlnovou fci $\psi(\vex_1,\vex_2)=\psi_1(\vex_1)\psi_2(\vex_2)$.
\special{src: 63 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
To ovšem zdaleka neznamená, že všechny stavy systému dvou \cc {}
jsou popsány vlnovými \fc emi, jež lze zapsat jako součin \fc í
proměnných $\vex_1$, respektive $\vex_2$. Pokud by tomu tak bylo,
pak by libovolná \pst{} týkající se první \cc e byla nezávislá na
stavu druhé \cc e a mohli bychom popisovat pouze systémy nijak se
neovlivňujících -- neinteragujících \cc. Taková teorie však nemá
žádný smysl, přesněji je ekvivalentní jedno\cc ové
teorii pro každou ze složek systému.
\special{src: 74 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Obecně {\bf přiřadíme stavu systému $N$ rozlišitelných bezspinových \cc {}
kvadraticky integrabilní vlnovou funkci
\[ \psi:\real^{3N}\lim\complex,\
\psi\in L_2(\real^{3N},d^{3N}x)\]
a pozorovatelným samosdružené operátory na Hilbertově prostoru}
${\cal H}=L_2(\real^{3N},d^{3N}x).$ Platí (viz \cite{beh:lokf},
4.6.6), že
\[ L_2(\real^{3N},d^{3N}x)=L_2(\real^{3},d^{3}x)\otimes L_2(\real^{3},d^{3}x)
\otimes\ldots\otimes L_2(\real^{3},d^{3}x)\]
\[ \Leftrightarrow \ {\hil}={\hil}_1\otimes{\hil}_2\otimes\ldots\otimes{\hil}_N,
\]
kde ${\hil}_j$ je Hilbertův prostor stavů j-té \cc e. Zároveň
platí, že pokud $\{e^{(j)}_{n_j},\ n_j\in\integer_+\}$ je ortonormální baze v
${\hil}_j$, pak $\{e^{(1)}_{n_1}\otimes e^{(2)}_{n_2}\otimes \ldots
e^{(N)}_{n_N},\ (n_1,n_2,\ldots,n_N)\in\integer^N_+\}$, kde
\[ e^{(1)}_{n_1}\otimes e^{(2)}_{n_2}\otimes \ldots
e^{(N)}_{n_N}(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N):=e^{(1)}_{n_1}(\vex_1)
e^{(2)}_{n_2}(\vex_2)\ldots e^{(N)}_{n_N}(\vex_N) \]
je rovněž ortonormální bazí v
${\hil}_1\otimes{\hil}_2\otimes\ldots\otimes{\hil}_N$.
\special{src: 97 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Operátory, které působí netriviálním způsobem pouze v ${\hil}_j$,
tzn. $\hat A_j=\unit\otimes\unit\otimes\ldots\unit\otimes\hat
A\otimes\unit\ldots\unit$ se nazývají {\em jednočásticové}.
Typickým příkladem je například operátor kinetické energie první
částice $\hat
T_1:=-\frac{\hbar^2}{2M}\triangle\otimes\unit\ldots\unit \equiv -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle_1.$
Podobným způsobem lze definovat vícečásticové operátory.
\special{src: 107 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Pro \cc e se spinem $\half$, jejichž vlnové \fc e mají dvě komponenty nebo alternativně
závisejí na dodatečné proměnné $\xi\in\{+,-\}$, je třeba výše uvedený formalismus modifikovat. Vlnové \fc e systému $N$ \cc{} se spinem $\half$ mají $2^N$ složek nebo alternativně závisejí vedle $\vex_1,\ldots,\vex_N$ též na $\xi_1,\ldots,\xi_N$, přičemž $\xi_j\in\{+,-\}$. Hilbertův stavový prostor je pak tensorovým součinem jednočásticových prostorů $L_2(\real^{3},d^{3}x)\otimes \complex^{2}$.
\[ {\hil}={\hil}_1\otimes{\hil}_2\otimes\ldots\otimes{\hil}_N
=L_2(\real^{3N},d^{3N}x)\otimes \complex^{2^N}.
\]
Skalární součin v tomto prostoru je definován způsobem
\be
(\psi,\phi)=\sum_{\xi_1=\pm}\ldots\sum_{\xi_N=\pm}\int_{\real^{3N}}
\psi^*(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N)
\phi(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N)
d^{3N}x.
