02GR:Kapitola5: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
m |
||
Řádka 30: | Řádka 30: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | Dvě reprezentace $T: G \rightarrow V$ a $T': G \rightarrow V'$ nazýváme \textbf{ekvivalentní}, pokud existuje lineární isometrie $A: V \rightarrow V'$ taková, že $\all g \in G$ platí $T'(g)=AT(g)A^{-1}$ a $\| A\varphi \| = \| \varphi \|, \all \varphi \in V$. Je-li navíc $A$ unitární, říkáme, že reprezentace jsou \textbf{unitárně ekvivalentní}. | + | Dvě reprezentace $T: G \rightarrow V$ a $T': G \rightarrow V'$ nazýváme \textbf{ekvivalentní}, pokud existuje lineární isometrie $A: V \rightarrow V'$ taková, že $\all g \in G$ platí $T'(g)=AT(g)A^{-1}$ a $\| A\varphi \| = \| \varphi \|$, $\all \varphi \in V$. Je-li navíc $A$ unitární, říkáme, že reprezentace jsou \textbf{unitárně ekvivalentní}. |
\end{define} | \end{define} | ||
Řádka 64: | Řádka 64: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | $V_1 \subset V$ se nazývá \textbf{ | + | $V_1 \subset V$ se nazývá \textbf{invariantní} podprostor příslušný operátoru $A$, když $(\all \varphi \in V_1)(A\varphi \in V_1)$, tedy $A(V_1) \subset V_1$. Pokud se nejedná o triviální invariantní podprostor, nazývá se takový podprostor \textbf{vlastní}. |
\end{define} | \end{define} | ||
Verze z 12. 12. 2013, 18:36
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02GR
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02GR | Maresj23 | 23. 12. 2012 | 21:49 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:51 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 26. 12. 2015 | 16:53 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Nguyebin | 26. 12. 2015 | 16:55 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Grupy | Kubuondr | 5. 1. 2019 | 10:03 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Podgrupy | Kubuondr | 25. 12. 2018 | 14:30 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Faktor grupy | Kubuondr | 7. 1. 2019 | 22:00 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Přímý a polopřímý součin grup | Kubuondr | 6. 1. 2019 | 13:45 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Reprezentace | Kubuondr | 6. 1. 2019 | 17:50 | kapitola5.tex | |
KapitolaA | editovat | Literatura | Maresj23 | 21. 12. 2012 | 16:45 | literatura.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Soubor:02GR_trojuhelnik.jpg | trojuhelnik.jpg |
Soubor:02GR_usporadani.jpg | usporadani.jpg |
Soubor:02GR_mrizka.PNG | mrizka.PNG |
Soubor:02GR_vlakna.PNG | vlakna.PNG |
