01FA2:Kapitola2: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01FA2} \section{Spektrum uzavřeného operátoru} \begin{theorem}[Hilbertova identita] Pro každé $\lambda,\mu\in\rho(A)$, $A$ uzavřený (obecně neo...) |
(Žádný rozdíl)
|
Verze z 1. 8. 2010, 01:29
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01FA2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01FA2 | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:24 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:40 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:44 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvod | Kubuondr | 8. 6. 2018 | 09:43 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Fundamentální věty funkcionální analýzy | Kubuondr | 1. 6. 2018 | 10:49 | kapitola1.tex | |
Kapitola10 | editovat | Holomorfní vektorové funkce | Kubuondr | 4. 6. 2018 | 20:19 | kapitola2.tex | |
Kapitola2 | editovat | Spektrum uzavřeného operátoru | Kubuondr | 2. 6. 2018 | 09:16 | kapitola3.tex | |
Kapitola3 | editovat | Spektrální rozklad pro samosdružené omezené operátory | Kubuondr | 8. 6. 2018 | 09:13 | kapitola4.tex | |
Kapitola8 | editovat | Kompaktní operátory | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:35 | kapitola5.tex | |
Kapitola9 | editovat | Hilbert--Schmidtovy operátory | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:33 | kapitola6.tex | |
Kapitola5 | editovat | Neomezené operátory | Kubuondr | 6. 2. 2019 | 10:05 | kapitola7.tex | |
Kapitola6 | editovat | Normální operátory | Admin | 1. 8. 2010 | 01:30 | kapitola8.tex | |
Kapitola7 | editovat | Samosdružené rozšíření symetrických operátorů | Kubuondr | 8. 2. 2019 | 11:08 | kapitola9.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01FA2} \section{Spektrum uzavřeného operátoru} \begin{theorem}[Hilbertova identita] Pro každé $\lambda,\mu\in\rho(A)$, $A$ uzavřený (obecně neomezený) operátor, platí \[(R_\lambda-R_\mu)=(\lambda-\mu)R_\lambda R_\mu.\] kde $R_\lambda$ je rezolventa $A$. \begin{proof} $\Dom(R_\lambda) =\Dom(R_\mu) = X $ a $\Ran(R_\lambda) =\Dom(A-\lambda)^{-1} $. Je-li $\lambda\in\rho(A)$, je $A-\lambda$ prostý. Chceme dokázat $\forall x \in X$ rovnost \[x=(A-\lambda)R_\lambda x\overset?= (A-\lambda)(R_\mu+(\lambda-\mu)R_\lambda R_\mu)x=\%\] Ta ale platí, protože \[\%=((A-\mu)-\lambda+\mu)R_\mu x+(\lambda-\mu)R_\mu x= x+(-\lambda+\mu)R_\mu x+(\lambda-\mu)R_\mu x=x.\] \end{proof} \end{theorem} \begin{dusl} Operátory $R_\lambda$ a $R_\mu$ komutují. \end{dusl} \begin{remark} Pro $\abs{\lambda-\mu}<\frac1{\norm{R_\lambda}}$ je \[\norm{R_\mu}=\norm{\sum_{n=0}^\infty(\lambda-\mu)^nR_\lambda^{n+1}}\le \sum_{n=0}^\infty\abs{\lambda-\mu}^n\norm{R_\lambda}^{n+1}= \frac{\norm{R_\lambda}}{1-\abs{\lambda-\mu}\norm{R_\lambda}}.