\ee
\bc Nechť hamiltonián dvou částic se spinem $\half$ interagujících pouze prostřednictvím spinu má tvar
\[ \hat H = -\hbar\nu\,(\sigma_1\ox\sigma_1 + \sigma_2\ox\sigma_2 + \sigma_3\ox\sigma_3 ) \]
Určete dimenzi Hilbertova prostoru, vlastní čísla a vlastní vektory $\hat H $ a degeneraci energetických hladin.
\ec
\subsubsection{Problém dvou těles v \qv é \mi ce}
Problém dvou těles je v kvantové, stejně jako klasické, mechanice
snadno řešitelný, pokud síly jsou dány potenciálem závisejícím
pouze na rozdílu poloh jednotlivých \cc {}
$V(\vex_1,\vex_2)=V(\vex_1-\vex_2)$. Abychom mohli provést dynamický popis systému dvou \qv ých \cc, popíšeme napřed klasický systém hamiltonovským formalismem.
\special{src: 130 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Zavedením nových proměnných
\be \vec X:=\frac{m_1\vex_1+m_2\vex_2}{m_1+m_2},\
\vex:=\vex_1-\vex_2 \ll{nsour}\ee
dostaneme Lagrangeovu \fc i pro dvě \cc e ve tvaru
\be L(\vec X,\vex,\dot {\vec X},\dot
{\vex})=\half(m_1+m_2)\dot{\vec
X}^2+\half\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex}^2-V(\vex).\ee
Kanonicky sdružené hybnosti jsou
\be \vec P:=\vec p_1+\vec p_2=
(m_1+m_2)\dot{\vec X}=m_1\dot{\vex_1}+m_2\dot{\vex_2}\ll{nhyb1}\ee
\be \vec p:=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex}=\frac{ m_2\vec p_1-m_1\vec
p_2}{m_1+m_2}\ll{nhyb2}\ee
a Hamiltonova \fc e má tvar součtu dvou Hamiltonových funkcí
\be H(\vec X,\vex,\vec P,\vec p)=\frac{\vec P^2}{2(m_1+m_2)}
+\frac{m_1+m_2}{2m_1m_2}{\vec p}^2+V(\vex)=H_t(\vec P)+
H_{rel}(\vex,\vec p).\ee
Hamiltonovy pohybové \rc e pro $\vex_1(t), \vex_2(t), \vec
p_1(t),\vec p_2(t)$ pak přejdou na separované rovnice pro pohyb
těžiště $\vec X(t),\vec P(t)$ a relativní pohyb \cc {} daný
$\vex(t), \vec p(t)$.
\special{src: 153 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
\special{src: 156 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
{\bf Transformace souřadnic \rf{nsour}) vede i na zjednodušení
kvantově mechanického popisu dvou částic.} Zapíšeme-li
vlnovou \fc i systému jako \fc i nových souřadnic
\be \Psi(\vec X,\vex):=\psi(\vex_1(\vec X,\vex), \vex_2(\vec
X,\vex)),\ee
pak transformace \rf{nsour}) vede na transformaci
parciálních derivací
\be \frac{\partial}{\partial X_j}=\frac{\partial}{\partial
x_{1,j}}+\frac{\partial}{\partial x_{2,j}},\ j=1,2,3, \ll{nder1}\ee
\be \frac{\partial}{\partial x_j}=\frac{1}
{m_1+m_2}(m_2\frac{\partial}{\partial
x_{1,j}}-m_1\frac{\partial}{\partial x_{2,j}}),\ j=1,2,3, \ll{nder2}\ee
která odpovídá transformaci operátorů hybnosti analogické
\rf{nhyb1}, \ref{nhyb2}).
\special{src: 173 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
{\bf Hamiltonián systému dvou interagujících \cc
\be \hat
H=-\frac{\hbar^2}{2m_1}\triangle_1-\frac{\hbar^2}{2m_2}\triangle_2
+\hat V(\vex_1-\vex_2)\ee
transformací \rf{nsour}) přejde na tvar
\be \hat H= \hat H_t+\hat
H_{rel}=-\frac{\hbar^2}{2(m_1+m_2)}\triangle_X
-\frac{\hbar^2}{2M}\triangle_x + \hat V(\vec x),\ee
který je ekvivalentní hamiltoniánu dvou neinteragujících \cc.
