Verze z 9. 10. 2016, 10:01

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01NUM1}
\section{Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry}
 
\subsection{Trojúhelníkové matice}
 
\setcounter{define}{21}
\begin{theorem}
\label{SoucinTrojuhelniku}
Nechť jsou \( \matice A \) a \( \matice B \in \mathbbm C^{n, n} \) dolní (resp. horní) trojúhelníkové matice. Pak matice \( \matice C = \matice {AB} \) je dolní (resp. horní) trojúhelníková. Dále pak platí:
\[ \forall i \in \hat n, \matice C_{ii} = \matice A_{ii} \matice B_{ii} \]
\begin{proof}
Protože jsou matice \( \matice A \) a \( \matice B \) dolní trojúhelníkové, platí \( \matice A_{ik} = 0,\; \forall i < k \) a \( \matice B_{kj} = 0, \; \forall k < j \). 
Tudíž:
\[ \matice C_{ij} = \sum_{k = 1}^n \matice A_{ik} \matice B_{kj} = \sum_{k = 1}^i \matice A_{ik} \matice B_{kj} = \sum_{k = j}^i \matice A_{ik} \matice B_{kj} \]
což je rovno 0 pro \( i < j \) a \( \matice A_{ii} \matice B_{ii} \) pro \( i = j \). Důkaz pro horní trojúhelníkové matice je obdobný.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{InverzeTrojuhelniku}
Nechť je \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) regulární dolní (resp. horní) trojúhelníková matice. Pak matice \( \matice A^{-1} \) je dolní (resp. horní) trojúhelníková. Dále pak platí:
\[ \forall i \in \hat n, \; (\matice A^{-1})_{ii} = (\matice A_{ii})^{-1} = \frac{1}{\matice A_{ii} } \]
\begin{proof}
Označíme \( \matice B = \matice A^{-1} \) a vyjdeme ze vztahu \( \matice A \matice B = \matice I \). Protože je matice \( \matice A \) dolní trojúhelníková a regulární, platí \( \matice A_{ik} = 0,\; \forall i < k \) a \( \matice A_{ii} \neq 0, \; \forall i \in \hat n \). Proto:
\[ \matice I_{ij} = \sum_{k = 1}^n \matice A_{ik} \matice B_{kj} = \sum_{k = 1}^i \matice A_{ik} \matice B_{kj} \]
\begin{enumerate}[(1)]
\item \( \matice B \) dolní trojúhelníková
\\ indukcí podle \( i \) při pevném j
\begin{itemize}
 \item \( i = 1 \), \( 1 < j \)
  \[ \matice I_{ij} = 0 = \sum_{k=1}^i \matice A_{ik} \matice B_{kj} = \sum_{k = 1}^1 \matice A_{1k} \matice B_{kj} = \underbrace{\matice A_{11}}_{\neq 0} \matice B_{1j} \Rightarrow \matice B_{1j} = 0, \; \forall j > 1 \]
\item \( i \rightarrow i + 1 \), \( i + 1 < j \)
 \\Indukční předpoklad: \( \matice B_{kj} = 0, \; \forall k \leq i \)
  \[ \matice I_{i + 1, j} = 0 = \sum_{k = 1}^{i + 1} \matice A_{i + 1, k} \matice B_{kj} = \sum_{k = i + 1}^{i + 1} \matice A_{i + 1, k} \matice B_{kj} = \underbrace{\matice A_{i + 1, i + 1}}_{\neq 0} \matice B_{i + 1, j} \Rightarrow \matice B_{i +1, j} = 0, \; \forall j > i + 1 \]
\end{itemize}
\item Prvky na diagonále \( \matice B \)
 \\ Jelikož je matice \( \matice B \) dolní trojúhelníková, plyne přímo z \ref{SoucinTrojuhelniku}:
 \[ \matice I_{ii} = 1 = \matice A_{ii} \matice B_{ii} \Rightarrow \matice B_{ii} = \frac{1}{\matice A_{ii}} \]
\end{enumerate}
Důkaz pro horní trojúhelníkové matice je obdobný.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsection{Rozklad matice na horní a dolní trojúhelníkovou}
 
