01RMF:Kapitola4: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(automatic) |
|||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{01RMF} | %\wikiskriptum{01RMF} | ||
− | \section{} | + | \chapter{Řešení počátečních úloh ODR a PDR} |
+ | V této části se budeme věnovat již konečně řešení jednotlivých typů diferenciálních rovnic za použití nástrojů, které jsme dosud vybudovali. | ||
+ | Schéma řešení již pro zobecněné lineární diferenciální rovnice známe. Máme-li | ||
+ | $$L u = f \mbox{ v } \D' ,$$ | ||
+ | pak pokud naleznu řešení $L\epsilon = \delta$, tak jsme ukázali, že $u = \epsilon \ast \f$ řeší rovnici $L u = f $. | ||
+ | Fundamentální řešení $\epsilon$ budeme hledat právě pomocí integrálních transformací. | ||
+ | |||
+ | Dodejme, že v následujících kapitolách nejprve vždy uvedeme konkrétní příklad řešení dané úlohy a následně postup abstrahujeme do věty, která bude popisovat řešení. | ||
+ | |||
+ | \section{Lineární ODR s konstantními koeficienty} | ||
+ | Řešte počáteční úlohu: | ||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | \ddot{y} + 3\dot{y}+2y & = & 3te^t \\ | ||
+ | y(0) & = & 2 \\ | ||
+ | \dot{y}(0) & = &1 \\ | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | Označme $Ly = \ddot{y} + 3\dot{y}+2y $ a $f = 3te^t$. | ||
+ | Předpokládejme, že $y(t)$ je řešením této rovnice, tj. $y(t) \in \Ci$. | ||
+ | Zkonstruujme nyní zobecněnou funkci | ||
+ | $$\tidle{y}(t) := \Theta(t) y(t) \in \D'_{reg}$$ | ||
+ | Pomocí této funkce se pokusíme náš problém převést do řeči zobecněných funkcí a řešit jej. Proto si připravme derivace výrazu $\tidle{y}(t)$: | ||
+ | $$ \dot{\tidle{y}}(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t)y(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t) y(0) = \Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)$$ | ||
+ | $$ \ddot{\tidle{y}}(t) = \dot{y}(t)\delta(t) + \Theta(t)\ddot{y}(t) + 2 \dot{\delta}(t) = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)$$ | ||
+ | Stojí za zmínku, že již v tomto kroku jsme využili počátečních podmínek a zahrnuli je tímto do řešení. | ||
+ | Nyní již můžeme dosadit | ||
+ | $$ L\tilde{y} = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t) + 3(\Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)) + 2\Theta(t) y(t) = \Theta(t) Ly + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) = | ||
+ | \underbrace{\Theta(t)f(t)}_{=\tilde{f}(t)} + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) $$ | ||
+ | Klasickou úlohu jsme tedy převedli na problém v $\D'$, který už umíme vyřešit. Tato zobecněná úloha jde vždy zkonstruovat pomocí $\tidle{y}(t) := \Theta(t) y(t)$. | ||
+ | Úloha tedy přešla na tvar: | ||
+ | $$L\tilde{y} = \underbrace{\tilde{f}(t) + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t)}_{F(t)}, \mbox{kde } \tilde{f}(t) = \Theta(t)f(t).$$ | ||
+ | Řešení této úlohy je $\tilde{y} = \epsilon \ast F$. | ||
+ | Řešení rozdělíme do dvou kroků, nejprve nalezneme fundamentální řešení a následně vyřešíme zobecněnou úlohu. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \paragraph{I. Fundamentální řešení $\epsilon$} | ||
+ | Řešíme úlohu $L\epsilon = \delta$. Ze cvičení (eventuálně [Šťovíček]) víme, že fundamentální řešení je možné hledat ve tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde funkce | ||
+ | $Z(t)$ splňuje $L(Z)=0 $ a počáteční podmínky $Z(0) =0$ a $\dot{Z}(0) = 1$. | ||
+ | V našem případě tedy řešíme rovnici | ||
+ | $$LZ = \ddot{Z} + 3 \dot{Z} + 2Z = 0$$ | ||
+ | Její řešení je $Z(t) = C_1 e^{-t}+C_2 e^{-2t}$, po započtení počátečních podmínek máme $Z(t) = e^{-t}-e^{-2t}$ a tedy fundamentální řešení našeho operátoru je tvaru | ||
+ | $$ \epsilon(t) = \Theta(t) \left( e^{-t}-e^{-2t} \right)$$ | ||
+ | |||
+ | \paragraph{II. Vyřešení zobecněné úlohy} | ||
+ | Nyní se pokusíme spočíst konvoluci $\epsilon \ast \F = \tilde{y}$. Nejprve si rozepíšeme z linearity konvoluce veškeré příspěvky a každý z nich poté vyšetříme zvlášť. | ||
+ | $$\tilde{y} = \epsilon \ast F =\epsilon \ast (\tilde{f} + 7 \delta +2\dot{\delta}) = \epsilon \ast \tilde{f} + 7 \epsilon \ast \delta + 2 \epsilon \ast \dot{\delta}$$ |
Verze z 25. 11. 2016, 22:14
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01RMF
