02KVAN2:Kapitola10: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (Hezčí zarovnání pomocí aligned; sjednocení Hamiltonián → hamiltonián) |
|||
Řádka 50: | Řádka 50: | ||
Je hned vidět, že pro $\dim \mathscr{H} < \infty$ tak dostáváme | Je hned vidět, že pro $\dim \mathscr{H} < \infty$ tak dostáváme | ||
− | \begin{ | + | \[ |
− | + | \begin{aligned} | |
− | + | \dim \mathscr{F}_{\mathrm{B}} (\mathscr{H}) &= \infty, \\ | |
− | \end{ | + | \dim \mathscr{F}_{\mathrm{F}} (\mathscr{H}) &= 2^{\dim \mathscr{H}}. |
+ | \end{aligned} | ||
+ | \] | ||
Z konstrukce Fockova prostoru dále vyplývá, že pokud $\mathscr{H}$ je separabilní, $\mathscr{F}_{\mathrm{B}} (\mathscr{H})$ i $\mathscr{F}_{\mathrm{F}} (\mathscr{H})$ jsou separabilní Hilbertovy prostory, pokud dodefinujeme skalární součin pro $k_1 \neq k_2$, $\ket{\psi} \in \mathscr{H}^{\otimes k_1}$ a $\ket{\varphi} \in \mathscr{H}^{\otimes k_2}$ jako | Z konstrukce Fockova prostoru dále vyplývá, že pokud $\mathscr{H}$ je separabilní, $\mathscr{F}_{\mathrm{B}} (\mathscr{H})$ i $\mathscr{F}_{\mathrm{F}} (\mathscr{H})$ jsou separabilní Hilbertovy prostory, pokud dodefinujeme skalární součin pro $k_1 \neq k_2$, $\ket{\psi} \in \mathscr{H}^{\otimes k_1}$ a $\ket{\varphi} \in \mathscr{H}^{\otimes k_2}$ jako | ||
Řádka 84: | Řádka 86: | ||
Abychom viděli jak konstanty $\beta_{n_i}$ vyskočí u anihilačních operátorů, rozepíšeme si jejich působení ve skalárním součinu | Abychom viděli jak konstanty $\beta_{n_i}$ vyskočí u anihilačních operátorů, rozepíšeme si jejich působení ve skalárním součinu | ||
− | \begin{ | + | \[ |
− | + | \begin{aligned} | |
− | + | &\brapigket{m_1, \ldots, m_i, \ldots}{\left(\kreak{i}\right)^\dagger}{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \overline{\brapigket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}{\kreak{i}}{m_1, \ldots, m_i, \ldots}} \notag \\ | |
− | + | &\qquad = \overline{\beta_{n_i} \braket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}{m_1, \ldots, m_i + 1, \ldots}} \notag \\ | |
− | + | &\qquad = \overline{\beta_{n_i}} \delta_{n_1, m_1} \ldots \delta_{n_i, m_i + 1} \ldots \notag \\ | |
− | + | &\qquad = \begin{cases} | |
− | + | 0 & \mathrm{pro}\: n_{i}=0\\ | |
− | + | \ldots & \mathrm{pro}\: n_{i}>0 | |
− | + | \end{cases} \notag \\ | |
− | + | &\qquad = \overline{\beta_{n_i-1} \braket{n_1, \ldots, n_{i} - 1, \ldots}{m_1, \ldots, m_i, \ldots}} \notag \\ | |
− | + | &\qquad = \overline{\beta_{n_i-1}} \braket{m_1, \ldots, m_i, \ldots}{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots}, | |
− | \end{ | + | \end{aligned} |
+ | \] | ||
neboli vidíme, že | neboli vidíme, že | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
Řádka 105: | Řádka 108: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Vhodnou volbu konstant $\beta_{n_i}$ najdeme z volby komutačních relací kreačního a anihilačního operátoru. Nejprve si ale připravíme $\komut{\anihilak{i}}{\anihilak{j}}$ pro $n_i, n_j > 0$ | Vhodnou volbu konstant $\beta_{n_i}$ najdeme z volby komutačních relací kreačního a anihilačního operátoru. Nejprve si ale připravíme $\komut{\anihilak{i}}{\anihilak{j}}$ pro $n_i, n_j > 0$ | ||
− | \begin{ | + | \[ |
− | + | \begin{aligned} | |
− | + | \komut{\anihilak{i}}{\anihilak{j}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} &= \overline{\beta_{n_j-1}} \overline{\beta_{n_i-1}}\ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j - 1, \ldots} \notag \\ | |
− | + | &\quad - \overline{\beta_{n_i-1}} \overline{\beta_{n_j-1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j - 1, \ldots} \notag \\ | |
− | \end{ | + | &= 0, |
+ | \end{aligned} | ||
+ | \] | ||
pro $n_i = 0 \vee n_j = 0$ nebo pro $i=j$ je výsledek triviálně stejný. Úplně stejně by se ukázalo, že kreační operátory vzájemně komutují. | pro $n_i = 0 \vee n_j = 0$ nebo pro $i=j$ je výsledek triviálně stejný. Úplně stejně by se ukázalo, že kreační operátory vzájemně komutují. | ||
Zpět k volbě konstant z komutátoru, zkusíme ho spočítat pro $i \neq j$ | Zpět k volbě konstant z komutátoru, zkusíme ho spočítat pro $i \neq j$ | ||
− | \begin{ | + | \[ |
− | + | \begin{aligned} | |
− | + | \komut{\anihilak{i}}{\kreak{j}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} &= \beta_{n_j} \overline{\beta_{n_i - 1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j + 1, \ldots} \notag \\ | |
− | + | &\quad - \overline{\beta_{n_i - 1}} \beta_{n_j} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j + 1, \ldots} \notag \\ | |
− | \end{ | + | &= 0. |
+ | \end{aligned} | ||
+ | \] | ||
A pro $i = j$ | A pro $i = j$ | ||
− | \begin{ | + | \[ |
− | + | \begin{aligned} | |
− | + | \komut{\anihilak{i}}{\kreak{i}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \beta_{n_i} \overline{\beta_{n_i}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} \notag \\ | |
− | \end{ | + | &\quad - \overline{\beta_{n_i - 1}} \beta_{n_i - 1} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}, |
+ | \end{aligned} | ||
+ | \] | ||
Komutátor položíme roven jedničce, abychom se co nejvíce přiblížili lineárnímu harmonickému oscilátoru. | Komutátor položíme roven jedničce, abychom se co nejvíce přiblížili lineárnímu harmonickému oscilátoru. | ||