\] Z~Hilbertovy identity potom plyne \[\norm{R_\lambda-R_\mu}=\abs{\lambda-\mu}\norm{R_\lambda R_\mu} \le\abs{\lambda-\mu}\frac{\norm{R_\lambda}^2} {1-\abs{\lambda-\mu}\norm{R_\lambda}}.\] a zobrazení $R:\rho(A)\mapsto\B(X)$ je proto spojité. Dále platí \[\norm{\frac{R_\lambda-R_\mu}{\lambda-\mu}-R_\lambda^2}= \norm{R_\lambda R_\mu-R_\lambda^2}\le \norm{R_\lambda}\norm{R_\mu-R_\lambda}\] a tedy \[\lim_{\lambda\to\mu}\frac1{\lambda-\mu}(R_\lambda-R_\mu)=R_\lambda^2.\] Zobrazení $R_\lambda$ má derivaci a je tedy holomorfní \[\frac{\d}{\d\lambda}R_\lambda=R_\lambda^2\] $\Rightarrow$ analytická operátorová funkce na $\rho(A)$. Pro $R_\lambda$ platí obdobná tvrzení jako pro analytické komplexní funkce. Buď $F:D\mapsto Y$ analytické zobrazení. Potom pro každé $x_0\in D$ existuje okolí $r>0$, $B(x_0,r)\subset D$ a na něm je \[F(x)=\sum_{n=0}^\infty A_n(x_0)(x-x_0)^n.\] Buď $\gamma$ uzavřená jednoduchá křivka v~$D$. Potom $\oint_\gamma F(z)\,\d z$ se definuje jako limita částečných součtů (v~Riemannově smyslu). Buď $\phi\in Y^*$. Potom $f:=\phi\circ F$ je analytická komplexní funkce: \[f(x)=\phi(F(x))=\phi\left(\sum_{n=0}^\infty A_n(x_0)(x-x_0)^n\right)= \sum_{n=0}^\infty\phi(A_n(x_0))(x-x_0)^n.\] Pro každý $\phi\in Y^*$ z Cauchyovy věty platí \[\phi\left(\oint_\gamma F(z)\,\d z\right)= \phi\left(\lim\sum_iF(z_i)\delta_i\right)= \lim\sum_i\phi(F(z_i))\delta_i=\int_\gamma f(z)\,\d z=0\] a v~důsledku Hahn-Banacha $Y^*$ odděluje body v $Y$ a tedy je $\oint_\gamma F(z)\,\d z=0$. \end{remark} \begin{theorem}[Liouville] Funkce $F:\C\mapsto Y$ analytická na $\C$ a omezená je konstantní. \begin{proof} Pro každou $\phi\in Y^*$ je funkce $\phi\circ F$ analytická a omezená a proto $\phi\circ F$ je v~důsledku Liouvillovy věty pro komplexní funkce konstantní. Platí tedy \[0=\frac{\d}{\d z}\phi(F(z))= \phi\left(\frac{\d F(z)}{\d z}\right).\] V~důsledku Hahn-Banachova teorému je \[\frac{\d F(z)}{\d z}=0\] a proto $F(z)=\konst$ \end{proof} \end{theorem} \begin{dusl} Nechť $X$ je Banachův prostor nad $\C$, $A\in\B(X)$. Potom \begin{enumerate}[(i)] \item $\lambda\in\rho(A)$, právě když $A-\lambda$ je bijekce $X$ na $X$. \item $\sigma(A)\subset\{\lambda|\abs{\lambda}\le\norm{A}\}$. \item pro každé $\lambda$, $\abs{\lambda}>\norm{A}$ je \[R_\lambda=-\sum_{n=0}^\infty\lambda^{-n-1}A^n.\] \item $\sigma(A)\not=\emptyset$. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Přímo z~definice. \item Vyplývá z~(iii). \item Protože $\frac1{\abs{\lambda}}\norm{A}<1$, je \[\tilde R_\lambda=-\sum_{n=0}^\infty\lambda^{-n-1}A^n\in\B(X).\] Platí $(A-\lambda)\tilde R_\lambda=\tilde R_\lambda(A-\lambda)=I$ a proto $\tilde R_\lambda=(A-\lambda)^{-1}=R_\lambda$. \item Sporem: $\sigma(A)=\emptyset\implies\rho(A)=\C\implies$ $R_\lambda$ je analytická na $\C$. Pro $\abs{\lambda}>\norm{A}$ je \[\norm{R_\lambda}\le\sum_{n=0}^\infty\abs{\lambda}^{-n-1}\norm{A}^n.