02LIAG:Kapitola9: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
m |
||
Řádka 91: | Řádka 91: | ||
\item $\alpha \in \Delta$. Potom $\dim \g_\alpha =1$ a $\beta \in \Delta \cap \mrm{span}\{\alpha\} \Leftrightarrow \beta =\pm \alpha$. | \item $\alpha \in \Delta$. Potom $\dim \g_\alpha =1$ a $\beta \in \Delta \cap \mrm{span}\{\alpha\} \Leftrightarrow \beta =\pm \alpha$. | ||
\item $\forall \alpha ,\beta \in \Delta$, $\alpha +\beta \neq 0$. Potom $[\g_\alpha , \g_\beta]=\g_{\alpha +\beta}$. (Pokud $\alpha+\beta \notin \Delta \cup \{ 0\}$, je $\g_{\alpha +\beta}=\{ 0\}$.) | \item $\forall \alpha ,\beta \in \Delta$, $\alpha +\beta \neq 0$. Potom $[\g_\alpha , \g_\beta]=\g_{\alpha +\beta}$. (Pokud $\alpha+\beta \notin \Delta \cup \{ 0\}$, je $\g_{\alpha +\beta}=\{ 0\}$.) | ||
− | \item $\forall \alpha ,\beta \in \Delta$, $\epsilon = | + | \item $\forall \alpha ,\beta \in \Delta$, $\epsilon = \mrm{sgn}a_{\beta\alpha}$. Potom $\beta -\epsilon \alpha,\, \beta -2\epsilon \alpha,\dots , \beta - a_{\beta\alpha} \alpha$ jsou kořeny. |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
} | } |
Verze z 23. 7. 2016, 16:28
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02LIAG
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02LIAG | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 20:54 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Hazalmat | 7. 7. 2016 | 06:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Hazalmat | 10. 7. 2016 | 21:12 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvod | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 21:12 | LIAG_Kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Definice Lieovy grupy a Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:02 | LIAG_Kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Vztah mezi Lieovou grupou a její algebrou | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:27 | LIAG_Kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Nástin teorie integrabilních distribucí | Hazalmat | 30. 7. 2016 | 14:10 | LIAG_Kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Akce grupy na varietě | Hazalmat | 17. 7. 2016 | 19:23 | LIAG_Kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Reprezentace Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 17:21 | LIAG_Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Souvislost Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 18:51 | LIAG_Kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 01:06 | LIAG_Kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Cartanova kritéria | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:29 | LIAG_Kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Klasifikace pomocí kořenů | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:34 | LIAG_Kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Kořenové diagramy, Cartanova martice | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 