Aktuální verze z 6. 1. 2023, 22:50

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika1}
\section[Derivace funkce]{\fbox{Derivace funkce}}
\subsection{Definice}
	\begin{define}[Derivace funkce $f$ v bodě $a$]
	Pokud existuje limita 
	$$
	\lim\limits_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} =\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h},
	$$
	nazýváme tuto limitu derivací funkce $f$ v bodě $a$ a značíme $f^\prime(a)$, $\frac{\ud f}{\ud x}(a)$ nebo $f^{(1)}(a)$.
	\end{define}
 
	\begin{define}[Jednostranné derivace]
	Pokud existuje limita 
	$$
	\lim\limits_{x\to a-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} =\lim\limits_{h \to 0-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h},
	$$
	resp.
	$$
	\lim\limits_{x\to a+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} =\lim\limits_{h \to 0+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h},
	$$
	nazýváme tuto limitu derivací funkce $f$ v bodě $a$ zleva, resp. zprava a značíme $f^\prime_-(a)$, resp. $f^\prime_+(a)$.
	\end{define}
 
	\begin{theorem}[O limitě derivace]
	Nechť pro funkci $f$ a bod $a \in D_f$ platí, že
	\begin{enumerate}
	\item $\exists\delta>0$ tak, že $f$ je diferencovatelná na $(a-\delta,a)$, resp. $(a,a+\delta)$,
	\item funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zleva, resp. zprava,
	\item $\exists\lim\limits_{x\to a-} f^\prime(x)$, resp.~ $\exists\lim\limits_{x\to a+} f^\prime(x)$.
	\end{enumerate}
	Potom existuje $f^\prime_-(a)$, resp. $f^\prime_+(a)$ tak, že platí
	$$
	f^\prime_-(a) = \lim\limits_{x\to a-} f^\prime(x),
	\quad \hbox{resp.} \quad
	f^\prime_+(a) = \lim\limits_{x\to a+} f^\prime(x).
	$$
	\end{theorem}
 
 
	\begin{remark}
	Derivace vyšších řádů $f^{(n)}(x) = \frac{\ud^n}{\ud x^n} f(x)$ $n$. derivace. Definujeme pomocí indukce $f^{(n)}(x) = \frac{\ud}{\ud x} f^{(n-1)}(x)$, $n\in\N$.
	\end{remark}
 
 
 
 
\subsection{Pravidla pro derivování}
 
\begin{theorem}[Pravidla pro derivování]\label{thm:derivovani}
	Nechť $\alpha \in \R$, $f$ a $g$ mají v bodě $x$ konečnou derivaci. Potom
	\begin{enumerate}
		\item $(f+g)^\prime(x) = f^\prime(x)+g^\prime(x), $
		\item $ (\alpha f)^\prime(x) = \alpha f^\prime(x) $
		\item $ (fg)^\prime(x) = f^\prime(x)g(x) + f(x)g^\prime(x), $
		\item $ \left(\frac{f}{g}\right)^\prime(x) = \frac{f^\prime(x) g(x)-f(x)g^\prime(x)}{g(x)^2}, \quad \hbox{pokud $g(x) \neq 0$} $
	\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof} Tvrzení 1. a 2. plynou přímo z definice derivace.
	\begin{itemize}
		\item[3.] 
		\begin{align*}
			&\lim\limits_{h\to0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} = \\
			&=\lim\limits_{h\to0} \frac{f(x+h)g(x+h) \overbrace{-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)}^0-f(x)g(x)}{h} = \\
			&=\lim\limits_{h\to0} f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+g(x)\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \\
			&=f(x)g^\prime(x)+f^\prime(x)g(x)
		\end{align*}
		\item[4.] 
		\begin{align*}
			&\lim\limits_{h\to0} \frac{\left(\frac{f}{g}\right)(x+h)-\left(\frac{f}{g}\right)(x)}{h} = 
			\\
			&=\lim\limits_{h\to0} \frac{1}{h} \left( \frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)} \right) =
			\\
			&=\lim\limits_{h\to0} \frac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h)}{h~g(x)g(x+h)}  =
			\\
			&=\lim\limits_{h\to0} \frac{f(x+h)g(x) \overbrace{- f(x)g(x) + f(x)g(x)}^0 - f(x)g(x+h)}{h~g(x)g(x+h)}  =
			\\
			&=\lim\limits_{h\to0} \frac{ (f(x+h)-f(x))g(x) ~ - ~ f(x)(g(x+h)-g(x)) }{h~g(x)g(x+h)}  =
			\\
			&= \frac{f^\prime(x)g(x) - f(x)g^\prime(x)}{g(x)^2}
		\end{align*}	
	\end{itemize}
\end{proof}
 
