Součásti dokumentu 02KVAN
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN}
Základní úlohou všech odvětví teoretické fyziky (mechaniky, elektřiny a
magnetismu, termodynamiky, ...) je popis {\em množiny stavů a
určení časového
vývoje} fyzikálních systémů. Jinými slovy to znamená určení
měřitelných veličin tzv. {\em pozorovatelných},
%-- {\em dynamických proměnných},
které jsou pro zkoumaný systém relevantní, a
předpovězení vývoje jejich hodnot.
% parametrů, které jsme pro daný systém schopni změřit.
Jejich příkladem je poloha, hybnost, energie,
elektrická a magnetická intenzita, teplota, objem atd.
\special{src: 13 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
{\small Klasická fyzika popisuje pozorovatelné jako funkce na prostoru
stavů. Jejich hodnoty pro daný stav jsou přesně určeny
%tzv. jež jsou funkcemi času, případně místa
a fyzikální zákony určující
jejich časový vývoj jsou popsány diferenciálními rovnicemi.
Tímto způsobem lze popsat širokou třídu jevů, ve kterých
interagují jak hmotné objekty, tak fyzikální pole či záření.
Rozsah těchto jevů je tak velký, že na konci minulého století se
zdálo, že vývoj fyziky je ukončen, že známe všechny
fyzikální zákony. Bohužel či bohudík se ukázalo, že to není
pravda, a že klasická fyzika nedokáže bezesporně popsat
některé jevy, ke kterým dochází v důsledku interakcí na atomární
úrovni.}
\bc Popište jednorozměrný harmonický oscilátor Hamiltonovskou
formulací klasické mechaniky. Napište a vyřešte pohybové rovnice.
Napište rovnici pro fázové trajektorie. Hodnotou jaké fyzikální
veličiny jsou určeny?
\ec
\special{src: 34 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Základní
fyzikální objekty -- {\bf hmota a záření} --
jsou v klasické fyzice {\bf popsány zcela odlišným
způsobem}. Hmotné objekty jsou lokalizované a řídí se Newtonovými
pohybovými rovnicemi, zatímco záření je nelokalizované a řídí se
Maxwellovými polními rovnicemi. Dochází u něj k vlnovým
jevům např. interferenci a ohybu.
\special{src: 44 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
V makrosvětě je toto rozlišení plně oprávněné a odlišný způsob
popisu kvalitativně různých objektů zcela logický.
Pokusy prováděné počátkem tohoto století však ukázaly, že pro
popis objektů v mikrosvětě jsou původní představy neadekvátní,
ba dokonce vedou k předpovědím které jsou v rozporu s
pozorováními.
\special{src: 53 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
{\small Příkladem takového rozporu je Rutherfordův planetární model atomu,
který předpokládá, že záporně nabité elektrony obíhají
okolo kladně nabitého jádra podobně jako planety okolo Slunce.
Podle této představy
jsou elektrony klasické, elektricky
nabité (na rozdíl od planet!) částice.
Problém je však v tom, že z teorie elektromagnetického pole pak vyplývá, že by při pohybu
po zakřivené dráze měly produkovat elektromagnetické záření na úkor své vlastní
mechanické energie.}
\special{src: 65 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Předpovědí klasické teorie tedy je, že atomy by
měly produkovat záření se spojitým spektrem energií a měly by mít
konečnou, dokonce velmi krátkou (cca $10^{-10}$ sec)
dobu života.
Obě tyto předpovědi jsou v rozporu s pozorováním. Smířit tento
rozpor teorie a experimentu se podařilo až kvantové mechanice za
cenu opuštění některých zdánlivě přirozených představ, v tomto
případě elektronu jako částice pohybující se po nějaké dráze.
\begin{cvi}Spočtěte charakteristickou dobu života elektronu v
atomu vodíku pokud jej považujeme za klasickou částici
pohybující se po kruhové dráze o (Bohrově) poloměru
$a\approx 10^{-10}$ m. (viz \cite{sto:tf}, příklad 9.52)
\end{cvi}
\special{src: 81 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
K dalším klasicky nevysvětlitelným jevům, jež stály u zrodu \qv é
mechaniky patří Planckova formule pro záření černého tělesa,
%vyzařovací zákon,
fotoefekt a Comptonův rozptyl elektronů, které popíšeme v
příštích podkapitolách.
Ukáže se, že pro jejich vysvětlení se budeme muset vzdát i
představy o čistě vlnové povaze elektromagnetického záření.
\special{src: 91 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
\subsection{Planckův vyzařovací zákon}
\special{src: 95 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Jedním z problémů klasické %termodynamiky
fyziky je popsat spektrální rozdělení intenzity záření
%závislost hustoty energie záření $\rho(\nu,T)$
tzv. absolutně černého tělesa, přesněji její závislost
na frekvenci záření a teplotě tělesa.
\special{src: 103 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
{\em Absolutně černé těleso}, tzn. těleso které neodráží žádné vnější
záření, lze realizovat otvorem v dutině, jejíž vnější stěny jsou vodivé a jsou
ohřáty na jistou teplotu $T$. Takto zahřátá dutina vyzařuje elektromagnetické
záření, jehož experimentálně změřené spektrální rozdělení
%rozdělovací funkce tj. závislost intenzity záření na frekvenci a teplotě
je v rozporu s klasickým popisem tohoto jevu.
%\subsubsection{Klasický popis záření černého tělesa,
%Rayleigh--Jeansův zákon}
\special{src: 114 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Oscilací atomů stěn dutiny zahřáté na teplotu $T$ se v dutině
vytváří elektromagnetické pole (viz \cite{sto:tf} Kap.8), jež je zdrojem záření černého
tělesa.
Jeho složky $\vec E(\vec x,t), \vec B(\vec x,t)$
musí splňovat Maxwellovy--Lorentzovy rovnice beze zdrojů
%tj. s nulovou pravou stranou %splňujícím
\be {\rm div} \vec{E}=0,\ \ \ {\rm rot} \vec B - \frac{1}{c^2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=0. \ll{ml1} \ee
\be {\rm div} \vec{B}=0,\ \ \ {\rm rot} \vec E + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0. \ll{ml2}\ee
a okrajové podmínky, které vyžadují, aby
tečné složky elektrického a normálové složky magnetického pole
byly na
stěnách dutiny nulové (viz např. \cite{sto:tf} U9.1 a \cite{uhl:uvaf} I.2), tj.
