02KVAN2:Kapitola10: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (Dělit faktoriálem nuly nebo jedničky je zbytečné) |
(Pořadí koeficientů beta neodpovídalo pořadí operátorů ve výpočtu komutátoru, výsledek to nemění.) |
||
Řádka 106: | Řádka 106: | ||
\[ | \[ | ||
\begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
− | \komut{\anihilak{i}}{\anihilak{j}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} &= \overline{\beta_{ | + | \komut{\anihilak{i}}{\anihilak{j}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} &= \overline{\beta_{n_i-1}} \overline{\beta_{n_j-1}}\ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j - 1, \ldots} \notag \\ |
− | &\quad - \overline{\beta_{ | + | &\quad - \overline{\beta_{n_j-1}} \overline{\beta_{n_i-1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j - 1, \ldots} \notag \\ |
&= 0, | &= 0, | ||
\end{aligned} | \end{aligned} | ||
Řádka 114: | Řádka 114: | ||
\[ | \[ | ||
\begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
− | \komut{\anihilak{i}}{\kreak{j}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} &= | + | \komut{\anihilak{i}}{\kreak{j}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} &= \overline{\beta_{n_i - 1}} \beta_{n_j} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j + 1, \ldots} \notag \\ |
− | &\quad - \overline{\beta_{n_i - 1} | + | &\quad - \beta_{n_j} \overline{\beta_{n_i - 1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j + 1, \ldots} \notag \\ |
&= 0 | &= 0 | ||
\end{aligned} | \end{aligned} | ||
Řádka 122: | Řádka 122: | ||
\[ | \[ | ||
\begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
− | \komut{\anihilak{i}}{\kreak{i}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \beta_{n_i} | + | \komut{\anihilak{i}}{\kreak{i}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \overline{\beta_{n_i}} \beta_{n_i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} - \beta_{n_i - 1} \overline{\beta_{n_i - 1}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}. |
\end{aligned} | \end{aligned} | ||
\] | \] | ||
Řádka 134: | Řádka 134: | ||
\[ | \[ | ||
\begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
− | \beta_{n_i} | + | \overline{\beta_{n_i}} \beta_{n_i} - \beta_{n_i - 1} \overline{\beta_{n_i -1}} = \sqrt{n_i + 1} \sqrt{n_i + 1} - \sqrt{n_i} \sqrt{n_i} = 1. |
\end{aligned} | \end{aligned} | ||
\] | \] |
Verze z 11. 6. 2018, 08:36
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVAN2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVAN2 | Hoskoant | 6. 5. 2014 | 11:44 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Potocvac | 12. 6. 2017 | 11:17 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Potocvac | 12. 6. 2017 | 18:07 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Hoskoant | 6. 5. 2014 | 10:48 | predmluva.tex | |
Kapitola1 | editovat | Algebraická teorie momentu hybnosti | Potocvac | 8. 6. 2018 | 13:31 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Tenzorové operátory, Wigner-Eckartův teorém | Kubuondr | 13. 6. 2018 | 12:22 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Další ekvivalentní způsoby zápisu kvantové mechaniky | Kubuondr | 13. 6. 2018 | 13:00 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Matice hustoty a smíšené kvantové stavy | Kubuondr | 12. 6. 2018 | 09:59 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Přibližné metody v kvantové mechanice | Kubuondr | 9. 6. 2018 | 21:23 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Propagátor | Potocvac | 3. 5. 2018 | 16:34 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Dráhový integrál | Kubuondr | 5. 4. 2020 | 17:09 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Teorie rozptylu | Kubuondr | 13. 6. 2018 | 07:54 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Partiční suma | Kubuondr | 13. 6. 2018 | 08:14 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Reprezentace vícečásticových systémů | Kubuondr | 11. 6. 2018 | 09:34 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Kvantování klasických polí | Kubuondr | 13. 6. 2018 | 10:45 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Literatura | Hoskoant | 6. 5. 2014 | 10:53 | kapitolaA.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:wkb-1.pdf | wkb-1.pdf |