 
	\begin{theorem}[Derivace funkce $x^n$]
	$$
	f(x)=x^n, \quad  n \in \R \quad \Rightarrow \quad f^\prime(x) = nx^{n-1}.
	$$
	\end{theorem}
	\begin{proof}
	Důkaz matematickou indukcí pro $n\in\N$.
	%% dodelat
	\end{proof}
 
 
	\begin{theorem}[Vztah derivace a spojitosti]
	Nechť funkce $f$ má v bodě $a$ konečnou derivaci. Pak je v bodě $a$ spojitá. 
	\begin{proof}
	$$
	\lim\limits_{h\to0} f(a+h) - f(a) = 
	\lim\limits_{h\to0} \frac{h}{h} (f(a+h)-f(a)) = 
	\lim\limits_{h\to0} h\underbrace{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}_{\overset{\downarrow}{f^\prime(a)\in\R}} = 0,
	$$
	odkud $\lim\limits_{h\to0} f(a+h) = f(a)$.
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
	\begin{theorem}[Leibnizovo pravidlo]
	Nechť funkce $f$ a $g$ mají konečnou derivaci $n$. řádu. Pak
	$$
		\left(f\cdot g \right)^{(n)} = \sum\limits_{k=0}^{n} \comb{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}.
	$$
	\end{theorem}
	\begin{remark}
	Nultá derivace funkce $f^{(0)}$ označuje původní funkci $f$, tj. $f^{(0)}=f$.  
	\end{remark}
	\begin{remark}
	Kombinační číslo $\comb{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}$ pro $n \in \N, k \in 0,...,n$.  
\end{remark}
	\begin{remark}
	Pro $n=1$ dává Leibnizovo pravidlo $(f\cdot g)^\prime = f^\prime g + f g^\prime $.
	\end{remark}
 
 
\subsection{Derivace složené funkce}
	\begin{theorem}[Řetězové pravidlo]\label{thm:circ}
	Nechť funkce $g$ má konečnou derivaci v $a$ a funkce $f$ má konečnou derivaci v bodě $g(a)$. Potom 
	$$
	(f \circ g)^\prime(a) = f^\prime(g(a))\cdot g^\prime(a).
	$$
		\begin{proof}
		$$
			\lim\limits_{x\to a} \frac{(f\circ g)(x) - (f\circ g)(a)}{x-a} = \lim\limits_{x\to a} \frac{f(g(x)) - f(g(a))}{g(x)-g(a)} \frac{g(x)-g(a)}{x-a} = f^\prime(g(a))\cdot g^\prime(a). 
		$$
		\end{proof}
	\end{theorem}
 
	\begin{corollary}[Řetězové pravidlo pro více funkcí]
	$$
	(f_1 \circ f_2 \circ f_3 \circ \dots \circ f_n)' = f_1^\prime~f_2^\prime~f_3^\prime~\dots~f_n^\prime,
	$$
	kde jsou kvůli přehlednosti vynechány body, ve kterých jsou derivace funkcí vyčísleny.
	\end{corollary}
 