\be \vec{N}\cdot\vec{H}=0,\ \ \ \vec N\times \vec E=0, \ll{podnast}\ee
kde
$\vec N$ je jednotkový vektor směřující ve směru normály ke stěně
dutiny. Jako první krok odvození Planckova zákona ukážeme, že takovéto pole je ekvivalentní
systému neinteragujících harmonických oscilátorů.
Nechť $\vec E,\vec B$ vyhovují podmínkám \rf{ml1})--\rf{podnast}). Z II. serie Maxwellových --Lorentzových rovnic plyne, že elektromagnetické pole lze popsat čtveřicí potenciálů $(\phi(\vex,t),\vec A(\vex,t))$ způsobem
\be \vec E = -{\rm grad}\ \phi' -\frac{\partial \vec{A'}}{\partial t},\ \ \vec B = {\rm rot}\ \vec{A'}.\ee
Pro Maxwellovy rovnice beze zdrojů lze kalibrační transformací
dosáhnout toho, že elektromagnetické
potenciály $(\phi,\vec{A})$ splňují $\phi=0,\ div\vec{A}=0$ a
okrajové podmínky $\vec N\times\vec A=0$ na stěnách dutiny.
\special{src: 143 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Kalibrační transformace
\be \phi(\vec x,t)=\phi'(\vec x,t)-%\frac{1}{c}
\frac{\partial\lambda}{\partial t}(\vec x,t)\ee
\be \vec A(\vec x,t)=\vec A'(\vec x,t)+grad\ \lambda(\vec x,t), \ee
která zaručí splnění výše uvedených podmínek, je dána funkcí
$\lambda$, která splňuje rovnice
\be \frac{\partial \lambda}{\partial t}=\phi' \ee
\be %\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\lambda
\triangle \lambda=-div \vec A' \ee
spolu s okrajovými podmínkami na stěnách
\be \vec N\times grad\ \lambda=-\vec N\times\vec A'.\ee
Fakt, že všechny tyto podmínky lze splnit dostatečně hladkou \fc í $\lambda$ je zaručen rovnicí ${\rm div} \vec{E}=0$ a požadavky na tečné a
normálové složky intenzit na stěnách dutiny.
\special{src: 159 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Předpokládejme dále, že dutina má tvar krychle o hraně $L$.
Rozložíme složky vektorového potenciálu do
trojné Fourierovy řady (viz např. \cite{uhl:uvaf}).
\special{src: 165 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
\be {A}_1(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_1(\vec{m},t)
\cos(m_1x_1\pi/L)\sin(m_2x_2\pi/L)\sin(m_3x_3\pi/L)
\ll{Four1}\ee
\be {A}_2(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_2(\vec{m},t)
\sin(m_1x_1\pi/L)\cos(m_2x_2\pi/L)\sin(m_3x_3\pi/L)
\ll{Four2}\ee
\be {A}_3(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_3(\vec{m},t)
\sin(m_1x_1\pi/L)\sin(m_2x_2\pi/L)\cos(m_3x_3\pi/L)
\ll{Four3}\ee
%f_i(\vec{m},\vec{x}),
%kde $f_i$ jsou vhodně vybrané funkce (viz
Důvod pro tento specální výběr Fourierova rozvoje je následující: Okrajové podmínky
$\vec N\times\vec A=0$ na stěnách krychle implikují
\[ A_1(x_1,x_2,0,t)=0,\ A_1(x_1,0,x_3,t)=0 \]
takže funkci $A_1$, lze rozšířit na interval $<-L,L>\times
<-L,L>\times<-L,L>$ jako spojitou funkci lichou v proměnných $x_2,x_3$. O
hodnotách $A_1(0,x_2,x_3)$ žádnou informaci nemáme, můžeme ji
nicméně prodloužit sudě v $x_1$. Fourierův rozklad liché spojité
funkce na intervalu $<-L,L>$ lze provést pomocí funkcí $\sin
mx\pi/L$, zatímco rozklad sudé funkce pomocí funkcí $\cos
mx\pi/L$. Odtud plyne možnost rozkladu \rf{Four1}). Důležité je,
že podmínka
\[ A_1(x_1,x_2,L,t)=0,\ A_1(x_1,L,x_3,t)=0 \]
už neklade na koeficienty rozvoje žádné dodatečné omezení na rozdíl
od případu, kdybychom užili jiné typy rozvojů, např. pomocí funkcí $\cos
mx\pi/L$ pro sudá rozšíření $A_1$ v $x_2,x_3$.
Stejnou
argumentací dostaneme rozklady funkcí $A_2,A_3$ způsobem
\rf{Four2},\ref{Four3}).
\special{src: 197 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Z rovnic pro potenciály ve vybrané kalibraci
\be \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}A_i-\triangle
A_i=0, \ll{vlnrce}\ee
které dostaneme z \rf{ml1}), pak plyne, že koeficienty
$\vec Q_{\vec{m}}(t)\equiv \vec Q(\vec m,t)$ pro $ \vec m \in {\bf
Z}_+^3$ (trojice celých nezáporných čísel)
splňují jednoduché
\rc e
\be \ddot{\vec{Q}}_{\vec m}+\omega_{\vec m}^2\vec {Q}_{\vec m} = 0
\ll{rceHO}\ee
kde
\be \omega_{\vec m}=\frac{\pi c}{L}\sqrt{m_1^2+m_2^2+m_3^2} \ll{omgm} \ee
a $c$ je rychlost světla.
\special{src: 213 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Kalibrační podmínka $div \vec A=0$ přejde na tvar
\be \vec m\cdot\vec Q_{\vec m}=0 \ll{kalpod}\ee
ze kterého plyne, že pro každé $\vec m\in\integer_+^3$
existují dvě lineárně nezávislé funkce
$Q^\alpha_{\vec m}(t),\ \alpha=1,2$ splňující \rf{rceHO},\ref{kalpod}), což odpovídá dvěma polarizacím elektromagnetického záření.
\bc
Ze vzorců \rf{Four1})--\rf{Four3}) odvoďte formule pro složky elektrického a magnetického pole $\vec E(\vec x,t), \vec B(\vec x,t)$.
\ec
\special{src: 224 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Energie elektromagnetického pole
\[ {\cal E}= \frac{1}{2}\int(\epsilon_0\vec E^2+\frac{1}{\mu_0}\vec B^2)dV \]
po dosazení \rf{Four1})--\rf{Four3}) a integraci přejde na tvar
\be {\cal E} = \frac{\epsilon_0 L^3}{16}\sum_{\vec m \in {\bf
Z}_+^3}\sum_{\alpha=1,2}(\dot{{Q^\alpha}}_{\vec m}^2+\omega_{\vec m}^2 {Q^\alpha}_{\vec
m}^2).
