Součásti dokumentu 02KVAN
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN}
Otázka, na kterou
odpovíme v této kapitole, zní: {\bf Jaké hodnoty fyzikálních
veličin naměříme, je-li \qv á částice ve stavu popsaném funkcí $g$ ? }
\special{src: 5 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Částečná odpověď na tuto otázku byla poskytnuta již v sekci
\ref{pozorovatelne}. V principu můžeme naměřit libovolnou hodnotu, která
leží ve spektru operátoru, odpovídajícího dané veličině. Otázkou však
je, která z nich to bude. Bornův postulát dává tušit, že odpověď na
druhou otázku nemusí být jednoznačná, neboť pro měření polohy dostáváme
pouze statistickou předpověď.
\special{src: 14 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
V minulých kapitolách jsme provedli popis stavů
kvantové částice pomocí vlnové funkce. To však neznamená, že
jsme schopni v daném čase určit hodnoty všech pozorovatelných
jako v klasické mechanice. Jediné pozorovatelné, jejichž hodnoty
jsme schopni pro daný stav určit, jsou zatím ty,
které jsme použily k popisu
stavu. V minulé kapitole to byly například energie, kvadrát
momentu hybnosti a jeho třetí složka. To ovšem nedává žádnou
informaci například o hybnosti kvantové částice, ba dokonce
ani o první a druhé složce momentu hybnosti. Jedinou další
fyzikálně interpretovatelnou informací, kterou zatím o daném
stavu máme, je {\em pravděpodobnostní rozdělení polohy} částice.
O něm nás informuje Bornův postulát.
\special{src: 30 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Z pravděpodobnostního rozdělení polohy jsme samozřejmě schopni
určit i {\em střední hodnotu polohy částice ve stavu $\psi$}:
\be <X_j>_{\psi}=\int_{\real^3}x_jw(\vec x)d^3x=
\frac{\int_{\real^3}x_j|\psi(\vec x)|^2d^3x}
{\int_{\real^3}|\psi(\vec x)|^2d^3x}.
\ll{xbar}\ee
\bc Spočtěte střední hodnoty složek polohy kvantové částice
popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}).
\ec
\subsection{Střední hodnoty pozorovatelných a pravděpodobnosti
přechodu}
Pokud \qv á mechanika má být plnohodnotnou fyzikální teorií, pak
pro systém v daném stavu
musí být schopna předpovědět výsledek měření
nejen okamžité souřadnice částice,
ale i ostatních fyzikálních veličin.
Pokusíme se proto napřed najít předpis, kterým určíme střední
hodnotu libovolné pozorovatelné v daném stavu, a potom i
předpis pro její pravděpodobnostní rozdělení.
\special{src: 52 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Pro určení předpisu pro střední hodnoty si napřed všimneme toho,
že čitatel výrazu pro \rf{xbar}) je možno zapsat způsobem
\be \int_{\real^3}\psi^*(\vec x)x_j\psi(\vec x)d^3x=
\int_{\real^3}\psi^*(\vec x)[\hat Q_j\psi](\vec x)d^3x=(\psi,\hat
X_j\psi), \ll{psixpsi}\ee
takže
\be <X_j>_{\psi}=\frac{(\psi,\hat Q_j\psi)}{(\psi,\psi)}.
\ll{xavr}\ee
Na druhé straně není důvodu, proč by měla mít poloha částice
privilegované postavení mezi ostatními pozorovatelnými a
je proto přirozené očekávat, že pro libovolnou pozorovatelnou
se její střední
hodnota bude počítat podle stejného předpisu.
%Ukazuje se, že skutečně platí, že
Experimenty tuto hypotézu plně potvrzují a skutečně platí že
{\bf je-li systém v okamžiku měření ve stavu popsaném vlnovou
funkcí $\psi$, pak střední hodnota měření pozorovatelné
$A$, které jsme přiřadili operátor $\hat A$ je}
\begin{equation}{\LARGE \fbox{$
<A>_{\psi}=\frac{(\psi,\hat A\psi)}{(\psi,\psi)}
$}}\ . \ll{aavr}\ee
Pro normalizované vlnové \fc e se tento vztah zjednoduší na
$<A>_{\psi}=(\psi,\hat A\psi)$.
\bc Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice
popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}). Napište tvar vlnové \fc e
popisující minimální vlnový balík se střední hodnotou hybnosti
$\vec p_0$, který má v čase $t_0$ střední hodnotu polohy $\vec x_0$.
\ec
\bc Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice
v Coulombově poli s energií $-\frac{MQ^2}{2\hbar^2}$ a nulovým
momentem hybnosti (elektron v atomu vodíku ve stavu 1s).