Řádka 130: | Řádka 139: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Ještě ověříme, že k tomu postačí volba $\beta_{n_i} = \sqrt{n_i + 1}$ | Ještě ověříme, že k tomu postačí volba $\beta_{n_i} = \sqrt{n_i + 1}$ | ||
− | \begin{ | + | \[ |
− | + | \begin{aligned} | |
− | \end{ | + | \beta_{n_i} \overline{\beta_{n_i}} - \overline{\beta_{n_i -1}} \beta_{n_i - 1} = \sqrt{n_i + 1} \sqrt{n_i + 1} - \sqrt{n_i} \sqrt{n_i} = 1. |
+ | \end{aligned} | ||
+ | \] | ||
Shrnutí naší volby tedy je | Shrnutí naší volby tedy je | ||
− | \begin{ | + | \[ |
− | + | \begin{aligned} | |
− | + | \anihilak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \sqrt{n_i} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots} \\ | |
− | \end{ | + | \kreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \sqrt{n_i + 1} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots} |
+ | \end{aligned} | ||
+ | \] | ||
Nyní stav s danými obsazovacími čísly můžeme zapsat výhodně jako | Nyní stav s danými obsazovacími čísly můžeme zapsat výhodně jako | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
Řádka 159: | Řádka 172: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
podívejme se jak působí | podívejme se jak působí | ||
− | \begin{ | + | \[ |
− | + | \begin{aligned} | |
− | + | \kreak{i} \anihilak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \kreak{i} \anihilak{i} \left( \prod_{k=1}^{\infty} \frac{\kreak{k}^{n_k}}{\sqrt{n_k !}} \right) \ket{0} \notag \\ | |
− | \end{ | + | &= \underbrace{\prod_{k=1, k \neq i}^{\infty} \frac{\kreak{k}^{n_k}}{\sqrt{n_k !}} \frac{\kreak{i}}{\sqrt{n_i !}}}_{= A} \left( \anihilak{i} \left( \kreak{i} \right)^{n_i} \right) \ket{0}, = * |
+ | \end{aligned} | ||
+ | \] | ||
kde jsme využili toho, že operátory stejného druhu komutují a stejně tak komutují kreační a anihilační operátory s různými indexy, dále použijeme $n_i$-krát známý komutátor \eqref{eq:komutatorBosony} | kde jsme využili toho, že operátory stejného druhu komutují a stejně tak komutují kreační a anihilační operátory s různými indexy, dále použijeme $n_i$-krát známý komutátor \eqref{eq:komutatorBosony} | ||
− | \begin{ | + | \[ |
− | + | \begin{aligned} | |
− | + | * &= A \left( \underbrace{\komut{\anihilak{i}}{\kreak{i}}}_1 \kreak{i}^{n_i -1} + \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i -1} \right) \ket{0} \notag \\ | |
− | + | &= \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i -1} \ket{0} \notag \\ | |
− | + | &= \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i} \left( \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i - 2} + \kreak{i}^{n_i - 2}\right) \ket{0} \notag \\ | |
− | + | &= 2 \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i}^2 \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i - 2} \ket{0} \notag \\ | |
− | + | &\,\,\,\vdots \notag \\ | |
− | \end{ | + | &= n_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}, |
+ | \end{aligned} | ||
+ | \] | ||
a vidíme, že název sedí. | a vidíme, že název sedí. | ||
Řádka 184: | Řádka 201: | ||
\subsubsection{Hamiltonián} | \subsubsection{Hamiltonián} | ||
%================================================================================ | %================================================================================ | ||
− | Abychom mohli napsat | + | Abychom mohli napsat hamiltonián soustavy částic, musíme znát i jejich interakci, předpokládejme prozatím proto, že máme neinteragující částice. V tom případě, pokud $\hat{H}_0$ je hamiltonián jedné částice, hned umíme napsat |
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\hat{H} = \hat{H}_0 \otimes I \otimes \ldots \otimes I + I \otimes \hat{H}_0 \otimes I \otimes \ldots \otimes I + \ldots + I \otimes \ldots \otimes \hat{H}_0. | \hat{H} = \hat{H}_0 \otimes I \otimes \ldots \otimes I + I \otimes \hat{H}_0 \otimes I \otimes \ldots \otimes I + \ldots + I \otimes \ldots \otimes \hat{H}_0. | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | Pokud $\ket{i} \in \mathscr{H}$, $\hat{H}_0 \ket{i} = \epsilon_i \ket{i}$, můžeme zapsat působení takového | + | Pokud $\ket{i} \in \mathscr{H}$, $\hat{H}_0 \ket{i} = \epsilon_i \ket{i}$, můžeme zapsat působení takového hamiltoniánu |
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\hat{H} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \sum_{i=1}^{\infty} n_i \epsilon_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}, \: \sum_{i=1}^{\infty} n_i = n, | \hat{H} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \sum_{i=1}^{\infty} n_i \epsilon_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}, \: \sum_{i=1}^{\infty} n_i = n, | ||
Řádka 202: | Řádka 219: | ||
pro neinteragující částice na $\mathscr{F}_{\mathrm{B}} (\mathscr{H})$. | pro neinteragující částice na $\mathscr{F}_{\mathrm{B}} (\mathscr{H})$. | ||
− | Pokud budeme chtít započítat interakci, musíme přidat další členy do | + | Pokud budeme chtít započítat interakci, musíme přidat další členy do hamiltoniánu, které také zapíšeme pomocí kreačních a anihilačních operátorů. Významnou třídu takových operátorů tvoří ty, pro které |
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\komut{\hat{H}}{\hat{N}} = 0, | \komut{\hat{H}}{\hat{N}} = 0, | ||
Řádka 223: | Řádka 240: | ||
Stále postulujeme stejné komutační relace | Stále postulujeme stejné komutační relace | ||
