01RMF:Kapitola5: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(původní zápis byl zavádějící.) |
m (závorka) |
||
Řádka 361: | Řádka 361: | ||
Uveďme některé příklady ortogonálních bází na prostoru funkcí lebegueovsky integrovatelných s kvadrátem. | Uveďme některé příklady ortogonálních bází na prostoru funkcí lebegueovsky integrovatelných s kvadrátem. | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item Pro $G = (-\pi,\pi)$ je to například $\left\{1 , \sin\left(nx\right), \cos\left(nx\right) | + | \item Pro $G = (-\pi,\pi)$ je to například $\left\{1 , \sin\left(nx\right), \cos\left(nx\right) : n\in \mathbb{N} \right\}.$ |
\item {\it Ortogonální polynomy} (resp. ON polynomy při použití Gramm-Schmidtova ON procesu) | \item {\it Ortogonální polynomy} (resp. ON polynomy při použití Gramm-Schmidtova ON procesu) | ||
Ze Stone-Weierstrassovy věty plyne, že každou funkci z $L^2(a,b)$ je možné libovolně přesně aproximovat polynomem. \footnote{Pokud si myslíte, že jste o této větě nikdy neslyšeli, máte pravdu. Na FJFI se s ní obvykle jen setká pár vybraných jedinců u zkoušky z MAA3, kdy ji mají dokázat jako nové tvrzení, resp. o něm uvažovat. Jinak je možné se s ní setkat třeba na předmětu 01TOP, ale... } Odtud plyne, že $$\left\{ x^l : l\in \mathbb{N}_0 \right\}$$ je totální množina v $L^2((a,b))$. Z tohoto souboru pak můžeme pomocí Gramm-Schmidtova ON procesu získat různou volbou skalárního součinu | Ze Stone-Weierstrassovy věty plyne, že každou funkci z $L^2(a,b)$ je možné libovolně přesně aproximovat polynomem. \footnote{Pokud si myslíte, že jste o této větě nikdy neslyšeli, máte pravdu. Na FJFI se s ní obvykle jen setká pár vybraných jedinců u zkoušky z MAA3, kdy ji mají dokázat jako nové tvrzení, resp. o něm uvažovat. Jinak je možné se s ní setkat třeba na předmětu 01TOP, ale... } Odtud plyne, že $$\left\{ x^l : l\in \mathbb{N}_0 \right\}$$ je totální množina v $L^2((a,b))$. Z tohoto souboru pak můžeme pomocí Gramm-Schmidtova ON procesu získat různou volbou skalárního součinu |
Verze z 20. 12. 2017, 18:25
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01RMF
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01RMF | Mazacja2 | 16. 12. 2016 | 18:29 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Mazacja2 | 28. 12. 2016 | 13:12 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Mazacja2 | 18. 12. 2016 | 21:10 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Mazacja2 | 9. 11. 2016 | 20:51 | predmluva.tex | |
Kapitola1 | editovat | Motivace | Johndavi | 8. 4. 2019 | 16:34 | motivace.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněné funkce | Lomicond | 7. 12. 2019 | 16:51 | zobecnene_funkce.tex | |
Kapitola3 | editovat | Integrální transformace | Lomicond | 25. 12. 2019 | 15:58 | integralni_transformace.tex | |
Kapitola4 | editovat | Řešení dif. rovnic | Johndavi | 9. 4. 2019 | 15:15 | reseni.tex | |
Kapitola5 | editovat | Integrální rovnice | Johndavi | 8. 4. 2019 | 16:25 | Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Sturm-Liouvilleova teorie | Johndavi | 8. 4. 2019 | 15:35 | Kapitola6.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF} \chapter{Integrální rovnice, spektrum, ON báze} V celé kapitole budeme množinou $G$ rozumět omezenou oblast v $\R^n$. Budeme obecně zkoumat dva případy funkcí, a to \begin{enumerate} \item funkce $L^2(G)$ s normou $\Vert f\Vert_2 = \left(\displaystyle \int_G f \bar{f} \dd x \right)^{\frac{1}{2}}$; \item funkce $\C(\bar{G})$ s normou $\Vert f \Vert_{\C} = \mathrm{max}_{x\in \bar{G}} |f(x)|$. \end{enumerate} \section{Fredholmovy integrální rovnice} Definujme integrální operátor $$ \Kb \phi(x) = \displaystyle \int_{G} \K(x,y) \phi(y) \dd y, $$ přičemž $\K$ nazýváme integrální jádro a budeme předpokládat, že $\K\in \C(\bar{G} \times \bar{G})$. Označme $M = \mathrm{max}_{\bar{G}\times \bar{G}} |\K(x,y)|$, tzv. mez jádra. Dále označme $V = \displaystyle \int_{G} 1 \dd x < +\infty$ \begin{define} Fredholmovou integrální rovnicí pro funkci $\phi$ rozumíme rovnici tvaru $$ \phi= \lambda \Kb \phi + f ,$$ kde $\lambda \in \mathbb{C}$, funkce $f$ se tradičně nazývá