} Jedna z nich je volná kvantová \cc e s hmotou $m_1+m_2$
(těžiště) a druhá je \cc í s hmotou $M=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ v
poli potenciálu $V$.
\special{src: 188 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Právě uvedená fakta ospravedlňují interpretaci hladin \cc e v
coulombickém poli jako hladin vodíkového atomu, pokud do výrazu
pro Rydbergovu energii dosadíme hmotu
$M=\frac{m_em_p}{m_e+m_p}\approx{m_e}(1-\frac{m_e}{m_p})$, kde
${m_e},{m_p}$ jsou hmoty elektronu a protonu. Pokud
se zajímáme o spektrum hladin deuteria, je třeba místo $m_p$
použít hmotu deuteronu, která se přibližně rovná $2m_p$.
\subsection{Skládání momentů hybnosti}
\def\lj{{\hat L^{(1)}}}
\def\l2{{\hat L^{(2)}}} \def\hj{{\hat J}}
V klasické \mi ce je
moment hybnosti složených systémů dán prostým sčítání vektorů, t.j.
vektorovým součtem momentů hybnosti jednotlivých složek. Pro
kvantově \mi cké stavy tomu tak být nemůže, neboť víme, že projekce
momentu hybnosti do libovolného směru může nabývat pouze
celočíselných násobků $\hbar$. Je proto užitečné zjistit jaké stavy
složeného systému odpovídají těmto celočíselným hodnotám. Složitost
problému skládání momentů hybnosti narůstá s počtem složek a proto
se v dalším omezíme na systém dvou \cc{}, kde každá z nich je ve
vlastních stavu momentu hybnosti, t.j. společném vlastním stavu
$\hat L^2$ a $\hat L_z$.
Nechť tedy máme systém složený ze dvou rozlišitelných částic pro
které byly naměřeny hodnoty momentů hybnosti %$\vec L^2, \ L_z$
$l_1(l_1+1)\hbar^2,m_1\hbar$ a $l_2(l_2+1)\hbar^2,m_2\hbar$. Znamená
to tedy, že první z \cc{} mohu přiřadit \fc i
$\psi_{a_1,l_1,m_1}\equiv|a_1,l_1,m_1>$
a druhé $\psi_{a_2,l_2,m_2}\equiv|a_2,l_2,m_2>$, kde hodnoty $a_1,a_2$
představují hodnoty ostatních pozorovatelných kompatibilních s
$\hat L^2$ a $\hat L_z$, např. celkové energie. Stav celého sytému
pak můžeme popsat vlnovou \fc í
$$\psi(\vex_1,\vex_2)=(\psi_{a_1,l_1,m_1}\otimes\psi_{a_2,l_2,m_2})(\vex_1,\vex_2)
=\psi_{a_1,l_1,m_1}(\vex_1)\psi_{a_2,l_2,m_2}(\vex_2).$$
Zanedbáme-li závislost stavů na vlastních číslech $a_1,a_2$ můžeme
této funkci přiřadit ket $|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>$ pro který
platí \begin{eqnarray}
(\lj)^2 |l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>&=& l_1(l_1+1)\hbar^2|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2> \label{lmlm1}\\
(\l2)^2 |l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>&=& l_2(l_2+1)\hbar^2|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2> \label{lmlm2}\\
\lj_z |l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>&=& m_1\hbar|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2> \label{lmlm3}\\
\l2_z |l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>&=& m_2\hbar|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>.\label{lmlm4}
\end{eqnarray} Pro dané $l_1,l_2$ (a $a_1,a_2$) tvoří tyto stavy
podprostor dimenze $(2l_1+1)(2l_2+1)$. Otázka je, jaké lze naměřit
{\bf hodnoty momentu hybnosti celého systému} a s jakou \pst í?