\] Protože \[\norm{R_\lambda}\le\lim_{r\to\infty}\frac1{\abs{\lambda}(1-\abs{\lambda}\norm{A})}=0,\] je $R_\lambda$ omezená, z~Liouvilla plyne, že je konstantní a protože $\lim_{r\to\infty}\norm{R_\lambda}=0$, je $R_\lambda=0$ pro každé $\lambda\in\C$. To je spor.\qed \end{enumerate} \noqed \end{proof} \end{dusl} \begin{remark} Buď $A\in\B(X)$. Označme $r_\sigma(A)=\sup\{\abs{\lambda}|\lambda\in\sigma(A)\}$. Pokud je\\ $\abs{\lambda}>\norm{A}$, je $\lambda\in\rho(A)$ a proto $r_\sigma(A)\le\norm{A}$. Operátorová funkce $R_\lambda=(A-\lambda)^{-1}$ je analytická na $\{\lambda|\abs{\lambda}>r_\sigma(A)\}$ a proto $R_\lambda$ má Laurentův rozvoj. Víme, že pro $\abs{\lambda}>\norm{A}$ je \begin{equation} \label{laur_res}R_\lambda= -\sum_{n=0}^\infty\frac1{\lambda^{n+1}}A^n \end{equation} Z~jednoznačnosti Laurentova rozvoje pak plyne, že \eqref{laur_res} platí pro $\abs{\lambda}>r_\sigma(A)$. \end{remark} \begin{lemma} Buď $A\in\B(X)$. Potom \[r_\sigma(A)=\limsup_{n\to\infty}\norm{A^n}^{1/n}=\tilde r.\] \begin{proof} \begin{enumerate} \item Je-li $\abs{\lambda}>r_\sigma(A)$, řada \eqref{laur_res} konverguje. \item Je-li $\abs{\lambda}<r_\sigma(A)$, řada \eqref{laur_res} nekonverguje: Dokážeme to sporem, kdyby existovalo $\lambda_0$, $\abs{\lambda_0}<r_\sigma(A)$ a \eqref{laur_res} konvergovala, potom \[\exists C \ge 0 \text{ že }\forall n\in N \qquad \norm{\frac{ A^n}{\lambda_0^{n+1}}}\le C\] a pro každé $\lambda$, $\abs{\lambda}>\abs{\lambda_0}$ je \[\norm{\frac1{\lambda^{n+1}} A^n}= \abs{\frac{\lambda_0}{\lambda}}^{n+1} \norm{\frac1{\lambda_0^{n+1}}A^n}\le C\abs{\frac{\lambda_0}{\lambda}}^{n+1}\] a \eqref{laur_res} pro každé takové $\lambda$ konverguje a je to rezolventa, tedy $\{\lambda|\abs{\lambda}>\abs{\lambda_0}\}\subset\rho(A)$, což je spor. \item Dokážeme, že $\tilde r$ splňuje totéž. Je-li $\abs{\lambda}>\tilde r$, pak \eqref{laur_res} konverguje: Existuje $a$ tak, že $\abs{\lambda}>a>\tilde r$. Z~vlastnosti $\limsup$ existuje $n_0$ tak, že $a>\norm{A^n}^{1/n}$ $\forall n\ge n_0$ a \[ \norm{\frac1{\lambda^n}A^n}<\left(\frac{a}{\abs{\lambda}}\right)^n \] a řada nutně konverguje. \item Je-li $\abs{\lambda}<\tilde r$, existuje nekonečně mnoho $n$ tak, že $\abs{\lambda}<\norm{A^n}^{1/n}$ a proto \[1<\norm{\frac1{\lambda^n}A^n}.