Matematika1Priklady:Kapitola7: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{Matematika1Priklady} \section{Aplikace integrálů} \begin{enumerate} \item Nalezněte plochu mezi grafem fce f a osou x \begin{enumerate} \begin{p...) |
(Žádný rozdíl)
|
Verze z 1. 8. 2010, 01:14
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika1Priklady
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika1Priklady | Fucikrad | 18. 9. 2011 | 08:54 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:44 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 27. 4. 2022 | 09:11 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Limity a spojitost | Pitrazby | 25. 10. 2016 | 09:25 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Derivace, inverzní funkce, tečny, normály, asymptoty | Dvoraro3 | 4. 11. 2022 | 22:56 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Vyšetřování funkcí | Admin | 29. 1. 2023 | 20:44 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Extremální úlohy, konvexnost, konkávnost, inflexe | Admin | 3. 4. 2024 | 11:17 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Neurčité integrály a primitivní funkce | Dvoraro3 | 28. 11. 2022 | 23:16 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Určité integrály | Pitrazby | 28. 4. 2016 | 12:29 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Aplikace integrálů | Fucikrad | 12. 4. 2022 | 10:53 | kapitola7.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1Priklady} \section{Aplikace integrálů} \begin{enumerate} \item Nalezněte plochu mezi grafem fce f a osou x \begin{enumerate} \begin{priklad} f(x) = 2 + x^3; x \in \langle0, 1\rangle \end{priklad} \begin{priklad} f(x) = (2x^2+1)^2; x \in \langle 0, 1 \rangle \end{priklad} \begin{priklad} f(x) = \sin x; x \in \Big\langle \frac{1}{3}\pi, \frac{1}{2}\pi \Big\rangle \end{priklad} \begin{priklad} f(x) = x \sqrt{2x^2+1}; x \in \langle0, 2\rangle \end{priklad} \begin{priklad} f(x) = x^{-3}(1+x^{-2})^{-3}; x \in \langle1, 2\rangle \end{priklad} \end{enumerate} $[\frac{9}{4}; \frac{47}{15}; \frac{1}{2}; \frac{13}{3}; \frac{39}{400}]$ \item Nalezněte plochu sevřenou mezi grafy fcí \begin{enumerate} \begin{priklad} y = \sqrt x; y = x^2 \end{priklad} \begin{priklad} y = 5x^2; y = 3-x \end{priklad} \begin{priklad} y = x; x^3-10y^2=0 \end{priklad} \begin{priklad} y = x; y = 2x; y =4 \end{priklad} \begin{priklad} y = \cos x; y = 4x^2 - \pi^2 \end{priklad} \begin{priklad} y = \cos^2(\pi x); y = \sin^2(\pi x); x = 0; x = \frac{1}{4} \end{priklad} \begin{priklad} y = 2^x; y = 2; x = 0 \end{priklad} \begin{priklad} y = (x+1)^2; x = \sin(\pi y); y = 0; 0\le y\le 1 \end{priklad} \begin{priklad} y = x; y = x + \sin^2 x; 0 \le x \le \pi \end{priklad} \begin{priklad} 4x = 4y -y^2; 4x-y = 0 \end{priklad} \end{enumerate} $[\frac{1}{3}; \frac{a}{2}; 10; 4; 2 + \frac{2}{3}\pi^3; \frac{\pi}{2}; 2-\frac{1}{\ln 2}; \frac{1}{3}+\frac{2}{\pi}; \frac{\pi}{2}; \frac{a}{8}]$ \item{Nalezněte objem rotačního tělesa (rotace dle osy x)} \begin{enumerate} \begin{priklad} y = x^2; y = 9 \end{priklad} \begin{priklad} y = x^3; xy=10; y=1 \end{priklad} \begin{priklad} y = \sqrt{4-x^2}; y = 0 \end{priklad} \begin{priklad} y = x; y =2x - x^3 \end{priklad} \begin{priklad} x^2 +(y-b)^2 = a^2; 0 < a \le b \end{priklad} \begin{priklad} y = \frac{1}{1+x^2}; y = 0; -1 \le x \le 1 \end{priklad} \begin{priklad} y = \cos x; y=2 \cos x; -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} \end{priklad} \begin{priklad} y = e^x -1 ; y =2; x =0 \end{priklad} \begin{priklad} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{priklad} \end{enumerate} $[\frac{1944}{5} \pi; \frac{3790}{21} \pi; \frac{32}{3} \pi; \frac{12}{35} \pi; 2 \pi ^2 a^2b; \frac{\pi}{4}(\pi+2); \frac{3}{2}\pi^2; \pi(3 \ln^2 