01RMF:Kapitola5: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m
m (Dopis detajlů)
Řádka 35: Řádka 35:
 
Nyní je možné dosazením do původní rovnice určit koeficienty. My tyto koeficienty určíme jinou metodou.
 
Nyní je možné dosazením do původní rovnice určit koeficienty. My tyto koeficienty určíme jinou metodou.
 
Uvažujme tedy řešení  
 
Uvažujme tedy řešení  
$$ f(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)c_j + g(x)$$  
+
$$ f(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)c_j + g(x).$$  
Pronásobme celou rovnost výrazem $v_j(x)$ a zintegrujeme ji přes $G$ podle $x$.  
+
Pronásobme celou rovnost výrazem $v_j(x)$ a zintegrujme ji přes $G$ podle $x$.  
 
Máme pak  
 
Máme pak  
$$c_j = \displaystyle \int_G v_j(x)f(x) \dd x  = \lambda \displaystyle \sum_{k=1}^{p} c_k \displaystyle \int_{G} u_k(x)v_j(x) \dd x + \displaystyle \int_{G} v_j(x)g(x) \dd x$$
+
$$c_j = \displaystyle \int_G v_j(x)f(x) \dd x  = \lambda \displaystyle \sum_{k=1}^{p} c_k \displaystyle \int_{G} u_k(x)v_j(x) \dd x + \displaystyle \int_{G} v_j(x)g(x) \dd x.$$
 
Pokud tuto úpravu provedeme pro veškerá $j$, získáme soustavu lineárních algebraických rovnic pro koeficienty $c_j$.
 
Pokud tuto úpravu provedeme pro veškerá $j$, získáme soustavu lineárních algebraických rovnic pro koeficienty $c_j$.
  
Řádka 47: Řádka 47:
 
\underbrace{ \displaystyle \int_{G}v_i(x)g(x)\dd x }_{b_i}$$
 
\underbrace{ \displaystyle \int_{G}v_i(x)g(x)\dd x }_{b_i}$$
 
Tedy jsme získali rovnici  
 
Tedy jsme získali rovnici  
$$ z = \lambda\Az + b $$
+
$$z = \lambda\Az + b.$$

Verze z 9. 12. 2016, 14:26

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01RMF

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01RMFMazacja2 16. 12. 201618:29
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůMazacja2 28. 12. 201613:12
Header editovatHlavičkový souborMazacja2 18. 12. 201621:10 header.tex
Kapitola0 editovatPředmluvaMazacja2 9. 11. 201620:51 predmluva.tex
Kapitola1 editovatMotivaceJohndavi 8. 4. 201916:34 motivace.tex
Kapitola2 editovatZobecněné funkceLomicond 7. 12. 201916:51 zobecnene_funkce.tex
Kapitola3 editovatIntegrální transformaceLomicond 25. 12. 201915:58 integralni_transformace.tex
Kapitola4 editovatŘešení dif. rovnicJohndavi 9. 4. 201915:15 reseni.tex
Kapitola5 editovatIntegrální rovniceJohndavi 8. 4. 201916:25 Kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSturm-Liouvilleova teorieJohndavi 8. 4. 201915:35 Kapitola6.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Integrální rovnice}
V celé kapitole budeme množinou $G$ rozumět omezenou oblast v $\R^n$. 
Budeme obecně zkoumat dva případy funkcí, a to 
\begin{enumerate}
\item funkce $L^2(G)$ s normou $\Vert f\Vert_2 = \displaystyle \int_G f \bar{f} \dd x$;
\item funkce $\C(\bar{G})$ s normou $\Vert f \Vert_{\C} = \mathrm{max}_{x\in \bar{G}} |f(x)|$. 
\end{enumerate}
 
\section{Fredholmovy integrální rovnice}
Definujme integrální operátor 
$$ \Kb \phi(x) = \displaystyle \int_{G} \K(x,y) \phi(y) \dd y, $$
přičemž $\K$ nazýváme integrální jádro a budeme předpokládat, že $\K\in C(\bar{G} \times \bar{G})$. 
Označme $M = \mathrm{max}_{\bar{G}\times \bar{G}} |\K(x,y)|$, tzv. mez jádra. Dále označme $V = \displaystyle \int_{G} 1 \dd x < +\infty$
 
\begin{define}
Fredholmovou integrální rovnicí pro funkci $f$ rozumíme rovnici tvaru 
$$ f= \lambda \Kb f + g ,$$
kde $\lambda \in \mathbb{C}$,  funkce $g$ se tradičně nazývá pravá strana a $\Kb$ je integrální operátor se spojitým jádrem. 
\end{define}
Tuto úlohu můžeme přepsat do ekvivalentní podoby $(\mathbf{I} - \lambda \Kb)f =g$ a hledáme řešení buď v $L^2(G)$ (pak $g \in L^2(G)$, nebo v $\C(\bar{G})$ (pak $g\in \C(\bar{G})$). 
Speciálně pro nulovou pravou stranu dostáváme úlohu na vlastní čísla operátoru $\Kb$.
 
\subsection{Degenerované jádro}
\begin{define}
Řekneme, že integrální jádro $\K(x,y)$ je degenerované, jestliže je separovatelné, tj.  je možné jej zapsat ve tvaru $\K(x,y) = \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)v_j(y)$, 
kde $u_j(x), v_j(y) \in \C(\bar{G})$.
\end{define}
 
Přepišme nyní Fredholmovu integrální rovnici pro degenerované jádro:
$$f(x) = \lambda \Kb f(x) + g(x) = \lambda \displaystyle \int_{G} \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)v_j(y) f(y) \dd y  + g(x)= $$
$$ = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x) \underbrace{\displaystyle \int_{G} v_j(y) f(y) \dd y}_{c_j\in \mathbb{C}} + g(x)$$
Tímto jsme získali tvar řešení
$$ f(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)c_j + g(x).$$
Nyní je možné dosazením do původní rovnice určit koeficienty. My tyto koeficienty určíme jinou metodou.
Uvažujme tedy řešení 
$$ f(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)c_j + g(x).$$ 
Pronásobme celou rovnost výrazem $v_j(x)$ a zintegrujme ji přes $G$ podle $x$. 
Máme pak 
$$c_j = \displaystyle \int_G v_j(x)f(x) \dd x  = \lambda \displaystyle \sum_{k=1}^{p} c_k \displaystyle \int_{G} u_k(x)v_j(x) \dd x + \displaystyle \int_{G} v_j(x)g(x) \dd x.$$
Pokud tuto úpravu provedeme pro veškerá $j$, získáme soustavu lineárních algebraických rovnic pro koeficienty $c_j$.
 
Označme $z_i = \displaystyle \int_{G}v_i(x)f(x) \dd x$ a dosaďme za $f(x)$ z Fredholmovy rovnice:
$$z_i = \displaystyle \int_{G} (v_i(x)(\lambda \Kb f(x) + g(x) ) \dd x = 
\lambda \displaystyle \int_{G} v_i(x) \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x) \left(  \displaystyle \int_{G}v_j(y)f(y) \dd y \right) \dd x + \displaystyle \int_{G} v_i(x)g(x) \dd x = $$
$$ = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p} \underbrace{\left( \displaystyle \int_{G}v_i(x)u_j(x)\dd x \right)}_{A_{ij}} \underbrace{\left( \displaystyle \int_{G}v_j(y)f(y)\dd y \right)}_{z_j} +
\underbrace{ \displaystyle \int_{G}v_i(x)g(x)\dd x }_{b_i}$$
Tedy jsme získali rovnici 
$$z = \lambda\Az + b.$$