Image:wkb-2.pdf | wkb-2.pdf |
Image:wkb-3.pdf | wkb-3.pdf |
Image:wkb-4.pdf | wkb-4.pdf |
Image:wkb-5.pdf | wkb-5.pdf |
Image:wkb-ho.pdf | wkb-ho.pdf |
Image:itw-1.pdf | itw-1.pdf |
Image:drahy-1.pdf | drahy-1.pdf |
Image:drahy-2.pdf | drahy-2.pdf |
Image:feynman-1.pdf | feynman-1.pdf |
Image:feynman-2.pdf | feynman-2.pdf |
Image:feynman-3.pdf | feynman-3.pdf |
Image:feynman-4.pdf | feynman-4.pdf |
Image:rozptyl-1.pdf | rozptyl-1.pdf |
Image:rozptyl-2.pdf | rozptyl-2.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN2} \section{Reprezentace vícečásticových systémů} Nechť Hilbertův prostor jedné částice je nějaký separabilní $\hilbert$, na němž zvolíme konečnou nebo spočetnou bázi $(\ket{1}, \ket{2}, \ldots) = (\ket{i})_{i \in \mathscr{I}}$. Uvažujme $n$ částic stejného typu, t.j. nerozlišitelných; jak vypadá báze příslušného Hilbertova prostoru \begin{equation} \hilbert_n=\begin{cases} \mathscr{S}\bigl(\underbrace{\hilbert\otimes\hilbert\ldots\hilbert\otimes\hilbert}_{n\text{-krát}}\bigr),\\ \mathscr{A}\bigl(\underbrace{\hilbert\otimes\hilbert\ldots\hilbert\otimes\hilbert}_{n\text{-krát}}\bigr), \end{cases} \label{eq:hilbert} \end{equation} kde $\mathscr{S}$ a $\mathscr{A}$ označuje symetrickou či antisymetrickou část? (Proč ty jsou pro nerozlišitelné čístice nutné, jsme odvozovali v \cite{hlav:QM}.) Označme si $m_k$ index vektoru v bázi $k$-tého Hilbertova prostoru v \eqref{eq:hilbert}, dohromady tak dostaneme vektor přirozených čísel -- multiindex $(m_1, \ldots, m_n) \in \mathbb{N}^n$. Ten parametrizuje bázi celkového Hilbertova prostoru, protože ta je tvořena normovanými vektory \begin{equation} \frac{ \mathscr{S}\!/\!\mathscr{A} \left( \ket{m_1} \otimes \ket{m_2} \otimes \ldots \otimes \ket{m_n} \right)}{\norm{\ldots}}, \label{eq:bazeTenzoru} \end{equation} kde $\mathscr{S}$, resp. $\mathscr{A}$ působící na vektor značí jeho ortogonální projekci na odpovídající stavový prostor. Takto bychom ovšem mnoho stavů započítali několikrát, při vyčíslování báze si tedy zavedeme podmínku $m_1 \leq m_2 \leq \ldots \leq m_n$, což takovým kolizím zabrání. Pro fermiony je podmínku ještě potřeba posílit na $m_1 < m_2 < \ldots < m_n$, jinak by antisymetrizace v~případech s rovností dávala nulové vektory. %================================================================================ \subsection{Obsazovací čísla, Fockův prostor} %================================================================================ Ukazuje se býti užitečným místo $(m_1, \ldots, m_n)$ parametrizovat bázi tzv. \textbf{obsazovacími čísly} $(n_1, n_2, \ldots)$, $n_i \in \mathbb{N}_0$ a $\sum_{i\in\mathscr{I}} n_i = n$, která se definují jako \begin{equation*} n_i = \#\left\lbrace k \in \hat{n}: m_k = i \right\rbrace, \end{equation*} kde $\hat{n} = \{ 1, 2, \ldots, n \}$. Obsazovací číslo $n_i$ tedy představuje počet částic ve stavu $\ket{i}$. Pomocí obsazovacích čísel zapíšeme stav \eqref{eq:bazeTenzoru} jako \begin{equation} \ket{n_1, n_2, \ldots, n_k, \ldots} = \frac{\mathscr{S}\!/\!\mathscr{A} \bigl( \overbrace{\ket{1} \otimes \ldots \otimes \ket{1}}^{n_1\text{-krát}} \otimes \overbrace{\ket{2} \otimes \ldots \otimes \ket{2}}^{n_2\text{-krát}} \ldots \bigr)}{\norm{\ldots}}. \label{BF:obsaz-cisla} \end{equation} Pro ferminony musíme vyžadovat $\forall i: n_i \in \{0, 1\}$.