\ec
\bc Spočítejte střední hodnotu energie jednorozměrného harmonického
oscilátoru v koherentním stavu $\rho_{\lambda}$ \rf{kohstav}).\ec
Všimněme si, že předpis \rf{aavr}) je ve shodě nejen s Bornovým
postulátem, ale i s popisem stavu pomocí vlastních \fc í
kompatibilních pozorovatelných. Skutečně, je-li $A$ jedna z
pozorovatelných, jež byly použity k určení stavu a
vlnová \fc e $\alpha$
je vlastní \fc í $\hat A$ pro vlastní hodnotu $a$, pak
%\[ \hat A\alpha=a\alpha\Rightarrow
$<A>_\alpha= a.$% \]
\special{src: 98 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Kvantová \mi ka je však schopna poskytnout ještě detailnější
informaci o výsledku měření pro částici v daném stavu.
Podle Bornova postulátu
jsme schopni určit pravděpodobnost, že poloha částice bude v jistém
intervalu hodnot. Podobnou pravděpodobnost můžeme určit i
pro ostatní pozorovatelné.
\special{src: 107 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Vzhledem k tomu, že, jak už bylo řečeno, \qv á \mi ka má popisovat
objekty na atomární a nižší úrovni %na rozdíl od klasické
je rozumné předpokládat, že měření provedené na takovýchto
objektech podstatným způsobem změní jejich stav.
%(Velmi hrubá analogie je měření polohy kulečníkové koule pomocí jiných
%kulečníkových koulí.)
Dalším postulátem \qv é \mi ky je, že {\bf měření
pozorovatelné $A$, které dá hodnotu $ a $
převede \qv ou \cc i do stavu, který je popsán
vlastní funkcí $\alpha$ operátoru $\hat A$ s vlastní hodnotou $ a $.}
\special{src: 120 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Předpokládejme zatím, že pro dané $a$ je takový stav jen jeden, tzn.
vlastní
funkce je určena jednoznačně až na multiplikativní konstantu, kterou zvolíme
tak, aby $(\alpha,\alpha)=1$.
Chceme-li určit pravděpodobnost naměření hodnoty $ a $ pro \cc i popsanou vlnovou \fc í $\psi$,
stačí, budeme-li znát {\bf pravděpodobnost přechodu \qv é \cc e z
původního stavu $\psi$ do stavu $\alpha$.} Kvantová mechanika
postuluje, že tato pravděpodobnost
%přechodu ze stavu popsaného
%vlnovou funkcí $\psi$ do stavu popsaného
%normalizovanou vlnovou funkcí $\alpha$
je rovna
\begin{equation}{\LARGE \fbox{$
W_{\psi\rightarrow\alpha}=\frac{|(\psi,\alpha)|^2}
{(\psi,\psi)}%(\alpha,\alpha)}
$}}\ .
\ll{pstprech}\end{equation}
Veličina $A_{\psi\lim\alpha}:=(\psi,\alpha)/\sqrt{(\psi,\psi)}$
se nazývá {\em amplitudou
\pst i přechodu $\psi\lim\alpha$}
\bc Nechť "jednorozměrná" částice v potenciálu harmonického
oscilátoru je ve stavu popsaném vlnovou
\fc í
\be \psi(x)=C e^{-x^2 + ikx}. \ll{tstfce}\ee
S jakou pravděpodobností naměříme hodnoty její energie rovné
$\half\hbar\omega$, resp. $\hbar\omega$, $\frac{3}{2}\hbar\omega$?
\ec
Výraz \rf{pstprech}) je možno použít i k určení pravděpodobnosti
naměření hodnoty $ a $ pozorovatelné $A$,
jejíž vlastní podprostor má více
rozměrů. Pokud množina $\{\alpha_k\}$ je ortonormální
bazí v prostoru vlastních
stavů operátoru $\hat A$ s vlastní hodnotou $ a $, pak
{\bf pro \cc i ve stavu
$\psi$ je pravděpodobnost, že při měření pozorovatelné $A$
dostaneme hodnotu $ a $, součtem
pravděpodobností přechodů ze stavu $\psi$ do stavů $\alpha_k$.
}
\begin{equation}{\LARGE \fbox{$
W_{\psi,(A=a)}=\sum_k\frac{|(\alpha_k,\psi)|^2}
{(\psi,\psi)}%(\alpha_k,\alpha_k)}
$}}\ .
\ll{pstnamer}\end{equation}
Je zřejmé, že vynásobení vlnové funkce $\psi$ konstantou neovlivní
\pst i \rf{pstprech})
a \rf{pstnamer}), což je ve shodě s předpokladem, že vlnové
funkce lišící se multiplikativní konstantou popisují tentýž
fyzikální stav.