Složkám celkového momentu hybnosti podle principu korespondence
přiřadíme operátory $\hat J_k=\lj_k+\l2_k$, kde $\lj_k$ působí pouze
na funkce v proměnné $\vex_1$ a $\l2_k$ působí pouze na funkce v
proměnné $\vex_2$. Znamená to tedy, že operátory $\lj_k$ a $\l2_j$
komutují. Odtud je pak snadné ukázat, že \be [\hat J_k,\hat
J_l]=i\hbar\epsilon_{klm}\hat J_m. \ee Z podkapitoly \ref{atmh} pak
plyne, že vlastní hodnoty operátorů $\hat J^2$ a $\hat J_z$ mohou
mít vlastní hodnoty pouze $j(j+1)\hbar^2$ a $m\hbar$, kde $j$ a $m$
jsou (polo)celá čísla, $|m|\leq j$. Zároveň lze snadno ukázat že \be
[\hat J_k,(\lj)^2]=0,\ \ [\hat J_k,(\l2)^2]=0, \ee takže operátory
$(\lj)^2,\,(\l2)^2,\,\hat J^2,\,\hat J_z$ vzájemně komutují a mohou
(spolu s dalšími operátory) být součástí úplné množiny
pozorovatelných systému dvou \cc. Označme tedy $|l_1,l_2,j,m>$ ket,
který je vlastním stavem těchto pozorovatelných. Znamená to, že
splňuje rovnice \begin{eqnarray}
(\lj)^2 |l_1,l_2,j,m>&=& l_1(l_1+1)\hbar^2|l_1,l_2,j,m> \label{lljm1}\\
(\l2)^2 |l_1,l_2,j,m>&=& l_2(l_2+1)\hbar^2|l_1,l_2,j,m> \label{lljm2} \\
\hj^2 |l_1,l_2,j,m>&=& j(j+1)\hbar^2|l_1,l_2,j,m> \label{lljm3} \\
\hj_z |l_1,l_2,j,m>&=& m\hbar|l_1,l_2,j,m>.\label{lljm4}
\end{eqnarray} Naším úkolem nyní je tyto stavy nalézt, přesněji,
sestavit je ze stavů $|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>$ popisujících
momenty hybnosti jednotlivých \cc.
V prvním kroku se přesvědčíme, že stav $|l_1,l_1>\otimes \,
|l_2,l_2>$ splňuje rovnice (\ref{lljm1})--(\ref{lljm4}) pro
$j=m=l_1+l_2$. Rovnice (\ref{lljm1}),(\ref{lljm2}) se shodují s
(\ref{lmlm1}),(\ref{lmlm2}) a rovnice (\ref{lljm4}) je jednoduchým
důsledkem (\ref{lmlm1}),(\ref{lmlm2}). K odvození (\ref{lljm3}) se
hodí formule \begin{equation}\label{jjll}
\hj^2=\hj_1^2+\hj_2^2+\hj_3^2=(\lj)^2+(\l2)^2+2\lj_3\l2_3+\lj_+\l2_-+\lj_-\l2_+,
\end{equation}kterou lze snadno odvodit z definice posunovacích
operátorů $L_\pm$. Znamená to tedy, že $|l_1,l_1>\otimes \,
|l_2,l_2>=|l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2>$
Ze stavu $|l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2>$ nyní můžeme snadno vytvořit
$2(l_1+l_2)+1$ stavů $|l_1,l_2,l_1+l_2,m>$ kde $
m=-l_1-l_2,\ldots,l_1+l_2$ působením posunovacích operátorů
$J_\pm=J_1\pm iJ_2=\lj_\pm+\l2_\pm$. (Tyto stavy tvoří tzv.
ireducibilní reprezentaci algebry $su(2)$.)
V dalších krocích (pro $l_1,l_2\neq 0$) je možno vytvořit stavy
$|l_1,l_2,j,m>$ s $j<l_1+l_2$. Je zřejmé, že ze stavů
$|l_1,l_1>\otimes \, |l_2,l_2-1>$ a $|l_1,l_1-1>\otimes \,
|l_2,l_2>$ je možné vytvořit dva jiné lineárně nezávislé vektory.
Jeden z nich je\begin{eqnarray}
|l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2-1>&=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}}
J_-|l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2> \nonumber\\
&=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}}
(\lj_- +\l2_-)|l_1,l_l>\otimes \, |l_2,l_2>\nonumber
\end{eqnarray}
\begin{equation}
= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}}
(\alpha^{(-)}_{l_1,l_1}|l_1,l_l-1>\otimes \, |l_2,l_2>+
\alpha^{(-)}_{l_2,l_2}|l_1,l_1>\otimes \, |l_2,l_2-1>).