% \footnote{To znamená, že v \eqref{BF:obsaz-cisla} budou hodnoty $n_i$ značit přítomnost nebo nepřítomnost daného členu.} Při překročení jednoho fermionu na bázový stav by antisymetrizace dala nulový vektor a normalizace by nebyla definovaná. Naším cílem je formalizovat Hilbertův prostor pro libovolný počet částic, tj. prostor, který by obsahoval stavy se všemi možnými počty částic v různých stavech a jejich superpozice. Tento prostor se nazývá \textbf{Fockův prostor} a pro fermiony a bosony se definuje zvlášť. Označme \begin{equation} \hilbert^{\otimes k} = \underbrace{\hilbert \otimes \ldots \otimes \hilbert}_{k\text{-krát}}, \end{equation} kde $\hilbert$ je stále Hilbertův prostor jedné částice, a kde dodefinujeme $\hilbert^{\otimes 0} = \mathbb{C}$. S pomocí této notace např. pro bosony hned umíme napsat hledaný prostor jako direktní součet prostoru pro vakuum ($\mathbb{C}$), prostoru jedné částice, dvou, \ldots \begin{equation} \fock_B(\hilbert) = \mathbb{C} \oplus \hilbert \oplus \mathscr{S}(\hilbert^{\otimes 2}) \oplus \ldots = \sum_{k=0}^{+\infty} \mathscr{S} (\hilbert^{\otimes k}), \end{equation} a stejně tak pro fermiony \begin{equation} \fock_F(\hilbert) = \mathbb{C} \oplus \hilbert \oplus \mathscr{A}(\hilbert^{\otimes 2}) \oplus \ldots = \sum_{k=0}^{+\infty} \mathscr{A} (\hilbert^{\otimes k}). \end{equation} Je hned vidět, že pro $\dim \hilbert < \infty$ tak dostáváme \[ \begin{aligned} \dim \fock_B(\hilbert) &= \infty, \\ \dim \fock_F(\hilbert) &= 2^{\dim \hilbert}. \end{aligned} \] Z konstrukce Fockova prostoru dále vyplývá, že pokud $\hilbert$ je separabilní, $\fock_B(\hilbert)$ i $\fock_F(\hilbert)$ jsou separabilní Hilbertovy prostory, pokud dodefinujeme skalární součin pro $n_1 \neq n_2$, $\ket{\psi} \in \hilbert^{\otimes n_1}$ a $\ket{\varphi} \in \hilbert^{\otimes n_2}$ jako \begin{equation} \braket{\psi}{\varphi} = 0 \end{equation} a pro $n_1 = n_2 = n$ využijeme definice skalárního součinu na tenzorovém součinu prostorů -- pro $\ket{\psi_1} \ldots \ket{\psi_n}$, $\ket{\varphi_1} \ldots \ket{\varphi_n}$ definujeme \begin{equation} \left(\bra{\psi_1} \ldots \bra{\psi_n}\right) \left(\ket{\varphi_1} \ldots \ket{\varphi_n}\right) = \braket{\psi_1}{\varphi_1} \ldots \braket{\psi_n}{\varphi_n}. \end{equation} S pomocí těchto skalárních součinů už umíme spočítat skalární součin libovolných dvou vektorů z Fockova prostoru, obecný direktní součet by se rozložil na součet jednotlivých skalárních součinů, jak je zvykem. %================================================================================ \subsection{Bosonové kreační a anihilační operátory} %================================================================================ Zavádět Fockův prostor nemá mnoho významu bez operátorů, které by vyjadřovaly zobrazení mezi jednotlivými částmi direktního součtu, tj. měnily počet částic v systému. Zavedeme zde kreační a anihilační operátory, které mají velký význam pro druhou kvantizaci.% \footnote{Jestliže vám připomínají formalizmus kolem harmonického oscilátoru ze zimy, jste na dobré cestě.} Prvně se soustřeďme na bosonové operátory v bosonovém Fockově prostoru. Budeme požadovat, aby \textbf{kreační operátor} $\kreak{i}$ přidával do systému jednu částici v $i$-tém stavu, tj. pro bázové vektory \begin{equation*} \kreak{i} : \fock_B(\hilbert) \to \fock_B(\hilbert): \kreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \beta_{n_i} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots}, \end{equation*} kde konstanta $\beta_{n_i}$ prozatím zůstává neurčena. Když už budeme mít kreační operátor, odpovídající \textbf{anihilační operátor} definujeme pomocí hermitovského sdružení \begin{equation} \anihilak{i} = \bigl(\kreak{i}\bigr)^\dagger. \end{equation} Abychom