02LIAG:Kapitola16: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{02LIAG} | %\wikiskriptum{02LIAG} | ||
− | \section{ | + | \section{Symetrie v QM} |
− | + | V klasické mechanice vede symetrie (invariance teorie vůči transformacím) na integrály pohybu (Teorém Noethorové). | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | V QM symetriím odpovídají infinitezimální generátory jako integŕaly pohybu, ve smyslu operátorů na Hilbertově prostoru $\mathscr{H} \rimpl$Lieova algebra integrálů pohybu, tj operátorů kumutujících s Hamiltoniáneme$\rimpl$operátory reprezentující naši abstraktní Lieovu algebru jsou pozorovatelné reprezentované na $\mathscr{H}$. Pokud daná Lieova algebra je kompaktní, pak reprezentace na $\mathscr{H}$ je direktním součtem konečněrozměrných ireducibilních reprezentací$\rimpl$ v nich máme báze tvořené váhovými vektory. Cartanova podalgebra je tvořena operátory komutujícími s Hamiltonánem. Pokud je jich dostatečně mnoho, máme ÚMP, jejich hodnoty označíme vektory. Váhové vektory jsou pak vektory spřesně určenými hodnotami ÚMP tvořené Cartanovou podalgebrou a Hamiltoniánem. | |
− | + | ||
− | + | \subsection{Izospin} | |
− | &= | + | Proton a neutron se vzhledem k silné interakci chovají stejně. Hypotéza: $p$ a $n$ jsou 2 stavy nukleonu$\rimpl$existuje néjaký vnitřní stupeň volnosti nukleonu, můžeme jej popsat $\C^2 \rimpl \ket{p}=\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right)$ a $\ket{n}=\left(\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right)$. Teorie jaderné interakce je invariantní vůči jejich míchání$\rimpl$může to být $SO(2)\sim U(1)$ nebo libovolná $SU(2)$. Zkusíme tedy $SU(2)$, $2$-rozměrnou reprezentaci $\mfrk{su}(2) = \mfrk{so}(3) \rimpl$dvojznačná reprezentace $SO(3)\rimpl$spin jen ve vnitřním Hilbertově prostoru (nesouvisející s prostoročasem, momentem hybnosti), izotropický spin $\equiv$ izospin, $I^2,I_3$: |
− | + | \begin{align*} | |
− | + | &I^2\ket{p} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2} + 1 \right) \ket{p} && I_3\ket{p} = \frac{1}{2}\ket{p} &&\text{náboj: }Q = I_3 + \frac{1}{2} \\ | |
+ | &I^2\ket{n} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2} + 1 \right) \ket{n} && I_3\ket{n} = -\frac{1}{2}\ket{n} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | Postupně se objevily další částice: antinukleony, piony$\rimpl$barionové číslo $B$ (počet nukleonů). Pionům se přiřadila vektorová repreezntace izospinové grupy $SO(3)$, tj. $l=1,\ m=-1,0,1$. | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | &Q = I_3 +\frac{1}{2}B \left\{ | ||
+ | \begin{array}{ll} | ||
+ | \text{nukleony: } &B=1,\ Q \in \{0,1\}\\ | ||
+ | \text{piony: } &B=0,\ \sigma{I_3}= \{-1,0,1\} \rimpl Q \in \{-1,0,1\}\\ | ||
+ | \text{antinukleony: } &B=-1,\ \sigma(I_3) = \left\{ \pm\frac{1}{2} \right\} \rimpl Q \in \{ 0,-1 \} | ||
+ | \end{array}\right. \\ | ||
+ | &I_3\text{ je prvek Cartanovy podalgebry }\mfrk{so}(3)_\C \\ | ||
+ | &B\text{ je dán zvolenou reprezentací} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | Pak se objevily Kaony, rozpadající se na známe částice, ale né silně$\quad\to\quad$ nová zachovávající se veličina, podivnost $S\rimpl$Gellmann-Nishijimův vzorec: | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | Q=I_3+\frac{1}{2}Y,\qquad Y = S + B\ \dots\ \text{hypernáboj} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | $\Rightarrow\quad$motivace pokusu spojit $I_3$ a $Y$ do jedné algebry infinitezimálních symetrií, tj hledáme algebru s $2$-dim. Cartanovou podalgebrou (chceme komutující $I_3,Y$). To nefungovalo, dokud se nezkusil předpoklad nukleonů složených z komponent - kvarků, jako vhodná algebra se ukázala $\g = \mfrk{su}(3)$, budeme se jí tedy zabývat. | ||