 
\subsection{Derivace inverzní funkce}
	\begin{theorem}[Derivace inverzní funkce]\label{thm:dinverze}
	Nechť funkce $f$ je prostá a $f^{-1}$ je její inverzní funkce. Nechť funkce $f$ má konečnou derivaci 
	v bodě $x=f^{-1}(y)$. Potom 
	$$
	\left( f^{-1} \right)^\prime(y) = \frac{1}{f^\prime(x)}.
	$$
	\end{theorem}
	\begin{proof}
	Důkaz vychází z Věty~\ref{thm:inverze} o inverzní funkci: $f \circ f^{-1} = \id$ a Věty~\ref{thm:circ} o derivaci složené funkce takto:
	$$
		\frac{\ud}{\ud y} \Big( f(f^{-1}(y)) \Big) = \frac{\ud}{\ud y}\Big( y \Big ),
	$$
	$$
		\frac{\ud f}{\ud x} \Big( \underbrace{f^{-1}(y)}_{x} \Big)\cdot\frac{\ud f^{-1}}{\ud y}\Big(y\Big) =1 ,
	$$
	odkud vydělením 
 
	\end{proof}
 
\subsection{Tečna a normála}
 
	\begin{theorem}[Rovnice tečny]\label{thm:tecna}
	Nechť existuje konečná derivace funkce $f$ v bodě $a$. Potom rovnice tečny $t_f(a)$ ke grafu funkce $f$ v bodě $a$ má rovnici
	$$
		t_f(a): y - f(a) = f^\prime(a)(x-a).
	$$
		\begin{proof}
		Nechť pro malé $h$ je $s_h$ sečna procházející body $[a,f(a)]$ a $[a+h, f(a+h]$. Tato sečna má rovnici $s_h: y = k(h) x + q(h)$, kde 
		$$
			k(h) = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \quad q(h) = f(a)-k(h)a.
		$$
		Po limitním přechodu $h\to0$ se sečna $s_h$ stane tečnou $t_f(a)$ s rovnicí $t_f(a): y = kx+q$, kde 
		$$
			k = \lim\limits_{h \to 0} k(h) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f^\prime(a), \quad q = f(a) - f^\prime(a)a.
		$$
		Odtud plyne tvrzení věty.
		\end{proof}
	\end{theorem}
 
	\begin{theorem}[Rovnice normály]
	Nechť existuje konečná nenulová derivace funkce $f$ v bodě $a$. Potom rovnice normály $n_f(a)$ ke grafu funkce $f$ v bodě $a$ má rovnici
	$$
		n_f(a): y - f(a) = -\frac{1}{f^\prime(a)}(x-a).
	$$
		\begin{proof}
		Normála $n_f(a)$ ke grafu $f$ v bodě $a$ je přímka kolmá na tečnu $t_f(a)$ procházející bodem $[a, f(a)]$. 
		Podle Věty \ref{thm:tecna} má tečna $t_f(a)$ rovnici v normálním tvaru 
		$$
			t_f(a): f^\prime(a)x-y+f(a)-af^\prime(a) =0,
		$$
		kde koeficienty u $x$ a $y$ tvoří  normálový vektor $(f^\prime(a),-1)$. 
		K němu kolmý vektor $(1, f^\prime(a))$ je pak normálovým vektorem normály $n_f(a)$ s rovnicí v normálním tvaru
		$$
			n_f(a): x+f^\prime(a)y+C=0.
		$$
		Konstanta $C$ se určí z podmíky protnutí $n_f(a)$ a grafu $f$ v bodě $a$ jako
		$
			C = a + f^\prime(a)f(a).
		$
		Odtud již snadno plyne tvrzení věty.
		\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
 
\subsection{Derivace cyklometrických funkcí}
	\subsubsection{Funkce arcsin}
 
	Funkce $\sin$ je prostá na intervalu $[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ a má inverzní funkci, kterou značíme $\arcsin$.\\
 
	\begin{tabular}{ll}
		\begin{tabular}{ll}
		$D_{\arcsin} = H_{\sin} = [-1,1]$ \\ 
		$H_{\arcsin} = D_{\sin} = [-\frac\pi2,\frac\pi2]$
		\end{tabular} &
		\begin{tabular}{|c|c|ccccc|}
		\hline
		$x$ [rad] & $\arcsin{y}$ & 0 & $\frac\pi6$ & $\frac\pi4$ & $\frac\pi3$ & $\frac\pi2$ \\
		\hline
		$\sin{x}$ & $y$ & $\frac{\sqrt{0}}{2}$ & $\frac{\sqrt{1}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$  & $\frac{\sqrt{4}}{2}$\\
		\hline
		\end{tabular}
	\end{tabular}
 