\begin{theorem}
\label{LDR}
Každou silně regulární matici \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru součinu:
\[ \matice A = \matice {LDR} \]
kde:
\begin{itemize}
 \item \( \matice L \) je dolní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále
 \item \( \matice D \) je diagonální matice
 \item \( \matice R \) je horní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále
\end{itemize}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(1)]
\item existence
 \\Důkaz indukcí podle \( n \)
\begin{itemize}
\item \( n=1 \)
\\ \( \matice A = ( \matice A_{11} ) = \matice I (\matice A_{11} ) \matice I, \text{tedy} \; \matice L = \matice I \) a \( \matice R = \matice I \)
\item \( n \rightarrow n + 1 \)
\\ Označíme 
\[ \matice A = 
\begin{pmatrix}
\matice A' & \vec v \\
\vec u^T & \alpha \\
\end{pmatrix}
\]
kde \( \matice A' \in \mathbbm C^{n, n} \) a díky indukčnímu předpokladu můžeme rozložit \( \matice A' = \matice {L' D' R'} \)
  \\ Obdobně označíme i matice \( \matice L \), \( \matice D \) a \( \matice R \) a chceme dokázat
  \[ \begin{pmatrix}
   \matice L' & \vec 0 \\
   \vec l^T & 1 \\
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
   \matice D' & \vec 0 \\
   \vec 0^T & d \\
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
   \matice R' & \vec r \\
   \vec 0^T & 1 \\
  \end{pmatrix} =
  \begin{pmatrix}
   \matice {L' D'} & \vec 0 \\
   \vec l^T \matice D' & d \\
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
   \matice R' & \vec r \\
   \vec 0^T & 1 \\
  \end{pmatrix} =\]
  \[=
  \begin{pmatrix}
   \matice {L' D' R'} & \matice {L' D'} \vec r \\
   \vec l^T \matice {D' R'} & \vec l^T \matice D' \vec r + d \\
  \end{pmatrix} =
  \begin{pmatrix}
   \matice A' & \vec v \\
   \vec u^T & \alpha \\
  \end{pmatrix}
\]
Chceme tedy určit \( \vec l \), \( \vec r \) a \( d \). Protože je \( \matice A \) silně regulární, je \( \matice A' \) v každém kroku regulární a tedy i \( \matice L' \), \( \matice D' \) a \( \matice R' \) jsou regulární. Upravíme \( \matice {L' D'} \vec r = \vec v \) a tím určíme \( \vec r = \left( \matice {L' D'} \right)^{-1} \vec v \). Obdobně
\[ \vec l^T \matice {D' R'} = \vec u^T \Rightarrow \vec l = ((\matice {D' R'})^T)^{-1} \vec u \]
\[ d = \alpha - \vec l^T \matice D' \vec r \]
\end{itemize}
\item jednoznačnost
\\ Důkaz sporem, předpokládáme, že existují 2 různé rozklady \( \matice A =\matice L_1 \matice D_1 \matice R_1 = \matice L_2 \matice D_2 \matice R_2 \). Úpravou dostaneme
\[ \matice D_1 \matice R_1 = (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \matice D_2 \matice R_2 \]
\[ \matice D_1 \matice R_1 (\matice R_2)^{-1} = (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \matice D_2 \]
kde \( \matice D_1 \matice R_1 (\matice R_2)^{-1} \) je horní trojúhelníková matice a \( (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \matice D_2 \) je dolní trojúhelníková matice podle \ref{SoucinTrojuhelniku} a \ref{InverzeTrojuhelniku}. Z toho plyne, že \( (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \) je diagonální s jedničkami na diagonále, tedy upravujeme
\[ (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 = \matice I \]
\[ (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 = \matice I \Rightarrow \matice L_1 = \matice L_2 \]
A obdobně
\[ \matice R_1 (\matice R_2)^{-1} = \matice I \Rightarrow \matice R_1 = \matice R_2 \]
\[ \matice D_1 = \matice D_2 \]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark*}
Čísla na diagonále matice \( \matice D \) z \ref{LDR} \textbf{nejsou} vlastními čísly matice \( \matice A \)
\end{remark*}
 
 
\subsection{Rozklady matic}
 
\setcounter{define}{33}
\begin{theorem}
\label{HouseholderHermUnit}
Householderova reflekční matice je hermitovská a unitární.
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(1)]
 \item Hermitovskost (\( \matice H^*( \vec w ) = \matice H( \vec w ) \))
  \[ \matice H^*( \vec w ) = ( \matice I - 2 \vec w \vec w^* )^* = \matice I^* - 2 ( \vec w \vec w^* )^* = \matice I - 2 \vec w \vec w^* = \matice H ( \vec w ) \]
 \item Unitarita (\( \matice H^*( \vec w ) = \matice H^{-1}( \vec w ) \))
  \\ Díky hermitovskosti matice a vztahu \( \vec w^* \vec w = \braket{\vec w | \vec w } = {\lVert \vec w \rVert}^2 = 1 \) platí:
