01FA2:Kapitola10: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(oprava Tvrzení 10.) |
(Čárka u r musí být i v důkaze. (tvrzení 10)) |
||
Řádka 35: | Řádka 35: | ||
\end{tvrzeni} | \end{tvrzeni} | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | Pro ověření konvergence stačí, aby konvergovala suma norem, což platí, neboť $\norm{a_k}\le\max_{\lambda\in S(\lambda_0,r)}\norm{F(\lambda)}/r^k$. Dosaďme tedy do řady vyjádření $a_k$, stačí ověřit možnost záměny sumy a integrálu a můžeme psát | + | Pro ověření konvergence stačí, aby konvergovala suma norem, což platí, neboť $\norm{a_k}\le\max_{\lambda\in S(\lambda_0,r')}\norm{F(\lambda)}/r'^k$. Dosaďme tedy do řady vyjádření $a_k$, stačí ověřit možnost záměny sumy a integrálu a můžeme psát |
\[\frac{1}{2\pi\im}\oint\frac{F(\eta)}{\eta-\lambda_0}\sum\left(\frac{\lambda-\lambda_0}{\eta-\lambda_0}\right)^k\d\eta=\frac{1}{2\pi\im}\oint\frac{F(\eta)}{\eta-\lambda_0}\d\eta=F(\lambda).\] | \[\frac{1}{2\pi\im}\oint\frac{F(\eta)}{\eta-\lambda_0}\sum\left(\frac{\lambda-\lambda_0}{\eta-\lambda_0}\right)^k\d\eta=\frac{1}{2\pi\im}\oint\frac{F(\eta)}{\eta-\lambda_0}\d\eta=F(\lambda).\] | ||
Přičemž je potřeba ověřit korektnost záměny sumy a integrálu. | Přičemž je potřeba ověřit korektnost záměny sumy a integrálu. |
Aktuální verze z 4. 6. 2018, 19:19
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01FA2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01FA2 | Gromadan | 30. 9. 2015 | 13:24 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Gromadan | 30. 9. 2015 | 13:40 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Gromadan | 30. 9. 2015 | 13:44 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvod | Kubuondr | 8. 6. 2018 | 08:43 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Fundamentální věty funkcionální analýzy | Kubuondr | 1. 6. 2018 | 09:49 | kapitola1.tex | |
Kapitola10 | editovat | Holomorfní vektorové funkce | Kubuondr | 4. 6. 2018 | 19:19 | kapitola2.tex | |
Kapitola2 | editovat | Spektrum uzavřeného operátoru | Kubuondr | 2. 6. 2018 | 08:16 | kapitola3.tex | |
Kapitola3 | editovat | Spektrální rozklad pro samosdružené omezené operátory | Kubuondr | 8. 6. 2018 | 08:13 | kapitola4.tex | |
Kapitola8 | editovat | Kompaktní operátory | Gromadan | 30. 9. 2015 | 13:35 | kapitola5.tex | |
Kapitola9 | editovat | Hilbert--Schmidtovy operátory | Gromadan | 30. 9. 2015 | 13:33 | kapitola6.tex | |
Kapitola5 | editovat | Neomezené operátory | Kubuondr | 6. 2. 2019 | 09:05 | kapitola7.tex | |
Kapitola6 | editovat | Normální operátory | Admin | 1. 8. 2010 | 00:30 | kapitola8.tex | |
Kapitola7 | editovat | Samosdružené rozšíření symetrických operátorů | Kubuondr | 8. 2. 2019 | 10:08 | kapitola9.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01FA2} \section{Holomorfní vektorové funkce} \begin{define} Buď $\X$ Banachův nad $\C$ a $D\subset\C$ otevřená neprázdná množina. Řekneme, že $F\colon D\to \X$ je holomorfní na $D$, jestliže pro každé $\lambda_0\in D$ existuje derivace, tj. limita \[F'(\lambda_0)=\lim_{\lambda\to\lambda_0}\frac{1}{\lambda-\lambda_0}(F(\lambda)-F(\lambda_0)).