viděli, jaké konstanty $\beta'_{n_i}$ zvolit u anihilačních operátorů, rozepíšeme si jejich působení ve skalárním součinu \[ \begin{aligned} &\brapigket{m_1, \ldots, m_i, \ldots}{\bigl(\kreak{i}\bigr)^\dagger}{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \overline{\brapigket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}{\kreak{i}}{m_1, \ldots, m_i, \ldots}} \notag \\ &\qquad = \overline{\beta_{n_i} \braket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}{m_1, \ldots, m_i + 1, \ldots}} \notag \\ &\qquad = \overline{\beta_{n_i}} \delta_{n_1, m_1} \ldots \delta_{n_i, m_i + 1} \ldots \notag \\ &\qquad = \begin{cases} 0 & \mathrm{pro}\: n_{i}=0\\ \ldots & \mathrm{pro}\: n_{i}>0 \end{cases} \notag \\ &\qquad = \overline{\beta_{n_i-1} \braket{n_1, \ldots, n_{i} - 1, \ldots}{m_1, \ldots, m_i, \ldots}} \notag \\ &\qquad = \overline{\beta_{n_i-1}} \braket{m_1, \ldots, m_i, \ldots}{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots}, \end{aligned} \] neboli vidíme, že \begin{equation} \anihilak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \begin{cases} 0 & \mathrm{pro}\: n_{i}=0,\\ \overline{\beta_{n_i-1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots} & \mathrm{pro}\: n_{i}>0. \end{cases} \end{equation} Vhodnou volbu konstant $\beta_{n_i}$ najdeme z volby komutačních relací kreačního a anihilačního operátoru. Nejprve si ale připravíme $\komut{\anihilak{i}}{\anihilak{j}}$ pro $n_i, n_j > 0$ \[ \begin{aligned} \komut{\anihilak{i}}{\anihilak{j}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} &= \overline{\beta_{n_i-1}} \overline{\beta_{n_j-1}}\ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j - 1, \ldots} \notag \\ &\quad - \overline{\beta_{n_j-1}} \overline{\beta_{n_i-1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j - 1, \ldots} \notag \\ &= 0, \end{aligned} \] pro $n_i = 0 \vee n_j = 0$ nebo pro $i=j$ je výsledek stejný triviálně. Úplně stejně by se ukázalo, že kreační operátory vzájemně komutují. Zkusme nyní pro $i\ne j$ \[ \begin{aligned} \komut{\anihilak{i}}{\kreak{j}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} &= \overline{\beta_{n_i - 1}} \beta_{n_j} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j + 1, \ldots} \notag \\ &\quad - \beta_{n_j} \overline{\beta_{n_i - 1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j + 1, \ldots} \notag \\ &= 0 \end{aligned} \] a nakonec pro $i = j$ \[ \begin{aligned} \komut{\anihilak{i}}{\kreak{i}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \overline{\beta_{n_i}} \beta_{n_i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} - \beta_{n_i - 1} \overline{\beta_{n_i - 1}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}. \end{aligned} \] Poslední komutátor položíme roven jedničce, abychom se co nejvíce přiblížili lineárnímu harmonickému oscilátoru. Celkově tedy pokládáme \begin{equation} \komut{\anihilak{i}}{\kreak{j}} = \delta_{ij} \opone. \label{eq:komutatorBosony} \end{equation} Ke splnění postačí volba $\beta_{n_i} = \sqrt{n_i + 1}$: \[ \begin{aligned} \overline{\beta_{n_i}} \beta_{n_i} - \beta_{n_i - 1} \overline{\beta_{n_i -1}} = \sqrt{n_i + 1} \sqrt{n_i + 1} - \sqrt{n_i} \sqrt{n_i} = 1. \end{aligned} \] Shrnutí naší volby tedy je \begin{equation*} \begin{aligned} \anihilak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \sqrt{n_i} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots}, \\ \kreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \sqrt{n_i + 1} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots}. \end{aligned} \end{equation*} Nyní stav s danými obsazovacími čísly můžeme zapsat výhodně jako \begin{equation*} \ket{n_1, n_2, \ldots} = \frac{\kreak{1}^{n_1}}{\sqrt{n_1 !}} \frac{\kreak{2}^{n_2}}{\sqrt{n_2 !