  \[ \matice H( \vec w ) \matice H^*( \vec w ) = \matice H( \vec w ) \matice H( \vec w ) = \matice I - 4 \vec w \vec w^* + 4 \vec w \vec w^* \vec w \vec w^* = \matice I \]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[Unitární matice zachovává normu]
\label{UnitarniZachovavaNormu}
Nechť \( \matice U \) je unitární matice. Pak platí:
\[ \lVert \matice U \vec x \rVert_2 = \lVert \vec x \rVert_2 \]
Pro libovolný vektor \( \vec x \).
\begin{proof}
\[ \lVert \matice U \vec x \rVert_2^2 = \braket{\matice U \vec x | \matice U \vec x} = ( \matice U \vec x )^* \matice U \vec x = \vec x^* \matice U^* \matice U \vec x = \vec x^* \matice U^{-1} \matice U \vec x = \vec x^* \vec x = \braket{\vec x | \vec x} = \lVert \vec x \rVert_2^2 \]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{HouseholderReflekcni}
\( \matice H( \vec w )\) je Householderova reflekční matice a \( \vec v \) je libovolný vektor z \( \mathbbm C^n \). 
\\ Pak vektor \( \matice H( \vec w ) \vec v \) je zrcadlový obraz vektoru \( \vec v \) podle nadroviny \[ L = \{ \vec x \in \mathbbm C^n \; | \; \vec w^* \vec x = \braket{ \vec x | \vec w } = 0 \} \] v tom smyslu, že splňuje
\begin{itemize}
\item \(\lVert \matice H( \vec w )\vec v \rVert = \lVert \vec v \rVert\)
\item \(\matice H( \vec w )\vec v + \vec v \in L\)
\item \((\matice H( \vec w )\vec v - \vec v) \perp L\)
\end{itemize}
\begin {proof}
\begin{enumerate}[(1)]
 \item \(\lVert \matice H( \vec w )\vec v \rVert = \lVert \vec v \rVert\) plyne z faktu, ze \(\matice H( \vec w )\) je unitární a z \ref{UnitarniZachovavaNormu}.
 \item \(\matice H( \vec w )\vec v + \vec v \in L \Leftrightarrow \braket{\matice H( \vec w )\vec v + \vec v | \vec w} = 0 \) \[ \braket{\matice H( \vec w )\vec v + \vec v | \vec w} = 0 \Leftrightarrow \braket{(\matice I - 2\vec w \vec w^*)\vec v + \vec v| \vec w} = \braket{(2\vec v - 2\vec w \vec w^* \vec v | \vec w )} = \] \[ = 2\braket{\vec v|\vec w} - 2\braket{\vec w \vec w^* \vec v|\vec w} = 2\braket{\vec v|\vec w} - 2\underbrace{\vec w^* \vec w}_{\lVert \vec w \rVert = 1} \vec w^* \vec v = 2\braket{\vec v| \vec w} - 2\underbrace{\vec w^* \vec v}_{2\braket{\vec v| \vec w}} = 0 \]
 \item \( (\matice H( \vec w )\vec v - \vec v) \perp L \Leftrightarrow \forall \vec x \in L, \braket{\matice H( \vec w )\vec v - \vec v | \vec x} = 0 \)
 \[ \braket{\matice H( \vec w )\vec v - \vec v | \vec x} = \braket{ ( \matice I - 2 \vec w \vec w^* )\vec v - \vec v | \vec x} = -2 \braket{ \vec w \vec w^* \vec v | \vec x} = -2 \underbrace{\vec x^* \vec w}_{ = 0} \vec w^* \vec v = 0 \]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{HouseholderEigenvalue}
Nechť \(\lambda\) je vlastní číslo matice \(\matice A\), pak existuje Householderova matice \(\matice H(\vec w)\) taková, že 
\[\matice H(\vec w)\matice A\matice H(\vec w)\vec e^{(1)}=\lambda\vec e^{(1)}\] kde \( \vec e^{(1)} \) je prvním bazickým vektorem.
\begin{proof}
\todo{Předělat, Mlha to z toho pořád nechápe, objasnit volbu \( \vec w \), ani z obrázku to nedává smysl}
Nechť \( \lambda \in \sigma ( \matice A ) \) a \(\vec x\) příslušný vlastní vektor. Volíme \[ \vec w = \frac{\vec e^{(1)}-\frac{\vec x}{\lVert \vec x \rVert_2}}{\lVert \vec e^{(1)}-\frac{\vec x}{\lVert \vec x \rVert_2}\rVert_2} \]
a pokud vezmeme \(\vec x\) jako normovaný:
\[ \vec w = \frac{\vec e^{(1)}-\vec x}{\lVert \vec e^{(1)} - \vec x \rVert_2} \]
\(\vec w\) volíme takto, protože požadujeme, aby zobrazil vektor \(\vec x\) do směru vektoru \(\vec e^{(1)}\). (viz \ref{HouseholderReflekcni}) \[\matice H (\vec w)\vec e^{(1)} = \vec x \Rightarrow (\vec x + \vec e^{(1)} ) \in L\]
\[\vec w=(\vec x - \vec e^{(1)} ) \perp L\]
\todo{Algebraicky to nesedí}
\[\matice A \matice H (\vec w)\vec e^{(1)} = \matice A \vec x = \lambda \vec x\]
\[\matice H (\vec w)\matice A \matice H (\vec w)\vec e^{(1)} = \lambda \matice H(\vec w)\vec x  = \lambda \vec e^{(1)}\]
Tato rovnost opět plyne z volby vektoru \(\vec w\).
\todo{Algebraicky to nesedí}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark*}
Pozn. je jedno, jestli bude vektor \(\vec w\) mířit na jednu, nebo na druhou stranu. Toto může být důvod, proč to někomu algebraicky nesedí.
\end{remark*}
 