− | \begin{ | + | \[ |
− | + | \begin{aligned} | |
− | + | \komut{\anihilak{\vec{p}, \xi}}{\anihilak{\vec{p}', \xi'}} &= 0, \\ | |
− | + | \komut{\kreak{\vec{p}, \xi}}{\kreak{\vec{p}', \xi'}} &= 0, \\ | |
− | \end{ | + | \komut{\anihilak{\vec{p}, \xi}}{\kreak{\vec{p}', \xi'}} &= \delta_{\xi, \xi'} \delta^{(3)} (\vec{p} - \vec{p}') I. |
+ | \end{aligned} | ||
+ | \] | ||
Obecný vektor z takového Fockova prostoru částic se spinem můžeme napsat jako | Obecný vektor z takového Fockova prostoru částic se spinem můžeme napsat jako | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
− | \ket{\varphi} = \sum_{k=0}^{+ \infty} \left( \prod_{j=1}^{k} \int \dif^3 p_j \sum_{\xi_j} \right) \alpha_{ | + | \ket{\varphi} = \sum_{k=0}^{+ \infty} \left( \prod_{j=1}^{k} \int \dif^3 p_j \sum_{\xi_j} \right) \alpha_{p_{1},\ldots,p_{k} \atop \xi_{1},\ldots,\xi_{k}} \prod_{j=1}^k \kreak{\vec{p}_j, \xi_j} \ket{0}, \label{eq:obecnyVektor} |
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | kde v koeficientech $\alpha_{ | + | kde v koeficientech $\alpha_{p_{1},\ldots,p_{k} \atop \xi_{1},\ldots,\xi_{k}}$ jsou schované informace o stavu. |
%================================================================================ | %================================================================================ | ||
Řádka 238: | Řádka 257: | ||
%================================================================================ | %================================================================================ | ||
Podobně jako pro bosony zavedeme fermionový kreační operátor, který rozepíšeme a dáme si pozor na antisymetrizaci | Podobně jako pro bosony zavedeme fermionový kreační operátor, který rozepíšeme a dáme si pozor na antisymetrizaci | ||
− | \begin{ | + | \[ |
− | + | \begin{aligned} | |
− | + | \bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, n_j, \ldots} &= \bkreak{j} \mathscr{A} \left( \frac{\psi_1(x_1) \ldots \psi_1(x_{n_1}) \psi_2(x_{n_1+1}) \ldots \psi_2(x_{n_1 + n_2}) \ldots}{\norm{\ldots}} \right) \notag \\ | |
− | + | &= \sqrt{n_j + 1} \: \mathscr{A} \left( \frac{\psi_j(x_1) \psi_1(x_2) \ldots \psi_1(x_{n_1 + 1}) \ldots}{\norm{\ldots}} \right) \notag \\ | |
− | \end{ | + | &= \sqrt{n_j + 1} \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, n_2, \ldots, n_j + 1, \ldots}, |
+ | \end{aligned} | ||
+ | \] | ||
kde mínus vyskočilo právě kvůli antisymetrizaci, protože u fermionů záleží na pořadí jednočásticových vlnových funkcí. Fermionový anihilační operátor je potom | kde mínus vyskočilo právě kvůli antisymetrizaci, protože u fermionů záleží na pořadí jednočásticových vlnových funkcí. Fermionový anihilační operátor je potom | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
Řádka 252: | Řádka 273: | ||
Pro další postup budeme bez újmy na obecnosti předpokládat $i<j$, chceme se podívat jaké relace že to naše operátory splňují, rozepišme si proto | Pro další postup budeme bez újmy na obecnosti předpokládat $i<j$, chceme se podívat jaké relace že to naše operátory splňují, rozepišme si proto | ||
− | \begin{ | + | \[ |
− | + | \begin{aligned} | |
− | + | &\bkreak{i}\bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = \notag \\ | |
− | + | &\qquad = \sqrt{n_i + 1} \sqrt{n_j + 1} \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{i-1} n_k} \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots, n_j + 1, \ldots} \notag \\ | |
− | \end{ | + | &\qquad = \sqrt{n_i + 1} \sqrt{n_j + 1} \left( -1 \right)^{\sum_{k=i}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots, n_j + 1, \ldots}, |
+ | \end{aligned} | ||
+ | \] | ||
podobně | podobně | ||
− | \begin{ | + | \[ |
− | + | \begin{aligned} | |
− | + | &\bkreak{j}\bkreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = \notag \\ | |
− | \end{ | + | &\qquad = \sqrt{n_i + 1} \sqrt{n_j + 1} \left( -1 \right)^{\left( \sum_{k=i}^{j-1} n_k \right) + 1} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots, n_j + 1, \ldots}, |
+ | \end{aligned} | ||
+ | \] | ||
takže | takže | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
Řádka 273: | Řádka 298: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Podobně by se ukázalo | Podobně by se ukázalo | ||
− | \begin{ | + | \[ |
− | + | \begin{aligned} | |
− | + | \antikomut{\banihilak{i}}{\banihilak{j}} &= 0, \\ | |
− | \end{ | + | \antikomut{\banihilak{i}}{\bkreak{j}} &= \delta_{ij} I, |
+ | \end{aligned} | ||
+ | \] | ||
a díky tomu lze fermionový stav zapsat pomocí obsazovacích čísel jako | a díky tomu lze fermionový stav zapsat pomocí obsazovacích čísel jako | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
Řádka 307: | Řádka 334: | ||
\subsubsection{Hamiltonián} | \subsubsection{Hamiltonián} | ||
%================================================================================ | %================================================================================ | ||
− | Pro neinteragující částice, pokud $\ket{j} \in \mathscr{H}$, $\hat{H}_0 \ket{j} = \epsilon_j \ket{j}$, můžeme opět zapsat | + | Pro neinteragující částice, pokud $\ket{j} \in \mathscr{H}$, $\hat{H}_0 \ket{j} = \epsilon_j \ket{j}$, můžeme opět zapsat hamiltonián $n$ fermionů |