}} \ldots \ket{0}, \end{equation*} kde $\ket{0}$ je vakuový stav, který splňuje \begin{equation} \anihilak{j} \ket{0} = 0, \forall j \in \mathscr{I}, \label{eq:anihilakkk} \end{equation} a díky tomu lze Fockův prostor napsat jako \begin{equation*} \fock_B(\hilbert) = \obal{\left. \left( \prod_{i\in\mathscr{I}} \frac{\kreak{i}^{n_i}}{\sqrt{n_i !}} \right) \ket{0} \right| \sum_{i\in\mathscr{I}} n_i < + \infty}. \end{equation*} %================================================================================ \subsubsection{Operátory počtu částic} %================================================================================ Pomocí kreačních a anihilačních operátorů lze zavést \textbf{\boldmath operátor počtu částic v $i$-tém stavu} \begin{equation} \hat{N}_i = \kreak{i} \anihilak{i}, \end{equation} podívejme se, jak působí: \begin{equation*} \begin{aligned} \kreak{i} \anihilak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \kreak{i} \anihilak{i} \left( \prod_{j\in\mathscr{I}} \frac{\kreak{j}^{n_j}}{\sqrt{n_j !}} \right) \ket{0} \\ &= \underbrace{\prod_{j\in\mathscr{I}, j \ne i} \frac{\kreak{j}^{n_j}}{\sqrt{n_j !}} \frac{\kreak{i}}{\sqrt{n_i !}}}_{= A} \left( \anihilak{i} \left( \kreak{i} \right)^{n_i} \right) \ket{0} = *, \end{aligned} \end{equation*} kde jsme využili toho, že operátory stejného druhu komutují a stejně tak komutují kreační a anihilační operátory s různými indexy, dále použijeme $n_i$-krát známý komutátor \eqref{eq:komutatorBosony} \[ \begin{aligned} * &= A \left( \underbrace{\komut{\anihilak{i}}{\kreak{i}}}_1 \kreak{i}^{n_i -1} + \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i -1} \right) \ket{0} \notag \\ &= \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i -1} \ket{0} \notag \\ &= \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i} \left( \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i - 2} + \kreak{i}^{n_i - 2}\right) \ket{0} \notag \\ &= 2 \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i}^2 \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i - 2} \ket{0} \notag \\ &\,\,\,\vdots \notag \\ &= n_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}, \end{aligned} \] a vidíme, že operátor $\hat{N}_i$ je věrný svému názvu. Pomocí těchto operátorů lze dále definovat \textbf{operátor celkového počtu částic} \begin{equation} \hat{N} = \sum_{i\in\mathscr{I}} \hat{N}_i = \sum_{i\in\mathscr{I}} \kreak{i} \anihilak{i}. \end{equation} Také si všimněme toho, že ${\left\lbrace \hat{N}_i \right\rbrace}_{i=1}^{+ \infty}$ tvoří na $\fock_B(\hilbert)$ úplný soubor komutujících operátorů se společnými vlastními vektory $\ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}$. %================================================================================ \subsubsection{Časový vývoj} %================================================================================ Uvažujme nejprve soustavu $n$ neinteragujících částic. Z hlediska operátoru časového vývoje se každá vyvíjí nezávisle na ostatních, tedy evoluci $n$ částic jsme schopni zapsat pomocí jednočásticových operátorů časového vývoje jako \begin{equation} \hat{U}_n(t, t_0) = \hat{U}_1(t, t_0) \otimes \hat{U}_1(t, t_0) \otimes \ldots \otimes \hat{U}_1(t, t_0) =: \hat{U}_1(t, t_0)^{\otimes n}. \label{BF:operatorU} \end{equation} Hamiltonián celkového systému získáme časovou derivací \eqref{BF:operatorU}. Podle Leibnizova pravidla, ohnutého pro tenzorový součin, \begin{equation*} \hat{H} = \hat{H}_1 \otimes I \otimes \ldots \otimes I \ + \ I \otimes \hat{H}_1 \otimes I \otimes \ldots \otimes I \ + \ \ldots \ + \ I \otimes \ldots \otimes \hat{H}_1 =: \hat{H}_1^{\oplus n}. \end{equation*} Pokud $(\ket{i})_{i\in\mathscr{I}}$ je báze vlastních stavů energie v $\hilbert$, $\hat{H}_1 \ket{i} = E_i \ket{i}$, můžeme přepsat působení takového hamiltoniánu do formalizmu obsazovacích čísel jako \begin{equation} \hat{H} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \sum_{i\in\mathscr{I}} n_i E_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}, \end{equation} což je vzorec použitelný nejen pro pevný celkový počet částic $n$, ale i na Fockově prostoru. Odsud už je jen krok k přepisu pomocí operátorů počtu částic, \begin{equation} \hat{H} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \sum_{i\in\mathscr{I}} E_i \hat{N}_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}. \end{equation} Protože jsme tak rozepsali působení operátoru na každém bazickém vektoru, platí i operátorově \begin{equation} \hat{H} = \sum_{i=1}^{\infty} E_i \hat{N}_i = \sum_{i\in\mathscr{I}} E_i \kreak{i} \anihilak{i}, \end{equation} pro neinteragující částice na $\fock_B(\hilbert)$. Pokud budeme chtít započítat interakci, musíme přidat další členy do hamiltoniánu, které také zapíšeme pomocí kreačních a anihilačních operátorů. Významnou třídu takových operátorů tvoří ty, pro které \begin{equation} \komut{\hat{H}}{\hat{N}} = 0, \end{equation} které zachovávají celkový počet částic. %================================================================================ \subsubsection{Spojité stupně volnosti} %================================================================================ Formálně lze uvažovat popis interakce pomocí obsazovacích čísel příslušejících i operátorům se spojitým spektrem či kombinacím komutujících operátorů, obvykle hybnosti a spinu. Označme odpovídající kreační a anihilační operátory jako \begin{equation} \kreak{\vec{p}, \xi}, \anihilak{\vec{p}, \xi}, \end{equation} kde $\vec{p}$ předepisuje tři složky hybnosti a $\xi$ spin částice, kterou takový operátor vytvoří nebo anihiluje \begin{equation} \kreak{\vec{p}, \xi} \ket{0} \longleftrightarrow \psi_{\vec{p}, \xi} (\vec{x}). \end{equation} Třeba \begin{equation} \kreak{\vec{p}, \xi} \kreak{\vec{p}', \xi} \ket{0}, \end{equation} odpovídá stavu se dvěma částicemi s daným spinem a hybnostmi $\vec{p}$ a $\vec{p}'$, neboli stavu popsaném vlnovou funkcí $\mathscr{S}\bigl(\psi_{\vec{p}, \xi} (\vec{x}) \psi_{\vec{p}', \xi} (\vec{y})\bigr)$. Postulujeme komutační relace dle stejné logiky jako výše, ale s Diracovou funkcí místo Kroneckerovy delty u spojitých indexů: \[ \begin{aligned} \komut{\anihilak{\vec{p}, \xi}}{\anihilak{\vec{p}', \xi'}} &= 0, \\ \komut{\kreak{\vec{p}, \xi}}{\kreak{\vec{p}', \xi'}} &= 0, \\ \komut{\anihilak{\vec{p}, \xi}}{\kreak{\vec{p}', \xi'}} &= \delta_{\xi, \xi'} \delta^{(3)} (\vec{p} - \vec{p}') \opone. \end{aligned} \] Ve vyjádření pro obecný vektor z takového Fockova prostoru je pak potřeba sumu nahradit integrálem, \begin{equation} \ket{\varphi} = \sum_{k=0}^{+ \infty} \left( \prod_{j=1}^{k} \int \dif^3 p_j \sum_{\xi_j} \right) \alpha_{\substack{p_{1},\ldots,p_{k} \\ \xi_{1},\ldots,\xi_{k}}} \prod_{j=1}^k \kreak{\vec{p}_j, \xi_j} \ket{0}, \label{eq:obecnyVektor} \end{equation} kde v koeficientech $\alpha_{\substack{p_{1},\ldots,p_{k} \\ \xi_{1},\ldots,\xi_{k}}}$ jsou schované informace o stavu. %================================================================================ \subsection{Fermionové kreační a anihilační operátory} %================================================================================ Podobně jako pro bosony zavedeme fermionový kreační operátor $\bkreak{j}$. Rozepíšeme jeho působení na stav s obsazovacími čísly $(n_i)_{i\in\mathscr{I}}$ a budeme uvažovat, že konzistentně přidává $j$-tý stav \textsl{nalevo} od již existujících stavů.% \footnote{Pochopitelně $j$-tý stav nesmí již být obsazen, proto uvažujeme $n_j = 0$.