\] není tedy splněna ani nutná podmínka konvergence a řada diverguje. \qed \end{enumerate} \noqed \end{proof} \end{lemma} \begin{theorem} Nechť $X$ je Banachův prostor, $A\in\B(X)$ a komplexní polynom $p\in\C(z)$. Potom $p(\sigma(A))=\sigma(p(A))$. \begin{proof} Buď $\lambda\in\C$, $p(z)-\lambda=a_n(z-\xi_1)\cdots(z-\xi_n)$, kde $\{\xi_1,\dots,\xi_n\}$ jsou kořeny $p(z)-\lambda$ včetně násobností. Analogicky platí $p(A)-\lambda=a_n(A-\xi_1)\cdots(A-\xi_n)$. Zobrazení $p(A)-\lambda:X\mapsto X$ je bijekce, právě když pro každé $n$ je $A-\xi_n:X\mapsto X$ bijekce: \begin{enumerate} \item $(\Leftarrow)$ Složením bijekcí vznikne bijekce. \item $(\Rightarrow)$ Je-l i řád polynomu nebo jedna, je to triviální. Pokud existuje $i$ takové, že $A-\xi_i$ není prostá, existuje $x\not=0$ tak, že $(A-\xi_i)x=0$, ale potom i \[a_n(A-\xi_1)\cdots(A-\xi_{i-1}) (A-\xi_{i+1})\cdots(A-\xi_n)(A-\xi_i)=0.\] a proto $p(A)-\lambda$ není prosté. Pokud existuje $i$ takové, že $\Ran(A-\xi_i)\not=X$, potom \[\Ran(a_n(A-\xi_i)(A-\xi_1)\cdots(A-\xi_{i-1}) (A-\xi_{i+1})\cdots(A-\xi_n))\subset\Ran(A-\xi_i)\not=X.\] \end{enumerate} Dále platí: $\lambda\in\sigma(p(A))$ $\iff$ $p(A)-\lambda:X\mapsto X$ není bijekce $\iff$ $\exists i$ tak, že $A-\xi_i$ není bijekce $\iff$ $\exists i$ tak, že $\xi_i\in\sigma(A)$ $\iff$ $\exists z\in\sigma(A)~ ,(z = \xi_i)$, $p(z)=\lambda$ $\iff$ $\lambda\in p(\sigma(A))$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Nechť $A\in\B(X)$. Potom \[r_\sigma(A)=\lim_{n\to\infty}\norm{A^n}^{1/n}.\] \begin{proof} Víme: $r_\sigma=\limsup\norm{A^n}^{1/n}$. Zvolme $p(z)=z^n$, potom $\sigma(A^n)=\{\lambda^n|\lambda\in\sigma(A)\}$, $r_\sigma(A^n)=r_\sigma(A)^n$. Proto platí $r_\sigma(A)=r_\sigma(A^n)^{1/n}\le\norm{A^n}^{1/n}$ pro každé $n$. Konečně \[\limsup\norm{A^n}^{1/n} = r_\sigma(A)\le\liminf\norm{A^n}^{1/n}\] a proto $\liminf=\limsup=\lim$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Hahn-Banach] Buď $X$ normovaný, $V\pp X$ a $\phi$ spojitý funkcionál na $V$. Potom existuje spojitý funkcionál $\tilde\phi$ na $X$ takový, že \begin{enumerate}[(i)] \item $\tilde\phi\restriction V=\phi$, \item $\norm{\tilde\phi}=\norm{\phi}$. \end{enumerate} \begin{proof} Nechť $x_0\not\in V$, $V'=V+\R x_0\ni v+\lambda x_0$, kde $v\in V$, $\lambda\in\R$. Definujeme $\phi'(v+\lambda x_0)=\phi(v)+\lambda c$. Hledáme $c$ tak, aby $\norm{\phi'}=\norm{\phi}$. Pro každé $c$ bude zřejmě platit $\norm{\phi'}\ge\norm{\phi}$. Chceme, aby platilo i $\norm{\phi'}\le\norm{\phi}$, tj. pro každé $\lambda$ je $\abs{\phi'(v+\lambda x_0)}\le\norm{\phi}\norm{v+\lambda x_0}$. To lze rozepsat jako dvě nerovnosti \[\begin{split} \phi(v)+\lambda c=\phi'(v+\lambda x_0)&\le \norm{\phi}\norm{v+\lambda x_0}\\ -\phi(v)-\lambda c=-\phi'(v+\lambda x_0)&\le \norm{\phi}\norm{v+\lambda x_0}. \end{split}\] Pro $\lambda=0$ to platí. Je-li $\lambda\not=0$, můžeme nerovnost přepsat jako \[\abs{\lambda}\abs{\phi'\left(\frac1\lambda v+x_0\right)}\le \abs{\lambda}\norm{\phi}\norm{\frac1\lambda v+x_0}.