3 - 6 \ln 3 + 4); \frac{4}{3} \pi a b^2]$ \item Nalezněte objme rotačního tělesa (rotace dle osy y) \begin{enumerate} \begin{priklad} x = y^3; x = 8; y = 0 \end{priklad} \begin{priklad} y = \sqrt x; y = x^3 \end{priklad} \begin{priklad} x = y^2; x = 2-y^2 \end{priklad} \begin{priklad} y = x; y = 2x-x^3 \end{priklad} \begin{priklad} y^3-y = x; x =0 \end{priklad} \begin{priklad} y = \cos x; y = 2 \cos x; -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} \end{priklad} \begin{priklad} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{priklad} \end{enumerate} $[\frac{768}{7} \pi; \frac{2}{5}\pi; \frac{10}{3} \pi; \frac{4}{15} \pi; \frac{16}{105}\pi; \pi^2-2\pi; \frac{4}{3}\pi a^2b]$ \item Spočtěte \begin{enumerate} \item Objem koule \item Objem kulové sféry o tloušťce $t$ \end{enumerate} \item Spočtěte délku křivky \begin{enumerate} \begin{priklad} y = x \sqrt x; x \in \langle0, 4\rangle \end{priklad} \begin{priklad} y = \ln x; x \in \langle \sqrt 3, \sqrt 8 \rangle \end{priklad} \begin{priklad} y = a \cosh \Big(\frac{x}{a} \Big); x \in \langle0, b\rangle \end{priklad} \begin{priklad} x = \frac{1}{4}y^2 - \frac{1}{2} \ln y; x \in \langle1, e\rangle \end{priklad} \begin{priklad} y = a \ln \frac{a^2}{a^2-x^2}; 0 \le x \le b < a \end{priklad} \begin{priklad} y = \ln \cos x; 0 \le x \le a < \frac{\pi}{2} \end{priklad} \begin{priklad} y = 2a \ln \frac{\sqrt a + \sqrt x}{\sqrt a - \sqrt x} - 4\sqrt{ax}; 0 \le x \le b < 0 \end{priklad} \begin{priklad} x = a \ln \frac{a+\sqrt{a^2 - y^2}}{y} - \sqrt{a^2 - y^2}; 0 < b \le y \le a \end{priklad} \item Délku kružnice \item Délku elipsy \end{enumerate} $[\frac{8}{27}(10 \sqrt 10 -1); 1 + \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}; a \sinh \frac{b}{a}; \frac{e^2+1}{4}; a \ln \frac{a+b}{a-b} -b; \ln | \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2})|; 2a \ln \frac{a}{a-b} -b; a \ln \frac{a}{b}]$ \item Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vzniknou rotací křivek kolem osy x \begin{enumerate} \begin{priklad} y = \sin x; x \in \langle0, \pi \rangle \end{priklad} \begin{priklad} y = \frac{1}{x}; 0 < a \le x \le b \end{priklad} \begin{priklad} y^2 +4x = 2 \ln y; y \in \langle 1, 2 \rangle \end{priklad} \begin{priklad} y = a \cos \frac{\pi x}{2b}; x \in \langle-b, b\rangle \end{priklad} \begin{priklad} y^2 = 2px; x \in \langle0, b\rangle \end{priklad} \end{enumerate} $[2\pi(\sqrt 2 + \ln(1+\sqrt2)); 3\pi/16 (9- 8 \ln 2);2\pi \ln \frac{b^2+\sqrt{1+b^2}}{a^2+\sqrt{1+a^2}} + 2 \pi (\sqrt{1+1/a^2} - \sqrt{1+1/b^2}); 2a \sqrt{\pi^2a^2+4b^2} + 8b^2/\pi \ ln \frac{\pi a + \sqrt{\pi^2a^2+4b^2}}{2b}; 2\pi/3((2b+p)\sqrt{2bp + p^2}-p^2)]$ \item Spočtěte povrch toru (duše) $\displaystyle x^2 + (y-b)^2 = a^2; b \ge a$\\ $[4\pi^2ab]$ \item Obsahy ploch, které vzniknou rotací grafů následujících křivek kolem osy y. \begin{enumerate} \begin{priklad} y^2 = 2px;~0\le x \le b \end{priklad} \begin{priklad} \frac{x^2}{a^2} \cdot \frac{y^2}{b^2};~ a\ge b \end{priklad} \end{enumerate} $[\frac{\pi}{4} \big((p + 4b) \sqrt{2b(p + 2b)} - p^2 \ln{\frac{\sqrt{2b} + \sqrt{p + 2b}}{\sqrt{p}}} \big);~ 2\pi a^2 + \frac{2\pi b^2}{k}\ln{(\frac{a}{b}(1 + k))};k = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}]$ \item Spočtěte povrchy válce, koule, kužele. \item Nalezněte l, znáte-li: \begin{enumerate} \begin{priklad} l'(x) = 2x - 1; l(3) = 4 \end{priklad} \begin{priklad} l''(x) = \cos {x}; l'(0) = 1; l(0) = 2 \end{priklad} \begin{priklad} l''(x) = bx - 2; l'(0) = 1; l(0) = 2 \end{priklad} \begin{priklad} l''(x) = 2x - 3; l(2) = -1; l(0) = 3 \end{priklad} \end{enumerate} $[x^2 - x - 2; x - \cos{x} + 3; x^3 - x^2 + x + 2; \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} - \frac{x}{3} + 3]$ \end{enumerate} \pagebreak