02KVAN2:Kapitola1: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (array → pmatrix) |
m (\epsilon → \varepsilon) |
||
Řádka 5: | Řádka 5: | ||
V minulém semestru jsme zavedli operátor momentu hybnosti způsobem | V minulém semestru jsme zavedli operátor momentu hybnosti způsobem | ||
\[ | \[ | ||
− | \hat{L}_j = \ | + | \hat{L}_j = \varepsilon_{jkl} \hat{X}_k \hat{P}_l. |
\] | \] | ||
a viděli, že řada jeho vlastností plyne čistě ze znalosti komutačních relací | a viděli, že řada jeho vlastností plyne čistě ze znalosti komutačních relací | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
− | \komut{\hat{L}_j}{\hat{L}_k} = i \hbar \ | + | \komut{\hat{L}_j}{\hat{L}_k} = i \hbar \varepsilon_{jkl} \hat{L}_l, \quad |
\komut{\hat{L}_j}{\hat{L}^2} = 0. | \komut{\hat{L}_j}{\hat{L}^2} = 0. | ||
\label{MomH:RelaceMomH} | \label{MomH:RelaceMomH} |
Verze z 31. 5. 2017, 11:38
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVAN2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVAN2 | Hoskoant | 6. 5. 2014 | 11:44 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Potocvac | 12. 6. 2017 | 11:17 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Potocvac | 12. 6. 2017 | 18:07 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Hoskoant | 6. 5. 2014 | 10:48 | predmluva.tex | |
Kapitola1 | editovat | Algebraická teorie momentu hybnosti | Potocvac | 8. 6. 2018 | 13:31 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Tenzorové operátory, Wigner-Eckartův teorém | Kubuondr | 13. 6. 2018 | 12:22 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Další ekvivalentní způsoby zápisu kvantové mechaniky | Kubuondr | 13. 6. 2018 | 13:00 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Matice hustoty a smíšené kvantové stavy | Kubuondr | 12. 6. 2018 | 09:59 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Přibližné metody v kvantové mechanice | Kubuondr | 9. 6. 2018 | 21:23 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Propagátor | Potocvac | 3. 5. 2018 | 16:34 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Dráhový integrál | Kubuondr | 5. 4. 2020 | 17:09 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Teorie rozptylu | Kubuondr | 13. 6. 2018 | 07:54 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Partiční suma | Kubuondr | 13. 6. 2018 | 08:14 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Reprezentace vícečásticových systémů | Kubuondr | 11. 6. 2018 | 09:34 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Kvantování klasických polí | Kubuondr | 13. 6. 2018 | 10:45 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Literatura | Hoskoant | 6. 5. 2014 | 10:53 | kapitolaA.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:wkb-1.pdf | wkb-1.pdf |
Image:wkb-2.pdf | wkb-2.pdf |
Image:wkb-3.pdf | wkb-3.pdf |
Image:wkb-4.pdf | wkb-4.pdf |
Image:wkb-5.pdf | wkb-5.pdf |
Image:wkb-ho.pdf | wkb-ho.pdf |
Image:itw-1.pdf | itw-1.pdf |
Image:drahy-1.pdf | drahy-1.pdf |
Image:drahy-2.pdf | drahy-2.pdf |
Image:feynman-1.pdf | feynman-1.pdf |
Image:feynman-2.pdf | feynman-2.pdf |
Image:feynman-3.pdf | feynman-3.pdf |
Image:feynman-4.pdf | feynman-4.pdf |
Image:rozptyl-1.pdf | rozptyl-1.pdf |