pravá strana a $\Kb$ je integrální operátor se spojitým jádrem. \end{define} Tuto úlohu můžeme přepsat do ekvivalentní podoby $(\mathbf{I} - \lambda \Kb)\phi =f$ a hledáme řešení buď v $L^2(G)$ (pak $g \in L^2(G)$), nebo v $\C(\bar{G})$ (pak $g\in \C(\bar{G})$). Speciálně pro nulovou pravou stranu dostáváme úlohu na vlastní čísla operátoru $\Kb$. \subsection{Degenerované jádro} \begin{define} Řekneme, že integrální jádro $\K(x,y)$ je degenerované, jestliže je separovatelné, tj. existuje $p \in \mathbb{N}$ tak, že je možné jej zapsat ve tvaru $\K(x,y) = \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)v_j(y)$, kde $u_j(x), v_j(y) \in \C(\bar{G})$. \end{define} Přepišme nyní Fredholmovu integrální rovnici pro degenerované jádro: $$\phi(x) = \lambda \Kb \phi(x) + f(x) = \lambda \displaystyle \int_{G} \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)v_j(y) \phi(y) \dd y + f(x)= $$ $$ = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x) \underbrace{\displaystyle \int_{G} v_j(y) \phi(y) \dd y}_{c_j\in \mathbb{C}} + f(x)$$ Tímto jsme získali tvar řešení $$ \phi(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)c_j + f(x).$$ Nyní je možné dosazením do původní rovnice určit koeficienty. My tyto koeficienty určíme jinou metodou. Uvažujme tedy řešení $$ \phi(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)c_j + f(x).$$ Pronásobme celou rovnost výrazem $v_j(x)$ a zintegrujme ji přes $G$ podle $x$. Máme pak $$c_j = \displaystyle \int_G v_j(x)\phi(x) \dd x = \lambda \displaystyle \sum_{k=1}^{p} c_k \displaystyle \int_{G} u_k(x)v_j(x) \dd x + \displaystyle \int_{G} v_j(x)f(x) \dd x.$$ Pokud tuto úpravu provedeme pro veškerá $j$, získáme soustavu lineárních algebraických rovnic pro koeficienty $c_j$. Označme $c_i = \displaystyle \int_{G}v_i(x)\phi(x) \dd x$ a dosaďme za $\phi(x)$ z Fredholmovy rovnice: $$c_i = \displaystyle \int_{G} (v_i(x)(\lambda \Kb \phi(x) + f(x) ) \dd x = \lambda \displaystyle \int_{G} v_i(x) \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x) \left( \displaystyle \int_{G}v_j(y)\phi(y) \dd y \right) \dd x + \displaystyle \int_{G} v_i(x)f(x) \dd x = $$ $$ = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p} \underbrace{\left( \displaystyle \int_{G}v_i(x)u_j(x)\dd x \right)}_{A_{ij}} \underbrace{\left( \displaystyle \int_{G}v_j(y)\phi(y)\dd y \right)}_{c_j} + \underbrace{ \displaystyle \int_{G}v_i(x)f(x)\dd x }_{b_i}$$ Tedy jsme získali rovnici $$c = \lambda \A c + b.$$ Označme $c^{\ast}$ řešení této rovnice. Jelikož celou dobu chceme získat řešení Fredholmovy integrální rovnice, dosaďme tento výsledek do tvaru, do kterého jsme rovnici v první úpravě převedli. $$\phi^{\ast}(x) = \lambda \Kb \phi^{\ast}(x) +f = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x) \underbrace{\displaystyle \int_{G} v_j(y)\phi^{\ast}(y) \dd y}_{c_j^{\ast}} + f(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x) c^{\ast}_j(x) + f(x)$$ Tímto jsme vyřešili Fredholmovu rovnici pro degenerované jádro. \subsection{Iterativní metody řešení} \begin{theorem} Integrální operátor $\Kb$ se spojitým jádrem $\K$ zobrazuje: \begin{enumerate} \item $L^2(G) \to \C(\bar{G})$, protože $\Vert \Kb f \Vert_{\C} \leq M\sqrt{V} \Vert f \Vert_2$ pro všechny $f\in L^2(G)$; \item $\C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$, protože $\Vert \Kb f \Vert_{\C} \leq MV \Vert f \Vert_{\C}$ pro všechny $f \in \C(\bar{G})$; \item $ L^2(G) \to L^2(G)$, protože $\Vert \Kb f \Vert_2 \leq MV \Vert f \Vert_2$ pro všechny $f\in L^2(G)$. \end{enumerate} \begin{proof} V důkazu budeme často využívat Schwarzovu nerovnost a mez jádra. \begin{enumerate} \item $$\Vert \Kb f \Vert_{\C} = \mathrm{max}_{\bar{G}} \left| \displaystyle \int_{G} \K(x,y) f(y)\dd y \right| \leq \mathrm{max}_{\bar{G}} \left| \left(\displaystyle \int_{G}\K^2(x,y) \dd y\right)^{\frac{1}{2}} \left( \displaystyle \int_{G} f^2(y) \dd y\right)^{\frac{1}{2}}\right| =$$ $$ = \sqrt{M^2}\mathrm{max}_{\bar{G}} \left(\displaystyle \int_{G}1 \dd y\right)^{\frac{1}{2}} \Vert f \Vert_2 = M \sqrt{V}\Vert f \Vert_2$$ \item $$\Vert \Kb f \Vert_{\C} = \mathrm{max}_{\bar{G}} \left| \displaystyle \int_{G} \K(x,y) f(y)\dd y \right| \leq \mathrm{max}_{\bar{G}} \displaystyle \int_{G}|\K(x,y)| |f(y)| \dd y \leq M \Vert f \Vert_{\C}$$ \item $$\Vert \Kb f \Vert^2_{2} = \displaystyle \int_{G} \left| \Kb f(x) \right|^2 \dd x = \displaystyle \int_{G} \left| \left( \displaystyle \int_{G} \K(x,y) f(y)\dd y \right) \right|^2 \dd x \leq $$ $$\leq \displaystyle \int_{G} \left[\left(\displaystyle \int_{G}|\K(x,y)|^2 \dd y \right)^{\frac{1}{2}} \left( \displaystyle \int_{G}|f(y)|^2 \dd y \right)^{\frac{1}{2}}\right]^{2} \dd x \leq $$ $$ \leq \displaystyle \int_{G} \left( MV^{\frac{1}{2}} \Vert f \Vert_2\right)^2 \dd x = M^2 V^2 \Vert f \Vert_2 ^2$$ Odtud již plyne požadovaná nerovnost. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{define} Buďte $V, V_1$ normované vektorové prostory. Zobrazení (operátor) $B:V\to V_1$ nazveme {\bf omezené (omezený)}, jestliže existuje $c>0$ takové, že pro všechna $x\in V$ platí, že $$\Vert Bx\Vert_1 \leq c\Vert x\Vert.$$ Nejmenší takovéto $c$ nazveme normou operátoru $B$ a označujeme jej $\Vert B \Vert$. \end{define} Je zřejmé, že normu operátoru lze snadno určit pomocí vztahu $$ \Vert B \Vert = \mathrm{sup}_{x \neq 0} \frac{\Vert Bx\Vert_1}{\Vert x\Vert}. $$ \begin{theorem} Buďte $(V,\Vert \ \cdot \ \Vert), (V_1,\Vert \ \cdot \ \Vert_1)$ normované prostory \footnote{Nikoliv nutně Banachovy, nepožadujeme úplnost!} a buď $B:V \to V_1$ lineární operátor. Pak následující výroky jsou ekvivalentní : \begin{enumerate} \item $B$ je omezený; \item $B$ je spojitý; \item $B$ je spojitý v bodě. \begin{proof} \begin{enuemrate} \item[$1 \Rightarrow 2$] $$\Vert Bx -By\Vert_1 = \Vert B(x-y)\Vert_1 \leq \Vert B \Vert \Vert x-y \Vert$$ Odtud již z omezenosti plyne spojitost. \item[$2 \Rightarrow 3$] Je zřejmé, že zobrazení, které je spojité (tedy je spojité v každém bodě svého definičního oboru), je spojité v bodě. \item[$3 \Rightarrow 1$] Buď $B$ spojité BÚNO v $x=0$. To znamená, že $$\forall \epsilon >0 \ \exists \delta >0 \ \Vert x \Vert < \delta \Rightarrow \Vert Bx \Vert_1 < \epsilon.$$ Volme tedy $\epsilon = 1$. Pak $\Vert x \Vert < \delta \Rightarrow \Vert Bx \Vert_1 < 1$. Beru-li nyní libovolné $y\in V$, $y \neq 0$, pak zcela jistě $$\left\Vert \frac{\delta}{2} \frac{y}{\Vert y \Vert}\right\Vert < \delta \Rightarrow \left\Vert B\left(\frac{\delta}{2} \frac{y}{\Vert y \Vert}\right) \right\Vert_1 <1 $$ Toto ale lze přepsat na tvar $$ \frac{\delta}{2}\frac{1}{\Vert y \Vert} \Vert By \Vert_1 < 1 \Leftrightarrow \Vert By \Vert_1 < \frac{2}{\delta}\Vert y \Vert$$ Tímto jsme ukázali omezenost. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} Důsledkem této věty je fakt, že Fredholmův integrální operátor je omezený a spojitý (a samozřejmě lineární) jako zobrazení $L^2(G) \to \C(\bar{G})$, $\C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$, $ L^2(G) \to L^2(G)$. \subsection{Metoda postupných aproximací na $\C(\bar{G})$} Předpokládejme, že $f \in \C (\bar{G})$ a hledejme funkci $\phi \in \C (\bar{G}) $, která bude řešit úlohu $$\phi(x) = \lambda \Kb \phi(x) + f(x).$$ Jak název metody napovídá, budeme se snažit najít řešení iterací. Proto položme $$ \phi_0(x) = f(x),$$ $$ \phi_{k+1}(x) = \lambda \Kb \phi_{k}(x) + f(x). $$ Získáváme posloupnost funkcí $\phi_k(x)$. Je zřejmé, že $$\displaystyle \lim_{k\to + \infty} \phi_k(x) = \phi(x),$$ což je funkce, která řeší zadanou úlohy. \begin{theorem} Buď $|\lambda| < \frac{1}{MV}$. Pak posloupnost $\phi_k \sk{\bar{G}} \phi$, kde funkce $\phi$ je jediným řešením rovnice $\phi(x) = \lambda \Kb \phi(x) + f(x).$ \begin{proof} Z rekurentního vztahu dostáváme $$\phi_k= \displaystyle \sum_{j=1}^{k} \lambda^j \Kb^j f + f.