\end{equation} O druhém, který je k němu ortogonální, totiž $$
\frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}}
(\alpha^{(-)}_{l_2,l_2}|l_1,l_l-1>\otimes \, |l_2,l_2>-
\alpha^{(-)}_{l_1,l_1}|l_1,l_1>\otimes \, |l_2,l_2-1>),$$
lze ukázat že splňuje (\ref{lljm1})--(\ref{lljm4}) pro
$j=m=l_1+l_2-1$, takže se jedná o stav, který označujeme $
|l_1,l_2,l_1+l_2-1,l_1+l_2-1>$. Postupnou aplikací operátoru $J_-$
na tento stav dostaneme $2(l_1+l_2-1)-1$ stavů s $j=l_1+l_2-1,\
|m|\leq j$.
Stejným postupem dostaneme stavy s $j=l_1+l_2-2,j=l_1+l_2-3,\ldots.,
j_{min}$. Zbývá zjistit kolik je $j_{min}$. Rozměr podprostoru stavů
s daným $j$ je $2j+1$ a rozměr podprostoru s daným $l_1,l_2$, z
jehož stavů jsou vektory $|l_1,l_2,j,m>$ tvořeny, je
$(2l_1+1)(2l_2+1)$. Musí tedy platit \begin{equation}\label{jmin}
(2l_1+1)(2l_2+1)=\sum_{j_{min}}^{l_1+l_2}(2j+1)=(l_1+l_2+1)^2-j_{min}^2,
\end{equation} z čehož plyne $j_{min}=|l_1-l_2|$.
Vzhledem k tomu, že stavy $|l_1,l_2,j,m>$ splňují rovnice
(\ref{lljm1})--(\ref{lljm4}) pro různá vlastní čísla, musí být
vzájemně ortogonální stejně jako stavy $|l_1,m_1>\otimes \,
|l_2,m_2>$. Dostáváme tedy dvě ortonormální baze v podprostoru
dimenze $(2l_1+1)(2l_2+1)$. Elementy matice přechodu mezi těmito
dvěma přechody udávající mimo jiné \pst{} nalezení stavu systému s
daným $j$ a $m$ se nazývají Clebsch--Gordanovy koeficienty. Způsob
jejich výpočtu je možno nalézt např. v \cite {beh:lokf}.
Závěrem této podkapitoly je vhodné říci, že předvedená metoda
neslouží jen pro konstrukci stavů systému složeného ze dvou kvant s
daným momentem hybnosti. Při odvození jsme totiž použili pouze
komutační relace momentů hybnosti. Ty jsou však shodné s komutačními
relacemi spinu. Můžeme tedy skládat nejen stavy dvou různých \cc,
ale také orbitální moment hybnosti $l_1$ a spin $l_2=\half$ a hledat
tak stavy částice se spinem mající danou hodnotu celkového momentu
hybnosti $j=l\pm \half$.
\subsection{Systémy nerozlišitelných \cc, Pauliho princip} Jak už
bylo řečeno na počátku této kapitoly, při popisu jevů na atomární a
nižší úrovni označení "první" či "druhá" pro nerozlišitelné \cc e
ztrácí smysl. Tento fakt by se tedy měl odrazit i v teoretickém
popisu těchto jevů.
Nechť $\{A,B,\ldots\}$ je úplná množina pozorovatelných dvoučásticového systému.
Vlnová \fc e $\psi(\vex_1,\vex_2)$ dvoučásticového stavu, který je dán hodnotami
$a,b,\ldots$ pozorovatelných $A,B,\ldots$ je pak určena podmínkami
\be \hat A\psi=a\psi, \ \hat B\psi=b\psi,\ \ldots\ . \ll{ab12}\ee
Při záměně částic se stavová funkce $\psi(\vex_1,\vex_2)$ změní na
$\tilde\psi(\vex_1,\vex_2):=\psi(\vex_2,\vex_1).$
Pro nerozlišitelné částice se ale výsledky měření na dvoučásticovém systému touto záměnou nemohou změnit.