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01RMF | Mazacja2 | 16. 12. 2016 | 19:29 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Mazacja2 | 28. 12. 2016 | 14:12 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Mazacja2 | 18. 12. 2016 | 22:10 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Mazacja2 | 9. 11. 2016 | 21:51 | predmluva.tex | |
Kapitola1 | editovat | Motivace | Johndavi | 8. 4. 2019 | 17:34 | motivace.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněné funkce | Lomicond | 7. 12. 2019 | 17:51 | zobecnene_funkce.tex | |
Kapitola3 | editovat | Integrální transformace | Lomicond | 25. 12. 2019 | 16:58 | integralni_transformace.tex | |
Kapitola4 | editovat | Řešení dif. rovnic | Johndavi | 9. 4. 2019 | 16:15 | reseni.tex | |
Kapitola5 | editovat | Integrální rovnice | Johndavi | 8. 4. 2019 | 17:25 | Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Sturm-Liouvilleova teorie | Johndavi | 8. 4. 2019 | 16:35 | Kapitola6.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF} \chapter{Řešení počátečních úloh ODR a PDR} V této části se budeme věnovat již konečně řešení jednotlivých typů diferenciálních rovnic za použití nástrojů, které jsme dosud vybudovali. Schéma řešení již pro zobecněné lineární diferenciální rovnice známe. Máme-li $$L u = f \mbox{ v } \D' ,$$ pak pokud naleznu řešení $L\epsilon = \delta$, tak jsme ukázali, že $u = \epsilon \ast \f$ řeší rovnici $L u = f $. Fundamentální řešení $\epsilon$ budeme hledat právě pomocí integrálních transformací. Dodejme, že v následujících kapitolách nejprve vždy uvedeme konkrétní příklad řešení dané úlohy a následně postup abstrahujeme do věty, která bude popisovat řešení. \section{Lineární ODR s konstantními koeficienty} Řešte počáteční úlohu: \begin{eqnarray*} \ddot{y} + 3\dot{y}+2y & = & 3te^t \\ y(0) & = & 2 \\ \dot{y}(0) & = &1 \\ \end{eqnarray*} Označme $Ly = \ddot{y} + 3\dot{y}+2y $ a $f = 3te^t$. Předpokládejme, že $y(t)$ je řešením této rovnice, tj. $y(t) \in \Ci$. Zkonstruujme nyní zobecněnou funkci $$\tidle{y}(t) := \Theta(t) y(t) \in \D'_{reg}$$ Pomocí této funkce se pokusíme náš problém převést do řeči zobecněných funkcí a řešit jej. Proto si připravme derivace výrazu $\tidle{y}(t)$: $$ \dot{\tidle{y}}(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t)y(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t) y(0) = \Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)$$ $$ \ddot{\tidle{y}}(t) = \dot{y}(t)\delta(t) + \Theta(t)\ddot{y}(t) + 2 \dot{\delta}(t) = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)$$ Stojí za zmínku, že již v tomto kroku jsme využili počátečních podmínek a zahrnuli je tímto do řešení. Nyní již můžeme dosadit $$ L\tilde{y} = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t) + 3(\Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)) + 2\Theta(t) y(t) = \Theta(t) Ly + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) = \underbrace{\Theta(t)f(t)}_{=\tilde{f}(t)} + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) $$ Klasickou úlohu jsme tedy převedli na problém v $\D'$, který už umíme vyřešit. Tato zobecněná úloha jde vždy zkonstruovat pomocí $\tidle{y}(t) := \Theta(t) y(t)$. Úloha tedy přešla na tvar: $$L\tilde{y} = \underbrace{\tilde{f}(t) + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t)}_{F(t)}, \mbox{kde } \tilde{f}(t) = \Theta(t)f(t).$$ Řešení této úlohy je $\tilde{y} = \epsilon \ast F$. Řešení rozdělíme do dvou kroků, nejprve nalezneme fundamentální řešení a následně vyřešíme zobecněnou úlohu. \paragraph{I. Fundamentální řešení $\epsilon$} Řešíme úlohu $L\epsilon = \delta$. Ze cvičení (eventuálně [Šťovíček]) víme, že fundamentální řešení je možné hledat ve tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde funkce $Z(t)$ splňuje $L(Z)=0 $ a počáteční podmínky $Z(0) =0$ a $\dot{Z}(0) = 1$. V našem případě tedy řešíme rovnici $$LZ = \ddot{Z} + 3 \dot{Z} + 2Z = 0$$ Její řešení je $Z(t) = C_1 e^{-t}+C_2 e^{-2t}$, po započtení počátečních podmínek máme $Z(t) = e^{-t}-e^{-2t}$ a tedy fundamentální řešení našeho operátoru je tvaru $$ \epsilon(t) = \Theta(t) \left( e^{-t}-e^{-2t} \right)$$ \paragraph{II. Vyřešení zobecněné úlohy} Nyní se pokusíme spočíst konvoluci $\epsilon \ast \F = \tilde{y}$. Nejprve si rozepíšeme z linearity konvoluce veškeré příspěvky a každý z nich poté vyšetříme zvlášť. $$\tilde{y} = \epsilon \ast F =\epsilon \ast (\tilde{f} + 7 \delta +2\dot{\delta}) = \epsilon \ast \tilde{f} + 7 \epsilon \ast \delta + 2 \epsilon \ast \dot{\delta}$$