%=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3}\sum_{\alpha=1,2}{E^\alpha_{\vec m}}.
%= \sum energií\ harmonických\ oscilátorů
\ll{ergempole}\ee
Z rovnic \rf{rceHO},\ref{ergempole}) vidíme, že {elektromagnetické pole v uzavřené
dutině je ekvivalentní soustavě nezávislých
harmonických oscilátorů} (stojatých vln)
číslovaných vektory $\vec m \in {\bf Z}_+^3$.
% s frekvencemi \rf{omgm}).
Elektromagnetické intenzity nejsou plně určeny, neboť nejsou dány
žádné počáteční podmínky a není tedy ani možno určit energii elektromagnetického pole
ani energie jednotlivých harmonických oscilátorů v sumě (\ref{ergempole}).
Na druhé straně však víme, že elektromagnetické pole je v termodynamické rovnováze
se stěnami dutiny o teplotě $T$ a lze jej tedy
popsat metodami statistické fyziky.
Z tohoto hlediska je možno na {\em elektromagnetické pole v dutině pohlížet jako na soubor
oscilátorů, přičemž
každý z nich
může interakcí s termostatem nabývat různých
energií}. Pravděpodobnost výskytu oscilátoru ve stavu $s$ s energií ${\epsilon}(s)$ je dána
Boltzmannovou statistikou s rozdělovací funkcí.
\be P(s,T)= A(T)\ e^{-\frac{\epsilon (s)}{kT} }
%=\prod_{\vec m,\alpha} P^\alpha_{\vec m},\ \ P^\alpha_{\vec m}\propto e^{-{E^\alpha_{\vec m}}/(kT) },
\ll{boltzman}\ee
kde $k$ je Boltzmannova konstanta $k=1.38\times 10^{-23}J/grad$ a $A(T)$ je normalizační konstanta daná podmínkou
\[ \sum_s P(s,T)=1.\] Nás budou zajímat střední hodnoty energií oscilátorů
s vlastními frekvencemi
$\nu = \omega_{\vec{m}}/(2\pi)=c|\vec{m}|/(2L)$
$$\overline{\epsilon(\nu,T)}=\sum_s \epsilon(s)P(s,T),$$
neboť energii elektromagnetických vln, jejichž frekvence leží v
intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$, pak lze spočítat jako součet středních
energií
oscilátorů s frekvencemi v témže intervalu.
Jednotlivé oscilátory jsou číslovány celočíselnými vektory $\vec m$ a směrem polarizace $\alpha$.
Přiřadíme-li každé dvojici oscilátorů s pevným $\vec m$ bod v ${\bf Z}_+^3$, pak v důsledku \rf{omgm})
množina oscilátorů s
frekvencemi v intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$ leží v jednom oktantu
kulové
slupky poloměru $\frac{2L\nu}{c}$ a tloušťky $\frac{2L}{c}d\nu$ v prostoru
vektorů v ${\bf Z}^3$. Energie oscilátorů s frekvencemi v intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$
je pak rovna součtu energií (\ref{ergempole}) avšak pouze přes body v této slupce, tedy
%\be n(\nu)=2\,\frac{1}{8}\left(\frac{2L}{c}\right)^3 4\pi \nu^2 d\nu=V\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 d\nu, \ll{pocetstavu}\ee
\be d\bar{\cal E}=2\,\frac{1}{8}\overline{\epsilon(\nu,T)}\, 4\pi m^2 dm
=\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\left(\frac{2L}{c}\right)^3 \pi \nu^2 d\nu=
V\,\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 d\nu, \ll{pocetstavu}\ee
kde $V$ je objem dutiny a $c$ je rychlost světla.
Hustota energie oscilátorů (elektromagnetického pole)
s danou frekvencí tedy je
\be \rho(\nu,T)
=\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3}\nu^2 .
\ll{spechus1}\ee
{\small Předpokládáme-li, že se jedná o klasické oscilátory, jejichž energie může nabývat libovolných
kladných hodnot $E(q,p)=\alpha p^2 +
\beta q^2$ %, což odpovídá klasickým představám
a rozdělovací funkce
%tohoto podsouboru je
souboru stavů oscilátoru daných hybností $p$ a polohou $q$ je
\[ P(q,p)= A\ e^{-\frac{E(q,p)}{kT} }, \]
pak střední hodnota oscilátorů je nezávislá na $\nu$
\be \overline{\epsilon(\nu,T)}=kT \ll{sthoden} \ee
a energie pole v dutině připadající na interval frekvencí $<\nu,
\nu+d\nu>$ je
\[ \rho(\nu,T)d\nu= \frac{8\pi}{c^3} \nu^2 kT d\nu \]
(Rayleigh--Jeansova formule).
Tato rozdělovací funkce
%Toto záření absolutně černého tělesa
však neodpovídá experimentálním hodnotám pro
velké frekvence $\nu$. Navíc celková hustota energie elektromagnetického pole
\be \epsilon=\int_0^\infty \rho(\nu,T)d\nu \ll {heemp}\ee
diverguje.
}
\bc Odvoďte formuli \rf{sthoden}).\ec
\special{src: 317 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Experimentálně naměřené hodnoty spektrálního rozdělení hustoty
energie dobře popisuje
funkce navržená M. Planckem ve tvaru
\be \fbox{\LARGE$
\rho(\nu,T)=
\frac{8\pi}{c^3}\frac{h\nu^3}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}
$}\ ,\ll{planck}\ee
kde
experimentálně určená hodnota konstanty $h = 6.62\times
10^{-34}$ Js. (Viz obr.1)
\begin {figure}[hbtp]
% \begin{center}
\hskip 2cm\special{em:graph s_planck.gif} \vskip 5cm
\caption
{Spektrální rozdělení hustoty energie absolutně
černého tělesa pro teploty 900 K, 1100 K, 1300K, 1500 K}
\end{figure}
\bc Napište rovnice určující polohu maxima Planckovy rozdělovací
funkce při dané teplotě. Jak se mění poloha maxima s teplotou
(Wienův posunovací zákon)?
\ec
\bc Určete přibližně teplotu, při níž se spektrální rozdělení
hustoty energie záření černého tělesa spočtené na základě
Rayleighova -- Jeansova zákona liší ve viditelné oblasti od
veličiny měřené o 5 procent.