\begin{remark*}
\(\matice M \vec e^{(1)} = \lambda \vec e^{(1)} \Rightarrow \matice M = \begin{pmatrix} 
\lambda & \multirow{4}{*}{\text{\Huge ?}} \\
0 & \\
\vdots & \\
0 & \\
\end{pmatrix}\)
\end{remark*}
 
\begin{remark*}
\(\matice M = \matice H (\vec w)\matice A \matice H (\vec w)\) je podobnostní transformace.
\end{remark*}
 
\begin{theorem}[Schurova věta] 
\label{Schur}
Libovolná matice \(\matice A \in \matice C^{n,n} \) se dá zapsat jako \[\matice A = \matice U^* \matice R \matice U \]
kde \(\matice U \) je unitární matice a \(\matice R\) je horní trojúhelníková matice.
\begin{remark}
Vlastní čísla matice \(\matice A \) jsou na diagonále \(\matice R\) díky \ref{PodobneEigenvalue}.
\end{remark}
\begin{proof}
Podle \ref{HouseholderEigenvalue} existuje \(\vec w_1 \in \matice C^{n}\) který při splňuje 
\[ \matice H (\vec w_1)\matice A \matice H (\vec w_1) =
\begin{pmatrix} 
\lambda_1 & \cdots \\
0 & \multirow{3}{*}{ \huge {\( \matice A' \)} } \\
\vdots & \\
0 & \\
\end{pmatrix}
= \matice H_1 \matice A \matice H_1 \]
Máme tedy další matici \(\matice A' \in \matice C^{n-1,n-1}\), ke které opět můžeme podle \(\ref{HouseholderEigenvalue}\) najít vektor \(\vec w'_2 \in \matice C^{n-1}\). Definujeme matici
\[ \matice H_2 = \begin{pmatrix} 
1 & \cdots \\
0 & \multirow{3}{*}{ \huge{\( \matice H'(\vec w'_2) \)} } \\
\vdots & \\
0 & \\
\end{pmatrix}
\]
která splňuje rovnici
\[\matice H'(\vec w'_2)\matice A'\matice H'(\vec w'_2) = \matice H_2\matice H_1\matice A\matice H_1\matice H_2=
\begin{pmatrix} 
1 & \cdots \\
0 & \multirow{3}{*}{ \huge{\( \matice H'(\vec w'_2) \)} } \\
\vdots & \\
0 & \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 
\lambda_1 & \cdots \\
0 & \multirow{3}{*}{ \huge {\( \matice A' \)} } \\
\vdots & \\
0 & \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 
1 & \cdots \\
0 & \multirow{3}{*}{ \huge{\( \matice H'(\vec w'_2) \)} } \\
\vdots & \\
0 & \\
\end{pmatrix}\]\[=
\begin{pmatrix} 
\lambda_1 & 0 & \cdots \\
0 & \lambda_2 & \cdots \\
\vdots & 0 & \multirow{3}{*}{ \huge {\( \matice A'' \)} }\\
\vdots & \vdots && \\
0 & 0 & \\
\end{pmatrix}\]
Naprosto stejným postupem pokračujeme dále, až dojdeme k matici obsahující pouze vlastní čísla matice \(\matice A\). Tu označíme jako matici \(\matice R\). Dále označíme
\[ \matice U = \prod_{i = 0}^{n - 1} \matice H_{n - i} \]
Protože jsou všechny matice \(\matice H(\vec w_k)\) Householderovy reflekční matice, jsou podle \ref{HouseholderHermUnit} unitární. Součin unitárních matic je unitární matice (důkaz na dva řádky je trivální), tedy celá matice \(\matice U\) je unitární. Matice \(\matice U^{-1}\) bude mít tvar \(\matice H_1 \matice H_2 ... \matice H_n \). To už je ekvivalentní s tvrzením věty: \[\matice U^* \matice A \matice U = \matice R \Leftrightarrow \matice A = \matice U^* \matice R \matice U\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{NormalniTrojuhelnikDiagonalni}
Normální trojúhelníková matice je diagonální.
\begin{proof}
Nechť je matice \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) normální dolní trojúhelníková. Pak platí \( \matice A^* \matice A = \matice A \matice A^* \) a \( \matice A_{ik} = 0,\; \forall i < k \) a dále:
\[ (\matice A ^* \matice A)_{ii} = \sum_{k = 1}^n \matice (A^*)_{ik} \matice A_{ki} = \sum_{k = i}^n \matice (A^*)_{ik} \matice A_{ki} = \sum_{k = i}^n \overline{\matice A_{ki}} \matice A_{ki} = \sum_{k = i}^n \lvert \matice A_{ki} \rvert^2 \]
\[ (\matice A \matice A^*)_{ii} = \sum_{k = 1}^n \matice A_{ik} \matice (A^*)_{ki} = \sum_{k = 1}^i \matice A_{ik} \matice (A^*)_{ki} = \sum_{k = 1}^i \matice A_{ik} \overline{ \matice A_{ik}} = \sum_{k = 1}^i \lvert \matice A_{ik} \rvert^2 \]
\[ (\matice A^* \matice A)_{ii} = (\matice A^* \matice A)_{ii} \Leftrightarrow \sum_{k = i}^n \lvert \matice A_{ki} \rvert^2 = \sum_{k = 1}^i \lvert \matice A_{ik} \rvert^2, \; \forall i \in \hat n \]
Důkaz provedeme indukcí podle \( i \)
\begin{itemize}
\item \( i = 1 \)
\[ \lvert \matice A_{11} \rvert^2 = \sum_{k = 1}^i \lvert \matice A_{ki} \rvert^2 = \sum_{k = i}^n \lvert \matice A_{1k} \rvert^2 = \lvert \matice A_{11} \rvert^2 + \sum_{k = 2}^n \lvert \matice A_{1k} \rvert^2 \Rightarrow \sum_{k = 2}^n \lvert \matice A_{1k} \rvert^2 = 0 \]
Jelikož jsou všechny členy pravé sumy nezáporné, musí být rovny 0, tedy \( \matice A_{1k} = 0, \; \forall k > 1 \)
\item \( i \rightarrow i + 1 \)
 \\ Indukční předpoklad: \( \matice A_{k, i + 1} = 0, \; \forall k < i + 1 \)
 \[ \lvert \matice A_{i + 1, i + 1} \rvert^2 = \sum_{k = i + 1}^{i + 1} \lvert \matice A_{k, i + 1} \rvert^2 = \sum_{k = 1}^{i + 1} \lvert \matice A_{k, i + 1} \rvert^2 = \sum_{k = i + 1}^n \lvert \matice A_{i + 1, k} \rvert^2 = \lvert \matice A_{i + 1, i + 1} \rvert^2 + \sum_{k = i + 2}^n \lvert \matice A_{i + 1, k} \rvert^2 \]
 Z čehož plyne díky nezápornosti členů pravé sumy \( \matice A_{i + 1, k} = 0, \; \forall k > i + 1 \)
\end{itemize}
Důkaz pro horní trojúhelníkové matice je obdobný.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{RozklNormMatice}
Pro libovolnou normální matici \(\matice A\) existuje unitární matice \(\matice U\) tak, že 
\[\matice A = \matice {U^*RU}\]
kde \(\matice R\) je diagonální. Je-li \(\matice A\) hermitovská, pak \(\matice R\) má na diagonále reálná čísla.
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Ukážeme, že \(\matice R\) je normální, pak podle \ref{NormalniTrojuhelnikDiagonalni} bude také diagonální.
\[\matice A = \matice {U^*RU} \Rightarrow \matice {UA} = \matice {RU} \Rightarrow \matice {UAU^*} = \matice R\]
\[\matice R^* = \matice {(UAU^*)^*} = \matice {(AU^*)^*U^*} \matice {UA^*U^*} \]
\[\matice {RR^*} = \matice {UA}\underbrace{\matice{U^*U}}_{\matice I}\matice {A^*U^*} = \matice {UAA^*U^*} = \matice {UA^*AU^*} = \matice {UA^*U^*UAU^*} = \matice{R^*R}\]
\(\Rightarrow \matice R \) je normální \(\Rightarrow \matice R\) je diagonální.
\item \(\matice A\) je hermitovská \(\Rightarrow \matice A\) je normální. 
\[\matice A = \matice {U^*DU} \Rightarrow \matice D = \matice {UAU^*}\]
kde \(\matice D\) je diagonální matice.
\[\matice D^* = \matice {(UAU^*)^*} = \matice {UA^*U^*} \underbrace{\Rightarrow}_{\matice A = \matice A^*} \matice {UAU^*} = \matice {D} \]
\[\matice D^* = \matice D \Rightarrow \matice D \in \matice R^{n,n}\] protože transpozicí se diagonálních prvků nedotkneme a rovnost hermitovsky sdružených prvků nastává pokud jsou prvky reálná čísla. \qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsection{Rozklady matic - Jordanova Věta}
 