\] Položme $w:=\frac1\lambda v$. Pro každé $w\in V$ pak musí platit \[\abs{\phi'(w+x_0)}\le\norm{\phi}\norm{w+x_0},\] tj. \[\phi(w)+c\le\norm{\phi}\norm{w+x_0}\wedge -\phi(w)-c\le\norm{\phi}\norm{w+x_0}\] a \[-\phi(w)-\norm{\phi}\norm{w+x_0}\le c \le\norm{\phi}\norm{w+x_0}-\phi(w).\] Stačí nalézt $c\in\R$ tak, že tato nerovnost platí pro každé $w\in V$. Takové $c$ existuje, pokud \[\sup_{w\in V}(-\phi(w)-\norm{\phi}\norm{w+x_0})\le\inf_{w\in V} (-\phi(w)+\norm{\phi}\norm{w+x_0}).\] To je dále ekvivalentní s~platností nerovnosti \[-\phi(w_1)-\norm{\phi}\norm{w_1+x_0}\le -\phi(w_2)+\norm{\phi}\norm{w_2+x_0},\] tj. \[\phi(w_2-w_1)\le\norm{\phi}(\norm{w_1+x_0}+\norm{w_2+x_0})\] pro každé $w_1,w_2\in V$. To je splněno, neboť \[\phi(w_2-w_1)\le\norm{\phi}\norm{w_2-w_1}\le \norm{\phi}(\norm{w_1+x_0}+\norm{w_2+x_0}).\] Definujeme množinu \[M=\{(W,\psi)|V\pp W\pp X,\ \psi\in W^*\text{ tak, že } \psi\restriction V=\phi,\ \norm{\psi}=\norm{\phi}\}.\] Na $M$ definujeme uspořádání \[(W_1,\psi_1)\le(W_2,\psi_2)\iff W_1\pp W_2\wedge \psi_2\restriction W_1=\psi_1.\] Buď $M'\subset M$ úplně uspořádaná. Její horní závorou je prvek $(U,\eta)$ takový, že $U=\bigcup_{(W,\psi)\in M'}W$ a pro $x\in U$ pokládáme $\eta(x)=\psi(x)$ (existuje nějaký prvek $(W,\psi)\in M'$, kde $x\in W$). Definice $\eta$ je korektní, neboť pro $(W,\psi)$, $(W',\psi')\in M'$ je pro $x\in W\cap W'$ $\psi(x)=\psi'(x)$. Prvek $(U,\eta)$ je horní závorou $M'$. Ze Zornova lemmatu pak plyne existence maximálního prvku $(\tilde V,\tilde\phi)$ v~$M$ takového, že $V\pp \tilde V\pp X$, $\tilde\phi\restriction V=\phi$, $\norm{\tilde\phi}=\norm{\phi}$. Platí, že $\tilde V=X$: Kdyby $\tilde V\not=X$, pak by existovalo $x_0\not\in\tilde V$ a mohli bychom $\tilde\phi$ rozšířit na $\Tilde{\Tilde\phi}\in(\tilde V+\R x_0)^*$ tak, aby platilo $\norm{\Tilde{\Tilde\phi}}=\norm{\tilde\phi}$. Potom $(\tilde V+\R x_0,\Tilde{\Tilde\phi})\in M$ není $\le(\tilde V,\phi)$, což je spor. Zobecnění na komplexní těleso: Buď $X$ nad $\C$, $V\pp X$, $\phi\in V^*$. Označme $X_\R$ prostor $X$ nad $\R$, $V_\R\pp X_\R$. Definujeme funkcionál $\eta=\Re\phi\in V_\R^*$, $\abs{\eta(x)}=\abs{\Re\phi(x)}\le\abs{\phi(x)}$, \[\norm{\eta}=\sup_{x\not=0}\frac{\abs{\eta(x)}}{\norm{x}} \le\sup_{x\not=0}\frac{\abs{\phi(x)}}{\norm{x}}=\norm{\phi}.\] Pro libovolné $x\in X$ existuje $\lambda\in\C$, $\abs{\lambda}=1$ tak, že $\phi(\lambda x)=\lambda\phi(x)\in\R$. Potom $\eta(\lambda x)=\Re\phi(\lambda x)=\Re\lambda\phi(x)=\lambda\phi(x)$, \[\norm{\eta}\norm{x}=\norm{\eta}\abs{\lambda}\norm{x}=\norm{\eta}\norm{\lambda x}\ge\abs{\eta(\lambda x)}=\abs{\phi(x)}\] a \[\norm{\phi}=\sup_{x\not=0}\frac{\abs{\phi(x)}}{\norm{x}} \le\norm{\eta}.\] Celkem tedy $\norm{\phi}=\norm{\eta}$. Dále platí \[\phi(x)=\Re\phi(x)+\im\Im\phi(x)=\Re\phi(x)+\im\Re(-\im\phi(x))= \eta(x)-\im\eta(\im x).