Jak velký je tento rozdíl v oblasti
maxima $\rho$ při této teplotě? Závisí poměr této odchylky na
teplotě?
\ec
\bc Napište rozdělovací funkci hustoty záření černého tělesa
podle vlnových délek. Napište rovnici určující její maximum pro
danou teplotu.
\ec
K odvození rozdělovací funkce \rf{planck})
je třeba učinit následující podivný
předpoklad (Max Planck, 1900):
\special{src: 356 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Harmonické oscilátory, jejichž soubor je z energetického hlediska
ekvivalentní %(viz \rf{ergempole}) )
elektromagnetickému poli v
dutině, {\em nemohou nabývat libovolných hodnot energie, ale pouze
takových, které jsou %se liší o
celým násobkem základního kvanta energie $\epsilon_0$, tzn.
$E_n=n\epsilon_0$.
Základní kvantum energie oscilátoru je úměrné jeho frekvenci.}
\[ \epsilon_0=\epsilon_0(\nu)=h\nu. \]
\special{src: 368 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Stavy harmonického oscilátoru jsou tedy číslovány kladnými celými čísly $n$
a rozdělovací funkce stavů oscilátoru s
frekvencí $\nu$ a energií $E_n$ je
\[ P_n= A^{-1}e^{-\frac{n h\nu}{kT}}. \]
Hodnotu konstanty $A$ dostaneme z normovací podmínky $\sum_{n=0}^\infty
P_n=1$. Sečtením geometrické řady
\[ A=\sum_{n=0}^\infty e^{-\frac{n
h\nu}{kT}}=1/[1-e^{-\frac{h\nu}{kT}}]. \]
\special{src: 379 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Střední hodnota energie harmonických oscilátorů s frekvencí
$\nu$ je pak
\[ \overline{\epsilon(\nu,T)}=\sum_{n=0}^\infty nh\nu P_n
= A^{-1}\sum_{n=0}^\infty nh\nu e^{-\frac{n h\nu}{kT}} =
A^{-1}[-\frac{\partial A}{\partial(\frac{1}{kt})}]=
\frac{h\nu}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}. \]
Energii elektromagnetického pole v dutině připadající na interval frekvencí $<\nu,
\nu+d\nu>$ pak opět spočítáme jako součin (\ref{pocetstavu}) střední hodnoty
energie oscilátorů s frekvencí $\nu$ a počtu oscilátorů s frekvencemi uvnitř
daného intervalu, z čehož dostaneme Planckovu formuli
\rf{planck}).
\special{src: 393 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Celková hustota energie elektromagnetického pole \rf{heemp}) spočítaná z takto
určené rozdělovací funkce nediverguje a její teplotní závislost
odpovídá Stefan--Boltzmannovu zákonu.
\[
\epsilon(T)=
\frac{8\pi}{c^3}h\int_0^\infty\frac{\nu^3}
{e^\frac{h\nu}{kT}-1}d\nu
=\frac{8\pi}{c^3}\frac{k^4 T^4}{h^3}\int_0^\infty
\frac{x^3}{e^x-1}dx=\kappa T^4, \]
kde
\[ \kappa=\frac{8\pi k^4}{c^3h^3}\frac{\pi^4 }{15}. \]
\special{src: 407 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
{\bf Závěr}: Rozdělovací funkci záření absolutně černého tělesa
lze odvodit pomocí předpokladu, že {\em energie harmonického
oscilátoru s frekvencí $\nu$ může nabývat pouze diskretních
hodnot $E_n=nh\nu$}, kde $h$ je univerzální konstanta.
%jejíž experimentálně určená hodnota je $h = 6.62\times 10^{-27}$ erg s.
\special{src: 415 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Uvědomme si, že jakkoliv je tento předpoklad zvláštní, není v rozporu s naší zkušeností,
neboť díky velikosti Planckovy konstanty $h$ jsou nespojitosti energií $h\nu$ i pro velmi rychlé mechanické
oscilátory
hluboko pod mezí pozorovacích chyb.
\special{src: 422 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Existenci diskretních hodnot energie se podařilo prokázat i u atomů (konkrétně rtuti) v serii pokusů Francka a Hertze v letech 1914--1919 (viz \cite{uhl:uvaf}).
\subsection{Fotoefekt}
Potvrzením Planckovy hypotézy o kvantovém charakteru energie
elektromagnetického pole bylo i
Einsteinovo vysvětlení fotoefektu -- emise
elektronů stimulované světelným zářením, pozorované poprvé Lenardem v
roce 1903.
\special{src: 432 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Popišme tento experiment v pozdějším uspořádání, které provedl
Milikan v roce 1916 (viz obr.2). Na fotokatodu zapojenou do elektrického obvodu
dopadá monochromatické světlo s frekvencí $\nu$, která se
postupně mění. Světlo produkuje elektrický proud. Zdroj
stejnosměrného napětí je zapojen tak, že vytváří elektrické pole,
které vrací
elektrony emitované světelným zářením zpět.