\begin{theorem}[Jordan]
\label{Jordan}
Nechť \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) a \( \lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_p \) jsou všechna její navzájem různá vlastní čísla. Pak je matice \( \matice A \) podobná blokově diagonální (Jordanově) matici \( \matice J \) tvaru:
\[ \matice J =
\begin{pmatrix}
\matice J_1 && \multicolumn{3}{c}{\multirow{3}{*}{\Huge { \( \Theta \) }}} & \\
& \matice J_2 && \\
\multicolumn{2}{c}{\multirow{2}{*}{\Huge { \( \Theta \) }}} & \ddots & \\
&&& \matice J_p \\
\end{pmatrix} \]
kde:
\[ \matice J_k =
\begin{pmatrix}
\lambda_k && \multicolumn{3}{c}{\multirow{3}{*}{\Huge { \( 0 \) }}} & \\
1 & \lambda_k && \\
\multirow{2}{*}{\Huge { \( 0 \) }} & \ddots & \ddots & \\
&& 1 & \lambda_k \\
\end{pmatrix}, \;
\forall k \in \hat p \]
Matice \( \matice J \) je až na pořadí bloků dána jednoznačně.
\begin{proof}\renewcommand{\qedsymbol}{}
Bez důkazu.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem*}[Věta navíc]
\label{DefiniceMocninyMatice}
\todo{Předělat neceločíselně, nebo vymazat, tuhle větu si Mlha vycucal z prstu, protože při psaní skript zápasil s tím, že jsme tu mocninu vůbec nedefinovali. Na zkoušce mi Oberhuber řekl, že by to definoval Schurovsky, ale on každý přístup má něco.}
Nechť \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \). Definujeme pro \( p \in \mathbbm N \) mocninu matice \( \matice A^p \) takto:
\[ \matice A^p = \prod_{k = 1}^p \matice A \]
Potom platí:
\begin{enumerate}[(1)]
\item Pokud rozložíme matici \( \matice A \) podle \ref{Jordan} tak, že \( \matice A = \matice T^{-1} \matice{J T} \), pak platí
\[ \matice A^p = \matice T^{-1} \matice J^p \matice T \]
\item Pokud rozložíme matici \( \matice A \) podle \ref{Schur} tak, že \( \matice A = \matice U^* \matice{R U} \), pak platí
\[ \matice A^p = \matice U^* \matice R^p \matice U\]
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(1)]
\item Využijeme rozkladu:
\[ \matice A^p = \matice A \matice A \dots \matice A = \matice T^{-1} \matice{J T} \matice T^{-1} \matice{J T} \dots \matice T^{-1} \matice{J T} = \matice T^{-1} ( \matice J \matice J \dots \matice J ) \matice T = \matice T^{-1} \matice J^p \matice T \]
\item Využijeme rozkladu a faktu, že matice \( \matice U \) je unitární, tj. \( \matice U^* = \matice U^{-1} \):
\[ \matice A^p = \matice A \matice A \dots \matice A = \matice U^* \matice{R U} \matice U^* \matice{R U} \dots \matice U^* \matice{R U} =  \matice U^{-1} \matice{R U} \matice U^{-1} \matice{R U} \dots \matice U^{-1} \matice{R U} = \matice U^{-1} ( \matice R \matice R \dots \matice R ) \matice U = \matice U^{-1} \matice R^p \matice U \]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem*}
 
\begin{remark*}
V prezentaci je mocnina matice definována pomocí Schurovy věty, kde je navíc přidán požadavek, aby matice \( \matice A \) byla hermitovská a pozitivně definitní, díky čemuž je matice \( \matice R \) diagonální s kladnými členy a tím pádem se Schurova věta stává speciálním případem věty Jordanovy. Tato definice umožní jednoduše definovat i neceločíselné mocniny. Předešlá věta v prezentaci chybí, přestože je občas používána.
\end{remark*}
 
\subsection{Vlastní čísla matice}
 
\setcounter{define}{43}
\begin{theorem}
\label{PodobneEigenvalue}
Podobné matice \( \matice A \) a \( \matice B \) mají stejná vlastní čísla se stejnou geometrickou násobností.
\begin{proof}
Díky podobnosti existuje taková matice \( \matice T \), že \( \matice A = \matice T^{-1} \matice{B T} \). Dále rozložíme \( \matice B \) podle \ref{Jordan} a označíme \( \matice B = \matice K^{-1} \matice{JK} \), kde \( \matice J \) je Jordanova matice. Pak platí:
\[ \matice A = \matice T^{-1} \matice{B T} = \matice T^{-1} \matice K^{-1} \matice{J K T} = ( \matice{K T} )^{-1} \matice J ( \matice{K T} ) \]
což je podobnostní transformace a z čehož díky podmínce jednoznačnosti v \ref{Jordan} plyne, že matice \( \matice J \) je Jordanovou maticí k matici \( \matice A \). Z definice Jordanovy matice pak plyne tvrzení věty.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsection{Pozitivně definitní matice}
 
\begin{define}
Matice \(\matice A \in \mathbbm T^{n, n}\) je pozitivně definitní \(\Leftrightarrow\) \[ \forall \vec x \neq \vec 0, \; \vec x^*\matice A \vec x \in \matice R^+\]
značíme \(\matice A > 0\).
Platí-li pro \(\matice B \in \matice T^{n, n} \) vztah \( \matice A - \matice B > 0 \), pak píšeme \(\matice A > \matice B \).
\end{define}
 