Soubor:02GR_nasobeni_reprezentanti.PNG | nasobeni_reprezentanti.PNG |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GR} % **************************************************************************************************************************** % KAPITOLA: Reprezentace % **************************************************************************************************************************** \chapter{Reprezentace} \section{Základní definice} \begin{define} Buďte $G$ grupa a $V$ vektorový prostor nad tělesem $T$. Potom \textbf{lineární reprezentací} grupy $G$ na prostoru $V$ nazýváme každý homomorfismus $T: G \rightarrow GL(V)$. Tedy zobrazení z grupy do množiny lineárních zobrazení na prostoru $V$, které každému prvku $g \in G$ přiřazuje lineární zobrazení $T(g)$ tak, že $(\all f,g \in G)(T(f)T(g)=T(fg))$. \begin{itemize} \item Prostor $V$ nazýváme \textbf{reprezentativní prostor} a jeho dimenzi \textbf{rozměr} reprezentace. \item Je-li navíc $T$ isomorfismus, nazýváme takovou reprezentaci \textbf{věrná}. \item Je-li $V$ konečně-rozměrný (tedy v něm existuje konečná báze), mluvíme o \textbf{maticové} reprezentaci. \end{itemize} \end{define} \begin{remark} \begin{itemize} \item $T$ je vždy věrnou reprezentací faktor-grupy $G/\mathrm{ker}T$. \item Prostá grupa má jen věrné reprezentace (kromě triviální). \end{itemize} \end{remark} \begin{define} Je-li $\mathcal{H}$ Hilbertův prostor a $T$ homomorfismus grupy $G$ do množiny unitárních operátorů na $\mathcal{H}$, nazýváme $T$ \textbf{unitární} reprezentací $G$ na $\mathcal{H}$. \end{define} \begin{define} Dvě reprezentace $T: G \rightarrow V$ a $T': G \rightarrow V'$ nazýváme \textbf{ekvivalentní}, pokud existuje lineární isometrie $A: V \rightarrow V'$ taková, že $\all g \in G$ platí $T'(g)=AT(g)A^{-1}$ a $\| A\varphi \| = \| \varphi \|$, $\all \varphi \in V$. Je-li navíc $A$ unitární, říkáme, že reprezentace jsou \textbf{unitárně ekvivalentní}. \end{define} \begin{lemma} (Hilbert) Každá maticová reprezentace grupy maticemi s nenulovým determinantem je ekvivalentní unitární reprezentaci. \begin{proof} Konstrukcí: Buď $A_i$ matice reprezentující prvek $g_i \in G$. Sestrojíme nejprve hermitovskou matici $H=\sum_{i=1}^r A_i A_i^\dagger$. Hermitovské matice můžeme diagonalizovat pomocí unitární matice $U$. Nechť tato diagonálizované matice je: \begin{align} D = U^{-1}HU = \sum_i U^{-1}A_i A_i^\dagger U = \sum_i U^{-1}A_i UU^{-1} A_i^\dagger U = \sum_i A_i' A_i'^\dagger, \nonumber \end{align} kde jsme označili $A_i' = U^{-1}A_i U$. Navíc $D$ je nejen diagonální, ale její prvky jsou reálné kladné a proto můžeme vytvořit matice $D^{\frac{1}{2}}$ a $D^{-\frac{1}{2}}$. Potom z definice zřejmě platí: \begin{align} E = D^{-\frac{1}{2}} \sum_i A_i' A_i'^\dagger D^{-\frac{1}{2}}. \nonumber \end{align} Nyní již definujeme matice finální reprezentace $A_i''= D^{-\frac{1}{2}} A_i' D^{\frac{1}{2}}$, o kterých ukážeme, že jsou unitární: \begin{align} A_j''A_j''^\dagger &= D^{-\frac{1}{2}} A_j' D^{\frac{1}{2}} E D^{\frac{1}{2}} A_j'\dagger D^{-\frac{1}{2}} = \nonumber \\ &= D^{-\frac{1}{2}} A_j' D^{\frac{1}{2}} D^{-\frac{1}{2}} \sum_i A_i' A_i'^\dagger D^{-\frac{1}{2}} D^{\frac{1}{2}} A_j'^ \dagger D^{-\frac{1}{2}} = \nonumber \\ &= D^{-\frac{1}{2}} \sum_i A_j'A_i'(A_j' A_i')^\dagger