\begin{figure}[hbtp]
%TexCad Options
%\grade{\on}
%\emlines{\off}
%\beziermacro{\off}
%\reduce{\on}
%\snapping{\on}
%\quality{2.00}
%\graddiff{0.01}
%\snapasp{1}
%\zoom{1.00}
\unitlength 1mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(105.00,85.00)
%\emline(20.00,70.00)(40.00,70.00)
\put(20.00,70.00){\line(1,0){20.00}}
%\end
\put(55.00,70.00){\oval(30.00,10.00)[]}
%\emline(65.00,70.00)(100.00,70.00)
\put(65.00,70.00){\line(1,0){35.00}}
%\end
%\emline(100.00,70.00)(100.00,55.00)
\put(100.00,70.00){\line(0,-1){15.00}}
%\end
\put(100.00,50.00){\circle{10.00}}
%\vector(95.00,45.00)(105.00,55.00)
\put(105.00,55.00){\vector(1,1){0.2}}
\multiput(95.00,45.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}}
%\end
%\emline(100.00,45.00)(100.00,30.00)
\put(100.00,45.00){\line(0,-1){15.00}}
%\end
%\emline(100.00,30.00)(60.00,30.00)
\put(100.00,30.00){\line(-1,0){40.00}}
%\end
%\emline(55.00,30.00)(20.00,30.00)
\put(55.00,30.00){\line(-1,0){35.00}}
%\end
%\emline(20.00,30.00)(20.00,70.00)
\put(20.00,30.00){\line(0,1){40.00}}
%\end
%\emline(40.00,70.00)(45.00,70.00)
\put(40.00,70.00){\line(1,0){5.00}}
%\end
%\emline(45.00,73.00)(45.00,67.00)
\put(45.00,73.00){\line(0,-1){6.00}}
%\end
%\emline(65.00,72.00)(65.00,68.00)
\put(65.00,72.00){\line(0,-1){4.00}}
%\end
%\emline(55.00,35.00)(55.00,25.00)
\put(55.00,35.00){\line(0,-1){10.00}}
%\end
%\emline(57.00,30.00)(60.00,30.00)
\put(57.00,30.00){\line(1,0){3.00}}
%\end
%\emline(57.00,33.00)(57.00,27.00)
\put(57.00,33.00){\line(0,-1){6.00}}
%\end
%\emline(45.00,30.00)(45.00,15.00)
\put(45.00,30.00){\line(0,-1){15.00}}
%\end
%\emline(45.00,15.00)(60.00,15.00)
\put(45.00,15.00){\line(1,0){15.00}}
%\end
\put(65.00,15.00){\circle{10.00}}
%\vector(60.00,10.00)(70.00,20.00)
\put(70.00,20.00){\vector(1,1){0.2}}
\multiput(60.00,10.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}}
%\end
%\emline(70.00,15.00)(80.00,15.00)
\put(70.00,15.00){\line(1,0){10.00}}
%\end
%\emline(80.00,15.00)(80.00,30.00)
\put(80.00,15.00){\line(0,1){15.00}}
%\end
%\vector(65.00,85.00)(46.00,72.00)
\put(46.00,72.00){\vector(-3,-2){0.2}}
\multiput(65.00,85.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}
%\end
%\vector(65.00,83.00)(46.00,70.00)
\put(46.00,70.00){\vector(-3,-2){0.2}}
\multiput(65.00,83.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}
%\end
%\vector(65.00,81.00)(46.00,68.00)
\put(46.00,68.00){\vector(-3,-2){0.2}}
\multiput(65.00,81.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}
%\end
\put(70.00,5.00){\makebox(0,0)[lb]{U $(=U_s)$}}
\put(103.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{I (=0)}}
\put(40.00,60.00){\makebox(0,0)[lb]{Fotokatoda}}
\put(67.00,80.00){\makebox(0,0)[lb]{Monochromatick\'e‚ sv\v{e}tlo s frekvenc\'i $\nu$ }}
\end{picture}
\caption{Milikanovo zapojení pro měření fotoefektu}
\end{figure}
\special{src: 446 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Při jisté velikosti napětí $U_s=U_s(\nu)$ proud přestane
procházet. Experimentálně zjištěná závislost napětí $U_s$ na frekvenci světelného záření
je lineární.
\[U_s=\frac{h}{e}(\nu-\nu_0)\]
\special{src: 453 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Einsteinovo vysvětlení faktu, že od jisté frekvence níže nejsou
fotokatodou emitovány žádné elektrony (neprochází proud), spočívá v
tom, že v procesu emise elektronu působí vždy pouze určité celistvé kvantum
záření -- foton, jehož energie je ve shodě s Planckovou hypotézou
úměrná frekvenci $E=h\nu$. ("...the energy of a light ... consists of a finite number of energy quanta ... each of which moves wtihout dividing and can only be absorbed and emitted as a whole.") Kinetická energie emitovaného
elektronu je
\be E_{kin}=eU_s(\nu)=h(\nu-\nu_0)=E_{foton}-E_{ion}.
\ll{ekine}\ee
\special{src: 464 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Pro frekvence nižší než $\nu_0=E_{ion}/h$, kde $E_{ion}$ je
ionizační energie materiálu fotokatody, k emisi elektronů nedochází ani při
zvětšování intenzity záření (tím se pouze zvětšuje počet neúspěšných
pokusů překonat ionizační bariéru), zatímco pro $\nu >\nu_0$
získávají elektrony energii \rf{ekine}).
Konstanta úměrnosti $h$, změřená z fotoefektu se shodovala s
konstantou určenou ze záření černého tělesa.
\special{src: 474 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
{\bf Závěr:} Existují {\em kvanta světelného záření -- fotony},
která působí v
elementárním procesu uvolňujícím jeden elektron. Energie jednoho
fotonu je $h\nu$ kde $\nu$ je frekvence odpovídajícího záření a
$h$ je konstanta určená z Planckova vyzařovacího zákona.
\bc
Kolik fotonů za vteřinu emituje stowattová sodíková výbojka
mající 30 procentní světelnou účinnost? Kolik z nich se dostane do oka
pozorovatele ve vzdálenosti 10 km? (Poloměr čočky oka je asi 5 mm.)
%Kolik fotonů emituje anténa vysílače o výkonu 1 W vysílající
%na krátkých vlnách 30 m?
\ec
\subsection{Comptonův rozptyl}
\special{src: 490 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
V roce 1923 provedl A.H. Compton pokus, který měl odhalit, zda se
kvanta elektromagnetického záření chovají jako částice, tzn. zda vedle
energie mají též definovanou hybnost. V tomto pokusu byl měřen
rozptyl elektromagnetického (rentgenového) záření na grafitu, v jehož krystalické
mříži jsou elektrony relativně volné.
\special{src: 498 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
\special{src: 501 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
{\small Podle klasické teorie je elektromagnetické záření pohlcováno látkou a pak opět
vyzářeno. Přitom dochází k předání hybnosti látce (tj. všem elektronům současně), což se interpretuje jako tzv. tlak
světla. V klidové soustavě elektronu pak dojde k emisi záření
se stejnou vlnovou délkou a nulovou střední hybností.
V laboratorní soustavě, ve které mají elektrony hybnost $\vec P_e$ a
energii $E_e$, pak pozorujeme podle Dopplerova principu
změnu vlnové délky záření
\be
(\Delta\lambda)_{klas}=\lambda_0\frac{cP_e}{E_e-cP_e}
(1-cos\Theta),
\ll{compclas}\ee
kde $\lambda_0$ je délka dopadající vlny,
$\Theta$ je úhel, pod kterým pozorujeme emitované záření,
$E_e,P_e$
jsou velikost energie a hybnosti elektronu, které s délkou ozařování rostou.