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\hat{H} = \sum_{j=1}^{\infty} \epsilon_j \hat{N}_j = \sum_{j=1}^{\infty} \epsilon_j \bkreak{j} \banihilak{j}. | \hat{H} = \sum_{j=1}^{\infty} \epsilon_j \hat{N}_j = \sum_{j=1}^{\infty} \epsilon_j \bkreak{j} \banihilak{j}. | ||
Řádka 322: | Řádka 349: | ||
\komut{\hat{H}}{\banihilak{i}} = - \epsilon_i \banihilak{i}, | \komut{\hat{H}}{\banihilak{i}} = - \epsilon_i \banihilak{i}, | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | pro neinteragující část | + | pro neinteragující část hamiltoniánů. |
%================================================================================ | %================================================================================ |
Verze z 1. 6. 2017, 15:46
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVAN2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVAN2 | Hoskoant | 6. 5. 2014 | 11:44 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Potocvac | 12. 6. 2017 | 11:17 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Potocvac | 12. 6. 2017 | 18:07 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Hoskoant | 6. 5. 2014 | 10:48 | predmluva.tex | |
Kapitola1 | editovat | Algebraická teorie momentu hybnosti | Potocvac | 8. 6. 2018 | 13:31 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Tenzorové operátory, Wigner-Eckartův teorém | Kubuondr | 13. 6. 2018 | 12:22 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Další ekvivalentní způsoby zápisu kvantové mechaniky | Kubuondr | 13. 6. 2018 | 13:00 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Matice hustoty a smíšené kvantové stavy | Kubuondr | 12. 6. 2018 | 09:59 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Přibližné metody v kvantové mechanice | Kubuondr | 9. 6. 2018 | 21:23 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Propagátor | Potocvac | 3. 5. 2018 | 16:34 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Dráhový integrál | Kubuondr | 5. 4. 2020 | 17:09 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Teorie rozptylu | Kubuondr | 13. 6. 2018 | 07:54 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Partiční suma | Kubuondr | 13. 6. 2018 | 08:14 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Reprezentace vícečásticových systémů | Kubuondr | 11. 6. 2018 | 09:34 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Kvantování klasických polí | Kubuondr | 13. 6. 2018 | 10:45 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Literatura | Hoskoant | 6. 5. 2014 | 10:53 | kapitolaA.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:wkb-1.pdf | wkb-1.pdf |
Image:wkb-2.pdf | wkb-2.pdf |
Image:wkb-3.pdf | wkb-3.pdf |
Image:wkb-4.pdf | wkb-4.pdf |
Image:wkb-5.pdf | wkb-5.pdf |
Image:wkb-ho.pdf | wkb-ho.pdf |
Image:itw-1.pdf | itw-1.pdf |
Image:drahy-1.pdf | drahy-1.pdf |
Image:drahy-2.pdf | drahy-2.pdf |
Image:feynman-1.pdf | feynman-1.pdf |
Image:feynman-2.pdf | feynman-2.pdf |
Image:feynman-3.pdf | feynman-3.pdf |
Image:feynman-4.pdf | feynman-4.pdf |
Image:rozptyl-1.pdf | rozptyl-1.pdf |
Image:rozptyl-2.pdf | rozptyl-2.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN2} \section{Reprezentace vícečásticových systémů} Nechť Hilbertův prostor 1 částice je nějaký separabilní $\mathscr{H}$, na tomto Hilbertově prostoru zvolíme vhodnou úplnou množinu pozorovatelných tak, abychom měli bázi oindexovanou přirozenými čísly $\left\lbrace \ket{k} \right\rbrace_{k \in \mathbb{N}}$. Uvažujme $n$ částic stejného typu, t.j. nerozlišitelných, jak vypadá báze příslušného Hilbertova prostoru \begin{equation} \mathscr{H}=\begin{cases} \mathscr{S}\left(\underbrace{\mathscr{H}\otimes\mathscr{H}\ldots\mathscr{H}\otimes\mathscr{H}}_{n\times}\right),\\ \mathscr{A}\left(\underbrace{\mathscr{H}\otimes\mathscr{H}\ldots\mathscr{H}\otimes\mathscr{H}}_{n\times}\right), \end{cases} \label{eq:hilbert} \end{equation} kde $\mathscr{S}$ a $\mathscr{A}$ označuje symetrickou či antisymetrickou část? Symetrická a antisymetrická část prostoru je zde kvůli fermionům a bosonům, viz. \cite{hlav:QM}. Označme si $m_j$ index vektoru v bázi $j$-tého Hilbertova prostoru v \eqref{eq:hilbert}, dohromady tak dostaneme vektor přirozených čísel $(m_1, \ldots, m_n) \in \mathbb{N}^n$, multiindex, který parametrizuje bázi celkového Hilbertova prostoru, protože tu tvoří normované vektory \begin{equation} \mathscr{S}(\mathscr{A}) \left( \frac{\psi_{m_1} (x_1) \otimes \psi_{m_2} (x_2) \otimes \ldots \otimes \psi_{m_n} (x_n)}{\norm{\ldots}} \right), \label{eq:bazeTenzoru} \end{equation} kde jsme kompaktně zapsali symetrizaci/antisymetrizaci příslušného vektoru. Jelikož uvažujeme částice nerozlišitelné, mnoho stavů v \eqref{eq:bazeTenzoru} by bylo \textit{nabytečných}, můžeme si tak zvolit konvenci $m_1 \leq m_2 \leq \ldots \leq m_n$, pokud prohlásíme stavy s permutovanými indexy za identické. %================================================================================ \subsection{Obsazovací čísla, Fockův prostor} %================================================================================ Ukazuje se býti užitečným místo $(m_1, \ldots, m_n)$ parametrizovat bázi tzv. \textit{obsazovacími čísly} $(n_1, \ldots, n_k, \ldots)$, $n_i \in \mathbb{N}_0$ a $\sum_{i=1}^\infty n_i = n$, která se definují jako \begin{equation} n_j = \#\left\lbrace i \in \hat{n}: m_i = j \right\rbrace, \end{equation} kde jsme použili