Součásti dokumentu Matematika2Priklady
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2Priklady}
\section{Křivky dané parametricky}
\begin{enumerate}
\item Nalezněte tečnu (tečny) ke křivce
\begin{enumerate}
\begin{priklad}
x = 2t, y = \cos \pi t; t = 0
\end{priklad}\\
$[y = 1]$
\begin{priklad}
x = t^2, y = (2-t)^2; t = \frac{1}{2}
\end{priklad}\\
$[3x-y-3=0]$
\begin{priklad}
x= \cos^3 t, y = \sin^3 t; t = \frac{\pi}{4}
\end{priklad}\\
$[2x + 2y + 1 =0]$
\begin{priklad}
r = 4 - 2 \sin \varphi; \varphi = 0
\end{priklad}\\
$[2x + y -8 = 0]$
\begin{priklad}
r = \frac{4}{5-\cos \varphi}; \varphi = \frac{1}{2} \pi
\end{priklad}\\
$[x-5y+4 = 0]$
\begin{priklad}
r = \frac{\sin \varphi - \cos \varphi}{\sin \varphi + \cos
\varphi}; \varphi = 0
\end{priklad}\\
$[x + 2y + 1 =0]$
\end{enumerate}
\item Nalezněte body, kde má křivka vertikální resp. horizontální tečny
\begin{enumerate}
\begin{priklad}
x = 3t - t^3, y = t+1
\end{priklad}\\
$[v:(2, 2), (-2, 0)]$
\begin{priklad}
x= 3 -4 \sin t, y = 4 + 3 \cos t
\end{priklad}\\
$[h:(3, 7), (3, 1); v:(-1, 4), (7, 4)]$
\begin{priklad}
x = t^2 - 2t, y = t^3 - 3t^2 + 2t
\end{priklad}\\
$[h: (-\frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9} \sqrt 3), v:(-1, 0)]$
\begin{priklad}
x = \cos t, y = \sin 2t
\end{priklad}\\
$[h:(\pm \frac{1}{2} \sqrt 2), \pm 1, v:(\pm 1, 0)]$
\end{enumerate}
%\end{enumerate}
\separator
%\begin{enumerate}
\item Spočtěte délku křivky
\begin{enumerate}
\begin{priklad}
x = t^2, y = t^3; t \in \langle 0, 1 \rangle
\end{priklad}
\begin{priklad}
r = 2(1+ \cos \varphi)^{-1}; \varphi \in \langle 0, \pi
\rangle
\end{priklad}\\
$[\sqrt 2 + ln(1+\sqrt 2)]$
\begin{priklad}
r = a \sin^3 \frac{\varphi}{3}; \varphi \in \langle 0, \pi
\rangle
\end{priklad}\\
$[ \frac{3}{2} \pi a]$
\begin{priklad}
x = e^t \sin t, y = e^t \cos t; t \in \langle 0,
\pi\rangle
\end{priklad}
\begin{priklad}
r = e^{2 \varphi}; \varphi \in \langle 0, 2\pi \rangle
\end{priklad}\\
$[1/2 \sqrt 5(e^{4\pi} - 1)]$
\begin{priklad}
f(x) = \ln \left( \frac{1}{\cos x}\right); x \in \langle 0,
\pi /4 \rangle
\end{priklad}\\
$[\ln(1+\sqrt2)]$
\begin{priklad}
f(x) = \frac{1}{2}x \sqrt{x^2-1} - \frac{1}{2} \ln(x +
\sqrt{x^2-1}); x \in \langle 1, 2 \rangle
\end{priklad}\\
$[3/2]$
\begin{priklad}
x = t - \sin t, y = 1 - \cos t; t \in \langle 0, 2\pi
\rangle
\end{priklad}\\
$[8]$
\begin{priklad}
x = \cos t + t \sin t, y = \sin t - t \cos t; t \in \langle
0, 2 \pi \rangle
\end{priklad}\\
$[4\pi]$
\end{enumerate}
\item Spočtěte povrch rotačního tělesa (dle x)
\begin{enumerate}
\begin{priklad}
y^2 = 2px; x \in \langle 0, 4p \rangle
\end{priklad}\\
$[\frac{52}{3}] \pi p^2$
\begin{priklad}
6a^2xy = x^4 + 3a^4; x \in \langle 0, 2a \rangle
\end{priklad}\\
$[\frac{47}{16} \pi a^2]$
\begin{priklad}
x = \frac{2}{3} t ^{3/2}, y = t; t \in \langle 3, 8 \rangle
\end{priklad}\\
$[\frac{2152}{15} \pi]$
\begin{priklad}
r = e^ \varphi; \varphi \in 0, \pi/2 \rangle
\end{priklad}\\
$[2/5\sqrt2 \pi(2 e^\pi + 1)]$
\begin{priklad}
4y = x^3; x \in \langle 0, 1 \rangle
\end{priklad}\\
$[\frac{61}{432} \pi]$
\begin{priklad}
x = 2 \cos t, y = 2 \sin t; t \in \langle 0, \pi/6 \rangle
\end{priklad}\\
$[4\pi(2-\sqt{3})]$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\separator