}
\special{src: 520 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Podívejme se jak bude tento jev %proces %podobná formule
probíhat, pokud se fotony na atomární úrovni
chovají jako částice s danou energií a hybností (viz
Obr.\ref{fig:compton}).
\begin{figure}
%TexCad Options
%\grade{\on}
%\emlines{\off}
%\beziermacro{\off}
%\reduce{\on}
%\snapping{\on}
%\quality{2.00}
%\graddiff{0.01}
%\snapasp{1}
%\zoom{1.00}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.2pt}
\begin{picture}(90.00,50.00)
%\vector(30.00,30.00)(60.00,30.00)
\put(60.00,30.00){\vector(1,0){0.2}}
\put(30.00,30.00){\line(1,0){30.00}}
%\end
%\vector(60.00,30.00)(80.00,50.00)
\put(80.00,50.00){\vector(1,1){0.2}}
\multiput(60.00,30.00)(0.12,0.12){167}{\line(0,1){0.12}}
%\end
%\vector(60.00,30.00)(90.00,10.00)
\put(90.00,10.00){\vector(3,-2){0.2}}
\multiput(60.00,30.00)(0.18,-0.12){167}{\line(1,0){0.18}}
%\end
\put(30.00,35.00){\makebox(0,0)[lb]{Dopadající foton}}
\put(80.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{Odražený elektron}}
\put(82.00,20.00){\makebox(0,0)[lb]{Rozptýlený foton}}
\end{picture}
\caption{Rozptyl elektromagnetického záření na elektronu}\ll{fig:compton}
\end{figure}
V tom případě je třeba elementární proces rozptylu záření
popsat jako srážku dvou částic, fotonu a elektronu ("... when an X-ray quantum is scattered it spends all of its energy and momentum upon some particular electron."),
při které se celková energie a hybnost zachovává.
\be \epsilon_{\nu_0}+m_ec^2=\epsilon_{\nu}+ E_e
\ll{zachovanienergie} \ee
\be \vec p_{\nu_0}+0=\vec p_{\nu}+\vec p_{e},\ll{zachovani hybnosti} \ee
kde
\[ \vec p_e=\frac{m_e\vec v_e}{\sqrt{1-v_e^2/c^2}},\ \
E_e=\frac{m_ec^2}{\sqrt{1-v_e^2/c^2}},\]
\[ \epsilon_\nu=h\nu,\ \ |\vec p_\nu|=h\nu/c=h/\lambda \]
a $v_e$ je rychlost odraženého elektronu.
Ze zákona zachování hybnosti plyne
\[ (\vec p_{\nu_0}-\vec p_{\nu})^2=
\frac{\hbar^2}{c^2}(\nu^2+\nu_0^2-2\nu\nu_0\cos\Theta)=\]
\[ {\vec p_e}{}^2=\frac{m_e^2v_e^2}{1-v_e^2/c^2}=E_e^2/c^2-m_e^2c^2. \]
Použijeme-li ještě zákon zachování energie,
pak algebraickými úpravami dostaneme
\be \lambda-\lambda_0 = \frac{h}{m_ec}(1-\cos \Theta),
\ll{compton2}\ee
což je vzorec pro vlnovou délku emitovaného záření v závislosti
na úhlu emise pro počáteční nulovou hybnost elektronu.
Veličina
$\frac{\hbar}{m_ec}$ se často nazývá {\em Comptonova
vlnová délka elektronu}. Její hodnota je $2.4\times 10^{-12}m$.
\special{src: 555 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Předpokládáme-li, že opakovaným rozptylem EM záření získaly elektrony hybnost rovnoběžnou se směrem dopadajícího záření
velikosti $P_e$, pak vzorec pro Comptonovský rozptyl se změní na
\be \lambda-\lambda_0=
\frac{(\lambda_0 P_e+h)c}{\sqrt{m_e^2c^4+P_e^2c^2}-P_ec}(1-\cos
\Theta).
\ll{compton}\ee
Pro $P_e\gg h/\lambda$ dostáváme klasickou formuli
\rf{compclas}).
Comptonovy vzorce \rf{compton}) resp. \rf{compton2})
se však experimentálně potvrdily
i pro krátkovlné rentgenovské záření.
\special{src: 569 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
\special{src: 572 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
{\bf Závěr:} Kvanta světelného či obecněji elektromagnetického záření mají nejen definovanou
energii, ale i hybnost, jejíž velikost je nepřímo úměrná vlnové
délce záření $|\vec p| = h/\lambda$.
\bc Určete hybnost fotonů viditelného světla a R\"ontgenova
záření.
\ec
\bc Jakou vlnovou délku má elektromagnetické záření, jehož
zdrojem je elektron -- pozitronová anihilace
\[ e^+ + e^- \rightarrow \gamma + \gamma \]
v klidu?
\ec
\special{src: 586 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
\subsection{Shrnutí}
\special{src: 590 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Z výše uvedných vysvětlení experimentálních fakt
%v předchozích podkapitolách
plyne, že v mikrosvětě, tj. při zkoumání atomárních jevů:
\begin{enumerate}
\item
Existují fyzikální objekty -- kvanta, kvantové částice --
%Ztrácí se rozdíl mezi hmotnými objekty a zářením.
mající jak vlnový tak částicový charakter.
% a chová se podobně jako soubor částic.
% a hmotné objekty přestávají mít čistě částicový charakter.
\item
Množiny hodnot některých fyzikálních veličin, např. energie či
momentu hybnosti, mohou být diskrétní tzn. tyto veličiny se mohou
měnit pouze o konečné přírustky.
%nabývají než se očekávalo
\end{enumerate}
Tato podivuhodná experimentální fakta se nepodařilo vysvětlit metodami klasické fyziky, ale bylo nutno vybudovat novou fyzikální teorii a použít nové matematické struktury a techniky. To vedlo
ke zrodu \qv é teorie, která se obecně zabývá širokou třídou mikroskopických
fyzikálních systémů.
\special{src: 612 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Z pedagogických důvodů začneme její výklad popisem
jedné kvantové částice bez vazeb,
jejímž typickým reprezentantem je například elektron.
Při studiu kvantové teorie je třeba mít na mysli, že jako u každé fyzikální teorie {\bf se nejedná o odvození
%Slovo "odvodíme" v minulém odstavci je přitom třeba chápatnikoliv
ve smyslu, na který jsme zvyklí z matematiky, nýbrž o
sérii rozumných návrhů a předpokladů vedoucích k předpovědím, %konstrukci,
jejichž správnost musí prověřit experimenty.}
Ostatně, klasickou mechaniku Newton také neodvodil, nýbrž
postuloval.