} To je důležité, protože antisymetrizace pak přidá správný znaménkový faktor: \[ \begin{aligned} \bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, n_j = 0, \ldots} &= \bkreak{j} \frac{\mathscr{A} \bigl( \ket{1}^{\otimes n_1} \otimes \ket{2}^{\otimes n_2} \otimes \ldots \bigr)}{\norm{\ldots}} \\ &= \frac{\mathscr{A} \bigl( \ket{j} \otimes \ket{1}^{\otimes n_1} \otimes \ket{2}^{\otimes n_2} \otimes \ldots \bigr)}{\norm{\ldots}} \\ &= \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \frac{\mathscr{A} \bigl( \ket{1}^{\otimes n_1} \otimes \ket{2}^{\otimes n_2} \otimes \ldots \otimes \ket{j} \otimes \ldots \bigr)}{\norm{\ldots}} \\ &= \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, n_2, \ldots, n'_j = 1, \ldots}. \end{aligned} \] Fermionový anihilační operátor je potom \begin{equation*} \banihilak{j} \ket{n_1, \ldots, n_j, \ldots} = \begin{cases} 0 & \text{pro\ } n_{j}=0,\\ \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, n_j' = 0, \ldots} & \text{pro\ } n_{j} = 1. \end{cases} \end{equation*} Podívejme se, jaké relace naše operátory splňují. Bez újmy na obecnosti nechť $i<j$. Pokud $n_i$ nebo $n_j$ jsou $1$, pak \begin{equation*} \bkreak{i}\bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = \bkreak{j}\bkreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = 0, \end{equation*} jinak \begin{equation*} \begin{aligned} &\bkreak{i}\bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, 0, \ldots, 0, \ldots} = \notag \\ &\qquad = (-1)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \bkreak{i}\ket{n_1, \ldots, 0, \ldots, 1, \ldots} \notag \\ &\qquad = (-1)^{\sum_{k=1}^{i-1} n_k} (-1)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, 1, \ldots, 1, \ldots} \notag \\ &\qquad = (-1)^{\sum_{k=i}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, 1, \ldots, 1, \ldots}, \end{aligned} \end{equation*} podobně \begin{equation*} \begin{aligned} &\bkreak{j}\bkreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i = 0, \ldots, n_j = 0, \ldots} = \\ &\qquad = (-1)^{\sum_{k=1}^{i-1} n_k} \bkreak{j}\ket{n_1, \ldots, 1, \ldots, 0, \ldots} \\ &\qquad = (-1)^{\left( \sum_{k=1}^{j-1} n_k \right)+ 1} (-1)^{\sum_{k=1}^{i-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, 1, \ldots, 1, \ldots} \\ &\qquad = (-1)^{\left( \sum_{k=i}^{j-1} n_k \right) + 1} \ket{n_1, \ldots, 1, \ldots, 1, \ldots}, \end{aligned} \end{equation*} takže ve všech situacích \begin{equation} \bkreak{i}\bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = - \bkreak{j}\bkreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots}. \end{equation} Z toho vidíme, oproti bosonovým operátorům, že kreační operátory fermionů antikomutují!% \footnote{Příští rok v QFT ukážete, že nějaké kreační a anihilační operátory komutují/antikomutují a z toho usoudíte, že jste popisovali bosony/fermiony.} \begin{equation} \antikomut{\bkreak{i}}{\bkreak{j}} = \bkreak{i} \bkreak{j} + \bkreak{j} \bkreak{i} = 0. \end{equation} Podobně by se ukázalo \[ \begin{aligned} \antikomut{\banihilak{i}}{\banihilak{j}} &= 0, \\ \antikomut{\banihilak{i}}{\bkreak{j}} &= \delta_{ij} \opone, \end{aligned} \] a díky tomu lze fermionový stav zapsat pomocí obsazovacích čísel jako \begin{equation} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \bkreak{1}^{n_1} \ldots \bkreak{i}^{n_i} \ldots \ket{0}. \end{equation} Z antikomutačních relací je také hned vidět \begin{equation} \bkreak{i}^2 = \frac{1}{2} \antikomut{\bkreak{i}}{\bkreak{i}} = 0, \end{equation} což je elegantně zapsaný Pauliho vylučovací princip. %================================================================================ \subsubsection{Operátory počtu částic} %================================================================================ Obdobně jako v případě bosonů lze zavést operátory počtu částic v $j$-tém stavu stejným