D^{-\frac{1}{2}} = \nonumber \\ &= D^{-\frac{1}{2}} \sum_i A_k'A_k'^\dagger D^{-\frac{1}{2}} = E. \nonumber \end{align} Tím je důkaz dokončen. \end{proof} \end{lemma} %--------------------------------------------------------------------------------- \section{Reducibilní a ireducibilní reprezentace} \begin{define} $V_1 \subset V$ se nazývá \textbf{invariantní} podprostor příslušný operátoru $A$, když $(\all \varphi \in V_1)(A\varphi \in V_1)$, tedy $A(V_1) \subset V_1$. Pokud se nejedná o triviální invariantní podprostor, nazývá se takový podprostor \textbf{vlastní}. \end{define} \begin{define} Říkáme, že $T$ je \textbf{ireducibilní} reprezentace grupy $G$ na prostoru $V$, pokud neexistuje vlastní invariantní podprostor $V$ příslušný všem operátorů $T(g)$ pro všechna $g \in G$. Tedy $(\all g \in G)(T(g)(V_1) \subset V_1) \Rightarrow (V_1 = 0 \vee V_1 = V)$. V opačném případě se reprezentace nazývá \textbf{reducibilní}. \end{define} \begin{remark} Reprezentace je ireducibilní, pokud neexistuje taková podobnostní transformace, která by převedla současně všechny $T(g)$ na blokově diagonální tvar. \end{remark} \begin{define} Reducibilní reprezentace, kterou je možné napsat jako direktní součet ireducibilních reprezentací se nazývá \textbf{úplně reducibilní}. \end{define} \begin{theorem} Buď $T$ úplně reducibilní reprezentace grupy $G$ na Hilbertově prostoru $\mathcal{H}$. Potom: \begin{itemize} \item $\mathcal{H}_1 \subset \mathcal{H}$ je invariantní podprostor $\Leftrightarrow$ projektor $E_1$ na $\mathcal{H}_1$ splňuje podmínku: $(T(g)E_1=E_1 T(g))(\all g \in G)$. \item Ortogonální doplněk k $\mathcal{H}_1$ (označme $\mathcal{H}_2$) je invariantní podprostor $\Leftrightarrow$ $\mathcal{H}_1$ je invariantní podprostor. \end{itemize} \begin{proof} ??? \end{proof} \end{theorem} \begin{dusl} Reducibilní unitární reprezentace je úplně reducibilní. \end{dusl} \begin{theorem} Každá unitární ireducibilní reprezentace konečné grupy má konečnou dimenzi. \begin{proof} Bez důkazu. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} (Schurovo lemma) Každá matice, která komutuje se všemi maticemi ireducibilní reprezentace je násobkem jednotkové matice. \begin{proof} Víme, že se můžeme omezit je na unitární matice. Mějme tedy matici $M$, pro kterou platí $MA_i = A_i M$ pro $\all i$. Sdružením obou stran dostaneme $M^\dagger A_i^\dagger = A_i^\dagger M^\dagger$ a vynásobením maticí $A_i$ zprava i zleva dostaneme $A_i M^\dagger = M^\dagger A_i$, tedy i $M^\dagger$ komutuje se všemi maticemi reprezentace. Nyní můžeme vytvořit hermitovské matice $H_1 = M + M^\dagger$ a $H_2=i(M - M^\dagger)$ a vyjádřit $M = H_1 -iH_2$. Potom $M$ je konstantní právě tehdy, když tyto hermitovské matice jsou konstantní, a proto se můžeme omezit na hermitovské komutující matice. Hermitovskou matici můžeme diagonalizovat, tedy $D=U^{-1}MU$ a definujeme $A_i'=U^{-1}A_iU$. Potom platí $A_i'D=DA_i'$ díky