%další vývoj její správnost prověřil do té
%%míry, že na počátku tohoto století byla považována za
%neotřesitelné dogma.jí nyní považujeme
%a uvěřitelných
\subsection{De Broglieova hypotéza a \sv a \rc e}
%\input{debrogli.sub}
%Strategicko--pedagogický plán této kapitoly je následující:
%Z \db ovy hypotézy odvodíme \sv u rovnici pro volnou částici a
%postulujeme její zobecnění pro částici v silovém poli. Poté z
%matematické formy \sv y \rc e a pravděpodobnostní interpretace %jejích
%řešení odvodíme strukturu stavového prostoru.
%Pro popis kvantových stavů z
%Zavedeme pojem pozorovatelných, jejich spektra a
%kompatibility a tyto pojmy pak využijeme k popisu
%kvantově--mechanického stavu a fyzikálním předpovědím.
\special{src: 640 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Z vysvětlení experimentálních fakt v předchozích kapitolách
plyne, že při zkoumání atomárních jevů
záření přestává
mít čistě vlnový charakter a chová se v některých aspektech jako
soubor částic.
Zdá se tedy užitečné zavést nový fyzikální pojem -- kvantové \cc e -- popisující fyzikální objekty vyskytující se na atomárních a nižších úrovních.
\special{src: 649 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Pod vlivem poznatků o duálním částicově--vlnovém charakteru
světla
De Broglie v roce 1923 usoudil, že tento %částicově--vlnový
dualismus je vlastností všech mikroskopických
objektů a že nejen elektromagnetické záření, ale i hmotné objekty (např.
elektrony) se mohou chovat buď jako vlna nebo jako částice,
podle toho jaké jevy, v nichž se účastní, zkoumáme.
Vyslovil hypotézu, že {\em pro popis jevů na atomární
úrovni je třeba přiřadit volným
kvantovým částicím s hybností $\vec p$ a energií $E$ -- nikoliv bod fázového prostoru nýbrž rovinou monochromatickou vlnu $\psi_{\vec p,E}$,
jejíž frekvence je (stejně jako pro foton)
úměrná energii a jejíž vlnová délka je nepřímo úměrná hybnosti
částice, přesněji funkci}
\be\mbox{\Large $
\psi_{\vec p,E}(\vec{x},t) = A
e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\vec{x}- Et) } $},
\ll{dbvlna}\ee
kde $A$ je zatím neurčená konstanta a $\hbar:=h/2\pi=1.054 572\times10^{-34}$ Js.
\special{src: 670 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Abychom plně docenili hloubku a smělost této hypotézy,
%vynikne zejména tehdy,
je třeba si uvědomit, že
v té době nebyly známy žádné pokusy dokazující vlnové vlastnosti
hmotných \cc{} jako je ohyb, či interference. Ty se objevily až o
několik let později, při zkoumání rozptylu elektronů na
krystalech.
\bc Určete vlnovou délku a frekvenci \db ovy vlny pro molekulu
kyslíku ve vzduchu vašeho pokoje a pro částici o hmotnosti 10
$\mu$g pohybující se rychlostí zvuku.
\ec
\bc Podle \db ovy hypotézy určete ohyb způsobený průletem tenisového míčku ($m=0.1$ kg) obdélníkovitým otvorem ve zdi o rozměrech $1\times 1.5$ m.
\ec
\bc Na jakou rychlost je třeba urychlit elektrony aby bylo možno pozorovat jejich difrakci na krystalové mříži s charakteristickou vzdáleností atomů 0.1 nm?
\ec
\special{src: 688 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Je-li vztah mezi hybností kvanta a jeho energií %\db ovy vlny je
stejný jako u
klasické volné částice $E=\vec{p}^2/2m$ %pro nerelativistický případ či
(případně $E=\sqrt{\vec{p}^2c^2+m^2c^4}$ pro kvantum pohybující se rychlostí
blízkou rychlosti světla), pak to znamená že \db ova vlna
%pro hmotnou částici
nesplňuje vlnovou rovnici \rf{vlnrce}), která plyne z teorie elektromagnetického
pole. Otázkou tedy je, zda a jakou rovnici splňuje.
Tuto \rc i našel v roce 1925 E. Schr\"{o}dinger a nese jeho jméno.
%\input{schr_rce.sub}
\special{src: 701 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
K odvození \rc e pro \db ovy vlny
je nejsnazší vyjít z výše uvedených klasických vztahů mezi
energií a hybností, které vlastně představují disperzní relace,
a použít identity
\be p_i\psi%(\vec{x},t}
=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x_i} \psi, E \psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi \ll{imps}\ee
plynoucí z popisu kvant
%vztah mezi hodnotou složek hybnosti a
příslušnou \db ovou vlnou.
Odtud již celkem přímočaře dostaneme rovnici pro \db ovu vlnu
\be \frac{\partial\psi}{\partial t}=
-\frac{i}{\hbar}\sum_{i=1}^3\frac{p_i^2}{2m}\psi=
-\frac{i}{2m\hbar}\sum_{i=1}^3(-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial
x_i^2})\psi \ll{srvolna}\ee
\special{src: 718 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
E. Schr\"{o}dinger postuloval platnost rovnice
\be \frac{\partial\psi}{\partial t}= -i\frac{E}{\hbar} \psi \ee
i pro kvantovou
částici, která se pohybuje pod vlivem sil daných potenciálovým polem
$V(\vec{x})$. Diferenciální rovnice pro vlnovou funkci
takovéto kvantové \cc e se obvykle
píše ve tvaru
\be\fbox{\LARGE $
i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle\psi + V(\vec{x})\psi
$}\ll{sr}\ee
a nazývá se {\em Schr\"{o}dingerova rovnice}. Lineární
operátor na pravé straně \sv y \rc e
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle+ \hat V(\vec{x})
\ll{hamiltonian} \ee
se nazývá {\em hamiltonián}. (Použili jsme zde obvyklé konvence
učebnic kvantové mechaniky,
že symboly pro operátory jsou označeny stříškou.)
\special{src: 738 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Řešením \sv y \rc e \rf{srvolna}) pro "volnou \qv ou částici"
(což může být např.
elektron pohybující se mimo elektromagnetické pole) není pouze \db ova vlna,
ale i mnoho jiných funkcí čtyř proměnných.