Současně s \rf{ab12}) musí tedy rovněž platit
\be \hat A\tilde\psi=a\tilde\psi, \ \hat B\tilde\psi=b\tilde\psi,\ \ldots\ . \ee
Z předpokladu, že $\{A, B,\ldots\}$ je úplná množina pozorovatelných plyne, že \fc e
$\psi$ a $\tilde \psi$ jsou určeny jednoznačně až na konstantu. Musí tedy platit $\psi=C_\psi\tilde\psi$.
Odtud však plyne, že
\be \psi(\vex_1,\vex_2)=C_\psi\psi(\vex_2,\vex_1)={C_\psi}^2\psi(\vex_1,\vex_2),
\ll{asymvlnfce}\ee
takže $C_\psi=\pm 1$. {Stavové \fc e
dvou nerozlišitelných \cc {} musí tedy být buď symetrické, či antisymetrické
při záměně svých argumentů.}
Mimo to, pro jeden typ \cc {} znaménko $C_\psi$ nemůže záviset na
vlnové \fc i, neboť v opačném případě
stavy popsané lineárními kombinacemi vlnových
\fc í s různými symetriemi by nebyly ani symetrické ani
antisymetrické. Částice, jejichž soubory jsou popsány
symetrickými vlnovými \fc emi se nazývají {\em bosony} a
částice, jejichž soubory jsou popsány
antisymetrickými vlnovými \fc emi se nazývají {\em fermiony}.
\special{src: 251 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
V kvantové teorii pole lze ukázat, že {\bf typ symetrie vlnových \fc í
je určen spinem \cc.} Částice s polocelým spinem (v jednotkách
$\hbar$) jako např. elektron, proton či neutron jsou
fermiony a částice s celým spinem jako např. $\pi-$mesony nebo foton
jsou bosony.
Vlnové \fc e \cc{} s nenulovým spinem však závisejí vedle souřadnic $\vex_j$ též na "spinových" proměnných $\xi_j$ nabývajících pouze diskrétních hodnot. Symetrií či antisymetrií vlnové \fc e se
%v případě \cc se spinem
pak rozumí (anti)symetrie vůči záměně dvojic $(\vex_j,\xi_j)$ a $(\vex_k,\xi_k),\ j\neq k$.
\special{src: 262 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Z výše uvedeného ihned plyne, že
{\bf vlnová funkce systému více nerozlišitelných bosonů či fermionů
%nerozlišitelných \cc {} je
je symetrická, respektive antisymetrická} vůči záměně libovolných
(dvojic) argumentů, neboť analog podmínky (\ref{asymvlnfce}) pro více \cc{} lze interpretovat jako existenci jednorozměrné reprezentace grupy permutací $P_N$. Takovéto reprezentace jsou však buď totálně symetrické či antisymetrické. Příkladem je vlnová funkce tří \cc, která má v první dvojici argumentů symetrii danou znaménkem $C_1$ a ve druhé znaménkem $C_2$. Pak
\[ \psi(x_1,x_2,x_3)=C_1\psi(x_2,x_1,x_3)=C_1C_2\psi(x_2,x_3,x_1)=C_2\psi(x_3,x_2,x_1), \]
ale současně
\[ \psi(x_1,x_2,x_3)=C_2\psi(x_1,x_3,x_2)=C_1C_2\psi(x_3,x_1,x_2)=C_1\psi(x_3,x_2,x_1), \]
takže $C_1=C_2$.
\special{src: 274 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Podobně jako v případě rozlišitelných \cc {} je možno vytvářet
vícečásticové vlnové funkce z jednočásticových. Jsou-li
$\psi_a(\vex)$ vlnové \fc e jedné bezspinové \cc e, tzn.
$\psi_a\in$\qintspace, pak
\[
\psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\vex_2):=
\psi_{a_1}(\vex_1)\psi_{a_2}(\vex_2)+
\psi_{a_1}(\vex_2)\psi_{a_2}(\vex_1) \]
je vlnová \fc e dvou stejných bosonů a podobně
\[ \psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2):=
\psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1)\psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2)-
\psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2)\psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1) \]
je vlnová \fc e dvou stejných fermionů. % se spinem $\half$.
Je vhodné na tomto místě připomenout, že pro částice s nenulovým spinem je hodnota průmětu spinu do některé osy součástí definice jednočásticového stavu čili např. $a_1=(n_1,l_1,m_1,\pm\half)$.