\] K~funkcionálu $\eta$ na $V_\R$ existuje $\tilde\eta$ na $X_\R$, $\norm{\tilde\eta}=\norm{\eta}$, $\eta=\tilde\eta\restriction V_\R$. Položíme $\tilde\phi(x)=\tilde\eta(x)-\im\tilde\eta(\im x)$, pak $\norm{\tilde\phi}=\norm{\tilde\eta}=\norm{\eta}=\norm{\phi}$ a $\tilde\phi\restriction V=\phi$. \end{proof} \end{theorem} \begin{lemma} Nechť $A\in\B(\H)$, potom $(\Ran A)^\perp = \Ker A^*$ \begin{proof} $x\in (\Ran A)^\perp \Leftrightarrow \forall y \in \H (x,Ay) = 0 \Leftrightarrow \forall y\in \H (A*x,y) = 0 $\\ $\Leftrightarrow x\in \Ker A^*$ \end{proof} \end{lemma} \begin{theorem}[Weylovo kritérium] Nechť $A\in\B(\H)$ normální. Potom \begin{enumerate}[(i)] \item $\lambda\in\rho(A)$, právě když existuje $M>0$ tak, že $\forall x \in \H$ je $\norm{(A-\lambda)x}\ge M\norm{x}$. \item $\lambda\in\sigma(A)$, právě když existuje $\{x_n\}\subset\H$, $\norm{x_n}=1$, $\lim\norm{(A-\lambda)x_n}=0$. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate}[(i)] \item \begin{enumerate} \item ($\Rightarrow$) Buď $\lambda\in\rho(A)$. Potom pro $x\in\H$ je \[\norm{x}=\norm{(A-\lambda)^{-1}(A-\lambda)x}\le \norm{(A-\lambda)^{-1}}\norm{(A-\lambda)x}.\] Když položíme \[M=\frac{1}{\norm{(A-\lambda)^{-1}}}<+\infty,\] je $\norm{(A-\lambda)x}\ge M\norm{x}$ pro každé $x$. \item ($\Leftarrow$) Je-li $(A-\lambda)x=0$, potom $M\norm{x}=0$ a $x=0$. $(A-\lambda)$ je tedy prosté. Existuje proto $(A-\lambda)^{-1}$, $\Dom(A-\lambda)^{-1}=\Ran(A-\lambda)$. Protože $A$ je normální, je $\Ker(A-\lambda)=\Ker(A^*-\overline{\lambda})$. Dále je $\Ran(A-\lambda)^\perp=\uz{\Ran(A-\lambda)^\perp}= \Ker(A^*-\overline{\lambda})$, $\uz{\Ran(A-\lambda)}\oplus \underbrace{\Ker(A^*-\overline{\lambda})}_{\{0\}}=\H$, a proto $\uz{\Ran(A-\lambda)}=\H$. Kdyby $\Ran(A-\lambda)=\H$, potom by omezenost plynula z věty o inverzním zobrazení. Dokážeme, že $\uz{\Ran(A-\lambda)}\subset\Ran(A-\lambda)$: Je-li $y\in\uz{\Ran(A-\lambda)}$, potom existuje $\{y_n=(A-\lambda)x_n\}\subset\Ran(A-\lambda)$, $y_n\to y$ a \[\norm{(A-\lambda)(x_n-x_m)}\ge M\norm{x_n-x_m}.\] Z~BC pak plyne existence $\lim x_n=x$. Protože $(A-\lambda)\in\B(\H)$, je \\$(A-\lambda)x=y$ a tedy $y\in\Ran(A-\lambda)$. \end{enumerate} \item Bezprostřední důsledek obměny (i).\qed \end{enumerate} \noqed \end{proof} \end{theorem} \begin{tvrzeni} Nechť $A\in\B(\H)$, $A^*=A$. Potom $\sigma(A)\subset\R$. \begin{proof} Buď $\lambda\in\C$, $\lambda=\mu+\im\nu$, $\mu,\nu \in yR$. Protože $A=A^*$, je $((A-\mu)x,\nu x)=\nu(Ax,x)-\mu\nu(x,x)\in\R$ a dále \[\begin{split} \norm{(A-\lambda)x}^2&= (\underbrace{(A-\mu-\im\nu)x}_{(A-\mu)x-\im\nu x},(A-\mu-\im\nu)x)=\\ &=\norm{(A-\mu)x}^2+\abs{\nu}^2\norm{x}^2\ge \abs{\nu}^2\norm{x}^2, \end{split}\] takže $\norm{(A-\lambda)x}\ge\abs{\Im\lambda}\norm{x}$ pro každé $x$ a tedy $\lambda\not\in\R\implies\lambda\in\rho(A)$. \end{proof} \end{tvrzeni} \begin{remark} Na prostoru samosdružených operátorů lze zavést uspořádání \[A\le B\iff (x,Ax)\le(x,Bx)\ \forall x.