	\begin{theorem}[Derivace funkce arcsin]
	$$ (\arcsin{x})^\prime = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad\hbox{na}\quad(-1, 1)$$
	\begin{proof}
	Podle Věty~\ref{thm:dinverze}: $(\arcsin{x})^\prime = \frac{1}{(\sin{y})^\prime}$, kde $x = \sin{y}$. Položíme-li $y = \arcsin{x}$, máme vztah
	$$
		(\arcsin{x})^\prime = \frac{1}{\cos(\arcsin{x})}.
	$$
	Už stačí jen upravit pravou stranu. Použijeme vztah mezi $\sin$ a $\cos$: $\cos{z} = \sqrt{1-\sin^2{z}}$, který platí pro $\forall z\in [-\frac\pi2,\frac\pi2]$, kde dosadíme $z = \arcsin{x}$:
	$$
		\cos(\arcsin{x}) = \sqrt{1-\sin^2(\arcsin{x})} = \sqrt{1-x^2}.
	$$
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
	\subsubsection{Funkce arccos}
 
	Funkce $\cos$ je prostá na intervalu $[0,\pi]$ a má inverzní funkci, kterou značíme $\arccos$.\\
 
	\begin{tabular}{ll}
		\begin{tabular}{ll}
		$D_{\arccos} = H_{\cos} = [-1,1]$ \\ 
		$H_{\arccos} = D_{\cos} = [0,\pi]$
		\end{tabular} &
		\begin{tabular}{|c|c|ccccc|}
		\hline
		$x$ [rad] & $\arccos{y}$ & 0 & $\frac\pi6$ & $\frac\pi4$ & $\frac\pi3$ & $\frac\pi2$ \\
		\hline
		$\cos{x}$ & $y$ & $\frac{\sqrt{4}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{1}}{2}$  & $\frac{\sqrt{0}}{2}$\\
		\hline
		\end{tabular}
	\end{tabular}
 
	\begin{lemma}\label{lemma:arc}
	$$
		\arcsin{x} + \arccos{x} = \frac\pi2.
	$$
	\begin{proof}
	Rovnost 
	$$
		\arcsin{x} = \frac\pi2 - \arccos{x}
	$$ je ekvivalentní rovnosti
	$$
		x = \sin(\arcsin{x}) = \sin\left(\frac\pi2 - \arccos{x}\right).
	$$
	Použijeme-li součtový vzorec pro funkci $\sin$ na pravé straně této rovnosti, dostaneme
	$$
		\sin\left(\frac\pi2 - \arccos{x}\right) = \underbrace{\sin\frac\pi2}_1\cos(\arccos{x}) - \underbrace{\cos\frac\pi2}_0 \sin(\arccos{x}) = x.
	$$
	\end{proof}
	\end{lemma}
 
 
	\begin{theorem}[Derivace funkce arccos]
	$$ (\arccos{x})^\prime = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad\hbox{na}\quad(-1, 1)$$
	\begin{proof} Plyne z Lemma~\ref{lemma:arc}.
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
	\subsubsection{Funkce arctg}
 
	Funkce $\tg$ je prostá na intervalu $(\frac\pi2,\frac\pi2)$ a má inverzní funkci, kterou značíme $\arctg$.\\
 
	\begin{tabular}{ll}
		\begin{tabular}{ll}
		$D_{\arctg} = H_{\tg} = \R$ \\ 
		$H_{\arctg} = D_{\tg} = (-\frac\pi2,\frac\pi2)$ \\
		$\lim\limits_{x\to+\infty}\arctg{x} = \frac\pi2 $ \\
		$\lim\limits_{x\to-\infty}\arctg{x} = -\frac\pi2 $
		\end{tabular} &
		\begin{tabular}{|c|c|ccccc|}
		\hline
		$x$ [rad] & $\arctg{y}$ & 0 & $\frac\pi6$ & $\frac\pi4$ & $\frac\pi3$ & $\frac\pi2$ \\
		\hline
		$\tg{x}$ & $y$ & $0$ & $\frac{1}{\sqrt{3}}$ & $1$ & $\sqrt{3}$  & nedef.\\
		\hline
		\end{tabular}
	\end{tabular}
 