stříškovou notaci z lineární algebry $\hat{n} = \{ 1, 2, \ldots, n \}$. Obsazovací číslo $n_j$ tedy představuje počet částic ve stavu $\psi_j$. Pomocí obsazovacích čísel zapíšeme stav \eqref{eq:bazeTenzoru} jako \begin{equation} \ket{n_1, n_2, \ldots, n_k, \ldots} = \mathscr{S}(\mathscr{A}) \left( \frac{\psi_1(x_1) \ldots \psi_1(x_{n_1}) \psi_2(x_{n_1+1}) \ldots \psi_2(x_{n_1 + n_2}) \ldots}{\norm{\ldots}} \right), \end{equation} kde už pro zkrácení nepíšeme tenzořítka $\otimes$. Z antisymetrizace pro fermiony hned vidíme, že $\exists i: n_i > 1$ implikuje $\ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = 0$. Naší touhou je formalizovat Hilbertův prostor pro libovolný počet částic fermionových či bosonových, to jest prostor, který by obsahoval stavy se všemi možnými počty částic v různých stavech. Tento prostor se nazývá \textit{Fockův prostor} a pro fermiony a bosony se definuje zvlášť. Označme \begin{equation} \mathscr{H}^{\otimes k} = \underbrace{\mathscr{H} \otimes \ldots \otimes \mathscr{H}}_{k \times}, \end{equation} kde $\mathscr{H}$ je stále Hilbertův prostor jedné částice, a kde dodefinujeme $\mathscr{H}^{\otimes 0} = \mathbb{C}$. S pomocí této notace např. pro bosony hned umíme napsat hledaný prostor jako direktní součet prostoru pro vakuum ($\mathbb{C}$), prostoru jedné částice, dvou, \ldots \begin{equation} \mathscr{F}_\mathrm{B} = \mathbb{C} \oplus \mathscr{H} \oplus \mathscr{S}(\mathscr{H}^{\otimes 2}) \oplus \ldots = \sum_{k=0}^{+\infty} \mathscr{S} (\mathscr{H}^{\otimes k}), \end{equation} a stejně tak pro fermiony \begin{equation} \mathscr{F}_\mathrm{F} = \mathbb{C} \oplus \mathscr{H} \oplus \mathscr{A}(\mathscr{H}^{\otimes 2}) \oplus \ldots = \sum_{k=0}^{+\infty} \mathscr{A} (\mathscr{H}^{\otimes k}). \end{equation} Je hned vidět, že pro $\dim \mathscr{H} < \infty$ tak dostáváme \[ \begin{aligned} \dim \mathscr{F}_{\mathrm{B}} (\mathscr{H}) &= \infty, \\ \dim \mathscr{F}_{\mathrm{F}} (\mathscr{H}) &= 2^{\dim \mathscr{H}}. \end{aligned} \] Z konstrukce Fockova prostoru dále vyplývá, že pokud $\mathscr{H}$ je separabilní, $\mathscr{F}_{\mathrm{B}} (\mathscr{H})$ i $\mathscr{F}_{\mathrm{F}} (\mathscr{H})$ jsou separabilní Hilbertovy prostory, pokud dodefinujeme skalární součin pro $k_1 \neq k_2$, $\ket{\psi} \in \mathscr{H}^{\otimes k_1}$ a $\ket{\varphi} \in \mathscr{H}^{\otimes k_2}$ jako \begin{equation} \braket{\psi}{\varphi} = 0, \end{equation} a pro $k_1 = k_2 = k$ využijeme definice skalárního součinu na tenzorovém součinu prostorů a pro $\ket{\psi_1} \ldots \ket{\psi_k}$, $\ket{\varphi_1} \ldots \ket{\varphi_k}$ definujeme \begin{equation} \left(\bra{\psi_1} \ldots \bra{\psi_k}\right) \left(\ket{\varphi_1} \ldots \ket{\varphi_k}\right) = \braket{\psi_1}{\varphi_1} \ldots \braket{\psi_k}{\varphi_k}. \end{equation} S pomocí těchto skalárních součinů už umíme spočítat skalární součin libovolných dvou vektorů z Fockova prostoru, obecný direktní součet by se rozložil na součet jednotlivých skalárních součinů jako je zvykem. %================================================================================ \subsection{Bosonové kreační a anihilační operátory} %================================================================================ Dále je vhodné a pro druhou kvantizaci nutné, zavést kreační a anihilační operátory. A opravdu se Vám nebude zdát, když Vám tento formalismus bude připadat podobný tomu pro LHO ze zimy, je to úmysl. Prvně se soustřeďme na bosonové operátory a bosonový Fockův prostor. Chceme nějak vhodně zvolit \textit{kreační} operátor $\kreak{i}$, který by působil \begin{equation} \kreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \beta_{n_i} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots}, \end{equation} neboli tak, aby nám přidával jednu částici ve stavu $\ket{\psi_i}$ a konstantu $\beta_{n_i}$ vhodně zvolíme. Vidíme, že $\kreak{i}$ je zobrazení \begin{equation} \kreak{i}: \mathscr{F}_\mathrm{B} \longrightarrow \mathscr{F}_\mathrm{B}. \end{equation} Když už budeme mít kreační operátor, anihilační k němu definujeme pomocí hermitovského sdružení \begin{equation} \anihilak{i} = \left(\kreak{i}\right)^\dagger. \end{equation} Abychom viděli jak konstanty $\beta_{n_i}$ vyskočí u anihilačních operátorů, rozepíšeme si jejich působení ve skalárním součinu \[ \begin{aligned} &\brapigket{m_1, \ldots, m_i, \ldots}{\left(\kreak{i}\right)^\dagger}{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \overline{\brapigket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}{\kreak{i}}{m_1, \ldots, m_i, \ldots}} \notag \\ &\qquad = \overline{\beta_{n_i} \braket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}{m_1, \ldots, m_i + 1, \ldots}} \notag \\ &\qquad = \overline{\beta_{n_i}} \delta_{n_1, m_1} \ldots \delta_{n_i, m_i + 1} \ldots \notag \\ &\qquad = \begin{cases} 0 & \mathrm{pro}\: n_{i}=0\\ \ldots & \mathrm{pro}\: n_{i}>0 \end{cases} \notag \\ &\qquad = \overline{\beta_{n_i-1} \braket{n_1, \ldots, n_{i} - 1, \ldots}{m_1, \ldots, m_i, \ldots}} \notag \\ &\qquad = \overline{\beta_{n_i-1}} \braket{m_1, \ldots, m_i, \ldots}{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots}, \end{aligned} \] neboli vidíme, že \begin{equation} \anihilak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \begin{cases} 