\] \end{remark} \begin{lemma} Nechť $A\in\B(\H)$, $A\ge 0$. Potom $\norm{Ax}^2\le\norm{A}(x,Ax)$. \begin{proof} Označme $(x,y)_A=(x,Ay)$. Platí $(y,x)_A=\overline{(x,y)_A}$, $(x,x)\ge0$, takže pro $(\cdot,\cdot)$ platí Schwarzova nerovnost: \[\abs{(x,y)_A}^2\le(x,x)_A(y,y)_A\] pro každé $x,y$ a tedy i \[\abs{(x,Ay)}^2\le(x,Ax)(y,Ay).\] Když položíme $y=Ax$, máme \[\begin{split} \norm{Ax}^4&=\abs{(Ax,Ax)}^2=\abs{(x,A^2x)}^2\le (x,Ax)(Ax,A^2x)\le\\ &\le(x,Ax)\norm{Ax}\underbrace{\norm{A^2x}}_{\norm{A}\norm{Ax}} \le(x,Ax)\norm{Ax}^2\norm{A}. \end{split}\] Buď $\norm{Ax}=0\iff Ax=0$, potom $0=\norm{Ax}^2=\norm{A}(x,Ax)$, nebo $\norm{Ax}\not=0$ a pak $\norm{Ax}^2\le\norm{A}(x,Ax)$. \end{proof} \end{lemma} \begin{define} Pro $A=A^*$ označíme \[M_A=\sup_{\norm{x}=1}(x,Ax),\quad m_A=\inf_{\norm{x}=1}(x,Ax).\] \end{define} \begin{theorem} Nechť $A\in\B(\H)$, $A=A^*$. Potom \begin{enumerate}[(i)] \item $\sigma(A)\subset [m_A,M_A]$, \item $m_A,M_A\in\sigma(A)$. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Ukážeme, že $\lambda>M_A\implies\lambda\in\rho(A)$. Z~definice $M_A$ plyne $(x,Ax)\le M_A\norm{x}^2$ pro každé $x$ a tedy pro $\lambda>M_A$ je \[(\lambda-M_A)\norm{x}^2\le\lambda(x,x)-(x,Ax)=(x,(\lambda-A)x)\le \norm{x}\norm{(A-\lambda)x}\] pro každé $x$. Po vydělení $\norm{x}$ z~Weylova kritéria plyne, že $\lambda\in\rho(A)$. \item Buď $x_n\in\H$, $\norm{x_n}=1$, $M_A=\lim_{n\to\infty}(x_n,Ax_n)$. Potom \\$(x_n,(M_A-A)x_n)\to 0$ a \[\norm{(M_A-A)x_n}^2\le\norm{M_A-A}(x_n,(M_A-A)x_n).\] Z~Weylova kritéria pak vyplývá $M_A\in\sigma(A)$.\qed \end{enumerate} \noqed \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{norma_herm} Nechť $A\in\B(\H)$, $A^*=A$. Potom \[\norm{A}=r_\sigma(A)=\sup_{\norm{x}=1}\abs{(x,Ax)}= \max\{\abs{m_A},\abs{M_A}\}.\] \begin{proof} Z~předchozí věty plyne, že $r_\sigma(A)=\max\{\abs{m_A},\abs{M_A}\}$ a víme, že $r_\sigma(A)=\lim\norm{A^n}^{1/n}$. Pro $x\not=0$ plyne ze Schwarzovy nerovnosti $\norm{Ax}^2=(Ax,Ax)=(x,A^2x)\le\norm{x}\norm{A^2x}$. \[\frac{\norm{Ax}^2}{\norm{x}^2}\le \frac{\norm{A^2x}}{\norm{x}}.\] Z~toho plyne, že $\norm{A}^2\le\norm{A^2}$, současně ale pro každý operátor platí $\norm{A^2}\le\norm{A}^2$, takže $\norm{A^2}=\norm{A}^2$. Indukcí to zobecníme na $\norm{A^{2^n}}=\norm{A}^{2^n}$: Pro $n=0$ to platí a \[\norm{A^{2^{n+1}}}=\norm{(A^{2^n})^2}=\norm{A^{2^n}}^2= \left(\norm{A}^{2^n}\right)^2=\norm{A}^{2^{n+1}}.\] Konečně \[r_\sigma=\lim_{n\to\infty}\norm{A^{n}}^{1/n}=\lim_{n\to\infty}\norm{A^{2^n}}^{2^{-n}}= \lim_{n\to\infty}\norm{A}=\norm{A}.\qed\] \noqed \end{proof} \end{theorem}