+ | |||
+ | \subsection{$\mfrk{su}(3)$} | ||
+ | $\mfrk{su}(3)_\C$: | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | I_3 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 \\ | ||
+ | & -1 \\ | ||
+ | && 0 | ||
+ | \end{pmatrix} && Y = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} | ||
+ | 1 \\ | ||
+ | & 1 \\ | ||
+ | && -2 | ||
+ | \end{pmatrix} && \g_0 = \mrm{span}\{ I_3,Y \} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | K(I_3,Y) = 0 && K(I_3,I_3) = c\frac{1}{2} && K(Y,Y) = c\frac{2}{3} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | I_+ = E_{12} = E_\alpha = \begin{pmatrix} | ||
+ | 0 & 1 & 0 \\ | ||
+ | & 0 & 0 \\ | ||
+ | && 0 \\ | ||
+ | \end{pmatrix} && | ||
+ | U_+ = E_{23} = E_\beta = \begin{pmatrix} | ||
+ | 0 & 0 & 0 \\ | ||
+ | & 0 & 1 \\ | ||
+ | && 0 \\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | V_+ = [I_+,U_+] = E_{13} = E_{\alpha+\beta} && I_- = (I_+)^T && U_- = (U_+)^T && V_- = (V_+)^T | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | &[I_+,V_+] = 0 && [U_+,V_+] = 0 && [I_3,Y] = 0 \\ | ||
+ | &[I_3,I_\pm] = \pm I_\pm && [I_3,U_\pm] = \mp\frac{1}{2}U_\pm && [I_3,V_\pm] = \pm\frac{1}{2}V_\pm \\ | ||
+ | &[Y,I_\pm] = 0 && [Y,U_\pm] = \pm U_\pm && [Y,V_\pm] = \pm V_\pm \\ | ||
+ | &[I_+,I_-] = 2I_3 && [U_+,U_-] = \begin{pmatrix} | ||
+ | 0 \\ | ||
+ | & 1 \\ | ||
+ | && -1 | ||
+ | \end{pmatrix} = -I_3 + \frac{3}{2}Y && [V_+,V_-] = I_3 + \frac{3}{2}Y | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | Kořenový diagram: | ||
+ | \begin{figure}[!h] | ||
+ | \centering | ||
+ | \includegraphics[pdf]{su3_1.pdf} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | I_3\ket{\lambda,\mu} = \lambda\ket{\lambda,\mu} && Y\ket{\lambda,\mu} = \mu\ket{\lambda,\mu} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | Definující vektorová reprezentace $\mfrk{su}(3)$ (značí se $3$), je to fundamentální reprezentace $\mfrk{su}(3)_\C = \mfrk{sl}(3)$: | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \ket{u} = \ket{\frac{1}{2},\frac{1}{3}} && \ket{d} = \ket{-\frac{1}{2},\frac{1}{3}} && \ket{s} = \ket{0,-\frac{2}{3}} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | Částice se nazývají kvarky. Váhový diagram: | ||
+ | \begin{figure}[!h] | ||
+ | \centering | ||
+ | \includegraphics[pdf]{su3_2.pdf} | ||
+ | \end{figure} | ||
− | + | \newpage | |
+ | Druhá fundamentální (antifundamentální) reprezentace $\mfrk{su}(3)_\C$ se získá mínus transpozicí: | ||
+ | \begin{figure}[!h] | ||
+ | \centering | ||
+ | \includegraphics[pdf]{su3_3.pdf} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | Značí se $\overline{3}$ a její částice se nazývájí $antikvarky$. | ||
− | + | Vázané stavy kvark-antikvark, $3\otimes\overline{3} = 8 \oplus 1$: | |
− | } | + | \begin{figure}[!h] |
+ | \centering | ||
+ | \includegraphics[pdf]{su3_4.pdf} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \pi^0 = \frac{\ket{u\overline{u}} - \ket{d\overline{d}}}{\sqrt{2}} && | ||
+ | \eta = \frac{\ket{u\overline{u}}+\ket{d\overline{d}}-2\ket{s\overline{s}}}{\sqrt{6}} && | ||
+ | 1 = \mrm{span}\Bigg\{ \underbrace{\frac{\ket{u\overline{u}}+\ket{d\overline{d}}+\ket{s\overline{s}}}{\sqrt{3}}}_{\eta'} \Bigg\} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | \newpage | ||