0 & \mathrm{pro}\: n_{i}=0,\\ \overline{\beta_{n_i-1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots} & \mathrm{pro}\: n_{i}>0. \end{cases} \end{equation} Vhodnou volbu konstant $\beta_{n_i}$ najdeme z volby komutačních relací kreačního a anihilačního operátoru. Nejprve si ale připravíme $\komut{\anihilak{i}}{\anihilak{j}}$ pro $n_i, n_j > 0$ \[ \begin{aligned} \komut{\anihilak{i}}{\anihilak{j}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} &= \overline{\beta_{n_j-1}} \overline{\beta_{n_i-1}}\ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j - 1, \ldots} \notag \\ &\quad - \overline{\beta_{n_i-1}} \overline{\beta_{n_j-1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j - 1, \ldots} \notag \\ &= 0, \end{aligned} \] pro $n_i = 0 \vee n_j = 0$ nebo pro $i=j$ je výsledek triviálně stejný. Úplně stejně by se ukázalo, že kreační operátory vzájemně komutují. Zpět k volbě konstant z komutátoru, zkusíme ho spočítat pro $i \neq j$ \[ \begin{aligned} \komut{\anihilak{i}}{\kreak{j}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} &= \beta_{n_j} \overline{\beta_{n_i - 1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j + 1, \ldots} \notag \\ &\quad - \overline{\beta_{n_i - 1}} \beta_{n_j} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j + 1, \ldots} \notag \\ &= 0. \end{aligned} \] A pro $i = j$ \[ \begin{aligned} \komut{\anihilak{i}}{\kreak{i}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \beta_{n_i} \overline{\beta_{n_i}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} \notag \\ &\quad - \overline{\beta_{n_i - 1}} \beta_{n_i - 1} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}, \end{aligned} \] Komutátor položíme roven jedničce, abychom se co nejvíce přiblížili lineárnímu harmonickému oscilátoru. Celkově tedy pokládáme \begin{equation} \komut{\anihilak{i}}{\kreak{j}} = \delta_{i, j} I, \label{eq:komutatorBosony} \end{equation} Ještě ověříme, že k tomu postačí volba $\beta_{n_i} = \sqrt{n_i + 1}$ \[ \begin{aligned} \beta_{n_i} \overline{\beta_{n_i}} - \overline{\beta_{n_i -1}} \beta_{n_i - 1} = \sqrt{n_i + 1} \sqrt{n_i + 1} - \sqrt{n_i} \sqrt{n_i} = 1. \end{aligned} \] Shrnutí naší volby tedy je \[ \begin{aligned} \anihilak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \sqrt{n_i} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots} \\ \kreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \sqrt{n_i + 1} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots} \end{aligned} \] Nyní stav s danými obsazovacími čísly můžeme zapsat výhodně jako \begin{equation} \ket{n_1, n_2, \ldots} = \frac{\kreak{1}^{n_1}}{\sqrt{n_1 !}} \frac{\kreak{2}^{n_2}}{\sqrt{n_2 !}} \ldots \ket{0}, \end{equation} kde $\ket{0}$ je vakuový stav, který vyhovuje \begin{equation} \anihilak{j} \ket{0} = 0 \: \mathrm{pro} \: \forall j. \label{eq:anihilakkk} \end{equation} A díky tomu lze Fockův prostor napsat jako \begin{equation} \mathscr{F}_{\mathrm{B}} (\mathscr{H}) = \obal{\left. \left( \prod_{i=1}^{\infty} \frac{\kreak{i}^{n_i}}{\sqrt{n_i !}} \right) \ket{0} \right| \sum_{i=1}^{\infty} n_i < + \infty}. \end{equation} %================================================================================ \subsubsection{Operátory počtu částic} %================================================================================ Pomocí kreačních a anihilačních operátorů lze zavést \textit{operátor počtu částic v $i$-tém stavu} \begin{equation} \hat{N_i} = \kreak{i} \anihilak{i}, \end{equation} podívejme se jak působí \[ \begin{aligned} \kreak{i} \anihilak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \kreak{i} \anihilak{i} \left( \prod_{k=1}^{\infty} \frac{\kreak{k}^{n_k}}{\sqrt{n_k !}} \right) \ket{0} \notag \\ &= \underbrace{\prod_{k=1, k \neq i}^{\infty} \frac{\kreak{k}^{n_k}}{\sqrt{n_k !}} \frac{\kreak{i}}{\sqrt{n_i !}}}_{= A} \left( \anihilak{i} \left( \kreak{i} \right)^{n_i} \right) \ket{0}, = * \end{aligned} \] kde jsme využili toho, že operátory stejného druhu komutují a stejně tak komutují kreační a anihilační operátory s různými indexy, dále použijeme $n_i$-krát známý komutátor \eqref{eq:komutatorBosony} \[ \begin{aligned} * &= A \left( \underbrace{\komut{\anihilak{i}}{\kreak{i}}}_1 \kreak{i}^{n_i -1} + \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i -1} \right) \ket{0} \notag \\ &= \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i -1} \ket{0} \notag \\ &= \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i} \left( \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i - 2} + \kreak{i}^{n_i - 2}\right) \ket{0} \notag \\ &= 2 \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i}^2 \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i - 2} \ket{0} \notag \\ &\,\,\,\vdots \notag \\ &= n_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}, \end{aligned} \] a vidíme, že název sedí. Pomocí těchto operátorů lze dále definovat \textit{operátor celkového počtu částic} \begin{equation} \hat{N} = \sum_{i=1}^{+\infty} \hat{N}_i = \sum_{i=1}^{+\infty} \kreak{i} \anihilak{i}. \end{equation} Také si všimněme toho, že ${\left\lbrace \hat{N}_i \right\rbrace}_{i=1}^{+ \infty}$ tvoří ÚMP na $\mathscr{F}_{\mathrm{B}} (\mathscr{H})$ se společnými vlastními vektory $\ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}$. %================================================================================ \subsubsection{Hamiltonián} %================================================================================ Abychom mohli napsat hamiltonián soustavy částic, musíme znát i jejich interakci, předpokládejme prozatím proto, že máme neinteragující částice. V tom případě, pokud $\hat{H}_0$ je hamiltonián jedné částice, hned umíme napsat \begin{equation} \hat{H} = \hat{H}_0 \otimes I \otimes \ldots \otimes I + I \otimes \hat{H}_0 \otimes I \otimes \ldots \otimes I + \ldots + I \otimes \ldots \otimes \hat{H}_0. \end{equation} Pokud $\ket{i} \in \mathscr{H}$, $\hat{H}_0 \ket{i} = \epsilon_i \ket{i}$, můžeme zapsat působení takového hamiltoniánu \begin{equation} \hat{H} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \sum_{i=1}^{\infty} n_i \epsilon_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}, \: \sum_{i=1}^{\infty} n_i = n, \end{equation} neboli \begin{equation} \hat{H} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \sum_{i=1}^{\infty} \epsilon_i \hat{N}_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}. \end{equation} Protože jsme tak rozepsali působení operátoru na každém bazickém vektoru, platí i operátorově \begin{equation} \hat{H} = \sum_{i=1}^{\infty} \epsilon_i \hat{N}_i = \sum_{i=1}^{\infty} \epsilon_i \kreak{i} \anihilak{i}, \end{equation} pro neinteragující částice na $\mathscr{F}_{\mathrm{B}} (\mathscr{H})$. Pokud budeme chtít započítat interakci, musíme přidat další členy do hamiltoniánu, které také zapíšeme pomocí kreačních a anihilačních operátorů. Významnou třídu takových operátorů tvoří ty, pro které \begin{equation} \komut{\hat{H}}{\hat{N}} = 0, \end{equation} které zachovávají celkový počet částic. Formálně lze uvažovat popis interakce pomocí obsazovacích čísel příslušejících i spojité části spektra, obvykle hybnosti a spinu. Označme odpovídající operátory jako \begin{equation} \kreak{\vec{p}, \xi}, \anihilak{\vec{p}, \xi}, \end{equation} kde $\vec{p}$ předepisuje tři složky hybnosti a $\xi$ spin částice, kterou takový operátor vytvoří/anihiluje \begin{equation} \kreak{\vec{p}, \xi} \ket{0} \longleftrightarrow \psi_{\vec{p}, \xi} (\vec{x}). \end{equation} Třeba \begin{equation} \frac{\kreak{\vec{p}, \xi}^2}{\sqrt{2}} \ket{0}, \end{equation} odpovídá stavu se dvěma částicemi s danou hybností a spinem, neboli stavu popsaném vlnovou funkcí $\psi_{\vec{p}, \xi} (\vec{x}) \psi_{\vec{p}, \xi} (\vec{y})$. Stále postulujeme stejné komutační relace \[ \begin{aligned} \komut{\anihilak{\vec{p}, \xi}}{\anihilak{\vec{p}', \xi'}} &= 0, \\ \komut{\kreak{\vec{p}, \xi}}{\kreak{\vec{p}', \xi'}} &= 0, \\ \komut{\anihilak{\vec{p}, \xi}}{\kreak{\vec{p}', \xi'}} &= \delta_{\xi, \xi'} \delta^{(3)} (\vec{p} - \vec{p}') I. \end{aligned} \] Obecný vektor z takového Fockova prostoru částic se spinem můžeme napsat jako \begin{equation} \ket{\varphi} = \sum_{k=0}^{+ \infty} \left( \prod_{j=1}^{k} \int \dif^3 p_j \sum_{\xi_j} \right) \alpha_{p_{1},\ldots,p_{k} \atop \xi_{1},\ldots,\xi_{k}} \prod_{j=1}^k \kreak{\vec{p}_j, \xi_j} \ket{0}, \label{eq:obecnyVektor} \end{equation} kde v koeficientech $\alpha_{p_{1},\ldots,p_{k} \atop \xi_{1},\ldots,\xi_{k}}$ jsou schované informace o stavu. %================================================================================ \subsection{Fermionové kreační a anihilační operátory} %================================================================================ Podobně jako pro bosony zavedeme fermionový kreační operátor, který rozepíšeme a dáme si pozor na antisymetrizaci \[ \begin{aligned} \bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, n_j, \ldots} &= \bkreak{j} \mathscr{A} \left( \frac{\psi_1(x_1) \ldots \psi_1(x_{n_1}) \psi_2(x_{n_1+1}) \ldots \psi_2(x_{n_1 + n_2}) \ldots}{\norm{\ldots}} \right) \notag \\ &= \sqrt{n_j + 1} \: \mathscr{A} \left( \frac{\psi_j(x_1) \psi_1(x_2) \ldots \psi_1(x_{n_1 + 1}) \ldots}{\norm{\ldots}} \right) \notag \\ &= \sqrt{n_j + 1} \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, n_2, \ldots, n_j + 1, \ldots}, \end{aligned} \] kde mínus vyskočilo právě kvůli antisymetrizaci, protože u fermionů záleží na pořadí jednočásticových vlnových funkcí. Fermionový anihilační operátor je potom \begin{equation} \banihilak{j} \ket{n_1, \ldots, n_j, \ldots} = \begin{cases} 0 & n_{j}=0\\ \sqrt{n_j} \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, n_j - 1, \ldots} & n_{j}>0. \end{cases} \end{equation} Pro další postup budeme bez újmy na obecnosti předpokládat $i<j$, chceme se podívat jaké relace že to naše operátory splňují, rozepišme si proto \[ \begin{aligned} &\bkreak{i}\bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = \notag \\ &\qquad = \sqrt{n_i + 1} \sqrt{n_j + 1} \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{i-1} n_k} \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots, n_j + 1, \ldots} \notag \\ &\qquad = \sqrt{n_i + 1} \sqrt{n_j + 1} \left( -1 \right)^{\sum_{k=i}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots, n_j + 1, \ldots}, \end{aligned} \] podobně \[ \begin{aligned} &\bkreak{j}\bkreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = \notag \\ &\qquad = \sqrt{n_i + 1} \sqrt{n_j + 1} \left( -1 \right)^{\left( \sum_{k=i}^{j-1} n_k \right) + 1} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots, n_j + 1, \ldots}, \end{aligned} \] takže \begin{equation} \bkreak{i}\bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = - \bkreak{j}\bkreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots}. \end{equation} Z toho vidíme, oproti bosonovým operátorům, že kreační operátory fermionů antikomutují! \footnote{Příští rok v QFT ukážete, že nějaké kreační a anihilační operátory komutují/antikomutují a z toho usoudíte, že jste popisovali bosony/fermiony.