invarianci maticových rovnic vůči unitárním transformacím. Nyní musíme ukáta, že $D$ je nejen diagonální, ale přímo násobkem jednotkové matice. Napíšeme po složkách $(A_i')_{\mu \nu}d_{\nu \nu}=d_{\mu \mu}(A_i')_{\mu \nu}$, tedy $(A_i')_{\mu \nu}(d_{\nu \nu}-d_{\mu \mu})=0$. Pokud by pro nějaké $\mu \nu$ bylo $(d_{\nu \nu}-d_{\mu \mu}) \neq 0$, muselo by být $(A_i')_{\mu \nu}=0$ pro $\all i$, což je spor s ireducibilitou reprezentace. Odtud dostáváme $d_{\nu \nu}=d_{\mu \mu}$ pro $\all \mu \nu$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{v:komutace} Máme-li dvě ireducibilní reprezentace $T_1$ a $T_2$ rozměru $l_1$ a $l_2$ jedné grupy $G$ a dále existuje obdélníková matice $M$, pro kterou platí: $MT_1(g) = T_2(g)M$ pro $\all g \in G$, pak \begin{enumerate} \item $(l_1 \neq l_2) \ra M = 0$ \item a pro $l_1 = l_2$ je buď $M=0$, nebo $det(M)\neq 0$, a tedy existuje $M^{-1}$, z čehož dostáváme $MT_1(g)M^{-1} = T_2(g)$ pro $\all g \in G$, a tedy obě reprezentace jsou ekvivalentní. \end{enumerate} \begin{proof} Opět uvažujeme pouze unitární matice a bez újmy na obecnosti nechť $l_1 \le l_2$. Nyní sdružením rovnice pro $M$ dostaneme: $T_1(g)^\dagger M^\dagger = M^\dagger T_2(g)^\dagger$, neboli $T_1(g^{-1}) M^\dagger = M^\dagger T_2(g^{-1)}$. Nyní obě strany vynásobíme $M$ a využijeme toho, že rovnost platí pro všechny $g_i^{-1}$ stejně jako pro všechna $g_i$. Dostaneme (použitím základní rovnosti) \begin{align} T_2(g_i^{-1})MM^\dagger = MM^\dagger T_2(g_i^{-1}). \nonumber \end{align} Tedy matice $MM^\dagger$ komutuje se všemi maticemi reprezentace a podle předchozího lemmatu musí platit $MM^\dagger = cE$. Uvažujme nejprve $l_1=l_2$, tedy $M$ je čtvercová matice. Pomocí pravidel počítání determinantů máme $(det(M))^2=c^{l_1}$. Nyní pokud $c \neq 0$, musí mít $M$ nenulový determinant. V případě, že $c=0$ máme $MM^dagger = 0$. Po složkách tedy $\sum_\alpha M_{\mu \alpha}M^*{\nu \alpha} = 0$ pro $\all \mu \nu$. Speciálně volbou $\mu = \nu$ dostáváme $\sum_\alpha |M_{\mu \alpha}|=0$, a tedy $M_{\mu \alpha}=0$ pro $\all \mu \alpha$. V případě, že $l_1 < l_2$, tedy $M$ má $l_1$ sloupců a $l_2$ řádků, doplní $M$ přidáním $l_2-l-1$ sloupců na čtvercovou matici $N$. Platí, že $NN^\dagger=MM^\dagger$. Jelikož $N$ má zřejmě nulový determinant, dostáváme případ, kdy $M=0$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} (Velká věta ortogonality) Uvažujme všechny neekvivalentní ireducibilní unitární reprezentace grupy $G$. Platí: \begin{align} \sum_{g \in G} T_i(g)_{\mu \nu}^* T_j(g)_{\alpha \beta} = \frac{h}{l_i}\delta_{ij} \delta_{\mu \alpha} \delta_{\nu \beta}, \end{align} kde $l_i$ je rozměr reprezentace $T_i$. \begin{proof} Nejprve uvažujeme dvě neekvivalentní reprezentace $T_1$ a $T_2$. Zkonstruujeme matici: \begin{align} M = \sum_{g} T_2(g)XT_1(g^{-1}), \nonumber \end{align} kde $X$ je zatím zcela libovolní obdélníková matice, která odpovídá rozměrem. Nyní