$$ Toto ověříme matematickou indukcí: Pro $k=0,1$ je vztah dle definice výše zřejmě splněn. Proto se zaměřme na přechod od $k$ ke $k+1$: $$\phi_{k+1}= \lambda \Kb \phi_k + f = \lambda \Kb \left(\displaystyle \sum_{j=1}^{k}\lambda^j \Kb^j f + f \right) +f = \displaystyle \sum_{j=1}^{k}\lambda^{j+1} \Kb^{j+1} f + \lambda \Kb f + f = $$ $$= \displaystyle \sum_{j=2}^{k+1}\lambda^{j} \Kb^{j} f + \lambda \Kb f + f = \displaystyle \sum_{j=1}^{k+1}\lambda^{j} \Kb^{j} f + f $$ Abychom ukázali stejnoměrnou konvergenci funkční posloupnosti $\phi_k$, stačí ukázat, že řada $\displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\lambda^{j} \Kb^{j} f$ konverguje stejnoměrně. K důkazu toho tvrzení využijeme Weierstrassovu větu, která říká, že stačí najít konvergentní číslenou majorantu. Stačí totiž pracovat v normě. Tedy řada $\displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\lambda^{j} \Kb^{j} f$ konverguje stejnoměrně na $\bar{G}$, pokud $\displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\Vert\lambda^{j} \Kb^{j} f \Vert_{\C}$ konverguje. Použijme nyní pro člen uvnitř této sumy odhad: $$\Vert\lambda^{j} \Kb^{j} f \Vert_{\C} \leq |\lambda MV|^j \Vert f \Vert_{\C}$$ Jelikož je $\Vert f \Vert_{\C}$ konstanta, je možné ji z řady vytknout a díky předpokladům \footnote{Tento předpoklad tam není jen z důvodu \uv{aby to vyšlo}, ale vyplývá ze spektra operátoru, o kterém bude pojednáno dále.} je výraz v závorce ostře menší než jedna, tudíž řada (geometrická) konverguje. Jednoznačnost se ukáže sporem, jak tomu obvykle bývá. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Z důkazu vyplynulo, že $$\phi(x) = \displaystyle \lim_{k\to +\infty} \phi_{k}(x) = \displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\lambda^{j} \Kb^{j} f(x) + f(x).$$ Později ukážeme, že $\Kb^j$ je integrální operátor s jádrem $\K_j(x,y)$. Využijme nyní této znalosti a zkusme formálně rozepsat výraz, který jsme dostali. Můžeme rovněž zkusit provést záměnu sumy a integrálu a zkoumat výraz, který obdržíme. Korektnost postupu bude ověřena později. $$\displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\lambda^{j} \Kb^{j} f(x) + f(x) = \displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\lambda^{j} \displaystyle \int_{G}\K_j(x,y)f(y)\dd y + f(x) =$$ $$= \lambda \displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}\lambda^{j} \displaystyle \int_{G}\K_{j+1}(x,y)f(y)\dd y + f(x) = \lambda \displaystyle \int_{G} \left(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}\lambda^{j} \K_{j+1}(x,y)\right) f(y) \dd y + f(x)$$ Výraz $\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}\lambda^{j} \K_{j+1}(x,y)$ nazývámme {\it resolventa} a označujeme jej $\Res(x,y,\lambda)$. Pomocí resolventy je pak možné napsat funkci $\phi(x)$ ve tvaru: $$\phi(x) = \lambda \displaystyle \int_{G} \Res(x,y,\lambda) f(y) \dd y + f(x)$$ Je očividné, jakou výhodu resolventa poskytuje. Jestliže máme nějaký integrální operátor, tak pro něj spočítáme jen jednou resolventu a pak pomocí ní konstruujeme řešení pro libovolnou pravou stranu $f$. \end{remark} \subsection{Metoda iterovaných jader} \begin{remark} Buďte $K,L: \C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$ integrální operátory se spojitými jádry $\K(x,y),\mathscr{L}(x,y)$. Pak operátor $(KL):\C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$ a působí na funkci $f$ následovně: $$(KLf)(x) =K(Lf(z))(x) = \displaystyle \int_{G} \K(x,z)Lf(z) \dd z = \displaystyle \int_{G} \K(x,z) \left(\displaystyle \int_{G} \mathscr{L}(z,y) f(y) \dd y \right)\dd z =$$ $$ = \displaystyle \int_{G} f(y) \left( \displaystyle \int_{G} \K(x,z)\mathscr{L}(z,y) \dd z \right) \dd y$$ Odtud plyne, že $KL$ je integrální operátor se spojitým jádrem $ \int_{G} \K(x,z)\mathscr{L}(z,y) \dd z $. Speciálně, dosadíme -li ze $L = K^j$, získáme rekurentní vztah pro posloupnost iterovaných jader. $$\K_{j+1} (x,y) = \displaystyle \int_{G}\K(x,z)\K_j(z,y) \dd z $$ \end{remark} Následující věta korektně zdůvodní, proč je možné provést záměny, kterou jsme dělali v postupu výše. \begin{theorem}[o možnosti záměny] Je-li $|\lambda|< \frac{1}{MV}$, pak řada $\Res(x,y,\lambda) = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}\lambda^k \K_{k+1}(x,y)$ konverguje v $\C (\bar{G} \times \bar{G})$. Řadu $\Res$ nazýváme resolventní jádro. Toto jádro je spojité na $\C(\bar{G}\times \bar{G}\times B_{\frac{1}{MV}}(0))$. Navíc řešení $\phi$ rovnice $\phi = \lambda \Kb \phi + f$ je $$\phi(x) = f(x) + \lambda \displaystyle \int_{G} \Res(x,y,\lambda) f(y) \dd y.