\begin{theorem}
\label{PDEigenvalues}
Všechna vlastní čísla pozitivně definitní matice \(\matice A\) jsou kladná. Je-li \(\matice A\) hermitovská matice s kladnými vlastními čísly, pak \(\matice A\) je pozitivně definitní.
\begin{proof}
\begin{itemize}
\item Nechť \(\lambda\) vlastní číslo \(\matice A\) a \(\vec x\) příslušný vlastní vektor.
\[ 0 < \braket{\matice A \vec x| \vec x} = \braket{\lambda \vec x|\vec x} = \lambda \lVert \vec x \rVert ^2_2 \Rightarrow \lambda > 0\]
\item Podle \ref{RozklNormMatice} \(\matice A = \matice{U^* D U}\) kde \( \matice D \) je diagonální, a tedy kladná. Vezmu tedy libovolný vektor \(\vec x \neq \vec 0\) a vektor \(\vec y = \matice U \vec x \Rightarrow \vec y \neq \vec 0\)
\[\braket{\matice A \vec x|\vec x} = \braket{\matice{U^*DU}\vec x|\vec x} = \braket{\matice {DU}\vec x|\matice U\vec x} = \braket{\matice D \vec y|\vec y}=\vec y^*\matice D\vec y > 0 \]
\end{itemize}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsection{Normy}
 
\setcounter{define}{52}
\begin{theorem}
\label{NormySendvic}
Pro libovolné dvě normy \( \lVert \, \cdot \, \rVert_1 \) a \( \lVert \, \cdot \, \rVert_2 \) na množině vektorů z \( \mathbbm C^n \) existují kladné konstanty \( \gamma_1 \) a \( \gamma_2 \) takové, že \( \forall \vec x \in \mathbbm C^n \) platí:
\[ \gamma_1 \lVert \vec x \rVert_1 \leq \lVert \vec x \rVert_2 \leq \gamma_2 \lVert \vec x \rVert_1 \]
\begin{proof}\renewcommand{\qedsymbol}{}
Bez důkazu, pro zájemce viz Turistický průvodce matematickou analýzou 3, Věta {\color{red} 6.7}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{KonvergenceVNorme}
Nechť \( \left\{ \vec x^{(k)} \right\}_{k = 1}^\infty \) je posloupnost vektorů z \( \mathbbm C^{n} \) a \( \lVert \, \cdot \, \rVert \) libovolná norma. Potom
\[ \vec x^{(k)} \rightarrow \vec x \Leftrightarrow \lVert \vec x^{(k)} - \vec x \rVert \rightarrow 0 \]
\begin{proof}
(\( \Rightarrow \)) Pokud \( \vec x^{(k)} \rightarrow \vec x \), pak \( \lVert \vec x^{(k)} - \vec x \rVert_\infty \rightarrow 0 \) a tento vztah pak díky \ref{NormySendvic} platí pro libovolnou normu.
\\ (\( \Leftarrow \))
Díky \ref{NormySendvic} platí \( \lVert \vec x^{(k)} - \vec x \rVert_\infty \rightarrow 0 \), tedy \( \max\limits_{i \in \hat n} \lvert \vec x_i^{(k)} - \vec x_i \rvert \rightarrow 0 \) a proto \( \forall i \in \hat n, \; \lvert \vec x_i^{(k)} - \vec x_i \rvert \rightarrow 0 \), což je jinak zapsáno \( \vec x^{(k)} \rightarrow \vec x \)
\end{proof}
\end{theorem}
 
\setcounter{define}{59}
\begin{theorem}
\label{NormaMatice}
Při značení:
\[ \lVert \matice A \rVert_\infty = \max\limits_{\lVert \vec x \rVert_\infty = 1} \lVert \matice A \vec x \rVert_\infty \]
\[ \lVert \matice A \rVert_1 = \max\limits_{\lVert \vec x \rVert _1 = 1} \lVert \matice A \vec x \rVert_1 \]
\[ \lVert \matice A \rVert_2 = \max\limits_{\lVert \vec x \rVert _2 = 1} \lVert \matice A \vec x \rVert_2 \]
 