Obecně Hilbertovy prostory stavů $\hil^S,\ \hil^A$ systému $N$ nerozlišitelných \cc{} jsou podprostory totálně symetrických či antisymetrických \fc í z $L_2(\real^{3N},d^{3N}x)$, respektive $L_2(\real^{3N},d^{3N}x)\otimes \complex^{2N}$.
\special{src: 297 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných bezspinových \cc{} ve stavech
$\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je
\be \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N):=
%\frac{1}{\sqrt{N!}}
\sum_{\pi\in P_N} \psi_{a_1}(\vex_{\pi 1}) \psi_{a_2}(\vex_{\pi
2})\ldots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N}) \ll{bosvlf}\ee
a vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných fermionů ve stavech
$\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je
\[ \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,
\ldots,\vex_N,\xi_N):= \]
\be %\frac{1}{\sqrt{N!}}
\sum_{\pi\in P_N} (-)^{grad\ \pi}
\psi_{a_1}(\vex_{\pi 1},\xi_{\pi 1}) \psi_{a_2}(\vex_{\pi 2},\xi_{\pi 2})
\ldots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N},\xi_{\pi N}), \ll{antisym}\ee
kde $P_N$ je grupa permutací $N$ objektů a $grad \ \pi$ je počet
transposic, ze kterých je možno složit permutaci $\pi$. Antisymetrická vlnová \fc e \rf{antisym}) se dá zapsat jako
tzv. {\em Slaterův determinant}.
\[ \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,
\ldots,\vex_N,\xi_N)=\ \ \ \ \ \ {}\]
\be \ \ \ det\left( \ba{cccc}
\psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1)& \psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1)&\ldots&\psi_{a_N}(\vex_1,\xi_1)\\
\psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2)& \psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2)&\ldots&\psi_{a_N}(\vex_2,\xi_2)\\
.&.&.&.\\
\psi_{a_1}(\vex_N,\xi_N)& \psi_{a_2}(\vex_N,\xi_N)&\ldots&\psi_{a_N}(\vex_N,\xi_N)\\
\ea
\right). \ll{slaterd}\ee
Pozorovatelné pro systémy nerozlišitelných \cc{} jsou pak popsány samosdruženými operátory v podprostorech $\hil^S$ nebo $\hil^A$. Znamená to že působení těchto operátorů musí zachovat (anti)symetrii \fc í na které působí, takže např. operátor potenciální energie v poli konzervativních sil musí být popsán funkcí $V(x_1,x_2,\ldots,x_N)$, která je symetrická vůči záměně svých proměnných. Formálně lze tuto vlastnost vyjádřit tak, že pozorovatelné komutují s operátorem "záměny \cc{}" $P_\pi$
\be P_\pi\psi(x_1,x_2,\ldots,x_N):=\psi(x_{\pi 1},x_{\pi 2},\ldots,x_{\pi N}) \ee
Z výrazu \rf{slaterd}) je zřejmé, že pokud dva jednočásticové
stavy jsou stejné,
%t.j. $\exists j\neq k$ tak, že $ a_j=a_k$,
pak $\psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}=0$, což je matematické vyjádření
Pauliho vylučovacího principu:
{\bf V souboru nerozlišitelných fermionů nemohou existovat dvě \cc e ve stejném
stavu}. Tento princip má dalekosáhlé důsledky pro strukturu
atomu.
\special{src: 337 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Pokud jednočásticové vlnové \fc e $\psi_n$ tvoří ortonormální baze v prostorech $L_2(\real^{3},d^{3}x)$, respektive $L_2(\real^{3},d^{3}x)\otimes \complex^{2}$, pak
funkce \rf{bosvlf}) a \rf{antisym}) složené z jednočásticových stavů (po patřičné normalizaci) tvoří
ortonormální bazi v prostoru $\hil^S$ popisující soustavu bosonů, respektive $\hil^A$ popisující soustavu fermionů.
\bc Najděte energie a vlastní \fc e základního a prvního excitovaného stavu dvou nerozlišitelných \cc{} se spinem 0, respektive $\half$ v poli harmonického oscilátoru.
\ec
\bc Napište vlnovou funkci základního stavu atomového obalu helia zanedbáme-li odpudivé síly mezi elektrony (tzv. nulová aproximace).
\ec
