02LIAG:Kapitola1: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
m |
||
Řádka 73: | Řádka 73: | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
− | + | L_g^*\circ [X,Y] = L_g^*\circ X\circ Y - L_g^*\circ Y\circ X = X\circ L_g^*\circ Y - Y\circ L_g^*\circ X = X\circ Y\circ L_g^* - Y\circ X\circ L_g^* = [X,Y]\circ L_g^* | |
\end{align*} | \end{align*} | ||
\end{proof} | \end{proof} |
Aktuální verze z 5. 8. 2016, 17:02
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02LIAG
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02LIAG | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 20:54 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Hazalmat | 7. 7. 2016 | 06:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Hazalmat | 10. 7. 2016 | 21:12 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvod | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 21:12 | LIAG_Kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Definice Lieovy grupy a Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:02 | LIAG_Kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Vztah mezi Lieovou grupou a její algebrou | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:27 | LIAG_Kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Nástin teorie integrabilních distribucí | Hazalmat | 30. 7. 2016 | 14:10 | LIAG_Kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Akce grupy na varietě | Hazalmat | 17. 7. 2016 | 19:23 | LIAG_Kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Reprezentace Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 17:21 | LIAG_Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Souvislost Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 18:51 | LIAG_Kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 01:06 | LIAG_Kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Cartanova kritéria | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:29 | LIAG_Kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Klasifikace pomocí kořenů | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:34 | LIAG_Kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Kořenové diagramy, Cartanova martice | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 15:32 | LIAG_Kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Dynkinovy diagramy | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:39 | LIAG_Kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Reálné formy komplexních poloprostých algeber | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 23:39 | LIAG_Kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Význam kompaktních Lieových grup | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 23:45 | LIAG_Kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Reprezentace poloprostých Lieových algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 12:45 | LIAG_Kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Spinorové reprezentace | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 20:38 | LIAG_Kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Symetrie v QM | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 21:21 | LIAG_Kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Cvičení | Hazalmat | 6. 8. 2016 | 03:42 | LIAG_Kapitola17.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:liag-1.pdf | liag-1.pdf |
Image:su3_1.pdf | su3_1.pdf |
Image:su3_2.pdf | su3_2.pdf |
Image:su3_3.pdf | su3_3.pdf |
Image:su3_4.pdf | su3_4.pdf |
Image:su3_5.pdf | su3_5.pdf |