Image:rozptyl-2.pdf | rozptyl-2.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN2} \section{Algebraická teorie momentu hybnosti} V minulém semestru jsme zavedli operátor momentu hybnosti způsobem \[ \hat{L}_j = \varepsilon_{jkl} \hat{X}_k \hat{P}_l. \] a viděli, že řada jeho vlastností plyne čistě ze znalosti komutačních relací \begin{equation} \komut{\hat{L}_j}{\hat{L}_k} = i \hbar \varepsilon_{jkl} \hat{L}_l, \quad \komut{\hat{L}_j}{\hat{L}^2} = 0. \label{MomH:RelaceMomH} \end{equation} Tyto relace lze odvodit z komutátorů \[ \komut{\hat{X}_k}{\hat{X}_l} = 0, \quad \komut{\hat{P}_k}{\hat{P}_l} = 0, \quad \komut{\hat{X}_k}{\hat{P}_l} = i\hbar \delta_{kl} \] a identit platných pro komutátory zahrnující součiny operátorů% \footnote{Všimněte si, že tvarem nápadně připomínají Leibnizovo pravidlo pro derivaci součinu, podle čehož si jdou snadno zapamatovat. Operace, které splňují $D(xy) = xD(y) + D(x)y$ (jako zde $D(\bullet) = \komut{A}{\bullet}$, resp. $D(\bullet) = \komut{\bullet}{C}$) se také zobecněně nazývají derivace.} \begin{align} \label{MomH:KomutacniTrik} \komut{A}{BC} &= B \komut{A}{C} + \komut{A}{B} C, \nonumber \\ \komut{AB}{C} &= A \komut{B}{C} + \komut{A}{C} B. \end{align} %----------------------------------------------------------------------- Obvykle hledáme společné vlastní vektory komutujících operátorů $\hat{L}^2$ a $\hat{L}_3$. V jazyce braketového formalizmu je můžeme označit kety $\ket{\lambda , \mu}$, kde vyžadujeme \begin{equation} \begin{aligned} \hat{L}^2 \ket{\lambda , \mu} &= \lambda \ket{\lambda , \mu}, \\ \hat{L}_3 \ket{\lambda , \mu} &= \mu \ket{\lambda , \mu}, \\ \braket{\lambda , \mu}{\lambda , \mu} &= 1 \quad \text{(normalizace)}. \end{aligned} \label{MomH:VlastniHod} \end{equation} Předpokládáme existenci vlastního vektoru $\ket{\lambda , \mu}$ pro jistou dvojici $\lambda , \mu$. Úkolem algebraické teorie momentu hybnosti je zjistit maximum o $\lambda , \mu$ a dalších vlastních vektorech výhradně na základě komutačních relací operátoru momentu hybnosti \eqref{MomH:RelaceMomH}. Získaná pravidla pak platí i pro libovolnou další trojici operátorů, která splňuje \eqref{MomH:RelaceMomH}, i když není tvaru vektorového součinu polohy a hybnosti (tedy například operátory spinu). V dalších výpočtech využijeme s výhodou posunovacích operátorů \[ \hat{L}_\pm = \hat{L}_1 \pm i \hat{L}_2 , \] \begin{equation} \komut{\hat{L}^2}{\hat{L}_\pm} = 0 , \hspace{10 pt} \komut{\hat{L}_3}{\hat{L}_\pm} = \pm \hbar \hat{L}_\pm , \hspace{10 pt} \komut{\hat{L}_+}{\hat{L}_-} = 2 \hbar \hat{L}_3 \label{MomH:PosunOp} \end{equation} Je výhodné vyjádřit operátor $\hat{L}^2$ pomocí posunovacích operátorů $\hat{L}_\pm$ a operátoru $\hat{L}_3$ \begin{align} \hat{L}^2 &= \hat{L}_3^2 + \frac{1}{4} \left( \hat{L}_+ + \hat{L}_- \right)^2 + \frac{-1}{4} \left( \hat{L}_+ - \hat{L}_- \right)^2 = \hat{L}_3^2 + \frac{1}{2} \left( \hat{L}_+ \hat{L}_- + \hat{L}_- \hat{L}_+ \right) = \nonumber \\ &= \hat{L}_3^2 + \hat{L}_+ \hat{L}_- - \hbar \hat{L}_3 = \hat{L}_3^2 + \hat{L}_- \hat{L}_+ + \hbar \hat{L}_3. \label{MomH:PosunOpL2} \end{align} \noindent Nyní se podíváme, jak se vůči operátorům $\hat{L}^2$ a $\hat{L}_3$ chová vektor $\hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu}$. Užijeme komutačních relací posunovacích operátorů \eqref{MomH:PosunOp} a rovností \eqref{MomH:VlastniHod}, \begin{align} \hat{L}^2 \left( \hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu} \right) &= \hat{L}_\pm \left( \hat{L}^2 \ket{\lambda , \mu} \right) = \lambda \hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu} \nonumber \\ \hat{L}_3 \left( \hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu} \right) &= \left( \hat{L}_\pm \hat{L}_3 + \komut{\hat{L}_3}{\hat{L}_\pm} \right) \ket{\lambda , \mu} = \left( \hat{L}_\pm \hat{L}_3 \pm \hbar \hat{L}_\pm \right) \ket{\lambda , \mu} = \\ &= \left( \mu \pm \hbar \right) \hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu}. \nonumber \label{MomH:PosunOpVl} \end{align} Využijeme vyjádření $\hat{L}^2$ pomocí posunovacích operátorů \eqref{MomH:PosunOpL2} k