01RMF:Kapitola2: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{01RMF} | %\wikiskriptum{01RMF} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
Řádka 176: | Řádka 9: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
Nechť $f$ je lineární funkcionál nad $\D(G)$, tj, $f:\D \longrightarrow \mathbb{C}$ a~$f$ je lineární. Množinu všech lineárních a spojitých, | Nechť $f$ je lineární funkcionál nad $\D(G)$, tj, $f:\D \longrightarrow \mathbb{C}$ a~$f$ je lineární. Množinu všech lineárních a spojitých, | ||
− | tj. konvergenci zachovávajících, funkcionálů nad $\D(G) nazveme {\bf prostorem zobecněných funkcí} | + | tj. konvergenci zachovávajících, funkcionálů nad $\D(G)$ nazveme {\bf prostorem zobecněných funkcí}, označujme ji $\D'(G)$. |
Hodnotu funkcionálu $f$ na funkci $\phi$ označujme $\left f, \ \phi \right)$ namísto $f(\phi)$. | Hodnotu funkcionálu $f$ na funkci $\phi$ označujme $\left f, \ \phi \right)$ namísto $f(\phi)$. | ||
\end{define} | \end{define} | ||
Řádka 187: | Řádka 20: | ||
Multiindexem $\alpha$ v~n-dimenzionálním prostoru rozumíme uspořádanou n-tici čísel $\left(\alpha_1, \ \alpha_2, \ \dots, \ \alpha_n \right)$ ze | Multiindexem $\alpha$ v~n-dimenzionálním prostoru rozumíme uspořádanou n-tici čísel $\left(\alpha_1, \ \alpha_2, \ \dots, \ \alpha_n \right)$ ze | ||
$\mathbb{Z}_+ ^n := \left(\mathbb{N}\cup\{0\}\right)^n$. | $\mathbb{Z}_+ ^n := \left(\mathbb{N}\cup\{0\}\right)^n$. | ||
− | Označme $\vert \alpha \vert = \displaystyle \sum_{k=1} ^n \alpha_k $. Definujme rovněž operátor | + | |
− | $D^{\alpha} : = \frac{\partial^{\vert \alpha \vert}}{\partial^{\alpha_1}x_1 \partial^{\alpha_2}x_2 | + | Označme $\vert \alpha \vert = \displaystyle \sum_{k=1} ^n \alpha_k $. |
+ | |||
+ | Definujme rovněž operátor | ||
+ | $D^{\alpha} : = \displaystyle\frac{\partial^{\vert \alpha \vert}}{\partial^{\alpha_1}x_1 \partial^{\alpha_2}x_2 \dots \partial^{\alpha_n}x_n}$. | ||
\end{define} | \end{define} | ||
Verze z 7. 10. 2016, 21:42
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01RMF
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01RMF | Mazacja2 | 16. 12. 2016 | 18:29 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Mazacja2 | 28. 12. 2016 | 13:12 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Mazacja2 | 18. 12. 2016 | 21:10 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Mazacja2 | 9. 11. 2016 | 20:51 | predmluva.tex | |
Kapitola1 | editovat | Motivace | Johndavi | 8. 4. 2019 | 16:34 | motivace.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněné funkce | Lomicond | 7. 12. 2019 | 16:51 | zobecnene_funkce.tex | |
Kapitola3 | editovat | Integrální transformace | Lomicond | 25. 12. 2019 | 15:58 | integralni_transformace.tex | |
Kapitola4 | editovat | Řešení dif. rovnic | Johndavi | 9. 4. 2019 | 15:15 | reseni.tex | |
Kapitola5 | editovat | Integrální rovnice | Johndavi | 8. 4. 2019 | 16:25 | Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Sturm-Liouvilleova teorie | Johndavi | 8. 4. 2019 | 15:35 | Kapitola6.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF} \chapter{Zobecněné funkce} V~této kapitole korektně zavedeme zobecněné funkce a~uvidíme, že naše předešlá definice je jen velmi speciálním případem zobecněné funkce. Zároveň budeme v~definici požadovat, aby náš nově definovaný objekt byl něco rozdílného od klasické funkce, ale zároveň se od ní příliš nelišil. Rádi bychom totiž využívali některá tvrzení a některé věty, které již máme z~předchozího studia matematické analýzy dokázány. \section{Zavedení zobecněných funkcí} \begin{define} Nechť $f$ je lineární funkcionál