$$ \begin{remark} Celou dobu řešíme problém $\phi = \lambda \Kb \phi + f$, který je možno převést na tvar $(\mathbf{I} - \lambda \Kb) \phi = f$. Zároveň ale tato věta říká, že $\phi = f+ \lambda \mathbf{R} f = (\mathbf{I} + \lambda \mathbf{R})f$. Odtud ale plyne, že $$(\mathbf{I}-\lambda \Kb)^{-1} = (\mathbf{I} + \lambda \mathbf{R}).$$ Tedy problém nalezení řešení integrální rovnice vyřešíme nalezením inverzního operátoru se spojitým jádrem pomocí původního operátoru. Tímto získáme mnohem více informací, než kdybychom použili kteroukoliv jinou metodu. \end{remark} \begin{proof} Ukážeme, že $\Res$ je stejnoměrně konvergentní. Pak je možné v postupu provést záměnu a tím je tvrzení dokázáno. K vyšetření stejnoměrné konvergence opět použijeme Weierstrassovu větu. Buď proto $x,y \in \bar{G}$ libovolná. Pak $$\left| \K_{p+1}(x,y)\right| = \left| \displaystyle \int_{G} \K(x,z) \K_{p}(z,y) \dd z \right| \leq MV \mathrm{max}_{\bar{G} \times \bar{G}} \left|\K_{p}(x,y) \right|.$$ Toto ale říká, že $$ \left\Vert \K_{p+1}\right \Vert_{\C} \leq MV \left\Vert \K_p \right \Vert_{\C}$$ Tímto dokážeme odhadnout každý člen. Zbývá vyšetřit odhad prvního členu. $$ \left| \K_1(x,y) \right| \leq \left| \K(x,y) \right| \Rightarrow \left \Vert \K_1 \right \Vert_{\C} = M $$ Odtud již získáváme žádaný odhad $$ \left\Vert \K_p \right \Vert_{\C} \leq M^pV^{p-1} $$ Je očividné, že $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \left \Vert \lambda^k \K_{k+1}\right\Vert_{\C} $ je číselnou majorantou $\Res$. Navíc pro ni platí $$\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \left \Vert \lambda^k \K_{k+1}\right\Vert_{\C} \leq \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} |\lambda|^k M^{k+1}V^k = \frac{M}{1-|\lambda|MV} < + \infty$$ Tedy jsme nalezli číselnou majorantu, která majorizuje $\Res(x,y,\lambda)$ pro libovolné $x,y$ z uvažovaného definičního oboru. Z tohoto důvodu můžeme při hledání řešení (v rozepisování, které jsme provedli před touto větou, jdeme zpětně) zaměňovat řadu a integrál. \end{proof} \end{theorem} \section{Volterrovy integrální rovnice} \begin{define} Buď $G = (0,a)$, kde $a>0$. Pak {\bf Volterrovou integrální rovnicí} nazýváme rovnici tvaru $$ \phi(x) = \lambda \displaystyle \int_{0}^{x} \K(x,y)\phi(y) \dd y + f(x) = \lambda \Kb \phi + f.$$ \end{define} Hned vidíme, že metoda degenerovaného jádra zde nemá žádnou praktickou výhodu, neboť máme proměnnou $x$ v mezi integrálu. chtěli bychom ale problém řešení Volterrovy rovnice převést na Fredholmovu rovnici, tj. do tvaru $$ \lambda \Kb \phi + f = \lambda \displaystyle \int_{G} \widetilde{\K}(x,y) \phi (y) + f(x) = \lambda \widetilde{\Kb} \phi + f,$$ kde $\widetilde{\Kb}$ je Fredholmův integrální operátor. Proto se zavádí tzv. Volterrovo integrální jádro: \begin{define} {\bf Volterrovo integrální jádro} je definováno jako $$\widetilde{\K}(x,y)=\left\{\begin{array}{ll} \K(x,y), &\mbox{pro } 0\leq y<x<a, \\0 &\mbox{jinak}. \end{array}\right.$$ \end{define} Je snadno vidět, že Volterrovo integrální jádro působí nenulově na množině, kterou je v $\R^2$ pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník, který má jednu z odvěsen na x-ové ose. \begin{remark} Volterrovo jádro není nutně spojité! Ukážeme později, že předpoklad spojitosti je zbytečně silný. Spokojíme se totiž pouze se spojitostí jádra $ \K$ na výše zmiňovaném trojúhelníku. \end{remark} \subsection{Iterovaná jádra} Nejprve si uvědomme, že operátor $\widetilde{\K}(x,z)$ je nenulový pro $0<z<x<a$ a operátor $\widetilde{\K}_k(z,y)$ je nenulový pro $0<y<z <a$. Na množině, na které je operátor nenulový, pak působí jako $\K(x,z)$, resp. $\K_k(z,y)$ Proto potom platí $$\widetilde{\K}_{k+1}(x,y) = \displaystyle \int_{0}^{a} \widetilde{\K}(x,z)\widetilde{\K}_k(z,y)\dd z =\displaystyle \int_{y}^{x} \K(x,z)\K_k(z,y) \dd z .$$ Zvolíme-li $y>x$, integrujeme přes prázdnou množinu a proto je integrál nulový, tedy je vidět, že $\widetilde{\K}_{k+1}(x,y)$ má strukturu Volterrova integrálního jádra, přičemž jeho nenulové hodnoty jsou dány hodnotami $\K_{k+1}(x) = \displaystyle \int_{y}^{x} \K(x,z)\K_k(z,y) \dd z $. Je zřejmě jasné, kam směřujeme. Najdeme jen odhad pro velikost obrazu Volterrova integrálního operátoru a převedeme tento případ na Fredholmovu úlohu. \begin{lemma} Buď $\Kb$ Volterrův integrální operátor. Pak pro všechna $p\in \mathbb{N}_0$ a pro všechna $x\in \left[ 0, a\right]$ platí $$ \left| \Kb^p \phi(x)\right| \leq \frac{(Mx)^p}{p!