určení normy vektoru $\hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu}$ \begin{equation} \begin{aligned} \norm{\hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu}}^2 &= \brapigket{\lambda , \mu}{\hat{L}_\pm^\dagger \hat{L}_\pm}{\lambda , \mu} = \brapigket{\lambda , \mu}{\hat{L}_\mp \hat{L}_\pm}{\lambda , \mu} = \\ &= \brapigket{\lambda , \mu}{(\hat{L}^2 - \hat{L}_3^2 \mp \hbar \hat{L}_3)}{\lambda , \mu} = \\ &= \left( \lambda - \mu^2 \mp \hbar \mu \right) \underbrace{ \braket{\lambda , \mu}{\lambda , \mu} }_{= 1} \geq 0, \end{aligned} \label{MomH:Norma2} \end{equation} což nám dává podmínku \begin{equation} \lambda \geq \mu \left( \mu \pm \hbar \right). \label{MomH:Relace1} \end{equation} Rovněž jsme zjistili, že $\hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu}$ je vlastní vektor pro $\hat{L}^2$ a $\hat{L}_3$, pokud $\lambda > \mu \left( \mu \pm \hbar \right)$. Působením $\hat{L}_+$ na $\ket{\lambda , \mu}$ takto (po normalizaci) získáváme postupně vektory $\ket{\lambda , \mu + \hbar}, \ket{\lambda , \mu + 2 \hbar}, \ldots$ \allowbreak Nerovnost \eqref{MomH:Relace1} přechází při $k$-násobném aplikování $\hat{L}_+$ na podmínku $\lambda \geq \left( \mu + k\hbar \right) \* \left( \mu + (k+1) \hbar \right)$, kde $k \in \priroz_0, \lambda, \mu = \const$. Jelikož pravá strana nerovnosti roste s rostoucím $k$ do $+ \infty$, musí ale existovat $K_0 \in \priroz$ takové, že $\left( \mu + K_0 \hbar \right) \left( \mu + (K_0 + 1) \hbar \right)$ překročí hodnotu $\lambda$. Pokud bychom byli schopni najít odpovídající vektor $\ket{\lambda , \mu + K_0 \hbar }$, toto by podle \eqref{MomH:Norma2} znamenalo, že kvadrát normy $L_+ \ket{\lambda, \mu+K_0\hbar}$ je záporný, čemuž musíme předejít. Tento problém se vyřeší, pokud $\exists K \in \priroz_0: \ket{\lambda , \mu + K \hbar } \neq \nulvek \wedge \hat{L}_+ \ket{\lambda , \mu + K \hbar } = \nulvek$: v tom případě výsledek aplikace $L_+$ normalizovat nelze a naše generovaná posloupnost vlastních vektorů skončí. Předefinujme $\mu \mapsto \tilde{\mu} = \mu + K \hbar$. Vlastní vektor $\ket{\lambda , \tilde{\mu}}$ splňuje \[ \hat{L}_3 \ket{\lambda , \tilde{\mu}} = \tilde{\mu} \ket{\lambda , \tilde{\mu}}, \quad \hat{L}_+ \ket{\lambda , \tilde{\mu}} = \nulvek, \quad \hat{L}^2 \ket{\lambda , \tilde{\mu}} = \tilde{\mu} \left( \tilde{\mu} + \hbar \right) \ket{\lambda , \tilde{\mu}}, \\ \] \noindent z čehož na základě definičních relací \eqref{MomH:VlastniHod} plyne \begin{equation} \lambda = \tilde{\mu} \left( \tilde{\mu} + \hbar \right). \label{MomH:AlgTHL+} \end{equation} Postup zopakujeme pro operátor $\hat{L}_-$ a vektor $\ket{\lambda , \tilde{\mu}}$. Působením $\hat{L}_-$ na $\ket{\lambda , \tilde{\mu}}$ získáváme posloupnost vektorů $\ket{\lambda , \tilde{\mu} - \hbar}, \ket{\lambda , \tilde{\mu} - 2\hbar}, \ldots$ Po $k$-násobném aplikování $\hat{L}_-$ na $\ket{\lambda , \tilde{\mu}}$ získáváme vektor $\ket{\lambda , \tilde{\mu} - k\hbar}$. Nerovnost \eqref{MomH:Relace1} pro vektor $\ket{\lambda , \tilde{\mu} - k\hbar}$ je tvaru $\lambda \geq \left( \tilde{\mu} - k\hbar \right) \left( \tilde{\mu} - (k + 1)\hbar \right)$, kde $k \in \priroz_0, \lambda, \tilde{\mu} = \const$. Znovu si můžeme povšimnout, že pravá strana této nerovnosti jde v limitě s $k$ do $+ \infty$. Musí proto existovat $\tilde{K}_0 \in \priroz: \lambda < ( \tilde{\mu} - \tilde{K}_0 \hbar ) ( \tilde{\mu} - (\tilde{K}_0 + 1) \hbar )$. Pro $\tilde{K}_0$ by však kvadrát normy vektoru $L_- \ket{\lambda , \tilde{\mu} - \tilde{K}_0 \hbar}$ opět byl záporný. Aby tento případ nenastal, budeme požadovat, aby $\exists \tilde{K} \in \priroz_0:$ $\ket{\lambda , \tilde{\mu} - \tilde{K} \hbar } \neq \nulvek \wedge \hat{L}_- \ket{\lambda , \tilde{\mu} - \tilde{K} \hbar} = \nulvek $. Poslední rovnost je možno s užitím \eqref{MomH:Norma2} a \eqref{MomH:AlgTHL+} použít k vyjádření $\tilde{K}$: \[ \lambda = \tilde{\mu} \left( \tilde{\mu} + \hbar \right) = \left( \tilde{\mu} - \tilde{K}\hbar \right) \left( \tilde{\mu} - (\tilde{K} + 1)\hbar \right), \] což je kvadratická rovnice pro $\tilde{K}$ mající dvě řešení, $\tilde{K} = 2\tilde{\mu}/\hbar$ nebo $\tilde{K} = -1$. Matematický smysl mají pouze $\tilde{K} \in \priroz_0$, dozvídáme se tedy, že $2 \tilde{\mu}$ je nutně celočíselný nezáporný násobek $\hbar$. Získali jsme tak posloupnost vlastních vektorů $\ket{\lambda , \tilde{\mu}}, \ket{\lambda , \tilde{\mu} - \hbar}, \ldots, \ket{\lambda , - \tilde{\mu}}$. Mimo to jsme rovněž ukázali, jak vypadá (bodové) spektrum operátorů $\hat{L}^2$ a $\hat{L}_3$. Zaměníme-li značení $\ket{\lambda, \mu} \mapsto \ket{l, m} \colon (\lambda, \mu) = (\hbar^2 l(l+1), \hbar m)$, můžeme shrnout naše výsledky: \begin{align*} \sigma_P ( \hat{L}^2 ) &\subset \left\{ \hbar^2 l \left( l + 1 \right) \middle| 2l \in \priroz_0 \right\}, \\ \sigma_P ( L_3 ) &\subset \left\{ \hbar m \middle| m \in \cela \right\}, \\ \braket{l,m}{l,m} &= 1 \quad \text{pro $m \in \left\{ -l, l+1, \ldots, l \right\}$}, \\ \hat{L}^2 \ket{l,m} &= \hbar l (l+1) \ket{l,m}, \\ \hat{L}_3 \ket{l,m} &= \hbar m \ket{l,m}. \end{align*} U tohoto algoritmu jsme se zatím hlouběji nezabývali normalizací vznikajících vektorů. K ní máme připraven vztah \eqref{MomH:Norma2}, který přepíšeme pomocí kvantových čísel $l,m$: \[ \norm{\hat{L}_\pm \ket{l , m}}^2 = \Bigl( \hbar^2 l (l + 1) - \hbar^2 m (m \pm 1) \Bigr) \braket{l,m}{l,m}, \] z čehož plyne \[ \ket{l , m \pm 1} = \left(\alpha^{(\pm)}(l,m)\right)^{-1} \hat{L}_\pm \ket{l , m}, \quad |\alpha^{(\pm)}(l,m)| = \hbar \sqrt{l (l + 1) - m (m \pm 1)}. \] Koeficient %před vektorem $\ket{l , m \pm 1}$, který budeme označovat $\alpha^{(\pm)}(l,m)$, $\alpha^{(\pm)}(l,m)$ není určen jednoznačně. Je možno mu připsat jakoukoliv fázi $e^{i \varphi}, \varphi \in \real$, která jeho normu nijak nezmění. Budeme však používat standardní konvenci (Condon--Shortley), která koresponduje s volbou nezáporné reálné odmocniny% \footnote{Condon a Shortley nedefinují pouze volbu znaménka $\alpha^{(\pm)}$. Jedná se o celkové přiřazení komplexních fází sférickým funkcím $Y_{l,m}(\vartheta, \varphi)$ a zmíněná relace je důsledkem. Pro úplnost uveďme, že existují i jiné přijímané znaménkové konvence.} \begin{equation} \label{MomH:alpha} \alpha^{(\pm)}(l,m) = \hbar \sqrt{l (l + 1) - m (m \pm 1)} \end{equation} %------------------------------------------------------------ \subsection{Skládání dvou nezávislých momentů hybnosti} Mějme systém se dvěma na sobě nezávislými momenty hybnosti $\hat{\vec{L}}_{(1)}, \hat{\vec{L}}_{(2)}$. Příkladem může být soustava dvou částic nebo jedna částice a její orbitální moment a spin. Operátory momentů hybnosti nechť splňují komutační relace \begin{equation} \komut{ \hat{L}_{ (1)j } }{ \hat{L}_{ (1)k } } = i\hbar \epsilon _{jkl} \hat{L}_{(1)l} , \quad \komut{\hat{L}_{(2)j}}{\hat{L}_{(2)k}} = i\hbar \epsilon _{jkl} \hat{L}_{(2)l} , \quad \komut{\hat{L}_{(1)j}}{\hat{L}_{(2)k}} = 0. \label{MomH:L1L2} \end{equation} Předpokládáme, že v námi uvažovaném Hilbertově prostoru tvoří $\hat{\vec{L}}_{(1)}^2$, $\hat{\vec{L}}_{(2)}^2$, $\hat{L}_{(1)3}$, $\hat{L}_{(2)3}$ ÚMP. Společné vlastní vektory této čtveřice operátorů $\ket{\psi}$ budeme charakterizovat dvojicí ketů \[ \ket{\psi} = \ket{l_1, m_1} \otimes \ket{l_2, m_2} \buildrel \text{ozn.