pro každou matici \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) platí vztahy:
\[ \lVert \matice A \rVert_\infty = \max\limits_{i \in \hat n} \sum_{j = 1}^n \lvert \matice A_{ij} \rvert \]
\[ \lVert \matice A \rVert_1 = \max\limits_{j \in \hat n} \sum_{i = 1}^n \lvert \matice A_{ij} \rvert \]
\[ \lVert \matice A \rVert _2 = \sqrt{\rho ( \matice {A^* A} ) } \]
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(1)]
\item \( \lVert \matice A \rVert_\infty = \max\limits_{\lVert \vec x \rVert_\infty = 1} \lVert \matice A \vec x \rVert_\infty = \max\limits_{i \in \hat n} \sum_{j = 1}^n \lvert \matice A_{ij} \rvert \)
\\ Pro každé pevné \( i \in \hat n \) volíme \( \vec x_j = \sgn \matice A_{ij} \) a potom \( ( \matice A \vec x )_i = \sum_{j = 1}^n \lvert \matice A_{ij} \rvert \). Platí \( \lVert \vec x \rVert_\infty = 1 \) a tvrzení plyne z definice \( \lVert \, \cdot \, \rVert_\infty \).
\begin{remark*}
Hledáme maxima přes řádky, maximové normě pro matice se tedy říká také řádková norma.
\end{remark*}
\item \( \lVert \matice A \rVert_1 = \max\limits_{\lVert \vec x \rVert _1 = 1} \lVert \matice A \vec x \rVert_1 = \max\limits_{j \in \hat n} \sum_{i = 1}^n \lvert \matice A_{ij} \rvert \)
\\ Volím \( k \) aby \( \matice A_{\cdot k} \) byl maximální (\( \forall l \neq k, \; \sum_{i = 1}^n \lvert \matice A_{il} \rvert \leq \sum_{i = 1}^n \lvert \matice A_{ik} \rvert \)). Poté volím \( \vec x \) tak, že \( \forall i \neq k, \; \vec x_i = 0 \) a \( \vec x_k = 1 \). Tento vektor splňuje \( \lVert \vec x \rVert _1 = 1 \) a zároveň tím maximalizuji \( \lVert \matice A \vec x \rVert_1 \). Z \( \max\limits_{j \in \hat n} \sum_{i = 1}^n \lvert \matice A_{ij} \rvert = \sum_{i = 1}^n \lvert \matice A_{ik} \rvert \) potom plyne tvrzení věty.
\begin{remark*}
Hledáme maxima přes sloupce, normě se tedy říká sloupcová. 
\end{remark*}
\item \( \lVert \matice A \rVert _2 = \max\limits_{\lVert \vec x \rVert_2 = 1} \lVert \matice A \vec x \rVert_2 = \sqrt{\rho ( \matice {A^* A} )} \)
\[ \lVert \matice A \rVert_2^2 = \max\limits_{\lVert \vec x \rVert_2 = 1} \lVert \matice A \vec x \rVert_2^2 = \max\limits_{\vec x \neq \vec 0} \frac{\lVert \matice A \vec x \rVert_2^2}{\lVert \vec x \rVert_2^2} = \max\limits_{\vec x \neq \vec 0} \frac{\braket{\matice A \vec x | \matice A \vec x}}{\lVert \vec x \rVert_2^2} = \max\limits_{\vec x \neq \vec 0} \frac{\braket{\vec x | \matice {A^* A} \vec x}}{\lVert \vec x \rVert_2^2} \]
Dále využijeme toho, že matice \( \matice {A^* A} \) je normální (ověření na řádek práce s hvězdičkováním), tedy lze ji napsat ve tvaru \( \matice {U^* D U} \)
\[\max\limits_{\vec x \neq \vec 0} \frac{\braket{\vec x | \matice {A^* A} \vec x}}{\lVert \vec x \rVert_2^2} = \max\limits_{\vec x \neq \vec 0} \frac{\braket{\vec x | \matice {U^* D U} \vec x}}{\lVert \vec x \rVert_2^2} = \max\limits_{\vec x \neq \vec 0} \frac{\braket{\matice U \vec x | \matice {D U} \vec x}}{\lVert \vec x \rVert_2^2} \]
Označíme  \(\vec y = \matice U \vec x\) a díky \ref{UnitarniZachovavaNormu} platí \(\lVert \vec y \rVert = \lVert \vec x \rVert\). Dále označíme \( \lambda_i = \matice D_{ii} \) vlastní čísla matice \( \matice A^* \matice A \)
\[ \max\limits_{\vec x \neq \vec 0} \frac{\braket{\matice U \vec x | \matice {D U} \vec x}}{\lVert \vec x \rVert_2^2} = \max\limits_{\vec y \neq \vec 0} \frac{\braket{\vec y | \matice D \vec y}}{\lVert \vec y \rVert_2^2} = \max\limits_{\vec y \neq \vec 0} \frac{\sum_{i = 1}^n \lvert \lambda_i \rvert \lvert y_i \rvert^2}{\sum_{i = 1}^n \lvert y_i \rvert^2} = \max\limits_{\lVert \vec y \rVert_2 = 1} \sum_{i = 1}^n \lvert \lambda_i \rvert \lvert y_i \rvert^2 \]
Toto maximum nastává pro takový vektor \( \vec y_k = 1 \), kde \( \lambda_k \) je největší vlastní číslo matice \( \matice A^* \matice A \). Tedy
\[ \max\limits_{\lVert \vec y \rVert_2 = 1} \sum_{i = 1}^n \lvert \lambda_i \rvert \lvert y_i \rvert^2 = \lambda_k = \rho ( \matice {A^* A} ) = \lVert \matice A \rVert_2^2 \]
\begin{remark*}
Je-li \(\matice A\) hermitovská, platí \(\matice {A^*A} = \matice A^2\) a \(\lVert \matice A \rVert _2 = \sqrt{\rho(\matice A^2)} = \rho(\matice A)\). 
\\ Je-li \(\matice A\) unitární, pak \(\lVert \matice A \rVert _2 = 1\) \qedhere
\end{remark*}
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsection{Konvergence geometrické posloupnosti matic}
 
\begin{lemma*}
Nechť \( \matice J \in \mathbbm C^{n, n} \) je Jordanovou maticí z rozkladu \ref{Jordan}. Potom platí
\[ (\matice J^k)_{ij} =
\begin{cases}
0, & i < j \\
\binom{k}{i - j} \lambda^{k - (i - j)}, & i \geq j \\
\end{cases}
\]
\begin{proof}
Indukcí podle \( k \)
\begin{itemize}
\item \( k = 1 \)
\\ Plyne přímo z \ref{Jordan}.
\item \( k \rightarrow k + 1 \)
\[ (\matice J^{k + 1})_{ij} = (\matice J \matice J^k)_{ij} = \sum_{l = 1}^n \matice J_{il} ( \matice J^k )_{lj} \]
Z definice Jordanovy matice platí, že
\[ \matice J_{il} = 
\begin{cases}
1, & l = i - 1 \\
\lambda, & l = i \\
0, & \text{jinak} \\
\end{cases}
\]
a tedy
\[ \sum_{l = 1}^n \matice J_{il} ( \matice J^k )_{lj} = (\matice J^k)_{i - 1, j} + \lambda (\matice J^k)_{i, j} \]
Použijeme indukční předpoklad
\[ (\matice J^k)_{i - 1, j} + \lambda (\matice J^k)_{i, j} =
\begin{cases}
0, & i < j \\
0 + \lambda \binom{k}{i -j} \lambda^{k - (i - j)} = \lambda^{k + 1}, & i = j \\
\binom{k}{i - j -1}\lambda^{k - (i - 1 - j)} + \lambda \binom{k}{i - j} \lambda^{k - (i - j)} = \binom{k + 1}{i - j} \lambda^{k + 1 - (i - j)}, & i > j \\ 
\end{cases}
\]
kde poslední rovnost plyne ze vztahu \( \binom{n}{k - 1} + \binom{n}{k} = \binom{n + 1}{k} \) \qedhere
\end{itemize}
\end{proof}
\end{lemma*}
 
