01RMF:Kapitola2: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 38: | Řádka 38: | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Tvrzení dokážeme sporem. Pro ten předpokládejme, že $\exists x_0$ takové, že $f(x_0)\neq g(x_0)$. Pak víme, že $\int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi \dd x = 0$. | Tvrzení dokážeme sporem. Pro ten předpokládejme, že $\exists x_0$ takové, že $f(x_0)\neq g(x_0)$. Pak víme, že $\int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi \dd x = 0$. | ||
− | Ze spojitosti funkcí $f$ a $g$ plyne existence okolí $U_{x_0}$ takového, že $\forall x \in U_{x_0} je BÚNO $\f(x) > g(x)$. | + | Ze spojitosti funkcí $f$ a $g$ plyne existence okolí $U_{x_0}$ takového, že $\forall x \in U_{x_0}$ je BÚNO $\f(x) > g(x)$. |
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} |
Verze z 4. 10. 2016, 17:57
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01RMF
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01RMF | Mazacja2 | 16. 12. 2016 | 18:29 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Mazacja2 | 28. 12. 2016 | 13:12 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Mazacja2 | 18. 12. 2016 | 21:10 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Mazacja2 | 9. 11. 2016 | 20:51 | predmluva.tex | |
Kapitola1 | editovat | Motivace | Johndavi | 8. 4. 2019 | 16:34 | motivace.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněné funkce | Lomicond | 7. 12. 2019 | 16:51 | zobecnene_funkce.tex | |
Kapitola3 | editovat | Integrální transformace | Lomicond | 25. 12. 2019 | 15:58 | integralni_transformace.tex | |
Kapitola4 | editovat | Řešení dif. rovnic | Johndavi | 9. 4. 2019 | 15:15 | reseni.tex | |
Kapitola5 | editovat | Integrální rovnice | Johndavi | 8. 4. 2019 | 16:25 | Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Sturm-Liouvilleova teorie | Johndavi | 8. 4. 2019 | 15:35 | Kapitola6.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF} \chapter{Testovací funkce} \begin{define} {\bf Nosičem funkce $\phi$} rozumíme množinu $\overline{\{ x \in \R^n \ | \ \phi(x) \neq 0 \} }$. Označujeme jej $\nf \phi$. \end{define} \begin{define} Množinu $\D (\R^n) = \{ \phi \in \Ci (\R^n) \ | \ \nf \phi \mbox{ je omezený} \}$ nazvěme {\bf množinu testovacích funkcí}. Tzn. {\bf testovací funkce} jsou funkce třídy $\Ci (\R^n)$ s kompaktním nosičem. Buď nyní $G = G^o$ otevřená podmnožina $\R^n$. Pak definujeme $\D (G) = \{ \phi \in \D (\R^n) \ | \ \nf \phi \subset G \}$ \end{define} \begin{remark} Je zřejmé, že pokud $\phi \in \D (\R^n)$, pak $\alpha \phi \in \D (\R^n)$ pro $\alpha \in \R$. Buď nyní $f$ hladká funkce. Pak rovněž $f\phi \in \D (\R^n)$ \end{remark} Abychom získali jistou intuici a vhled do dané problematiky, předběžně definujme zobecněné funkce $\D' (\R^1)$. Tuhle definici později zpřesníme a zobecníme. \begin{define} Nechť $f$ je reálná, resp. komplexní funkce reálné proměnné. Nechť dále $$\exists \displaystyle \int_{\left[a,b \right]}f(x)\phi(x)\dd x < +\infty , \: \forall \left[a,b \right] , \: \forall \phi \in \D(\R^1).$$ Pak nazvěme $f$ {\bf zobecněnou funkcí}. \noindent {\bf Akcí testovací funkce $\phi$ na $f$} rozumíme $$\left(f,\phi\right) := \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x , \: \forall \phi \in \D(\R^1)$$. \end{define} \begin{remark} Zkuste najít množinu funkcí $f$ tak, aby definice zobecněných funkce (výše) byla rozumná. \end{remark} \begin{theorem}[ilustrativní, jednoduchá] Nechť $f, \ g$ jsou spojité reálné funkce reálné proměnné a nechť dále akce libovolné testovací funkce $\phi$ na $f$ a $g$ jsou shodné, tj. $\displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x = \displaystyle \int_\R g(x)\phi(x)\dd x$. Pak $f=g$. \begin{remark} Tahle věta nám má ukázat, že dává smysl testovat funkce pomocí testovacích funkcí. \end{remark} \begin{proof} Tvrzení dokážeme sporem. Pro ten předpokládejme, že $\exists x_0$ takové, že $f(x_0)\neq g(x_0)$. Pak víme, že $\int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi \dd x = 0$. Ze spojitosti funkcí $f$ a $g$ plyne existence okolí $U_{x_0}$ takového, že $\forall x \in U_{x_0}$ je BÚNO $\f(x) > g(x)$. \end{proof} \end{theorem}