nad $\D(G)$, tj, $f:\D \longrightarrow \mathbb{C}$ a~$f$ je lineární. Množinu všech lineárních a spojitých, tj. konvergenci zachovávajících, funkcionálů nad $\D(G)$ nazveme {\bf prostorem zobecněných funkcí}, označujme ji $\D'(G)$. Hodnotu funkcionálu $f$ na funkci $\phi$ označujme $\left f, \ \phi \right)$ namísto $f(\phi)$. \end{define} Vidíme, že prostor zobecněných funkcí závisí na volbě konvergence v $\D$. Tímto pojmem bude $\D'$ značně ovlivněno (kvůli identifikaci lineárních a~především spojitých funkcionálů nad $\D$). Z toho důvodu nyní definujeme konvergenci v~$\D$. Ještě předtím ale zavedeme pojem multiindex a zavedeme notaci derivací pomocí multiindexu. \begin{define} Multiindexem $\alpha$ v~n-dimenzionálním prostoru rozumíme uspořádanou n-tici čísel $\left(\alpha_1, \ \alpha_2, \ \dots, \ \alpha_n \right)$ ze $\mathbb{Z}_+ ^n := \left(\mathbb{N}\cup\{0\}\right)^n$. Označme $\vert \alpha \vert = \displaystyle \sum_{k=1} ^n \alpha_k $. Definujme rovněž operátor $D^{\alpha} : = \displaystyle\frac{\partial^{\vert \alpha \vert}}{\partial^{\alpha_1}x_1 \partial^{\alpha_2}x_2 \dots \partial^{\alpha_n}x_n}$. \end{define} \begin{define} Nechť $\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N}\}$ je posloupnost v $\D(G)$ a $\phi \in \D(G)$. Řekneme, že {\bf $\phi_n$ konverguje k~$\phi$ v $\D$}, označme $\phi \stackrel{\D}{\longrigtharrow} \phi$, právě když \begin{enumerate} \item nosiče $\phi_n $ jsou stejně (stejnoměrně) omezené, tj. $\exists R>0 \forall n \in \mathbb{N} \nf \phi_n \subset B_R ^{0}$; \item $\forall \aplha \in \mathbb{Z}_+ ^n$ platí, že $D^\alpha \phi_n$ konverguje stejnoměrně na množině $G$ k~$\D^\alpha \phi$. \end{enumerate} \end{define} \begin{remark} Tato definice vyžaduje znalost limitní funkce $\phi$. Je ale možné definovat i~\uv{vlastnost konvergence} a~to za pomoci Bolzano-Cauchyovy podmínky pro stejnoměrnou konvergenci, která nám umožňuje nepsat ve druhé podmínce $D^\alpha \phi$. Pak můžeme tvrdit, že posloupnost funkcí $\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N}\}$ konverguje v~$\D$ a~tuto vlastnost zapisovat jako $\phi_n \stackrel{\D}{\longrigtharrow} $. \end{remark} \begin{theorem} Buď $\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N}\} \subset \D(G)$ a nechť $\phi_n \stackrel{\D}{\longrigtharrow} $. Pak existuje limitní funkce $\phi \in \D(G)$ taková, že $\phi \stackrel{\D}{\longrigtharrow} \phi$. \begin{proof} Důkaz nechť si čtenář provede sám jako cvičení. Při dokazování je vhodné najít kandidáta na fuknci $\phi$ pomocí nulté derivace. Dále je vhodné si uvědomit, že kandidát musí být třídy $\Ci$ a že $\nf \phi$ má být kompakt. \end{theorem} \subsection{Příklady zobecněných funkcí} {\bf Diracova $\delta$-funkce} S~touto funkcí jsme se setkali hned na začátku tohoto textu. Nyní ji korektně zavedeme a~dokážeme, že se jedná o~zobecněnou funkci. $$ \left(\forall \phi \in \D(R) \right) \ \mbox{definujeme } \left(\delta, \ \phi\right) := \phi(0) $$ Pro $\delta$ musíme tedy ověřit, že je to funkcionál nad~$\D$, že je lineární a~že je spojitý. \begin{enumerate} \item[{\it Funcionál:}] $\delta: \D \longrichtarrow \mathbb{C}$. Jelikož je $\phi(0) < + \infty$, víme, že se tedy jedná o~funcionál, neboť jeho definice dává dobrý smysl $\forall \phi \in \D$. \item[{\it Linearita:}] Uvažujme $\phi, \psi \in \D$ a $\alpha \in \mathbb{C}$. Pak $$\left( \delta, \underbrace{\phi + \alpha \psi}_{\eta \in \D} \right) = \eta(0) = \left( \phi + \alpha \psi \right) (0) = \phi (0) + \alpha \psi(0) = \left( \delta, \phi \right) + \alpha \left( \delta, \psi\right)$$ \item[{\it Spojitost:}]