\setcounter{define}{62}
\begin{theorem}
\label{GeomKSpektrum}
Nechť \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \). Potom platí
\[ \lim_{k \rightarrow \infty} \matice A^k = \Theta \Leftrightarrow \rho ( \matice A ) < 1 \]
\begin{proof}
Podle \ref{Jordan} rozložíme \( \matice A = \matice T^{-1} \matice{J T} \) a díky \nameref{DefiniceMocninyMatice} platí \( \matice A^k = \matice T^{-1} \matice J^k \matice T \). Díky lemmatu je zřejmé, že \( \lim\limits_{k \rightarrow \infty} (\matice J^k)_{ij} = 0 \) právě tehdy, pokud pro všechna vlastní čísla \( \lambda \) platí \( \lvert \lambda \rvert < 1 \).
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{GeomKNorma}
Nechť \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \). Potom platí
\[ \exists \; \text{maticová norma} \; \lVert \, \cdot \, \rVert, \lVert \matice A \rVert < 1 \Rightarrow \lim_{k \rightarrow \infty} \matice A^k = \Theta \]
\begin{proof}
Z \( \lVert \matice A \rVert < 1 \) plyne:
\[ \lVert \matice A^k \rVert \leq \lVert \matice A \rVert^k < 1^k \Rightarrow \lim_{k \rightarrow \infty} \lVert \matice A^k \rVert = 0 \Rightarrow \lim_{k \rightarrow \infty} \matice A^k = \Theta \]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{AbsEigenvalueVSNorma}
Nechť \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \). Potom platí
\[ \forall \; \text{maticové normy} \; \lVert \, \cdot \, \rVert, \rho ( \matice A ) \leq \lVert \matice A \rVert \]
\begin{proof}
Označíme \( \lambda^{\matice A} \in \sigma ( \matice A ) \) a \( \forall \varepsilon > 0 \) označíme
\[ \matice B = \frac{1}{\lVert \matice A \rVert + \varepsilon} \matice A \]
a potom
\[ \lVert \matice B \rVert = \frac{\lVert \matice A \rVert}{\lVert \matice A \rVert + \varepsilon} < 1 \Rightarrow \matice B^k \rightarrow \Theta \]
díky \ref{GeomKNorma}. Pro nějaký \( \vec x \) vlastní vektor matice \( \matice A\) platí
\[ \matice B \vec x =  \frac{1}{\lVert \matice A \rVert + \varepsilon} \matice A \vec x =  \frac{\lambda^{\matice A}}{\lVert \matice A \rVert + \varepsilon} \vec x = \lambda^{\matice B} \vec x \]
Kde platí \( \lambda^{\matice B} \in \sigma ( \matice B ) \) a \( \lambda^{\matice B} < 1 \) díky \ref{GeomKSpektrum}. Pak platí
\[ \lvert \lambda^{\matice A} \rvert = ( \lVert \matice A \rVert + \varepsilon ) \lambda^{\matice B} < \lVert \matice A \rVert + \varepsilon, \; \forall \varepsilon > 0 \]
a tedy \( \lvert \lambda^{\matice A} \rvert \leq \lVert \matice A \rVert \)
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{NutPostK}
Nechť \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \). Potom platí
\[ \sum_{i = 0}^\infty \matice A^i < \infty \Leftrightarrow \lim_{k \rightarrow \infty} \matice A^k = \Theta \]
a
\[ \sum_{i = 0}^\infty \matice A^i < \infty \Rightarrow \sum_{i = 0}^\infty \matice A^i = ( \matice I - \matice A )^{-1} \]
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item[( \( \Rightarrow \) )] Důsledek nutné podmínky konvergence řady.
\item[( \( \Leftarrow \) )]
Označíme \( \matice S_k = \sum_{i = 0}^k \matice A^i \) a platí
\[ ( \matice I - \matice A ) \matice S_k = \matice I - \matice A^{k + 1} \]
Díky \ref{GeomKSpektrum} \( \rho ( \matice A ) < 1 \), a tedy \( 0 \notin \sigma ( \matice I - \matice A ) \), tedy \( ( \matice I - \matice A ) \) je regulární, díky čemuž můžeme upravit
\[ \matice S_k = ( \matice I - \matice A )^{-1} ( \matice I - \matice A^{k + 1} ) \]
\[ \lim_{k \rightarrow \infty} \matice S_k = ( \matice I - \matice A )^{-1} \]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{GeomRozvoj}
Nechť \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) a \( \lVert \matice A \rVert < 1 \). Potom platí
\[ \left\lVert ( \matice I - \matice A )^{-1} - \sum_{i = 0}^k \matice A^i \right\rVert \leq \frac{\lVert \matice A \rVert^{k + 1}}{1 - \lVert \matice A \rVert}, \; \forall k \in \mathbbm N \]
\begin{proof}
Díky \ref{GeomKNorma} a \ref{NutPostK} víme \( ( \matice I - \matice A )^{-1} = \sum_{i = 0}^\infty \matice A^i \) a tedy při využití trojúhelníkové nerovnosti \( ( \lVert \matice{A B} \rVert \leq \lVert \matice A \rVert \lVert \matice B \rVert ) \) platí
\[ \left\lVert ( \matice I - \matice A )^{-1} - \sum_{i = 0}^k \matice A^i \right\rVert = \left\lVert \sum_{i = 0}^\infty \matice A^i - \sum_{i = 0}^k \matice A^i \right\rVert = \left\lVert \sum_{i = k + 1}^\infty \matice A^i \right\rVert = \left\lVert \matice A^{k + 1} \sum_{i = 0}^\infty \matice A^i \right\rVert \leq \lVert \matice A^{k + 1} \rVert \sum_{i = 0}^\infty \lVert \matice A \rVert^i = \frac{\lVert \matice A \rVert^{k + 1}}{1 - \lVert \matice A \rVert} \]
kde poslední rovnost plyne ze vzorce pro součet geometrické řady.
\end{proof}
\end{theorem}