	\begin{theorem}[Derivace funkce arctg]
	$$ (\arctg{x})^\prime = \frac{1}{1+x^2}\quad\hbox{na}\quad\R$$
	\begin{proof}
	Podle Věty~\ref{thm:inverze}: $(\arctg{x})^\prime = \frac{1}{(\tg{y})^\prime}$, kde $x = \tg{y}$. Položíme-li $y = \arctg{x}$, máme vztah
	$$
		(\arctg{x})^\prime = \cos^2(\arctg{x}).
	$$
	Už stačí jen upravit pravou stranu. Použijeme následující převod mezi $\cos$ a $\tg$:
	$$
		\frac{1}{\cos^2z} = \frac{\cos^2z + \sin^2z}{\cos^2z} = 1 + \tg^2{z},
	$$
	odkud
	$$
		\cos^2z = \frac{1}{1+\tg^2z},
	$$
	kde dosadíme $z = \arctg{x}$.
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
 
	\subsubsection{Funkce arccotg}
	Funkce $\cotg$ je prostá na intervalu $(0,\pi)$ a má inverzní funkci, kterou značíme $\arcctg$.\\
 
	\begin{tabular}{ll}
		\begin{tabular}{ll}
		$D_{\arcctg} = H_{\cotg} = \R$ \\ 
		$H_{\arcctg} = D_{\cotg} = (0,\pi)$ \\
		$\lim\limits_{x\to+\infty}\arcctg{x} = 0$ \\
		$\lim\limits_{x\to-\infty}\arcctg{x} = \pi $
		\end{tabular} &
		\begin{tabular}{|c|c|ccccc|}
		\hline
		$x$ [rad] & $\arcctg{y}$ & 0 & $\frac\pi6$ & $\frac\pi4$ & $\frac\pi3$ & $\frac\pi2$ \\
		\hline
		$\cotg{x}$ & $y$ & nedef.  & $\sqrt{3}$ & $1$ & $\frac{1}{\sqrt{3}}$  & $0$ \\
		\hline
		\end{tabular}
	\end{tabular}
 
	\begin{lemma}\label{lemma:arctg}
	$$
		\arctg{x} + \arcctg{x} = \frac\pi2.
	$$
	\begin{proof}
	Rovnost 
	$$
		\arctg{x} = \frac\pi2 - \arcctg{x}
	$$ 
	je ekvivalentní rovnosti
	$$
		x = \tg(\arctg{x}) = \tg\left(\frac\pi2 - \arcctg{x}\right) = \frac{\sin\left(\frac\pi2 - \arcctg{x}\right)}{\cos{\left(\frac\pi2 - \arcctg{x}\right)}}.
	$$
	Použijeme-li součtový vzorec pro funkci $\sin$ a $\cos$ na pravé straně této rovnosti, dostaneme
	$$
		\frac{\sin\left(\frac\pi2 - \arcctg{x}\right)}{\cos{\left(\frac\pi2 - \arcctg{x}\right)}} =
		\frac{
		\overbrace{\sin\frac\pi2}^1\cos(\arcctg{x}) - \overbrace{\cos\frac\pi2}^0 \sin(\arcctg{x})
		}{
		\underbrace{\cos\frac\pi2}_0\cos(\arcctg{x}) + \underbrace{\sin\frac\pi2}_1 \sin(\arcctg{x})
		}
		= \cotg(\arcctg{x}) =
		x.
	$$
	\end{proof}
	\end{lemma}
 
	\begin{theorem}[Derivace funkce arccotg]
	$$ (\arcctg{x})^\prime = -\frac{1}{{1+x^2}}\quad\hbox{na}\quad\R$$
	\begin{proof} Plyne z Lemma~\ref{lemma:arctg}.
	\end{proof}
	\end{theorem}