+ | Reprezentace vedoucí na celočíselné náboje (trojice kvarků), $3\otimes3\otimes3=10\oplus8\oplus8\oplus1$: | ||
+ | \begin{figure}[!h] | ||
+ | \centering | ||
+ | \includegraphics[pdf]{su3_5.pdf} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | |||
+ | $8$: | ||
+ | \begin{figure}[!h] | ||
+ | \centering | ||
+ | \includegraphics[pdf]{su3_6.pdf} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | |||
+ | V době kdy Gellmann vytvořil reorii $\Omega^-$ nebyla známa, později byla potvrzena. | ||
\Pzn{ | \Pzn{ | ||
− | + | Dnes už je tato teorie zastaralá, protože kvarků, tesp. částic je víc, takže současný standardní model je uspořádan jinak. Je to dobré přiblížení pro některé energie. | |
} | } | ||
− | \ | + | \Pzn{ |
− | + | Pozorované Částice odpovídají rozkladům obsahujícím singlet, tj. pozorujeme pouze bezbarvé částice. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
} | } |
Verze z 7. 7. 2016, 06:05
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02LIAG
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02LIAG | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 20:54 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Hazalmat | 7. 7. 2016 | 06:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Hazalmat | 10. 7. 2016 | 21:12 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvod | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 21:12 | LIAG_Kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Definice Lieovy grupy a Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:02 | LIAG_Kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Vztah mezi Lieovou grupou a její algebrou | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:27 | LIAG_Kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Nástin teorie integrabilních distribucí | Hazalmat | 30. 7. 2016 | 14:10 | LIAG_Kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Akce grupy na varietě | Hazalmat | 17. 7. 2016 | 19:23 | LIAG_Kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Reprezentace Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 17:21 | LIAG_Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Souvislost Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 18:51 | LIAG_Kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 01:06 | LIAG_Kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Cartanova kritéria | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:29 | LIAG_Kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Klasifikace pomocí kořenů | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:34 | LIAG_Kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Kořenové diagramy, Cartanova martice | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 15:32 | LIAG_Kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Dynkinovy diagramy | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:39 | LIAG_Kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Reálné formy komplexních poloprostých algeber | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 23:39 | LIAG_Kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Význam kompaktních Lieových grup | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 23:45 | LIAG_Kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Reprezentace poloprostých Lieových algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 12:45 | LIAG_Kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Spinorové reprezentace | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 20:38 | LIAG_Kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Symetrie v QM | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 21:21 | LIAG_Kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Cvičení | Hazalmat | 6. 8. 2016 | 03:42 | LIAG_Kapitola17.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:liag-1.pdf | liag-1.pdf |