\] \end{define} \begin{remark} Nechť $\phi\in \X^*$ a $F\colon D\to \X$ je holomorfní, pak je $\phi\circ F\colon D\to\C$ je holomorfní komplexní funkce a platí $(\phi\circ F)'=\phi\circ F'$ na $D$. \end{remark} \begin{define} Buď $\X$ Banachův nad $\C$ a $D\subset\C$ otevřená neprázdná množina. Řekneme, že $F\colon D\to \X$ je analytická na $D$, jestliže pro každé $\lambda_0\in D$ existuje $r>0$ takové, že $F$ lze na $\lambda\in B(\lambda_0,r)$ vyjádřit ve tvaru $F(\lambda)=\sum_{k=0}^{+\infty}a_k(\lambda-\lambda_0)^k$, kde $(a_k)_{k=0}^{+\infty}$ je posloupnost z $\X$. \end{define} \begin{remark} Nechť křivka $\gamma\colon [a,b]\to D$ je třídy $C^1$ a $F\colon D\to \X$ je spojitá. Potom existuje integrál $\int_\gamma F=\int_a^b F(\gamma(t))\gamma'(t)\d t\in \X$ jako limita $\sum_{j=1}^n F(\gamma(\xi_j))\gamma'(\xi_j)(t_j-t_{j-1})$ pro posloupnost rozdělení $(t_j)_{j=0}^n$ intervalu $(a,b)$ jehož norma $\max(t_j-t_{j-1})$ konverguje k 0, $\xi_j\in(t_{j-1},t_j)$. Navíc platí pro každý pro každý $\phi\in \X^*$ $\phi(\int_\gamma F)=\int_\gamma\phi\circ F$. \end{remark} \begin{tvrzeni} Buď $F\colon D\to \X$ holomorfní, $\gamma$ kladně orientovaná jednoduchá uzavřená křivka v $D$, $\lambda_0\in\intd\gamma\subset D$. Potom \[\frac{1}{2\pi\im}\oint_\gamma\frac{F(\lambda)}{\lambda-\lambda_0}\d\lambda=F(\lambda_0).\] \end{tvrzeni} \begin{proof} Definuji $v:=\frac{1}{2\pi\im}\oint_\gamma\frac{F(\lambda)}{\lambda-\lambda_0}\d\lambda\in \X$. Beru libovolný $\phi\in \X^*$. Pak $\phi(v)=\frac{1}{2\pi\im}\oint_\gamma\frac{\phi(F(\lambda))}{\lambda-\lambda_0}\d\lambda=\phi(F(\lambda_0))$, kde jsme využili platnost příslušného tvrzení pro komplexní funkce. Využitím důsledku Hahn--Banachovy věty pak máme $v=F(\lambda_0)$. \end{proof} \begin{tvrzeni} Buď $F\colon D\to \X$ holomorfní, $\lambda_0\in D$, $r>0$ takové, že $B(\lambda_0,r)\subset D$. Nechť $\gamma$ je kružnice $\gamma(t)=\lambda_0+r'\e^{\im t}$, $0<r'<r$, $t\in[0,2\pi]$. Definujme \[a_k:=\frac{1}{2\pi\im}\oint_\gamma\frac{F(\lambda)}{(\lambda-\lambda_0)^{k+1}}\d\lambda\in \X\] pro $k\in\N_0$. Pak $\sum_{k=0}^{+\infty}a_k(\lambda-\lambda_0)^k$ konverguje k $F(\lambda)$ pro $\abs{\lambda-\lambda_0}<r$. \end{tvrzeni} \begin{proof} Pro ověření konvergence stačí, aby konvergovala suma norem, což platí, neboť $\norm{a_k}\le\max_{\lambda\in S(\lambda_0,r')}\norm{F(\lambda)}/r'^k$. Dosaďme tedy do řady vyjádření $a_k$, stačí ověřit možnost záměny sumy a integrálu a můžeme psát \[\frac{1}{2\pi\im}\oint\frac{F(\eta)}{\eta-\lambda_0}\sum\left(\frac{\lambda-\lambda_0}{\eta-\lambda_0}\right)^k\d\eta=\frac{1}{2\pi\im}\oint\frac{F(\eta)}{\eta-\lambda_0}\d\eta=F(\lambda).\] Přičemž je potřeba ověřit korektnost záměny sumy a integrálu. \end{proof} \begin{dusl} Je-li $F$ holomorfní, je analytická. Navíc musí platit $a_k=1/k!\;F^{(k)}(\lambda_0)$, takže jsou koeficienty v řadě určeny jednoznačně. \end{dusl} \begin{tvrzeni} Buďte $0\le R_1<R_2\le+\infty$. Je-li $F$ holomorfní na mezikruží $D=\{\lambda\mid R_1<\abs{\lambda}<R_2\}$, pak na něm existuje jednoznačný rozvoj $F$ do Laurentovy řady \[F(\lambda)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_k\lambda^k\] \end{tvrzeni} \begin{tvrzeni}[Liouvilleova věta] Buď $F\colon\C\to \X$ holomorfní omezená. Pak je $F$ konstantní. \end{tvrzeni} \begin{proof} Pro každý omezený funkcionál $\phi\in \X^*$ je $\phi\circ F$ holomorfní omezená komplexní funkce definovaná na celém $\C$. O ní již víme, že musí být konstantní. Pro každé $\lambda\in\C$ je tedy $\phi(F(\lambda))=\phi(F(0))$. Z důsledku Hahn--Banachovy věty můžeme opět usoudit, že to znamená $F(\lambda)=F(0)$, tedy $F$ je konstantní. \end{proof}