} \begin{equation} \antikomut{\bkreak{i}}{\bkreak{j}} = \bkreak{i} \bkreak{j} + \bkreak{j} \bkreak{i} = 0. \end{equation} Podobně by se ukázalo \[ \begin{aligned} \antikomut{\banihilak{i}}{\banihilak{j}} &= 0, \\ \antikomut{\banihilak{i}}{\bkreak{j}} &= \delta_{ij} I, \end{aligned} \] a díky tomu lze fermionový stav zapsat pomocí obsazovacích čísel jako \begin{equation} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \frac{\bkreak{1}^{n_1}}{\sqrt{n_1 !}} \ldots \frac{\bkreak{i}^{n_i}}{\sqrt{n_i !}} \ldots \ket{0}. \end{equation} Z antikomutačních relací je také hned vidět \begin{equation} \bkreak{i}^2 = \frac{1}{2} \antikomut{\bkreak{i}}{\bkreak{i}} = 0, \end{equation} což je elegantně zapsaný Pauliho vylučovací princip. %================================================================================ \subsubsection{Operátory počtu částic} %================================================================================ Obdobně jako dřív lze zavést operátory počtu částic v $j$-tém stavu i pro fermiony \begin{equation} \hat{N}_j = \bkreak{j} \banihilak{j}, \end{equation} které mají velmi zajímavou vlastnost \begin{equation} \hat{N}_j^2 = \bkreak{j} \banihilak{j} \bkreak{j} \banihilak{j} = \bkreak{j} \left( \antikomut{\banihilak{j}}{\bkreak{j}} - \bkreak{j} \banihilak{j} \right) \banihilak{j} = \bkreak{j} \banihilak{j} = \hat{N}_j, \end{equation} která dává opět Pauliho vylučovací princip, neboť jediná nezáporná celá čísla, která splňují $n_j^2 = n_j$ jsou jednička a nula. V naprosté analogii s bosony lze zavést operátor celkového počtu částic \begin{equation} \hat{N} = \sum_{j=1}^{+\infty} \hat{N}_j = \sum_{j=1}^{+\infty} \bkreak{j} \banihilak{j}. \end{equation} %================================================================================ \subsubsection{Hamiltonián} %================================================================================ Pro neinteragující částice, pokud $\ket{j} \in \mathscr{H}$, $\hat{H}_0 \ket{j} = \epsilon_j \ket{j}$, můžeme opět zapsat hamiltonián $n$ fermionů \begin{equation} \hat{H} = \sum_{j=1}^{\infty} \epsilon_j \hat{N}_j = \sum_{j=1}^{\infty} \epsilon_j \bkreak{j} \banihilak{j}. \end{equation} Užitečná identita pro práci s fermiony je, pokud máme nějaké operátory $A, b, c, D$, kde $A = bc$ \begin{equation} \komut{A}{D} = bcD - Dbc = bcD - bDc + bDc - Dbc = b \antikomut{c}{D} - \antikomut{b}{D}c, \end{equation} například v situacích \begin{equation} \komut{\hat{H}}{\bkreak{i}} = \epsilon_i \komut{\bkreak{i} \banihilak{i}}{\bkreak{i}} = \epsilon_i \bkreak{i} \antikomut{\banihilak{i}}{\bkreak{i}} = \epsilon_i \bkreak{i}, \end{equation} \begin{equation} \komut{\hat{H}}{\banihilak{i}} = - \epsilon_i \banihilak{i}, \end{equation} pro neinteragující část hamiltoniánů. %================================================================================ \subsubsection{Více druhů částic} %================================================================================ Pokud potřebujeme teorii popisující více druhů částic, je odpovídající Fockův prostor tenzorovým součinem Fockových prostorů jednotlivých druhů částic \begin{equation} \mathscr{F} = \mathscr{F}_{\mathbb{B}} (\mathscr{H}^1) \otimes \ldots \otimes \mathscr{F}_{\mathbb{B}} (\mathscr{H}^{\Lambda}) \otimes \mathscr{F}_{\mathbb{F}} (\widetilde{\mathscr{H}}^1) \otimes \ldots \otimes \mathscr{F}_{\mathbb{F}} (\widetilde{\mathscr{H}}^{\Sigma}), \end{equation} kde $\Lambda$ je počet druhů bosonů a $\Sigma$ je počet druhů fermionů. Je konvence označit \begin{equation} \kreak{\lambda, \vec{p}, \xi} \end{equation} bosonový kreační operátor částice s danou hybností a spinem $\left\{ -s_\lambda, \ldots, s_\lambda \right\}$ a obdobně pro fermiony \begin{equation} \bkreak{\sigma, \vec{p}, \xi} \end{equation} Obvyklá konvence je nechat všechny možné kombinace různých (fermionových vs. bosonových) operátorů komutovat \footnote{O této volbě bude ještě mluvit vyučující QFT příští rok.} \begin{equation} \komut{\hat{a}}{\hat{b}} = 0, \end{equation} a ostatní komutátory volit tak jako dřív, tedy \begin{align} \komut{\anihilak{\lambda, \vec{p}, \xi}}{\kreak{\lambda', \vec{p}', \xi'}} &= \delta_{\lambda \lambda'} \delta_{\xi \xi'} \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{p}'), \\ \antikomut{\banihilak{\sigma, \vec{p}, \xi}}{\banihilak{\sigma', \vec{p}', \xi'}} &= 0 = \antikomut{\bkreak{\sigma, \vec{p}, \xi}}{\bkreak{\sigma', \vec{p}', \xi'}}\\ \antikomut{\banihilak{\sigma, \vec{p}, \xi}}{\bkreak{\sigma', \vec{p}', \xi'}} &= \delta_{\sigma \sigma'} \delta_{\xi \xi'} \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{p}'). \end{align} Lze ještě napsat obecný vektor pro tento systém, ale je to jen komplikovanější, zobecněná analogie vztahu \eqref{eq:obecnyVektor}.