} \over = \ket{l_1, m_1} \ket{l_2, m_2} \] splňujících \begin{align*} \hat{\vec{L}}_{(1)}^2 \ket{\psi}&= \hbar^2 l_1 (l_1 + 1) \ket{\psi},& \hat{\vec{L}}_{(2)}^2 \ket{\psi}&= \hbar^2 l_2 (l_2 + 1) \ket{\psi},& \\ \hat{L}_{(1)3} \ket{\psi}&= \hbar m_1 \ket{\psi},& \hat{L}_{(2)3} \ket{\psi}&= \hbar m_2 \ket{\psi}.& \end{align*} Na tomtéž podprostoru lze vybrat i jinou fyzikálně významnou množinu komutujících pozorovatelných. Podíváme se na operátor celkového momentu hybnosti $\hat{\vec{L}} = \hat{\vec{L}}_{(1)} + \hat{\vec{L}}_{(2)}$ a především kvadrát jeho velikosti \begin{align*} \hat{\vec{L}}^2 &= ( \hat{\vec{L}}_{(1)} + \hat{\vec{L}}_{(2)} )^2 = \hat{\vec{L}}_{(1)}^2 + \hat{\vec{L}}_{(2)}^2 + \hat{\vec{L}}_{(1)} \cdot \hat{\vec{L}}_{(2)} + \hat{\vec{L}}_{(2)} \cdot \hat{\vec{L}}_{(1)} = \\ &= \hat{\vec{L}}_{(1)}^2 + \hat{\vec{L}}_{(2)}^2 + 2\hat{\vec{L}}_{(1)} \cdot \hat{\vec{L}}_{(2)}, \end{align*} v němž dále užitím posunovacích operátorů upravíme výraz $\hat{\vec{L}}_{(1)} \cdot \hat{\vec{L}}_{(2)}$ \begin{align*} &\hat{\vec{L}}_{(1)} \cdot \hat{\vec{L}}_{(2)} = \hat{L}_{(1)3} \hat{L}_{(2)3} + \frac{1}{4}(\hat{L}_{(1)+} + \hat{L}_{(1)-})(\hat{L}_{(2)+} + \hat{L}_{(2)-}) - {}\\ &\qquad- \frac{1}{4}(\hat{L}_{(1)+} - \hat{L}_{(1)-})(\hat{L}_{(2)+} - \hat{L}_{(2)-}) = \hat{L}_{(1)3} \hat{L}_{(2)3} + \frac{1}{2} (\hat{L}_{(1)+} \hat{L}_{(2)-} + \hat{L}_{(1)-} \hat{L}_{(2)+}). \end{align*} Hledané vyjádření operátoru $\hat{\vec{L}}^2$ je tedy \begin{equation} \hat{\vec{L}}^2 = \hat{\vec{L}}_{(1)}^2 + \hat{\vec{L}}_{(2)}^2 + 2 \hat{L}_{(1)3} \hat{L}_{(2)3} + \hat{L}_{(1)+} \hat{L}_{(2)-} + \hat{L}_{(1)-} \hat{L}_{(2)+}. \label{MomH:DveCL2} \end{equation} Snadno ověříme, že celkový moment hybnosti $\hat{\vec{L}}$ vyhovuje prvnímu z požadavků \eqref{MomH:RelaceMomH}. Druhý se nejsnáze ověří u složky $\hat{L}_3 (= \hat{L}_{(1)3} + \hat{L}_{(2)3})$, která s $\hat{\vec{L}}^2$ komutuje na základě \eqref{MomH:DveCL2} a vztahů \eqref{MomH:L1L2} a \eqref{MomH:PosunOp}. Ostatní složky $\hat{\vec{L}}$ komutují s $\hat{\vec{L}}^2$ v důsledku svobody volby směru třetí souřadnice. Pro celkový moment hybnosti a jeho odpovídající posunovací operátory $\hat{L}_\pm = \hat{L}_{(1)\pm} + \hat{L}_{(2)\pm}$ tedy platí všechny výsledky předchozí kapitoly. $\hat{\vec{L}}_{(1)}^2$ a $\hat{\vec{L}}_{(2)}^2$ komutují se všemi členy součtu \eqref{MomH:DveCL2} a také s $\hat{L}_3$, čtveřice operátorů $\hat{\vec{L}}_{(1)}^2$, $\hat{\vec{L}}_{(2)}^2$, $\hat{\vec{L}}^2$, $\hat{L}_3$ tedy tvoří druhý systém vzájemně komutujících operátorů. Označme $\ket{l_1, l_2; l, m}$ jejich společný vlastní vektor splňující relace \begin{align} \label{MomH:Komut21} \hat{\vec{L}}_{(1)}^2 \ket{l_1, l_2; l, m}& = \hbar^2 l_1 (l_1 + 1) \ket{l_1, l_2; l, m},& \hat{\vec{L}}_{(2)}^2 \ket{l_1, l_2; l, m}& = \hbar^2 l_2 (l_2 + 1) \ket{l_1, l_2; l, m},& \nonumber \\ \hat{\vec{L}}^2 \ket{l_1, l_2; l, m}& = \hbar^2 l (l + 1) \ket{l_1, l_2; l, m},& \hat{L}_3 \ket{l_1, l_2; l, m}& = \hbar m \ket{l_1, l_2; l, m}.& \end{align} Pro dané $l_1, l_2 \in \priroz_0$ tvoří $\left\{ \ket{l_1, m_1} \ket{l_2, m_2} \right\}$ bázi $(2l_1 + 1)(2l_2 + 1)$-dimenzionálního podprostoru $\hilbert_{l_1l_2} \Subset \hilbert$. Ukážeme, jakých hodnot mohou pro dané $l_1, l_2$ nabývat $l, m$ ($\left\{ \ket{l_1, l_2; l, m} \right\}$ tvoří též bázi $\hilbert_{l_1l_2}$) a jak lze najít transformaci převádějící jednu bázi na druhou. Začneme s vektorem $\ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2}$ (kde $m_1 = l_1$, $m_2 = l_2$). Využijeme rozpisu $\hat{\vec{L}}^2$ pomocí \eqref{MomH:DveCL2} \begin{align} \label{MomH:Komut22} \hat{\vec{L}}^2 \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2} &= \Bigl( \hat{\vec{L}}_{(1)}^2 + \hat{\vec{L}}_{(2)}^2 + 2 \hat{L}_{(1)3} \hat{L}_{(2)3} + \overbrace{\hat{L}_{(1)+} \hat{L}_{(2)-} + \hat{L}_{(1)-} \hat{L}_{(2)+}}^{\text{působením dává nulu kvůli } L_+} \Bigr) \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2} = \nonumber \\ &= \hbar^2 \Bigl(l_1 (l_1 + 1) + l_2 (l_2 + 1) + 2 l_1 l_2 \Bigr) \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2} = \nonumber \\ &= \hbar^2 (l_1 + l_2)(l_1 + l_2 + 1)\ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2}, \nonumber \\ \hat{L}_3 \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2} &= \hbar (l_1 + l_2) \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2}. \end{align} Položme tedy \begin{equation} \ket{l_1, l_2; l_1 + l_2, l_1 + l_2} := \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2}. \label{MomH:VztahKetu1} \end{equation} Na tuto rovnost budeme aplikovat operátor $\hat{L}_- = \hat{L}_{(1)-} + \hat{L}_{(2)-}$. Ve výpočtu použijeme koeficient $\alpha^{(-)} (l,m)$ definovaný v \eqref{MomH:alpha}. Ze dvou ekvivalentních vyjádření odvodíme \begin{align*} &\hat{L}_- \ket{l_1, l_2; l_1 + l_2, l_1 + l_2} = \alpha^{(-)} (l_1 + l_2, l_1 + l_2) \ket{l_1, l_2; l_1 + l_2, l_1 + l_2 - 1}, \\ &\hat{L}_- \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2} = \alpha^{(-)} (l_1,l_1) \ket{l_1, l_1 - 1} \ket{l_2, l_2} + \alpha^{(-)} (l_2,l_2) \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2 - 1}, \end{align*} odkud dosazením za $\alpha^{(-)}(l,m)$ a porovnáním pravých stran získáváme \begin{equation} \label{MomH:VztahKetu2} \ket{l_1, l_2; l_1 + l_2, l_1 + l_2 - 1} = \sqrt{\frac{l_1}{l_1+l_2}} \ket{l_1, l_1 - 1} \ket{l_2, l_2} + \sqrt{\frac{l_2}{l_1+l_2}} \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2 - 1}. \end{equation} Snadno můžeme vytvořit vektor ortogonální k vektoru \eqref{MomH:VztahKetu2} v rámci lineárního obalu $\ket{l_1, l_1 - 1} \ket{l_2, l_2}$ a $\ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2 - 1}$: až na volbu fáze se nabízí jediné řešení, \[ -\sqrt{\frac{l_2}{l_1+l_2}} \ket{l_1, l_1 - 1} \ket{l_2, l_2} + \sqrt{\frac{l_1}{l_1+l_2}} \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2 - 1}, \] jemuž by měl odpovídat jiný vektor z druhé báze $\left\{ \ket{l_1, l_2; l, m} \right\}$, pro který musí platit $m=l_1+l_2-1$ a $m \in \{ -l, \ldots, l \}$. To však může splnit jediná hodnota $l = l_1 + l_2 - 1$, tedy \begin{equation} \label{MomH:VztahKetu3} \ket{l_1, l_2, l_1+l_2-1, l_1+l_2-1} := - \sqrt{\frac{l_2}{l_1+l_2}} \ket{l_1, l_1 - 1} \ket{l_2, l_2} + \sqrt{\frac{l_1}{l_1+l_2}} \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2 - 1}. \end{equation} Zvolená hodnota fáze (a tedy i znaménka) vychází opět z Condon--Shortleyho znaménkové konvence, v níž platí \begin{equation*} \bigl(\bra{l_1,l_1}\bra{l_2,l_2-1}\bigr)\,\ket{l_1, l_2, l_1+l_2-1, l_1+l_2-1} > 0. \end{equation*} Opětovnou aplikací operátoru $\hat{L}_-$ na obě strany rovností \eqref{MomH:VztahKetu2} a \eqref{MomH:VztahKetu3} dostáváme na levé straně vektory $\ket{l_1, l_2; l_1 + l_2, l_1 + l_2 - 2}$, $\ket{l_1, l_2; l_1 + l_2 - 1, l_1 + l_2 - 2}$ a na pravých stranách lineární kombinace vektorů \[ \ket{l_1,l_1-2}\ket{l_2,l_2}, \quad \ket{l_1,l_1-1}\ket{l_2,l_2-1}, \quad \ket{l_1,l_1}\ket{l_2,l_2-2}, \] k nimž je možno opět vytvořit vektor třetí způsobem, že vzniklá trojice vektorů je vzájemně ortogonální. Tyto vektory budou v bázi $\left\{ \ket{l_1, l_2; l, m} \right\}$ reprezentovat vektory \[ \ket{l_1, l_2; l_1+l_2, l_1+l_2-2}, \quad \ket{l_1, l_2; l_1+l_2-1, l_1+l_2-2}, \quad \ket{l_1, l_2; l_1+l_2-2, l_1+l_2-2}, \] čímž získáme vyjádření pro $\ket{l_1, l_2; l_1+l_2-2, l_1+l_2-2}$. Fázi volíme opět v rámci Condon--Shortleyho znaménkové konvence tak, aby platilo \begin{equation*} \bra{l_1, l_1} \braket{l_2, l_2-n}{l_1, l_2; l_1+l_2-n, l_1+l_2-n} > 0. \end{equation*} Operátor $\hat{L}_-$ takto nadále aplikujeme na každý získaný vektor pro posouvání $m$ až do odpovídající meze $-l$ a dosud jsme v každém kroku také získali nový vektor $\ket{l_1, l_2; l_1+l_2-n, l_1+l_2-n}$. Druhý fakt ale vycházel ze skutečnosti, že vektory $\ket{l_1, l_1-n}\ket{l_2, l_2}, \ldots, \allowbreak \ket{l_1, l_1}\ket{l_2, l_2-n}$ definují $(n+1)$-rozměrný podprostor. To je pravda pouze, dokud $l_1-n \ge -l_1$ a současně $l_2-n \ge l_2$, tedy $n \le N = 2\min\{l_1, l_2\}$. Jakmile použijeme tuto konstrukci $N$-krát, pokryjeme nově tvořenou bází celý prostor díky shodě dimenzí \begin{equation*} \sum_{n=0}^{N} (2(l_1 + l_2 - n)+1) = \sum_{k=|l_1-l_2|}^{l_1+l_2} (2k+1) = (2l_1+1)(2l_2+1). \end{equation*} Po $N$ iteracích tedy pokryjeme celý prostor $\hilbert_{l_1l_2}$ a žádné další ortogonální vektory nezbudou. Vektory $\ket{l_1,l_2;l,m}$ pro \[ l=l_1+l_2,l_1+l_2-1,\ldots,|l_1-l_2|, \quad m \in \{ -l, -l+1, \ldots, l-1, l\} \] tedy tvoří ortogonální bázi prostoru $\hilbert_{l_1l_2}$, která souvisí s bází tvořenou vektory $\ket{l_1,m_1}\ket{l_2,m_2}$ unitární transformací \begin{equation} \label{MomH:DefCG} \ket{l_1, l_2; l, m} = \sum_{m_1=-l_1}^{l_1} \sum_{m_2=-l_2}^{l_2} \underbrace{(l_1,l_2,m_1,m_2|l,m)}_{\text{CG koeficienty}} \ket{l_1,m_1} \ket{l_2,m_2} \end{equation} Koeficienty lineární kombinace se nazývají \textbf{Clebsch--Gordanovy (CG) koeficienty} a budeme pro ně užívat výše zavedené značení. Z \eqref{MomH:VztahKetu1}, \eqref{MomH:VztahKetu2} a \eqref{MomH:VztahKetu3} můžeme hned psát hodnoty pěti CG koeficientů. \begin{subequations} \begin{align} (l_1,l_2, l_1, l_2| l_1+l_2, l_1+l_2) &= 1 \label{MomH:CG1} \\ (l_1,l_2, l_1-1, l_2| l_1+l_2, l_1+l_2-1) &= \sqrt{\frac{l_1}{l_1+l_2}} \label{MomH:CG2} \\ (l_1,l_2, l_1, l_2-1| l_1+l_2, l_1+l_2-1) &= \sqrt{\frac{l_2}{l_1+l_2}} \label{MomH:CG3} \\ (l_1,l_2, l_1-1, l_2| l_1+l_2-1, l_1+l_2-1) &= - \sqrt{\frac{l_2}{l_1+l_2}} \label{MomH:CG4} \\ (l_1,l_2, l_1, l_2-1| l_1+l_2-1, l_1+l_2-1) &= + \sqrt{\frac{l_1}{l_1+l_2}}. \label{MomH:CG5} \end{align} \end{subequations} Díky unitaritě navíc jednoduše najdeme i inverzní transformaci \eqref{MomH:DefCG} ve tvaru \begin{equation} \label{MomH:DefCGInverzni} \ket{l_1,m_1} \ket{l_2,m_2} = \sum_{l=|l_1-l_2|}^{l_1+l_2} \sum_{m=-l}^{l} (l_1,l_2,m_1,m_2|l,m)^\ast \ket{l_1, l_2; l, m}. \end{equation} Je dobré si uvědomit obecné vlastnosti CG koeficientů plynoucí z konstrukce a z~rovnic \eqref{MomH:DefCG} a \eqref{MomH:DefCGInverzni}: \begin{enumerate} \item CG koeficienty lze vybrat reálné, \\ \item $ \D (l_1,l_2,m_1,m_2|l,m) = 0 \quad \text{pokud} \quad (m \neq m_1 + m_2) \vee (l \notin \left\{ |l_1 - l_2| , \ldots , l_1 + l_2 \right\}) $, \item $ \D \sum_{m_1,m_2} (l_1,l_2,m_1,m_2|l,m) (l_1,l_2,m_1,m_2|\tilde{l},\tilde{m}) = $ \[ \qquad \qquad \qquad = \begin{cases} \delta_{l\tilde{l}} \delta_{m\tilde{m}} & \text{pro } l,\tilde{l} \in \left\{ |l_1 - l_2| , \ldots , l_1 + l_2 \right\}, \\ 0 & \text{jinak,} \end{cases} \] \item $ \D \sum_{l,m} (l_1,l_2,m_1,m_2|l,m) (l_1,l_2,\tilde{m}_1,\tilde{m}_2|l,m) = \delta_{m_1\tilde{m}_1} \delta_{m_2\tilde{m}_2} $, \item $ \D \alpha^{(-)} (l,m) (l_1,l_2,m_1,m_2|l,m-1) = \alpha^{(+)} (l_1,m_1+1) (l_1,l_2,m_1+1,m_2|l,m) + \\ \text{ } \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + \alpha^{(+)} (l_2,m_2+1) (l_1,l_2,m_1,m_2+1|l,m) \\ \alpha^{(+)} (l,m) (l_1,l_2,m_1,m_2|l,m+1) = \alpha^{(-)} (l_1,m_1-1) (l_1,l_2,m_1-1,m_2|l,m) + \\ \text{ } \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + \alpha^{(-)} (l_2,m_2-1) (l_1,l_2,m_1,m_2-1|l,m) $ \end{enumerate} V literatuře je možno kromě CG koeficientů najít v ekvivalentní roli i \textbf{Wignerovy \hbox{$3j$-symboly}}, jejich výhodou je větší symetrie při rozkladech. Mezi CG koeficienty a Wignerovými \hbox{$3j$-symboly} existuje převodní vzorec \begin{equation} \label{MomH:Wigner3j} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} = \frac{(-1)^{j_1-j_2-m_3}}{(2j_3+1)^{1/2}} (j_1, j_2, m_1, m_2| j_3, -m_3). \end{equation} V dalším výkladu však budeme pracovat výhradně s CG koeficienty. \begin{example} Pro pevně dané $l_1 = l_2 = \pul$ napočítejte všechny nenulové CG koeficienty. \end{example} Hodnoty $m_1, m_2, m, l$ musí splňovat podmínky \begin{align*} l \in \left\{ |l_1 - l_2| , \ldots , l_1 + l_2 \right\} = \left\{ 0; 1 \right\}, \quad m \in \left\{ -l , \ldots , l \right\} = \left\{ -1; 0; 1 \right\} \\ m_1 \in \left\{ -l_1 , \ldots , l_1 \right\} = \left\{ -\pul; \pul \right\}, \quad m_2 \in \left\{ -\pul; \pul \right\}, \quad m = m_1 + m_2. \end{align*} Tyto podmínky určují, jaké CG koeficienty má smysl počítat. Následující CG koeficienty $(l_1,l_2,m_1,m_2|l,m)$ můžeme určit přímo užitím \eqref{MomH:CG1}--\eqref{MomH:CG3} \begin{subequations} \begin{align} &(\pul,\pul,\pul,\pul|1,1) = 1 \label{MomH:PrikladCG1} \\ &(\pul,\pul,-\pul,\pul|1,0) = \sqrt{\frac{\pul}{\pul+\pul}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \label{MomH:PrikladCG2} \\ &(\pul,\pul,\pul,-\pul|1,0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \label{MomH:PrikladCG3} \end{align} \end{subequations} Stejným způsobem užitím \eqref{MomH:CG4},\eqref{MomH:CG5} \begin{align*} &(\pul,\pul,-\pul,\pul|0,0) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ &(\pul,\pul,\pul,-\pul|0,0) = +\frac{1}{\sqrt{2}} \end{align*} Zbývá určit koeficient $(\pul,\pul,-\pul,-\pul|1,-1)$. Z již určených CG koeficientů \eqref{MomH:PrikladCG2}, \eqref{MomH:PrikladCG3} plyne rozklad \[ \ket{\pul,\pul;1,0} = \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\pul, -\pul} \ket{\pul, \pul} + \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\pul, \pul} \ket{\pul, -\pul}, \] \noindent na jehož obě strany aplikujeme operátor $\hat{L}_-$ \begin{align*} &\hat{L}_- \ket{\pul,\pul;1,0} = \alpha^{(-)} (1,0) \ket{\pul,\pul;1,-1} \\ &\hat{L}_- (\frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\pul, -\pul} \ket{\pul, \pul} + \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\pul, \pul} \ket{\pul, -\pul}) = \\ &\quad = \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\pul, -\pul} \alpha^{(-)}(\pul,\pul) \ket{\pul, -\pul} + \frac{1}{\sqrt{2}} \alpha^{(-)}(\pul,\pul) \ket{\pul, -\pul} \ket{\pul, -\pul} \\ \end{align*} \noindent odkud dosazením $\alpha^{(-)} (1,0) = \sqrt{2}\hbar$; $\alpha^{(-)}(\pul,\pul) = \hbar$ a porovnáním pravých stran dostáváme \[ \ket{\pul,\pul;1,-1} = \ket{\pul, -\pul} \ket{\pul, -\pul}. \] Z posledního řádku plyne (přímo z definice CG koeficientů \eqref{MomH:DefCG}) hodnota posledního neurčeného CG \[ (\pul,\pul,-\pul,-\pul|1,-1) = 1 \] Uvedený postup sloužil pouze pro ilustraci metodiky, jež je třeba nasadit na výpočet CG koeficientů pro vyšší hodnoty $l_1, l_2$ -- to si na cvičení bohatě užijete. Tabulku a vlastnosti CG koeficientů lze najít ve Formánkovi \cite{for:ukt}, kam se doporučujeme podívat. %------------------------------------------------------------------