použijeme větu \ref{v:komutace}, a proto ukážeme potřebnou rovnost: \begin{align} T_2(f)M &= \sum_g T_2(f)T_2(g)XT_1(g^{-1}) = \nonumber \\ &= \sum_g T_2(f)T_2(g)XT_1(g^{-1})T_1(f^{-1})T_1(f) = \nonumber \\ &= \sum_g T_2(fg)T_2(g)XT_1(g^{-1}f^{-1})T_1(f) = \nonumber \\ &= \sum_g T_2(fg)XT_1((fg)^{-1})T_1(f) = \nonumber \\ &= \sum_{h} T_2(h)XT_1(h^{-1})T_1(f) = MT_1(f). \nonumber \\ \end{align} Musí tedy platit, že $M=0$, tedy \begin{align} M_{\alpha \mu} = 0 = \sum_g \sum_{\kappa \lambda} T_2(g)_{\alpha \kappa} X_{\kappa \lambda} T_1(g^{-1})_{\lambda \mu}. \end{align} Nyní si zvolíme konkrétní matici $X$ a to tak, že $X_{\beta \nu}=1$ (jeden prvek je jedna) a ostatní prvky jsou nulové. Pak předchozí rovnost dává: \begin{align} 0 = \sum_g T_2(g)_{\alpha \beta} T_1(g^{-1})_{\nu \mu} = \sum_g T_2(g)_{\alpha \beta} T_1(g)^*_{\mu \nu}, \end{align} kde poslední úprava je z unitarity matice. To nám tedy dává člen $\delta_{ij}$ ve výsledku (pro různé reprezentace je skalární součin vždy 0). Nyní mějme jednu reprezentaci a znovu zkonstruujeme matici $M$ jako: \begin{align} M = \sum_{g} T_1(g)XT_1(g^{-1}), \nonumber \end{align} a ze Schurova lemmatu máme $M = cE$. Vezměme prvek $\mu \mu'$, což nám dá rovnici: \begin{align} \sum_g \sum_{\kappa \lambda} T_1(g)_{\mu \kappa} X_{\kappa \lambda} T_1(g^{-1})_{\lambda \mu'}=c\delta_{\mu \mu'}. \nonumber \end{align} Opět zvolíme $X$ jen s jedním nenulovým prvkem $X_{\nu \nu'}=1$. Potom: \begin{align} \sum_g T_1(g)_{\mu \nu} T_1(g^{-1})_{\nu' \mu'}=c_{\nu \nu'}\delta_{\mu \mu'}, \nonumber \end{align} kde indexy u $c$ značí, že jeho hodnota závisí na volbě matice $X$. Nyní zvolíme $\mu = \mu'$ a sečteme přes $\mu$. \begin{align} \sum_g T_1(gg^{-1})_{\nu' \nu}&=l_1 c_{\nu \nu'}, \nonumber \\ \sum_g T_1(gg^{-1})_{\nu' \nu} & = \sum_g T_1(1)_{\nu' \nu} = r \delta_{\nu \nu'}.\nonumber \end{align} Odtud máme $c_{\nu \nu'} = \frac{r\delta_{\nu \nu'}}{l_1}$. Zpětným dosazením za $c$ dostaneme: \begin{align} \sum_g T_1(g)_{\mu \nu} T_1(g^{-1})_{\nu' \mu'}=\frac{r}{l_1}\delta_{\nu \nu'}\delta_{\mu \mu'} = \sum_g T_1(g)_{\mu \nu} T_1(g)^*_{\mu' \nu'}, \nonumber \end{align} což dokazuje tvrzení věty. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Velká věta ortogonality tedy říká, že pokud vytvoříme vektory čísel o počtu prvků $|G|$ tak, že si zvolíme jedu reprezentaci a v ní $\mu$-tý řádek a $\nu$-tý sloupec a prvky vektoru jsou prvky matice reprezentace pro jednotlivé prvky grupy $G$, pak jsou tyto vektory vzájemně kolmé pro různé reprezentace nebo různé pozice v matici. (Musíme mít stanovené pořadí prvků v $G$.) Označme $|G|=n$. Vektory s $n$ prvky tvoří $n$-dimenzionální vektorový prostor. V takovém prostoru tedy může být maximálně $n$ vzájemně kolmých vektorů, a proto platí, že $\sum_i l_i^2 \le n$, kde suma jde přes všechny neekvivalentní ireducibilní reprezentace. (Později se zde ukáže, že vždy platí rovnost.) \end{remark}