Díky linearitě \sv
\rc e je řešením \rf{srvolna}) i lineární superpozice \db ových vln odpovídajících různým hybnostem
\be \psi(\vec{x},t)=\int_{\real^3}\tilde\psi(\vec
p)e^{\frac{i}{\hbar}(\vec p\vec x-\frac{p^2}{2m}t)}dp^3.
\ll{vlnbalik}\ee
%$\psi =\psi(x,t)$.
%$\psi: {\bf D \->\complex,\ \ \bf D \part
To je velmi důležité, neboť monochromatická vlna \rf{dbvlna}) má jenom
některé vlastnosti odpovídající volné částici, totiž rovnoměrnou
a přímočarou rychlost šíření, ale nedává žádnou informaci o její
poloze.
Chceme-li do vlnového popisu částice zahrnout i další její
vlastnosti, např. lokalizovatelnost v určité části prostoru, pak musíme použít
jiný typ řešení než je čistá \db ova vlna.
\begin{cvi}
Nechť $V(\vec x)=0$ (volná částice) a vlnová \fc e částice má v čase $t_0$ ("lokalizovaný") tvar
\be g(\vec x)=C\exp[-A\vex^2+\vec B\vec x] \ll{mvb}\ee
Pomocí Fourierovy
transformace určete řešení \sv y
\rc e $\psi(\vec x,t)$, které v čase $t_0$ má tvar $g(\vec x)$, tj. splňuje počáteční podmínku
$\psi(\vec x,t_0)=g(\vec x),$
%(nazývané minimalizující vlnový balík, viz \ref{relneu}),
kde $Re\ A>0,\ \vec B\in\complex^3,\ C\in\complex$.
\ll{ex:vlnbal}
\end{cvi}
\bc Nechť $\psi(x,y,z,t)$ je řešením \sv y \rc e pro volnou \cc i. Ukažte, že
\[ \tilde \psi(x,y,z,t):= \exp[-i\frac{Mg}{\hbar}(zt+gt^3/6)]\,\psi(x,y,z+gt^2/2,t) \]
je řešením \sv y \rc e pro \cc i v homogenním gravitačním poli (Avron-Herbstova formule). Je možné tuto formuli a její použití nějak zobecnit?
\ec
\special{src: 770 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
\subsection{Bornova interpretace vlnové funkce}
\special{src: 774 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Jakmile se objevila \sv a \rc e, která vedle \db ovy vlny
připouští i mnoho dalších řešení, vznikla přirozeně otázka, jaký je jejich
význam, neboli problém {\em fyzikální interpretace řešení
\sv y \rc e.}
\special{src: 781 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Zatímco řešení pohybových rovnic klasické
mechaniky jsou snadno a přirozeně interpretovatelná
jako dráhy hmotných bodů v prostoru, fyzikální
význam řešení \sv y \rc e je na první pohled nejasný.
Problém %jejich
interpretace ještě navíc komplikuje fakt, že \sv a \rc e je
rovnicí v
komplexním oboru, takže její řešení jsou komplexní funkce.
Podotázkou tohoto problému pak je, zda
všechna řešení jsou fyzikálně upotřebitelná.
\special{src: 794 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Po mnoha marných pokusech interpretovat řešení \sv y \rc e jako
silové pole obdobné elektromagnetickému či gravitačnímu byla navržena jeho statistická
interpretace (Max Born, 1926):
%Problém interpretace řešení \sv y \rc e řeší Bornův postulát:
\special{src: 801 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
{\bf Řešení \sv y \rc e %obsahuje veškerou informaci
udává časový vývoj pravděpodobnosti nalezení
částice v různých oblastech prostoru:
Je-li $\psi(x,y,z,t)$ řešení \sv y \rc e popisující kvantovou \cc i, pak kvadrát její absolutní
hodnoty $ |\psi(x,y,z,t)|^2$
je úměrný hustotě pravděpodobnosti nalezení částice v okamžiku $t$ v místě
s kartézskými souřadnicemi $(x,y,z)$. (Bornův postulát)}
\begin{cvi}
Čemu je úměrná pravděpodobnost nalezení částice popsané
de Broglieovou vlnou \rf{dbvlna}) v oblasti
$(x_1,x_2)\times(y_1,y_2)\times(z_1,z_2)$ ?
\end{cvi}
\begin{cvi}\ll{casvmvb}
Čemu je úměrná hustota pravděpodobnosti pro řešení
\be \psi(\vec x,t)=Ce^{\frac{\vec B^2}{4A}}
\chi(t)^{-3/2}\exp\{-A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)}\} \ll{mvbt}\ee
\[ \chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{m}(t-t_0) \]
z příkladu \ref{ex:vlnbal} pro $A>0$?
Jak se mění poloha jejího maxima s časem? Čemu je
rovna její střední kvadratická odchylka? Jak se mění s časem?
%Jaká je rychlost rozplývání
Za jak dlouho se zdvojnásobí "šířka" vlnového balíku
pro elektron lokalizovaný s přesností 1 cm a pro hmotný bod o hmotě 1 gram
jehož těžiště je lokalizováno s přesností $10^{-6}$m?
\ll{ex:pstvb}\end{cvi}
{Jaká omezení klade Bornův postulát na řešení \sv y rovnice?}
Pravděpodobnost nalezení částice v oblasti $O\subset{\bf R}^3$
je úměrná
\[ \int_O |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz. \]
%přirozeným způsobem jako
%četnost výskytu v oblasti $O$ dělená četností výskytu "kdekoliv"
%tj. v ${\bf R^3}$ pak
Koeficient úměrnosti je možno nalézt z požadavku,
%Je zřejmě přirozené považovat,
aby pravděpodobnost nalezení částice "kdekoliv" se rovnala
jedné.
% takže fyzikální význam mají řešení, pro která platí
%\[ =1 \]
%Vzhledem k tomu, že množina řešení \sv y \rc e je lineární
%prostor, pak
Tuto podmínku lze snadno splnit, položíme-li hustotu
pravděpodobnosti rovnou
\be w(x,y,z,t) = A(\psi)^{-1}
|\psi(x,y,z,t)|^2,
\ll{pst}\ee
%vydělením libovolného řešení $\psi$ číslem $1/\sqrt{A(\psi)}$,
kde
\be A(\psi)=\int_{\bf R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz ,\ll{norma}\ee
pokud tento integrál existuje.
\special{src: 853 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Fyzikálně snadno
interpretovatelná jsou tedy taková řešení \sv y \rc e, která
splňují
\be \int_{\bf R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz <\infty.\ll{konecnanorma}\ee
Těmi se budeme v následujícím textu zabývat především.