Image:su3_6.pdf | su3_6.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Definice Lieovy grupy a Lieovy algebry} \Def{ \textbf{Lieova grupa} je diferencovatelná varieta $G$ vybavená navíc zobrazením $\cdot : G \times G \to G$ takovým, že $(G,\cdot )$ je grupa a zobrazení $\cdot$ a $(\cdot )^{(-1)}$ jsou hladká. } \Pzn{ Podle V. Hilbertova problěmu postačuje $\cdot$ a $(.)^{-1}$ spojité, $G$ topologický prostor lokálně homomorfní $\R^n$, z toho už plyne hladkost. Bez důkazu. } \Prl{ $G=GL(n,\R )=\{A \in \R^{n,n} | \det A \neq 0 \}$ je Lieova grupa ($\cdot$ je násobení matic ), $\dim GL(n,\R)=n^2$. } Zobrazení $\det : \R^{n,n} \to \R$ je $\Cs^{\infty}(\R^{n,n} , \R )$, $G$ je tedy podmnožina $\R^{n,n}$ a varieta protože platí $G=\det^{(-1)}(\R \setminus \{0\})=GL(n,\R)^{\circ}$. Podmínka hladkosti na $\cdot$ a $()^{-1}$ plyne z~$\T{(AB)}{^i_j}=\T{A}{^i_k}\T{B}{^k_j}$ a $A^{-1}=\frac{1}{\det A} A^{\mathrm{adj}}$. \Pzn{ $GL(n,\C)\subset \C^{n,n}=\C^{n\cdot n}=\R^{2n\cdot n}, \dim GL(n,\C)=2n^2$ } \Def{ \textbf{Maticové Lieovy grupy} jsou podgrupy $GL(n,\R)$ nebo $GL(n,\C)$.\footnote{ S~grupami, které nejsou maticové se v~LIAG přímo nesetkáme, ale že tento pojem není prázdný ukazuje existence Lieovy grupy, která není maticová (viz \texttt{http://en.wikipedia.org/wiki/Metaplectic\_group}). } } \Prl{ $SL(n,\R)=\{A \in GL(n,\R) | \det A=1 \}$ je maticová Lieova grupa. } Splnění podmínky pro varietu je přímo vidět z~rovnice $\sum_{\pi \in S_n}\mrm{sgn} \pi \prod_{i=1}^n A_{i, \pi (i)}=1$ ($A_{ij}$ značí prvky matice $A$). Pro $n=2$ lze změnou báze převést podmínku dokonce na kvadriku $x_1^2+x_2^2-x_3^2-x_4^2-1=0$ v~$\R^4$. Že se jedná o podgrupu je zřejmé z~$\det (AB^{-1})=\frac{\det A}{\det B}=1$, tj. $AB^{-1}\in SL(n,\R )$. \Pzn{ Význačné difeomorfismy na $G$ jsou pro $g\in G$ $L_g , R_g : G \to G$ definované $L_g h=gh$, $R_gh=hg$, $\forall h \in G$. Nazývají se \textbf{levé} a \textbf{pravé translace}. } \Def{ \textbf{Levoinvariantní} a \textbf{pravoinvariatní vektorová pole} $X \in \Xs (G)$ jsou vektorová pole splňující $X=L_{g*}X$, $X=R_{g*}X$. } \Pzn{ Bodově předchozí definice znamená $X|_{gh}=L_{g*}(X|_h)$, resp. $X|_{hg}=R_{g*}(X|_h)$, $\forall g,h \in G$. } \Pzn{ Levoinvariantní vektorové pole je jednoznačne určeno tečnými vektory v libovolném pevně zvoleném bodě $g\in G$ (obvykle se volí $e$), tj. $\zuz{X}{g}=L_{g*}(\zuz{X}{e} )$ protože $L_g\cdot L_h=L_{gh}$, $L_{g*}\cdot L_{h*}=L_{gh*}$. } \Vet{ Vektorový prostor levoinvariantních vektorových polí $\g \subset\subset \Xs(G)$ je izomorfní $T_eG$, tj. $\g\simeq T_eG$. } \begin{proof} Mějme $\tilde{X}\in T_eG$, pak $X:G\to TG$, $X(g)=L_{g*}(\tilde{X})$, tj. $X_g\in T_gG$. Použitím \begin{align*} \gamma:(a,b)\subset\R\to G, a<0<b,\dot{\gamma}(0)=\tilde{X} \rimpl \varphi(g,t)=g\cdot\gamma(t)=L_g(\gamma(t))\in \Cs^{\infty} \end{align*} je díky hladkosti $\varphi$ vidět, že $X(g)=\zuz{\td{}{t}}{t=0}\varphi(g,t)\in T_gG$ závisí na $g$ hladce: \begin{align*} \zuz{\td{}{t}}{t=0}\varphi(g,t)=\zuz{\td{}{t}}{t=0}L_g(\gamma(t))=L_{g*}\zuz{\td{}{t}}{t=0}\gamma(t)=L_{g*}(\tilde{X}) \end{align*} \end{proof} Při výpočtech tak mohou vzniknout nejasnosti ve značení, kdy symbolem $X \in \g$ můžeme značit vektorové pole na $G$ nebo pouze vektor z~$T_eG$. V~příkladech, kde budeme tyto pojmy ilustrovat v~praxi, budeme tyto pojmy rozlišovat. (Obvykle $X$ vektorové pole, $X|_g$ vektor v~bodě $g$, $X(g)$ jeho složky). Jinak budeme za prvky $\g$ považovat vektory z~$T_eG$, protože je s~nimi jednodušší práce než s~vektorovými poli (v~případě maticových grup se výpočty zjednoduší na počítání s maticemi). \Pzn{ Připomenutí, kotečné zobrazení působí na funkce $(\phi^*f)(p)=(f \circ \phi ) (p)$. Lze tak ekvivalentně definovat tečné zobrazení $(\phi_* X)(f)=X(\phi^*f)$. } \Vet{ Levoinvariantní pole splňuje $L_g^* \circ X = X \circ L_g^*$. } \begin{proof} Pro $\psi:M\to N$, $p\in M$, $X\in T_pM$, $f\in C^{\infty}(N)$ platí: \begin{align*} \psi_*(X)f=X(f\circ\psi)=X(\psi^*(f))=(X\circ\psi^*)f. \end{align*} Tudíž pro $L_{g*}$, $X\in\g$ platí: \begin{align*} L_{g*}(\zuz{X}{h})f &= (\zuz{X}{h}\circ L_g^*)f = \left((X\circ L_g^*)f\right)(h) \\ &= \zuz{X}{gh}f = (Xf)(gh) = (Xf)(L_gh) = \left(L_g^*(X(f))\right)(h) = \left((L_g^*\circ X)f\right)(h) \end{align*} $\Rightarrow\qquad