%Pro vlnové funkce normalizované na jedničku se vzorce \rf{pstprech})
%a \rf{pstnamer}) pochopitelně zjednoduší.
\bc Nechť částice je ve stavu popsaném vlnovou
\fc í
\be \psi(x)=(4\pi)^{-1/2} (e^{i\phi}\sin\Theta+\cos\Theta )g(r)\ee
Jaké hodnoty $L_z$ můžeme naměřit a s jakou pravděpodobností? Jaká je střední hodnota $L_z$ v tomto stavu?
\ec
\bc Nechť částice s hmotou $M$ v potenciálu harmonického
oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou
\fc í
\be \psi(x)=C e^{-\vec x^2 + i\vec k\vec x}. \ll{cvic3}\ee
S jakou pravděpodobností naměříme hodnoty její energie rovné
$\frac{5}{2}\hbar\omega$?
\ec
\special{src: 185 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Nejsme-li z nějakých, například experimentálních, důvodů schopni
rozlišit mezi dvěma či více různými vlastními hodnotami, pak \pst{}
naměření aspoň jedné z nich je opět dána vzorcem \rf{pstnamer}) s
tím, že suma probíhá přes všechny vlastní \fc e příslušné daným
vlastním hodnotám. Tento fakt nabývá na významu zejména tehdy,
když nějaká část spektra pokrývá souvislý interval hodnot.
\special{src: 194 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Jsou-li body spektra (tj. hodnoty fyzikální veličiny), mezi kterými nejsme schopni
experimentálně rozlišit, v intervalu $(x,y)$, což se stává
zejména pro spojitou část spektra, pak zobecnění
vzorce \rf{pstnamer}) na tento případ dá \pst{} naměření hodnoty
pozorovatelné $A$ v intervalu $(x,y)$
\begin{equation}{\LARGE \fbox{$
W_{\psi,(A\in(x,y))}=\frac{\int_x^yda|(\alpha_a,\psi)|^2}
{(\psi,\psi)}
$}}\ ,
\ll{pstnamersp}\end{equation}kde $\alpha_a$ jsou zobecněné vlastní \fc e normalizované k $\delta-$funkci.
Všimněme si, že tento vzorec je zobecněním Bornova postulátu,
neboť v tom případě $\alpha_a=\delta_a$. Podobně jej lze použít i pro nalezení pravděpodobnosti hybnosti. V tom případě je třeba za $\alpha_a$ zvolit $\delta$--normalizované zobecněné vlastní funkce hybnosti
\be \phi_{\vec p}(\vec x)=(2\pi\hbar)^{-3/2}\exp(i\frac{\vec p}{\hbar}\vec x). \ee
Odtud pak plyne, že amplituda hustoty \pst i
nalezení \cc e s hybností $\vec p$ je dána Fourierovým obrazem její stavové \fc e.
\bc Určete pravděpodobnost nalezení hybnosti částice popsané
vlnovou \fc í \rf{cvic3}) v intervalu
$(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times(a_3,b_3)$. Určete hustotu \pst i
nalezení hybnosti v okolí hodnoty $\vec p_0$.
\ec
\special{src: 217 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Vzorec \rf{pstnamersp}) platí pro případ, že pro každý bod $a\in(x,y)$
existuje právě jedna (zobecněná) vlastní \fc e normalizovaná k
jedničce či $\delta$--funkci. Obecnější případ
zatím řešit nebudeme (vede na tzv. spektrální míru operátoru
$\hat A$). Uveďme pouze, že například pravděpodobnost
naměření hodnoty energie částice v Coulombově poli v intervalu
$(E_1,E_2)\subset\real_+$ je dána součtem integrálů
\be
W_{\psi,(E\in(E_1,E_2))}=\sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l
\left[\int_{-k_2}^{-k_1}dk
\frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}
{(\psi,\psi)}%(\alpha_k,\alpha_k)}
+\int_{k_1}^{k_2}dk
\frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}
{(\psi,\psi)}\right],
\ee
kde $k_i=\sqrt{2ME_i/\hbar^2}$,
$ \phi_{klm}= R_{kl}Y_{lm} $ a $Y_{lm}, R_{kl}$ jsou
\fc e \rf{ylm}, \ref{zovlfcecoul})
normalizované k jedničce, resp. k $\delta$--funkci.
\special{src: 240 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
\subsection{Střední kvadratická odchylka a relace neurčitosti}\ll{relneu}
Důležitá pravděpodobnostní a experimentálně měřitelná veličina %, kterou budeme
je {\em střední kvadratická odchylka pozorovatelné $A$ při měření
na stavu $\psi$}.
V \qv é \mi ce je definována způsobem
\be \Delta_{\psi}(A):=\sqrt{<\hat A^2 - <\hat
A>^2_{\psi}>_{\psi}}.