Image:su3_1.pdf | su3_1.pdf |
Image:su3_2.pdf | su3_2.pdf |
Image:su3_3.pdf | su3_3.pdf |
Image:su3_4.pdf | su3_4.pdf |
Image:su3_5.pdf | su3_5.pdf |
Image:su3_6.pdf | su3_6.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Symetrie v QM} V klasické mechanice vede symetrie (invariance teorie vůči transformacím) na integrály pohybu (Teorém Noethorové). V QM symetriím odpovídají infinitezimální generátory jako integŕaly pohybu, ve smyslu operátorů na Hilbertově prostoru $\mathscr{H} \rimpl$Lieova algebra integrálů pohybu, tj operátorů kumutujících s Hamiltoniáneme$\rimpl$operátory reprezentující naši abstraktní Lieovu algebru jsou pozorovatelné reprezentované na $\mathscr{H}$. Pokud daná Lieova algebra je kompaktní, pak reprezentace na $\mathscr{H}$ je direktním součtem konečněrozměrných ireducibilních reprezentací$\rimpl$ v nich máme báze tvořené váhovými vektory. Cartanova podalgebra je tvořena operátory komutujícími s Hamiltonánem. Pokud je jich dostatečně mnoho, máme ÚMP, jejich hodnoty označíme vektory. Váhové vektory jsou pak vektory spřesně určenými hodnotami ÚMP tvořené Cartanovou podalgebrou a Hamiltoniánem. \subsection{Izospin} Proton a neutron se vzhledem k silné interakci chovají stejně. Hypotéza: $p$ a $n$ jsou 2 stavy nukleonu$\rimpl$existuje néjaký vnitřní stupeň volnosti nukleonu, můžeme jej popsat $\C^2 \rimpl \ket{p}=\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right)$ a $\ket{n}=\left(\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right)$. Teorie jaderné interakce je invariantní vůči jejich míchání$\rimpl$může to být $SO(2)\sim U(1)$ nebo libovolná $SU(2)$. Zkusíme tedy $SU(2)$, $2$-rozměrnou reprezentaci $\mfrk{su}(2) = \mfrk{so}(3) \rimpl$dvojznačná reprezentace $SO(3)\rimpl$spin jen ve vnitřním Hilbertově prostoru (nesouvisející s prostoročasem, momentem hybnosti), izotropický spin $\equiv$ izospin, $I^2,I_3$: \begin{align*} &I^2\ket{p} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2} + 1 \right) \ket{p} && I_3\ket{p} = \frac{1}{2}\ket{p} &&\text{náboj: }Q = I_3 + \frac{1}{2} \\ &I^2\ket{n} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2} + 1 \right) \ket{n} && I_3\ket{n} = -\frac{1}{2}\ket{n} \end{align*} Postupně se objevily další částice: antinukleony, piony$\rimpl$barionové číslo $B$ (počet nukleonů). Pionům se přiřadila vektorová repreezntace izospinové grupy $SO(3)$, tj. $l=1,\ m=-1,0,1$. \begin{align*} &Q = I_3 +\frac{1}{2}B \left\{ \begin{array}{ll} \text{nukleony: } &B=1,\ Q \in \{0,1\}\\ \text{piony: } &B=0,\ \sigma{I_3}= \{-1,0,1\} \rimpl Q \in \{-1,0,1\}\\ \text{antinukleony: } &B=-1,\ \sigma(I_3) = \left\{ \pm\frac{1}{2} \right\} \rimpl Q \in \{ 0,-1 \} \end{array}\right. \\ &I_3\text{ je prvek Cartanovy podalgebry }\mfrk{so}(3)_\C \\ &B\text{ je dán zvolenou reprezentací} \end{align*} Pak se objevily Kaony, rozpadající se na známe částice, ale né silně$\quad\to\quad$ nová zachovávající se veličina, podivnost $S\rimpl$Gellmann-Nishijimův vzorec: \begin{align*} Q=I_3+\frac{1}{2}Y,\qquad Y = S + B\ \dots\ \text{hypernáboj} \end{align*} $\Rightarrow\quad$motivace pokusu spojit $I_3$ a $Y$ do jedné algebry infinitezimálních symetrií, tj hledáme algebru s $2$-dim. Cartanovou podalgebrou (chceme komutující $I_3,Y$). To nefungovalo, dokud se nezkusil předpoklad nukleonů složených z komponent - kvarků, jako vhodná algebra se ukázala $\g = \mfrk{su}(3)$, budeme se jí tedy zabývat. \subsection{$\mfrk{su}(3)$} $\mfrk{su}(3)_\C$: \begin{align*} I_3 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ & -1 \\ && 0 \end{pmatrix} && Y = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ & 1 \\ && -2 \end{pmatrix} && \g_0 = \mrm{span}\{ I_3,Y \} \end{align*} \begin{align*} K(I_3,Y) = 0 && K(I_3,I_3) = c\frac{1}{2} && K(Y,Y) = c\frac{2}{3} \end{align*} \begin{align*} I_+ = E_{12} = E_\alpha = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ & 0 & 0 \\ && 0 \\ \end{pmatrix} && U_+ = E_{23} = E_\beta = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ & 0 & 1 \\ && 0 \\ \end{pmatrix} \end{align*} \begin{align*} V_+ = [I_+,U_+] = E_{13} = E_{\alpha+\beta} && I_- = (I_+)^T && U_- = (U_+)^T && V_- = (V_+)^T \end{align*} \begin{align*} &[I_+,V_+] = 0 && [U_+,V_+] = 0 && [I_3,Y] = 0 \\ &[I_3,I_\pm] = \pm I_\pm && [I_3,U_\pm] = \mp\frac{1}{2}U_\pm && [I_3,V_\pm] = \pm\frac{1}{2}V_\pm \\ &[Y,I_\pm] = 0 && [Y,U_\pm] = \pm U_\pm && [Y,V_\pm] = \pm V_\pm \\ &[I_+,I_-] = 2I_3 && [U_+,U_-] = \begin{pmatrix} 0 \\ & 1 \\ && -1 \end{pmatrix} = -I_3 + \frac{3}{2}Y && [V_+,V_-] = I_3 + \frac{3}{2}Y \end{align*} Kořenový diagram: \begin{figure}[!h] \centering \includegraphics[pdf]{su3_1.pdf} \end{figure} \begin{align*} I_3\ket{\lambda,\mu} = \lambda\ket{\lambda,\mu} && Y\ket{\lambda,\mu} = \mu\ket{\lambda,\mu} \end{align*} Definující vektorová reprezentace $\mfrk{su}(3)$ (značí se $3$), je to fundamentální reprezentace $\mfrk{su}(3)_\C = \mfrk{sl}(3)$: \begin{align*} \ket{u} = \ket{\frac{1}{2},\frac{1}{3}} && \ket{d} = \ket{-\frac{1}{2},\frac{1}{3}} && \ket{s} = \ket{0,-\frac{2}{3}} \end{align*} Částice se nazývají kvarky. Váhový diagram: \begin{figure}[!h] \centering \includegraphics[pdf]{su3_2.pdf} \end{figure} \newpage Druhá fundamentální (antifundamentální) reprezentace $\mfrk{su}(3)_\C$ se získá mínus transpozicí: \begin{figure}[!h] \centering \includegraphics[pdf]{su3_3.pdf} \end{figure} Značí se $\overline{3}$ a její částice se nazývájí $antikvarky$. Vázané stavy kvark-antikvark, $3\otimes\overline{3} = 8 \oplus 1$: \begin{figure}[!h] \centering \includegraphics[pdf]{su3_4.pdf} \end{figure} \begin{align*} \pi^0 = \frac{\ket{u\overline{u}} - \ket{d\overline{d}}}{\sqrt{2}} && \eta = \frac{\ket{u\overline{u}}+\ket{d\overline{d}}-2\ket{s\overline{s}}}{\sqrt{6}} && 1 = \mrm{span}\Bigg\{ \underbrace{\frac{\ket{u\overline{u}}+\ket{d\overline{d}}+\ket{s\overline{s}}}{\sqrt{3}}}_{\eta'} \Bigg\} \end{align*} \newpage Reprezentace vedoucí na celočíselné náboje (trojice kvarků), $3\otimes3\otimes3=10\oplus8\oplus8\oplus1$: \begin{figure}[!h] \centering \includegraphics[pdf]{su3_5.pdf} \end{figure} $8$: \begin{figure}[!h] \centering \includegraphics[pdf]{su3_6.pdf} \end{figure} V době kdy Gellmann vytvořil reorii $\Omega^-$ nebyla známa, později byla potvrzena. \Pzn{ Dnes už je tato teorie zastaralá, protože kvarků, tesp. částic je víc, takže současný standardní model je uspořádan jinak. Je to dobré přiblížení pro některé energie. } \Pzn{ Pozorované Částice odpovídají rozkladům obsahujícím singlet, tj. pozorujeme pouze bezbarvé částice. }