X\circ L_g^*=L_g^*\circ X$. \end{proof} \Dsl{ $L_g^*\circ [X,Y]=[X,Y] \circ L_g^*$. } \begin{proof} \begin{align*} L_g^*\circ [X,Y] = L_g^*\circ X\circ Y - L_g^*\circ Y\circ X = X\circ L_g^*\circ Y - Y\circ L_g^*\circ X = X\circ Y\circ L_g^* - Y\circ X\circ L_g^* = [X,Y]\circ L_g^* \end{align*} \end{proof} \Def{ $\g=\{X\in \Xs (G) | X=L_{g*}X \}$ nazýváme \textbf{Lieova algebra Lieovy grupy} $G$. } \Def{ \textbf{Lieova algebra} $(A,\oplus,\odot, [\cdot , \cdot])$ je vektorový prostor $(A,\oplus,\odot)$ vybavený bilineárním zobrazením $[\cdot , \cdot] :A \times A \to A$ splňujícím: \begin{enumerate} \item $[X,Y]=-[Y,X]$, $\forall X,Y\in A$, \item $\left[[X,Y],Z\right]+\left[[Y,Z],X\right]+\left[[Z,X],Y\right]=0$, $\forall X,Y,Z \in A$ (Jacobiho identita). \end{enumerate} $[\cdot , \cdot]$ se nazývá \textbf{Lieova závorka}. } \Def{ Uvažujme bázi $(X_i)$ prostoru $A$, $[\cdot , \cdot ]$ je určena působením na bazické vektory, $[X_i , X_j]=\T{c}{_{ij}^k}X_k$. $\T{c}{_{ij}^k}$ se nazývají \textbf{strukturní konstanty}, splňují \begin{align} \T{c}{_{ij}^k}=-\T{c}{_{ji}^k} \,, && \T{c}{_{il}^m}\T{c}{_{jk}^l}+\T{c}{_{jl}^m}\T{c}{_{ki}^l}+\T{c}{_{kl}^m}\T{c}{_{ij}^l}=0 \,. \end{align} } \Pzn{ Pro maticové Lieovy grupy jsou Lieovy algebry vektorové prostory matic odpovídající dimenze a Lieova závorka je komutátor matic. Tečné vektory z~$\gl$ jsou v~souřadnicovém zápisu $X_i^j \partial^i_j|_e$ (standardní báze v~$GL$). U maticových grup tak máme navíc operaci skládání prvků z~$\gl$ a dokonce můžeme i násobit prvky z $\gl$ a $GL$. Ukáže se, že v~praktických výpočtech si tím usnadníme dost práce oproti obecným Lieovým grupám a algebrám, kde takové operaco vůbec k~dispozici nemáme. } \Prl{ \label{grupa Af(1)} Afinní transformace $Af(1)$ na $\R$. $Af(1)=(\R^+ \times \R, (x,y)(\tilde{x},\tilde{y})=(x\tilde{x},x\tilde{y}+y) )$. Tato struktura lze zapsat maticově (operace násobení matic) $ Af(1)= \left\lbrace \left(\begin{smallmatrix} x & y \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right), x \in \R_+ ,y \in \R \right\rbrace $. } Lieova algebra se určí z~požadavku na levoinvariantnost obecného vektorového pole v~$e=(1,0)$, tj. uvažujeme pole ve tvaru $X|_e=\alpha \partial_x|_e +\beta \partial_y|_e$. Aplikováním tohoto požadavku \begin{align*} \zuz{X}{(a,b)}f=L_{(a,b)*}\zuz{X}{(1,0)}f=\left(\alpha\pd{}{x}+\beta\pd{}{y}\right)\zuz{f(ax,ay+b)}{(x,y)=(1,0)}=a\left(\alpha\pd{}{x}\zuz{f(x,y)}{(a,b)}+\beta\pd{}{y}\zuz{f(x,y)}{(a,b)}\right) \end{align*}, zjistíme, že $X=\alpha x \partial_x+\beta x \partial_y$. Tedy Lieova algebra je $\mathfrak{af}(1)=\mathrm{span}\{ X_1,X_2 \}$, $X_1=x\partial_x$, $X_2=x\partial_y$, protože $[X_1,X_2]=X_2$ je $\mathfrak{af}(1)$ uzavřená a tedy je to skutečně algebra. V~případě matic máme $\mathfrak{af}(1)=T_eAf(1) \ni \left( \begin{smallmatrix} \alpha & \beta \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)$, takže $X_1=\left( \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)$ a $X_2=\left( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)$. \Prl{ \label{Maticove grupy} Maticové grupy. } Uvažme maticovou grupu $G \ni g$ (za souřadnice považujeme složky matice $g^i_j$). Podobně jako v~minulém příkladě najdeme jak vypadá obecné levoinvariantní vektorové pole $X$, které je určeno hodnotou v~$e$, tj. $X|_e= \alpha^i_j \partial^j_i|_e$, v~obecném bodě $X|_g=X^i_j(g)\partial^j_i|_g$. Buď $f\in \Cs^{\infty}(G)$, $f=f(x^i_j)$. Podmínka levoinvariance: \begin{align*} X^i_j(g)\partial^j_i|_g f &= X|_g f =(L_{g*}X|_e) f = X|_e(f \circ L_g) = \alpha^m_l \partial^l_m f(g^i_k x^k_j)= \\ &= \alpha^m_l \left.\pd{f}{x^o_p}\right|_g \pd{(g^o_k x^k_p)}{x^m_l} = \alpha^m_l g^o_k \left.\pd{f}{x^o_p}\right|_g \delta^k_m \delta^l_p = \alpha^k_j g^i_k \left.\pd{f}{x^i_j}\right|_g = g^i_k \alpha^k_j \partial^j_i|_g f. \end{align*} Takže $X^i_j(g)=g^i_k \alpha^k_j$.