vztahem i pro fermiony, \begin{equation*} \hat{N}_j = \bkreak{j} \banihilak{j}. \end{equation*} Ty navíc mají zajímavou vlastnost \begin{equation*} \hat{N}_j^2 = \bkreak{j} \banihilak{j} \bkreak{j} \banihilak{j} = \bkreak{j} \left( \antikomut{\banihilak{j}}{\bkreak{j}} - \bkreak{j} \banihilak{j} \right) \banihilak{j} = \bkreak{j} \banihilak{j} = \hat{N}_j, \end{equation*} která dává opět jinak zapsaný Pauliho vylučovací princip, neboť jediná nezáporná celá čísla, která splňují $n_j^2 = n_j$, a tedy mohou být ve spektru $\hat{N}_j$, jsou jednička a nula. V naprosté analogii s bosony lze zavést operátor celkového počtu částic \begin{equation} \hat{N} = \sum_{j\in\mathscr{I}} \hat{N}_j = \sum_{j\in\mathscr{I}} \bkreak{j} \banihilak{j}. \end{equation} %================================================================================ \subsubsection{Hamiltonián} %================================================================================ Pro neinteragující částice můžeme opět zapsat hamiltonián soustavy fermionů \begin{equation*} \hat{H} = \sum_{j\in\mathscr{I}} E_j \hat{N}_j = \sum_{j\in\mathscr{I}} E_j \bkreak{j} \banihilak{j}, \end{equation*} pokud $(\ket{j})_{j\in\mathscr{I}}$ je báze vlastních stavů jednočásticového hamiltoniánu. Užitečná identita pro práci s fermiony je \begin{equation*} \komut{AB}{C} = ABC + (ACB - ACB) - CAB = A \antikomut{B}{C} - \antikomut{A}{C}B, \end{equation*} kterou využijeme například v situacích \begin{gather*} \komut{\hat{H}}{\bkreak{i}} = E_j \komut{\bkreak{j} \banihilak{j}}{\bkreak{i}} = E_j \Bigl( \bkreak{j} \underbrace{\antikomut{\banihilak{j}}{\bkreak{i}}}_{\delta_{ij}} - \underbrace{\antikomut{\bkreak{j}}{\bkreak{i}}}_0 \banihilak{j} \Bigr) = E_i \bkreak{i}, \\ \komut{\hat{H}}{\banihilak{i}} = - E_i \banihilak{i} \end{gather*} pro neinteragující část hamiltoniánů. %================================================================================ \subsubsection{Více druhů částic} %================================================================================ Pokud potřebujeme teorii popisující více druhů částic, je odpovídající Fockův prostor tenzorovým součinem Fockových prostorů jednotlivých druhů částic \begin{equation} \fock = \fock_B(\hilbert^1) \otimes \ldots \otimes \fock_B(\hilbert^{\Lambda}) \otimes \fock_F(\tilde{\hilbert}^1) \otimes \ldots \otimes \fock_F(\tilde{\hilbert}^{\Sigma}), \end{equation} kde $\Lambda$ je počet druhů bosonů a $\Sigma$ je počet druhů fermionů. Je konvence označit $\kreak{\lambda, \vec{p}, \xi}$ bosonový kreační operátor $\lambda$-té částice s danou hybností a spinem $\left\{ -s_\lambda, -s_\lambda+1, \ldots, s_\lambda \right\}$ a obdobně pro fermiony $\bkreak{\sigma, \vec{p}, \xi}$. Dále je obvyklé platnost komutačních relací uvedených výše rozšířit i na různé druhy částic, \begin{equation*} \begin{aligned} \komut{\anihilak{\lambda, \vec{p}, \xi}}{\kreak{\lambda', \vec{p}', \xi'}} &= \delta_{\lambda \lambda'} \delta_{\xi \xi'} \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{p}'), \\ \antikomut{\banihilak{\sigma, \vec{p}, \xi}}{\banihilak{\sigma', \vec{p}', \xi'}} &= 0 = \antikomut{\bkreak{\sigma, \vec{p}, \xi}}{\bkreak{\sigma', \vec{p}', \xi'}}\\ \antikomut{\banihilak{\sigma, \vec{p}, \xi}}{\bkreak{\sigma', \vec{p}', \xi'}} &= \delta_{\sigma \sigma'} \delta_{\xi \xi'} \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{p}'), \end{aligned} \end{equation*} a nechat všechny možné kombinace různých (fermionových vs. bosonových) operátorů komutovat,% \footnote{O této volbě bude ještě mluvit vyučující QFT příští rok.} \begin{equation} \komut{\hat{a}}{\hat{b}} = 0. \end{equation} Lze ještě napsat obecný vektor pro tento systém, ale je to jen komplikovanější, zobecněná analogie vztahu \eqref{eq:obecnyVektor}.