\ll{deltaapsi}\ee
Je snadné ukázat, že
\be [\Delta_{\psi}(A)]^2=<(\widehat{\Delta_\psi A})^2>_{\psi}=<(\hat A
-<\hat A>_\psi)^2>_\psi, \ll{dlt2}\ee
kde $\widehat{\Delta_\psi A}$ je lineární operátor
\be \widehat{\Delta_\psi A}{\phi}=(\hat A
-<\hat A>_\psi)\phi \ll{deltaa}\ee
a odtud okamžitě plyne, že
pokud $\psi$ je vlastním stavem
pozorovatelné A, pak $\Delta_{\psi}(A)=0$.
\bc Ukažte, že pokud $\hat A$ je samosdružený operátor,
pak výraz pod odmocninou \rf{deltaapsi}) je nezáporný pro libovolné $\psi\in D_A$.
\ec
\bc \ll{dpx}Spočtěte střední kvadratické odchylky složek polohy a
hybnosti kvantové částice při měření na stavu
popsaném vlnovou \fc í \rf{mvb}). Ukažte, že pro tento stav platí
\be \Delta_{\psi}(X_{\underline k})\Delta_{\psi}(P_{\underline k})=\hbar/2.%\delta_{jk}
\ll{dxdp}\ee
\ec
Vztah \rf{dxdp}) je zvláštním případem tvrzení, kterému se
obvykle, říká {\em relace neurčitosti}.
\bt \ll{tvrelneu}Pro každé dva samosdružené operátory $\hat A,\hat B$
a $\psi \in D(AB)\cap D(BA)$ platí
\be \Delta_{\psi}(A)\Delta_{\psi}(B)\geq\half|<[A,B]>_{\psi}|
\ll{dadb}\ee
\special{src: 275 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Rovnost ve vztahu \rf{dadb}) nastává pro vlnové funkce, pro které
platí
\be [\hat A - <\hat A>_{\psi} - i\kappa(\hat B -<\hat
B>_{\psi})]\psi=0, \ll{rovnost}\ee
kde $\alpha\in\real$.
\et
Pro operátory \rf{xoper}, \ref{poper}) platí
\be [\hat Q_j,\hat P_k]=i\hbar\delta_{jk}, \ll{comxp}\ee
takže podle tvrzení \ref{tvrelneu} pro každé
$\psi\in D(X_jP_k)\cap D(P_kX_j)$ platí relace neurčitosti
\begin{equation}{\LARGE \fbox{$
\Delta_{\psi}(X_j)\Delta_{\psi}(P_k) \geq\frac{\hbar}{2}\delta_{jk}
$}}\ .
\ll{dxdp2}\ee
\bc Ukažte, že podmínka \rf{rovnost}) pro operátory $\hat A =\hat
X_j,\hat B= \hat P_j$ dává integrodiferenciální rovnice, jejchž jedinými
řešeními jsou funkce %\rf{mvb})
\[ g(\vec x)=C\exp[-Ax^2+\vec B\vec x],\ A>0, \]
které jsme nazvali minimální vlnové balíky.
\ec
\special{src: 298 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Z relací neurčitosti mezi polohou a hybností plyne, že {v principu} nejsme schopni současně provést měření
polohy a hybnosti \cc e s libovolnou přesností.
Znamená to tedy, že v rozporu s
představami klasické mechaniky \cc i nelze přiřadit bod
ve fázovém prostoru, nýbrž, že
kvantovou částici si ve fázovém prostoru lze představit jako
jistou rozmazanou oblast objemu
\[ \Delta x\Delta p_x\Delta y\Delta p_y\Delta z\Delta p_z\geq
\hbar^3/8.\]
\special{src: 310 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Pro úlohy v makrosvětě, které řeší klasická mechanika jsou však tyto úvahy
zcela irelevantní: Např. pro částice s hmotou $\geq 10$ mg,
jejichž polohu jsme schopni určit s přesností $\leq 10\ \mu$m,
relace neurčitosti říkají, že rychlost částice nelze určit s
chybou menší než $10^{-22}$ m/s, což je
experimentálně nedosažitlená přesnost.
\special{src: 319 VYSLMERE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
V mikrosvětě však relace neurčitosti hrají důležitou roli.
Hmota elektronu je cca $10^{-27}$g a je-li nepřesnost měření
polohy menší než lineární rozměr atomu, což je řádově
$10^{-8}$cm, pak nepřesnost měření jeho rychlosti je větší než
$10^{8}$cm/s, což je srovnatelné s klasickou rychlostí elektronu v atomu.
Není tedy divu, že pro popis elektronů v atomovém obalu
nelze použít klasickou \mi ku.