15:32 | LIAG_Kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Dynkinovy diagramy | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:39 | LIAG_Kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Reálné formy komplexních poloprostých algeber | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 23:39 | LIAG_Kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Význam kompaktních Lieových grup | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 23:45 | LIAG_Kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Reprezentace poloprostých Lieových algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 12:45 | LIAG_Kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Spinorové reprezentace | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 20:38 | LIAG_Kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Symetrie v QM | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 21:21 | LIAG_Kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Cvičení | Hazalmat | 6. 8. 2016 | 03:42 | LIAG_Kapitola17.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:liag-1.pdf | liag-1.pdf |
Image:su3_1.pdf | su3_1.pdf |
Image:su3_2.pdf | su3_2.pdf |
Image:su3_3.pdf | su3_3.pdf |
Image:su3_4.pdf | su3_4.pdf |
Image:su3_5.pdf | su3_5.pdf |
Image:su3_6.pdf | su3_6.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Klasifikace pomocí kořenů} Nadále se budeme zabývat pouze \textbf{komplexními poloprostými} algebrami. \lemma{ $\g_\alpha \perp_K \g_\beta,\ \forall \alpha, \beta \in \Delta \cup \{0\},\, \alpha +\beta \neq 0$. %OG vzhledem ke Killingově formě } \begin{proof} Díky $\ad$-invarianci Killingovy formy, pro libovolné $X_\alpha \in \g_\alpha,\ X_\beta \in \g_\beta,\ H \in \g_0$ platí: \begin{align*} (\alpha + \beta)(H)K\left( X_\alpha,X_\beta \right) = \left( \alpha(H) + \beta(H) \right) K\left( X_\alpha,X_\beta \right) = K \left( [H,X_\alpha],X_\beta \right) + K \left( X_\alpha,[H,X_\beta] \right) = 0 \end{align*} Protože $\alpha + \beta \neq 0 \rimpl \exists H \in \g_0,\ (\alpha+\beta)(H) \neq 0 \rimpl K(X_\alpha,X_\beta) = 0$ \end{proof} \lemma{ $\zuz{K}{\g_0}=\zuz{K}{\g_\alpha\times \g_\alpha}$ je nedegenerovaná a $\forall \alpha \in \Delta,\ \exists_1 H_\alpha \in \g_0,\ \forall H \in \g_0:\alpha (H)=K(H,H_\alpha )$, tj. máme vyjádření $\alpha (\cdot )=K(\cdot , H_\alpha )$. } \begin{proof} $K$ je na $\g$ nedegenerovaná$\rimpl \forall H \in \g_0,\ H \neq 0,\ \exists X \in \g,\ K(H,X) \neq 0$, zároveň $\g_0\perp\g_\alpha,\ \forall \alpha \in \Delta \rimpl \forall H \in \g_0,\ \exists X \in \g_0,\ K(H,X) \neq 0 \rimpl K$ je nedegenerovaná na $\g_0 \rimpl H \to K(\cdot,H)$ je izomorfismus $\g_0$ a $\g_0^* \rimpl \exists_1 H_\alpha$ a pro ztotožnení $\g_0$ a $\g_0^*$ lze použít $\alpha(\cdot) = K(\cdot,H_\alpha)$. \end{proof} \lemma{ Buď $\alpha \in \Delta$. Potom $-\alpha \in \Delta$ a $\forall X_\alpha \in \g_\alpha,\ \forall X_{-\alpha} \in \g_{-\alpha},\ [X_\alpha,X_{-\alpha}]=K(X_\alpha,X_{-\alpha})H_\alpha$. } \begin{proof} $\alpha \in \Delta \rimpl \g_\alpha \neq \{0\} \rimpl\forall \mu \in \Delta \cup \{0\} \setminus \{ -\alpha \},\ \g_\mu \perp \g_\alpha$. Kdyby $-\alpha \notin \Delta$, tj. $\g_{-\alpha} = \{0\} \rimpl \g_\alpha \perp \g \rimpl \g_\alpha = \{0\}$, spor. Takže $\g_{-\alpha} \neq \{0\}$ a $\forall X \in \g_\alpha,\ \forall X_{-\alpha} \in \g_{-\alpha},\ \forall H \in \g_0$ platí: \begin{align*} K\big([X_\alpha,X_{-\alpha}] - K(X_\alpha,X_{-\alpha})H_\alpha,H \big) = K\big( [X_\alpha,X_{-\alpha}],H \big) - K(X_\alpha,X_{-\alpha})\underbrace{K(H_\lambda,H)}_{\lambda(H)} = \\ = -K \big( X_\alpha,\underbrace{[H,X_{-\alpha}]}_{ -\lambda(H)X_{-\alpha}} \big) -K(X_\alpha,X_{-\alpha})\lambda(H) = \big( \lambda(H) - \lambda(H) \big)K(X_\alpha,X_{-\alpha}) = 0 \end{align*} $\Rightarrow\quad [X_\alpha,X_{-\alpha}] - K(X_\alpha,X_{-\alpha})H_\lambda = 0$. \end{proof} \lemma{ $\forall \alpha \in \Delta,\ \alpha(H_\alpha)=K(H_\alpha , H_\alpha ) \neq 0$. } \begin{proof} $\g_{-\alpha}\perp\g_\beta,\ \forall \beta \in (\Delta \cup \{0\})\setminus\{\alpha\}$ a $\g_{-\alpha}\notperp\g \rimpl \exists X_{-\alpha} \in \g_{-\alpha},\ X_\alpha \in \g_\alpha,\ K(X_{-\alpha},X_\alpha) = 1 \rimpl [X_\alpha,X_{-\alpha}] = H_\alpha$. Uvažujme $\g_{\beta\alpha} = \bigoplus_{k \in \Z}\g_{\beta+k\alpha} \rimpl \ad_{X_\alpha},\ \ad_{X_{-\alpha}},\ \ad_{H_\alpha}$ ponechávají $\g_{\beta\alpha}$ invariantní. \begin{align*} \zuz{\Tr}{\g_{\beta\alpha}}\ad_{H_\alpha} &= \zuz{\Tr}{\g_{\beta\alpha}}\left[ \ad_{X_\alpha}, \ad_{X_{-\alpha}} \right] = 0 \\ &= \sum_{k \in \Z}(\beta + k\alpha)(H_\alpha)\dim \g_{\beta + k\alpha} = \beta(H_\alpha)\dim\g_{\beta\alpha} + \alpha(H_\alpha)\sum_{k\in\Z}k\dim\g_{\beta+k\alpha} = 0. \end{align*} Pokud $\alpha(H_\alpha) = 0 \rimpl \beta(H_\alpha) = 0,\ \forall \beta \in \Delta \rimpl H_\alpha = 0$, spor s předpokladem $\alpha \in \Delta\ (\Rightarrow\ \alpha(H) = K(H,H_\alpha),\ \forall H \in \g_0) \rimpl \alpha(H_\alpha) \neq 0$. \end{proof} \Def{ $\forall \alpha \in \Delta$ definujeme $T_\alpha := \frac{2}{K(H_\alpha , H_\alpha )}H_\alpha,\ a_{\beta \alpha}:=\beta (T_\alpha )=\frac{2K(H_\beta , H_\alpha )}{K(H_\alpha , H_\alpha )}$. } Nalezněme $X_{\pm\alpha}\in \g_{\pm \alpha}$ splňující $K(X_\alpha ,X_{-\alpha})=\frac{2}{\alpha (H_\alpha )}$. Pak platí: \begin{align} [X_\alpha ,X_{-\alpha}]= K(X_\alpha,X_{-\alpha})H_\alpha = T_\alpha, \\ [T_\alpha,X_{\pm\alpha}]= \pm 2 X_{\pm\alpha} \,. \end{align} To jsou komutační relace $\mathfrak{sl}(2,\C )$, konkrétně pro $H=\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{smallmatrix}\right)$, $X_+=\left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)$, $X_-=\left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right)$. \lemma{ $V$ nad $\C,\ \dim V < +\infty$, nechť $T,X_{\pm}\in \mathcal{L}(V)$ splňuje $[X_+ ,X_-]= T,\, [T ,X_\pm]= \pm 2 X_{\pm}$ a působí na $V$ ireducibilně. Potom $\exists \{v_j \}_{j=0}^{\dim V -1}$ báze splňující $T v_j =(r-2j)v_j$, $X_-v_j=v_{j+1},\ X_+v_j = j(r-j+1)v_{j-1}$, kde $r=\dim V-1$. } \begin{proof} $T \in \mathcal{L}(V) \rimpl \exists v \in V,\ v \neq 0,\ \widetilde{\lambda} \in \C,\ Tv=\widetilde{\lambda}v$ \begin{align*} T(X_+v) = [T,X_+]v + X_+Tv = 2X_+v + \widetilde{\lambda}X_+v = (\widetilde{\lambda}+2)X_+v \end{align*} $\Rightarrow\quad X_+v = 0 \quad\lor\quad \widetilde{\lambda}+2 \in \sigma(T) \rimpl$po konečně mnoho krocích získame $v_0 \in V,\ v_0 \neq 0,\ Tv_0 = \lambda v_0,\ X_+v_0 = 0$ a položíme $v_j = X_-^jv_0,\ \forall j \in \N$. \begin{align*} Tv_j = [T,X_-]X_-^{j-1}v_0 + X_-TX_-^{j-1}v_0 = -2X_-X_-^{j-1}v_0 + X_-TX_-^{j-1}v_0 = \dots = (\lambda -2j)X_-^jv_0 = (\lambda -2j)v_j \end{align*} $\Rightarrow\quad$ pokud $v_j \neq 0$ pak jsou to vlastní vektory $T$ příslušné různým vlastním číslům$\rimpl \exists k \in \N \cup \{0\}: v_k \neq 0,\ v_{k+1} = 0 \rimpl \mrm{span}\{v_0,\dots,v_k\}$ je podprostor $V$ uzavřený vůči $T,X_-$. Indukcí ukážeme že $X_+v_j = j(\lambda-j+1)v_{j-1}$: \begin{align*} X_+v_1 &= X_+X_-v_0 = [X_+,X_-]v_0 + X_-X_+v_0 = Tv_0 = \lambda v_0 \\ X_+v_2 &= X_+X_-v_1 = Tv_1 + X_-X_+v_1 = (\lambda - 2)v_1 + \lambda v_1 = (2\lambda - 2)v_1 \\ &\vdots \\ X_+v_j &= X_+X_-v_{j-1} = Tv_{j-1} + X_-(j-1)(\lambda - j + 2)v_{j-2} = \\ &=\big( (\lambda - 2j +2) + (j-1)(\lambda - j + 2 )\big)v_{j-1} = \big( j(\lambda - j + 2) - j \big) = j(\lambda-j+1)v_{j-1} \end{align*} $\Rightarrow\quad \mrm{span}\{v_0,\dots,v_k\}$ je uzavřený i vůči $X_+ \rimpl$ je to invariantní podprostor ireducibilní reprezentace$\rimpl V = \mrm{span}\{v_0,\dots,v_k\},\ k=r,\ X_+v_{r+1} = (r+1)(\lambda - r)v_r = 0$, přičemž $v_r \neq 0 \rimpl \lambda = r$. \end{proof} \lemma{\label{lemma_Koreny} Nechť $\g$ poloprostá Lieova algebra, $\g_0$ její Cartanova podalgebra, $\Delta$ množina kořenů, pak: \begin{enumerate} \item $\forall \alpha ,\beta \in \Delta,\ \exists p,q \in \Z, p\leq 0 \leq q,\ \{\beta +k \alpha \}_{k=p}^q$ je nepřerušená posloupnost kořenů, případně $0$. Navíc žádné jiné kořeny tvaru $\beta +k \alpha$ neexistují a platí \begin{align} a_{\beta\alpha} = \beta (T_\alpha ) = 2\frac{\beta (H_\alpha )}{\alpha (H_\alpha )}= \frac{2K(H_\beta,H_\alpha)}{K(H_\alpha , H_\alpha )}= -(p+q) \,. \end{align} \label{posloupnost korenu} \item $\alpha \in \Delta$. Potom $\dim \g_\alpha =1$ a $\beta \in \Delta \cap \mrm{span}\{\alpha\} \Leftrightarrow \beta =\pm \alpha$. \item $\forall \alpha ,\beta \in \Delta$, $\alpha +\beta \neq 0$. Potom $[\g_\alpha , \g_\beta]=\g_{\alpha +\beta}$. (Pokud $\alpha+\beta \notin \Delta \cup \{ 0\}$, je $\g_{\alpha +\beta}=\{ 0\}$.) \item $\forall \alpha ,\beta \in \Delta$, $\epsilon = \mrm{sgn}a_{\beta\alpha}$. Potom $\beta -\epsilon \alpha,\, \beta -2\epsilon \alpha,\dots , \beta - a_{\beta\alpha} \alpha$ jsou kořeny. \end{enumerate} } \begin{proof} $\alpha,\beta \in \Delta \rimpl \exists X_\beta \in \g_\beta,\ X_\alpha \in \g_\alpha,\ X_{-\alpha} \in \g_{-\alpha}$ nenulové a platí $[X_\alpha,X_{-\alpha}] = T_\alpha,\ [T_\alpha,X_{\pm\alpha}] = \pm 2X_{\pm \alpha}$. Označíme $V:=\mrm{span}\left\{ \left(\ad_{X_{\alpha}} \right)^j \left(\ad_{X_{-\alpha}} \right)^k X_\beta \ \middle|\ j,k \in \Z \right\} \subset \g_{\beta\alpha} = \bigoplus_{k \in \Z}\g_{\beta+k\alpha}$ a máme $\ad_{T_\alpha} X_\beta = \beta(T_\alpha) X_\beta$, takže \begin{align*} \ad_{T_\alpha} \left( \ad_{X_\alpha} \right)^j \left( \ad_{X_{-\alpha}} \right)^k X_\beta = \left( \beta(T_\alpha) + 2j - 2k \right)\left(\ad_{X_{\alpha}}\right)^j \left( \ad_{X_{-\alpha}} \right)^k X_\beta. \end{align*} $\Rightarrow\quad V$ uzavřený vůči $\ad_{T_\alpha},\ \ad_{X_{\pm\alpha}}: \ad_{T_\alpha} = \left[ \ad_{X_\alpha},\ad_{X_{-\alpha}} \right]$. \begin{align*} 0 = \zuz{\Tr}{V}\ad_{T_\alpha} = \sum_{j,k}\left( \beta(T_\alpha) + 2j - 2k \right) \dim \mrm{span}\left\{ \left(\ad_{X_{\alpha}} \right)^j \left(\ad_{X_{-\alpha}} \right)^k X_\beta \right\} \end{align*} \begin{align*} \left( \ad_{X_\alpha} \right)^{j+1} \left( \ad_{X_{-\alpha}} \right)^{k+1} X_\beta &= \left( \ad_{X_\alpha} \right)^j \left[ \ad_{X_\alpha},\ad_{X_{-\alpha}} \right] \left( \ad_{X_{-\alpha}} \right)^k X_\beta + \left( \ad_{X_\alpha} \right)^j \ad_{X_{-\alpha}} \ad_{X_\alpha} \left( \ad_{X_{-\alpha}} \right)^k X_\beta = \\ &= \left( \ad_{X_\alpha} \right)^j \ad_{T_\alpha} \left( \ad_{X_{-\alpha}} \right)^k X_\beta + \dots \quad \in \mrm{span}\left\{ \left(\ad_{X_{\alpha}} \right)^j \left(\ad_{X_{-\alpha}} \right)^k X_\beta \right\} \end{align*} $\Rightarrow\quad$ pro každé získané vlastní číslo $\ad_{T_\alpha}$ na $V$ máme $1$ vlastní vektor$\rimpl$ protože je to ireducibilní reprezentace $\exists r,\ r = \dim V - 1,\ \sigma\left( \zuz{\ad_{T_\alpha}}{V} \right) = \{ r,r-2,\dots,-r \} \rimpl \left\{ \beta(T_\alpha) + 2k \right\}_{k=p}^q \subset \{ r,r-2,\dots,-r \}$, tedy \begin{align*} \left. \begin{array}{l} \beta(T_\alpha) + 2q = r \\ \beta(T_\alpha) + 2p = -r \end{array} \right\} \rimpl \beta(T_\alpha) = -(p+q). \end{align*} Označíme $\widetilde{V} = \mrm{span}\{ X_{-\alpha} \} \dotplus \dot{\bigplus}_{k\in\N_0} \g_{k\alpha}$, takže $\widetilde{V}$ je invariantní vzhledem k $\ad_{X_\alpha},\ \ad_{T_\alpha}$. \begin{align*} 0 = \zuz{\Tr}{\widetilde{V}}\ad_{T_\alpha} = \zuz{\Tr}{\widetilde{V}}\left[ \ad_{X_\alpha}, \ad_{X_{-\alpha}} \right] = -\underbrace{\alpha(T_\alpha)}_{=\,2} + \sum_{k \in \N}k\underbrace{\alpha(T_\alpha)}_{=\,2}\dim\g_{k\alpha} \end{align*} $\Rightarrow\quad \sum_{k\in\N}k\dim\g_{k\alpha} = 1 \rimpl \g_\alpha =1,\ \g_{k\alpha} = 0,\ \forall k \geq 2,\ k \in \N \rimpl k\alpha \notin \Delta,\ \forall k \geq 2,\ k \in \N$. Použitím $\frac{\alpha}{k}$ místo $\alpha$ dostaneme $\frac{\alpha}{k}\notin \Delta,\ \forall k \geq 2,\ k \in \N$. Nechť $\beta = c\alpha,\ c \notin \Z$, BÚNO $c > 0$ (jinak $\alpha \to -\alpha$), pak \begin{align*} \beta(T_\alpha) = c \alpha(T_\alpha) = 2c = b \in \Z \rimpl c = \frac{b}{2},\ b\in\N \rimpl \left\{ \beta + k\alpha \right\}_{k=p}^q = \left\{ \left( \frac{b}{2} + k\right)\alpha \right\}_{k=p}^q. \end{align*} Zároveň $b = -(p+q),\ p \leq 0 \leq q \rimpl -p \geq b$, takže \begin{align*} \frac{\alpha}{2} = \bigg( \frac{b}{2} + \underbrace{\left( -\frac{b}{2} + \frac{1}{2} \right)}_{\geq p} \bigg) \alpha \in \Delta \end{align*} $\Rightarrow\quad$ spor s tím, že $\frac{\alpha}{2} \notin \Delta$. Tím je dokázan bod 2., zbytek bodu 1. dokážeme sporem: Nechť $\exists \widetilde{\beta} = \beta + n \alpha,\ n < p \lor n > q$, zkonstruujeme posloupnost z $\widetilde{\beta} \in \Delta$ a přepíšeme ji zpátky pomocí $\{ \beta + k \alpha \}_{k=\widetilde{p}}^{\widetilde{q}}$. Díky tomu, že $\dim \g_\alpha = 1,\ \forall \alpha \in \Delta$, musí být $\{p,\dots,q\}\cap \{\widetilde{p},\dots,\widetilde{q}\} = \emptyset \rimpl \widetilde{p} > q \lor \widetilde{q} < p$. Analogicky máme taky $a_{\beta\alpha} = - (\widetilde{p}+\widetilde{q})$, takže \begin{align*} \widetilde{p}+\widetilde{q} < \widetilde{p} + p < 2p \leq p+q &&(\text{BÚNO }\widetilde{q}<p) \end{align*} $\Rightarrow\quad \alpha_{\alpha\beta}<\alpha_{\alpha\beta}$, spor. Tím je bod 1 dokázan. Bod 3. plyne z ireducibility konstruované na $V$. Zbýva tedy už jen bod 4. BÚNO $a_{\beta\alpha} > 0,\ -a_{\beta\alpha} = (p+q) \rimpl p \leq -a_{\beta\alpha} \leq q \rimpl \beta - a_{\beta\alpha}\alpha \in \Delta$. \end{proof} \Def{ $a_{\beta \alpha}=\beta (T_\alpha ) =\frac{2K(H_\beta,H_\alpha)}{K(H_\alpha , H_\alpha )}=-(p+q)$ nazýváme \textbf{Cartanova celá čísla}. } % Na základě těchto poznatků lze libovolnou komplexní poloprostou algebru $\g$ zapsat ve tvaru tzv. \textbf{Weyl-Chevalleyho normální formy}. \Vet{(\textbf{Weyl-Chevalleyho normální forma}) Buď $\g$ komplexní poloprostá Lieova algebra, $\g_0$ její Cartanova podalgebra, $\Delta$ systém kořenů. Pak $\g$ je direktním součtem $\g_0$ a jednorozměrných kořenových podprostorů $\g_\alpha =\mrm{span}\{E_\alpha\}$ a platí: \begin{itemize} \item $[H,E_\alpha]=\alpha(H)E_\alpha,\ \forall H \in \g_0$, \item $[E_\alpha,E_{-\alpha}]\in \g_0,\ \forall \alpha \in \Delta$, \item $[E_\alpha,E_\beta]=N_{\alpha \beta}E_{\alpha + \beta}$, $N_{\alpha \beta} \neq 0$ pro $\alpha, \beta , \alpha +\beta \in \Delta$. \end{itemize} (Navíc lze volit $E_\alpha$ tak, aby $N_{\alpha \beta} \in \Z$, $N_{\alpha \beta}=-N_{(-\alpha)(-\beta)}=\pm(-p+1)$, kde $p\le 0$ je nejmenší číslo splňující $\beta + p \alpha \in \Delta$, volba $\pm$ je částečně daná strukturou $\g$ a částečně záleží na nás...) } \Pzn{ Protože víme, že komutační relace určují $\g$ jednoznačně (až na izomorfismus), můžeme tak klasifikovat všechny poloprosté komplexní algebry. }