}\Vert \phi \Vert_{\C}.$$ \begin{proof} Tvrzení dokážeme matematickou indukcí. Pro $p=0$ zjevně platí. Pro $p=1$ platí: $$ |\Kb \phi(x)| = \left|\displaystyle \int_{0}^{x}\K(x,y)\phi(y) \dd y \right| \leq \displaystyle \int_{0}^{x} |\K(x,y)||\phi(y)|\dd y \leq Mx\Vert \phi \Vert_{\C}. $$ Nyní provedeme indukční krok $p\mapsto p+1$: $$ |\Kb^{p+1} \phi(x)| = |\Kb (\Kb^p \phi(x))| \leq \displaystyle \int_{0}^{x} |\K(x,y)||\Kb^p \phi(y)|\dd y \leq \displaystyle \int_{0}^{x} M \frac{(My)^p}{p!} \Vert \phi \Vert_{\C} \dd y = \frac{(My)^{p+1}}{(p+1)!} \Vert \phi \Vert_{\C}.$$ \end{proof} \end{lemma} V důsledku tohoto lemmatu máme vyřešenou Volterrovu integrální rovnici, protože pro metodu postupných aproximací (u Fredholmových integrálních rovnic) jsme potřebovali znát odhad $\Vert \Kb^p\phi\Vert_{\C}$ kvůli nalezení integrabilní majoranty. Ten ale již máme a dokonce víme, že díky němu bude resolventa konvergovat. Odhad je zřejmě $$ \Vert \Kb^p\phi\Vert_{\C} \leq \frac{(Ma)^p}{p!}\Vert \phi \Vert_{\C}.$$ Zopakujeme-li nyní důkaz, který jsme provedli u metody post. aproximací a iterovaných jader, a využijeme-li odhady výše, máme tyto metody pro Volterrovy rovnice a máme zajištěno, že fungují pro libovolné $\lambda$, neboť odhady tentokrát na $\lambda$ nezávisí. Zformulujme tento poznatek do věty. \begin{theorem} Volterrova integrální rovnice $\phi(x) = \lambda \displaystyle \int_{0}^{x} \K(x,y)\phi(y) \dd y + f(x)$ má pro všechna $\lambda \in \mathbb{C}$ a pro všechny spojité funkce $f$ na uzavřeném intervalu $\left[a,b\right] $ právě jedno řešení $\phi(x)\in\C(\left[a,b\right])$. \end{theorem} \section{Spektrum, ortonormální báze a vlastnosti integrálních operátorů} V této sekci budou definovány pojmy jako spektrum operátoru, ortonormální báze atp., které budou navazovat na látku lineární algebry a budou ji rozšiřovat na prostory nekonečné dimense. Jedná se jistý krátký úvod do funkcionální analýzy. V celé kapitole budeme pracovat s Banachovými prostory, nebude-li řečeno jinak. Operátor $T:X\to X$ bude lineární operátor na Banachově prostoru. Zkoumejme řešení rovnice \begin{equation} \label{vl} (T - \lambda I) x= y \end{equation} v závislosti na $\lambda \in \mathbb{C}$ a $y\in X$. Připomeňme, že z lineární algebry (tj. pro $X$ konečně dimensionální) víme, že spektrum operátoru $T$ je množina $$\sigma(T) = \left\{ \lambda \in \mathbb{C} : \exists x \in X, \ x\neq 0, \ Tx = \lambda x \right \}.$$ Rovněž víme, že $$\lambda \in \sigma(T) \Leftrightarrow \mathrm{det}(T - \lambda I ) =0 .$$ Zmiňme ještě, že operátor je regulární (na prostorech kon. dimense), právě když je prostý a to je tehdy a jen tehdy, když je surjektivní. Proto je-li $y=0$, má rovnice $\eqref{vl}$ řešení, právě když $\lambda \in \sigma(T)$. Jestliže je $y\neq 0$, pak je operátor $(T- \lambda I)$ bijekcí, právě když $\lambda \notin \sigma(T)$. Odtud je možné získat další definici, kterou nakonec zobecníme: $$\sigma(T) = \mathbb{C} \setminus \varrho (T),$$ kde $\varrho(T) = \left\{ \lambda \in \mathbb{C}: (T-\lambda I)^{-1} \mbox{ existuje a je omezený}\right\}$. Tyto úvahy jsou na prostorech konečné dimense ekvivalencemi, ale na prostorech nekonečné dimense ekvivalencemi obecně nejsou. Nyní se již přesuňme na prostory nekonečné dimense. \begin{define} {\bf Spektrem operátoru} $T:X\to X$ ($X$ je Banachův prostor) rozumíme $$ \sigma(T) = \mathbb{C} \setminus \varrho (T),$$ kde $\varrho(T) = \left\{ \lambda \in \mathbb{C}: (T-\lambda I)^{-1} \mbox{ existuje a je omezený}\right\}$ a $\varrho(T)$ nazýváme resolventní množina. \end{define} Na základě toho, co způsobuje to, že operátor $(T-\lambda I)^{-1}$ neexistuje, dělíme spektrum na několik typů. Předpokládejme, že $\lambda \in \sigma(T)$. Pak \begin{enumerate} \item $(T-\lambda I) $ není prosté a tedy k němu neexistuje inverzní operátor. Pak ale tato vlastní čísla $\lambda$ odpovídají řešení rovnice $Tx = \lambda x$ ($\exists y,z \in X,\ y\neq z$ tak, že $(T-\lambda)(y)=(T-\lambda)(z)$). Množinu těchto čísel nazýváme {\it bodové spektrum} a označujeme $\sigma_p(T)$. \item Inverzní operátor existuje, ale není surjektivní. Jestliže je \subitem $\overline{\mathrm{Ran}(T-\lambda I)} = X$, pak říkáme, že $\lambda$ leží ve {\it spojitém spektru}, tj. $\lambda \in \sigma_c(T)$; \subitem $\overline{\mathrm{Ran}(T-\lambda I)} \neq X$, pak říkáme, že $\lambda$ leží v {\it residuálním spektru}, tj. $\lambda \in \sigma_r(T)$. \end{enumerate} Odtud tedy plyne, že spektrum je možné zapsat jako sjednocení bodového, spojitého a residuálního spektra, tj. $$ \sigma = \sigma_p \cup \sigma_c \cup \sigma_r $$ \begin{define} $R_{T}(\lambda) = (T-\lambda I)^{-1}$ se nazývá {\bf resolventa operátoru} pro $\lambda \in \varrho(T)$. Zobrazení $R_T:\varrho(T) \to \mathscr{B}\footnote{$\mathscr{B}$ označuje prostor všech omezených operátorů.}: \lambda \mapsto (T-\lambda I)^{-1} $ nazýváme {\bf resolventní funkcí}. \end{define} Zamysleme se nyní nad souvislostí s integrálními rovnicemi. Jistou roli bude určitě hrát resolventa a parametr $\lambda$. Například díky předešlým úvahám víme, že pro $$\phi = \lambda \Kb \phi +f \Leftrightarrow \left(\Kb - \frac{1}{\lambda}\mathbf{I}\right)\phi = -\frac{1}{\lambda}f $$ nemá smysl hledat řešení $\frac{1}{\lambda}\in \sigma(\Kb)$. Nyní vyslovíme několik drobných tvrzení, která nám pak poslouží k důkazu věty, která vysvětlí onu záhadnou podmínku na $\lambda$ v kapitole o Fredholmových integrálních rovnicích. \begin{lemma} Buďte $B,C$ omezené operátory. Pak operátor $BC$ je omezený a platí $\Vert BC\Vert \leq \Vert B \Vert \cdot \Vert C \Vert $. \begin{proof} $$\Vert BC x\Vert = \Vert B(Cx)\Vert \leq \Vert B\Vert \cdot \Vert Cx\Vert \leq \Vert B\Vert \cdot \Vert C\Vert \cdot \Vert x \Vert $$ Odtud již (protože norma operátoru je nejmenší takové číslo $c$, které splňuje $\Vert BCx\Vert \leq c\Vert x\Vert$ ) plyne, že $$ \Vert BC\Vert \leq \Vert B\Vert \cdot \Vert C\Vert $$ \end{proof} \end{lemma} \begin{lemma} Je-li $B$ omezený operátor a $\Vert I- B\Vert < 1$, pak existuje $B^{-1}$ omezený operátor. \begin{proof} Z faktu, že $\Vert I- B\Vert < 1$ plyne, že posloupnost $\Vert I- B\Vert^{n}$ konverguje k nule. Díky tomu $\forall \epsilon >0 \ \exists m, n \in \mathbb{N}$ taková, že $m<n$, a že platí $$ \left \Vert \displaystyle \sum_{j=m+1}^{n} (I-B)^j \right \Vert \leq \displaystyle \sum_{j=m+1}^{n}\left \Vert (I-B)\right \Vert ^j < \epsilon$$ a tedy posloupnost $S_n = \displaystyle \sum_{j=0}^{n} (I-B)^j$ je cauchyovská. Jelikož je prostor omezených operátorů Banachův, má tato posloupnost za limitu opět omezený operátor $S$. Navíc platí, že \begin{eqnarray*} BS_n = S_nB & = &S_{n+1}- S_n + I \\ & \downarrow \lim & \\ BS = SB & = & I \end{eqnarray*} Tedy $S= B^{-1}$. \end{proof} \end{lemma} \begin{theorem} Buď $T$ omezený operátor , pak $\sigma(T) \subset B_{\Vert T \Vert}(0)$. \begin{proof} Volme $\lambda$ takové, že $|\lambda| > \Vert T \Vert$. Budeme chtít ukázat, že při této volně již $\lambda$ leží v resolventní množině $\varrho(T)$. Proto definujme operátor $A$ jako: $$ A = I - \frac{1}{\lambda}T$$ Tento operátor je zřejmě omezený, protože identický operátor je omezený a násobek omezeného operátoru je rovněž omezený operátor. Navíc $\Vert I - A \Vert <1$. Dle předchozího lemmatu tedy existuje $A^{-1}$ omezený operátor. Nyní zkoumejme operátor z definice resolventní množiny: $$(T-\lambda I)^{-1} = -\lambda(I - \frac{1}{\lambda}T)^{-1} = -\frac{1}{\lambda} A^{-1}$$ Jelikož je operátor na prvé straně omezený, je číslo $\lambda \in \varrho(T)$. Tedy odtud plyne, že pro spektrum, které splňuje $\sigma(T) = \mathbb{C} \setminus \varrho(T)$, platí dokazované tvrzení, tj. $$ \sigma(T) \subset B_{\Vert T \Vert} (0) $$ \end{proof} \end{theorem} V důsledku této věty je již zřejmá podmínka, která vyvstávala u integrálních rovnic. Tam jsme totiž měli operátor $\Kb: \C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$, který byl omezený a norma byla rovna $\Vert \Kb \Vert_{\C} = MV$. Bez důkazu uveďme nyní dvě věty z funkcionální analýzy, které budou úzce souviset s pojmem ortogonální báze, jenž bude představen vzápětí. \begin{theorem} Integrální operátor $\Kb: \C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$ se spojitým jádrem má čistě bodové spektrum kromě 0, všechny vlastní hodnoty mají konečnou násobnost a nemají nenulový hromadný bod. \end{theorem} \begin{theorem}[Hilbert-Schmidtova věta] Buď $\Kb: L^2(G) \to L^2(G)$ integrální operátor se spojitým jádrem $\K(x,y)$, které navíc splňuje $\K(x,y) = \overline{\K(y,x)}$. Pak $\Kb $ má čistě bodové spektrum kromě 0 a z vlastních funkcí operátoru $\Kb$ lze sestavit ortonormální bázi. \end{theorem} Pojem ortonormální (ortogonální) báze je pouhým rozšířením klasické definice báze a pojmů ortogonální, resp. ortonormální množina, tak jak ji známe z lineární algebry. Intuitivně pod pojmem báze rozumíme nějakou množinu, z jejichž prvků jsme schopni lineární kombinací získat libovolný prvek, resp. jsme schopni každý prvek z daného prostoru rozložit do podoby lineární kombinace prvků z této množiny. S nějakou takovouto množinou jsme se již dříve setkali. Při studiu Fourierových řad jsme prováděli v podstatě rozklad funkcí z $L^2((a,a+l))$ do ortogonální báze $$ \left\{ 1 , \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right), \cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) : n\in \mathbb{N} \right\} . $$ Nyní již definujme korektně ortonormální a ortogonální bázi \begin{define} O množině $M$ řekneme, že je ortonormální (ON), resp. ortogonální (OG) bází Hilbertova prostoru $\mathcal{H}$, jestliže \begin{enumerate} \item $M$ je ortonormální, resp. ortogonální množina; \item $\overline{M_{lin}} = \mathcal{H}$, tj. množina všech lineárních kombinací prvků z $M$ je hustá v prostoru $\mathcal{H}$ (taková $M$ je tzv. totální množina). \end{enumerate} \end{define} \begin{theorem} Následující výroky o množině $M\subset \mathcal{H}$ jsou ekvivalentní: \begin{enumerate} \item Množina $M$ je OG bází v $\mathcal{H}$; \item $M^{\perp} = \{0\}$; \item $M$ je maximální OG množina v $\mathcal{H}$, tj. není vlastní podmnožinou jiné OG množiny; \item $\forall x \in \mathcal{H}$ platí $x = \displaystyle \sum_{\alpha \in \mathcal{I}} \beta_{\alpha} m_{\alpha}$ pro $\beta_{\alpha}$ z tělesa (tj. $\R$ nebo $\mathbb{C}$) a $m_{\alpha}\in M$. $\mathcal{I}$ je indexová množina. \end{enumerate} \end{theorem} Uveďme některé příklady ortogonálních bází na prostoru funkcí lebegueovsky integrovatelných s kvadrátem. \begin{enumerate} \item Pro $G = (-\pi,\pi)$ je to například $\left\{1 , \sin\left(nx\right), \cos\left(nx\right) : n\in \mathbb{N} \right\}.$ \item {\it Ortogonální polynomy} (resp. ON polynomy při použití Gramm-Schmidtova ON procesu) Ze Stone-Weierstrassovy věty plyne, že každou funkci z $L^2(a,b)$ je možné libovolně přesně aproximovat polynomem. \footnote{Pokud si myslíte, že jste o této větě nikdy neslyšeli, máte pravdu. Na FJFI se s ní obvykle jen setká pár vybraných jedinců u zkoušky z MAA3, kdy ji mají dokázat jako nové tvrzení, resp. o něm uvažovat. Jinak je možné se s ní setkat třeba na předmětu 01TOP, ale... } Odtud plyne, že $$\left\{ x^l : l\in \mathbb{N}_0 \right\}$$ je totální množina v $L^2((a,b))$. Z tohoto souboru pak můžeme pomocí Gramm-Schmidtova ON procesu získat různou volbou skalárního součinu následující ON polynomy: \subitem na $L^2((0,1))$ se skalárním součinem $\langle u,v \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1} \bar{u}(x)v(x) \dd x$ dávají tzv. {\bf Lagrangeovy polynomy} \subitem na $L^2((0,´+\infty))$ se skalárním součinem $\langle u,v \rangle = \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \bar{u}(x)v(x) e^{-x} \dd x$ dávají tzv. {\bf Laguerrovy polynomy} \subitem {\bf Hermitovy polynomy} etc. \end{enumerate} \begin{remark} Obecně je možné ortogonální polynomy vyjádřit čtyřmi způsoby: \begin{enumerate} \item Gramm-Schmidtovým ortogonalizačním procesem; \item rekurentní formulí; \item diferenciální rovnicí; \item Rodriguezovou formulí. \end{enumerate} \end{remark}