02LIAG:Kapitola16: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{02LIAG}
 
%\wikiskriptum{02LIAG}
  
\section{Cvičení}
+
\section{Symetrie v QM}
\Prl{
+
V klasické mechanice vede symetrie (invariance teorie vůči transformacím) na integrály pohybu (Teorém Noethorové).
$\mfrk{so}(3,\C)\sim\mfrk{sl}(2,\C): [L_3,L_\pm]=\pm L_\pm,\ [L_+,L_-] = 2L_3$,
+
\begin{align*}
+
&\rho(L_3) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, &&
+
\rho(L_+) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, &&
+
\rho(L_-) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \\
+
&\rho(L_3)\ket{\uparrow} = \frac{1}{2}\ket{\uparrow}, && \rho(L_3)\ket{\downarrow} = -\frac{1}{2}\ket{\downarrow}, && \text{váhy: } \pm\frac{1}{2},\ \lambda(L_3) = \frac{1}{2},
+
\end{align*}
+
$\rho:\mfrk{sl}(2,\C) \to \gl\left(D^{1/2}\right),\ D^{1/2} = \mrm{span}\left\{ \ket{\uparrow},\ket{\downarrow} \right\}$ .
+
Tenzorový součin $\rho$ se sebou samou:
+
\begin{align*}
+
(\rho\otimes\rho)(L_3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
+
\end{align*}
+
\begin{align*}
+
&(\rho\otimes\rho)(L_3)\ket{\uparrow\uparrow} = \ket{\uparrow\uparrow} &&
+
(\rho\otimes\rho)(L_3)\ket{\uparrow\downarrow} = \frac{1}{2}\ket{\uparrow\downarrow} -\frac{1}{2}\ket{\uparrow\downarrow} = 0 \\
+
&(\rho\otimes\rho)(L_3)\ket{\downarrow\downarrow} = -\ket{\downarrow\downarrow} &&
+
(\rho\otimes\rho)(L_3)\ket{\downarrow\uparrow} = 0 \\
+
\\
+
&(\rho\otimes\rho)(L_-)\ket{\uparrow\uparrow} = \ket{\downarrow\uparrow} + \ket{\uparrow\downarrow} && (\rho\otimes\rho)(L_-)\big(\ket{\downarrow\uparrow} - \ket{\uparrow\downarrow}\big) = \ket{\downarrow\downarrow} - \ket{\downarrow\downarrow}  = 0\\
+
&(\rho\otimes\rho)(L_-)\ket{\downarrow\downarrow} = 0 && \\
+
\\
+
& (\rho\otimes\rho)(L_+) \dots
+
\end{align*}
+
Váhy: $\pm 2\lambda,0; n_{\pm 2\lambda} = 1,\ n_0 = 2$.
+
}
+
\Prl{
+
$A_l = \mfrk{sl}(l+1,\C)$, kořeny: $\alpha_i = \phi_i - \phi_{i+1},\ \alpha_i(T_j) = a_{ij}$,
+
\begin{align*}
+
a =\begin{pmatrix}
+
2 & -1 & \\
+
-1 & \ddots & \ddots \\
+
& \ddots & \ddots & -1 \\
+
& & -1 & 2
+
\end{pmatrix}, &&
+
\phi_i \begin{pmatrix}
+
\lambda_1 \\
+
& \ddots \\
+
& & \lambda_l
+
\end{pmatrix} = \lambda_i.
+
\end{align*}
+
\begin{align*}
+
\alpha_i(T_j) = a_{ij} = t_{j,i} - t_{j,i+1} \neq 0 \text{ pro } i = j-1,j,j+1
+
\end{align*}
+
\begin{align*}
+
\left.\begin{array}{l}
+
t_{j,j-1} - t_{j,j} = -1 \\
+
t_{j,j} - t_{j,j+1} = 2 \\
+
t_{j,j+1} - t_{j,j+2} = -1 \\
+
\end{array} \right\} \rimpl T_j = \begin{array}{cc}
+
\left(\begin{array}{cccccccc}
+
0 \\
+
& \ddots \\
+
& & 0 \\
+
& & & 1 & \dots & \dots & \dots & \dots \\
+
& & & & -1 \\
+
& & & & & 0 \\
+
& & & & & & \ddots \\
+
& & & & & & & 0 
+
\end{array}\right) &
+
\begin{array}{c}
+
\\ \\ \\ j \\ \\ \\ \\ \\ 
+
\end{array}
+
\end{array}
+
\end{align*}
+
$\lambda_i(T_j) = \delta_{ij}$:
+
\begin{align*}
+
&\lambda_1 \begin{pmatrix}
+
1 \\
+
& -1 \\
+
& & 0 \\
+
& & & \ddots \\
+
& & & & 0
+
\end{pmatrix} = 1, &&
+
\lambda_2 \begin{pmatrix}
+
0 \\
+
& \ddots \\
+
& & 0 \\
+
& & & 1 \\
+
& & & & -1 \\
+
& & & & & 0 \\
+
& & & & & & \ddots \\
+
& & & & & & & 0
+
\end{pmatrix} && \rimpl \lambda_1 = \phi_1 \\
+
&\lambda_2\begin{pmatrix}
+
1 \\
+
& -1 \\
+
& & 0 \\
+
& & & \ddots \\
+
& & & & 0
+
\end{pmatrix} = 0, &&
+
\lambda_2\begin{pmatrix}
+
0 \\
+
& 1 \\
+
& & -1 \\
+
& & & 0 \\
+
& & & & \ddots \\
+
& & & & & 0
+
\end{pmatrix} = 0, \\
+
&\lambda_2 \begin{pmatrix}
+
0 \\
+
& \ddots \\
+
& & 0 \\
+
& & & 1 \\
+
& & & & -1 \\
+
& & & & & 0 \\
+
& & & & & & \ddots \\
+
& & & & & & & 0
+
\end{pmatrix} &&\rimpl \lambda_2 = \phi_2 + \phi_1
+
\end{align*}
+
$\Rightarrow\quad \lambda_i = \phi_1 + \dots + \phi_i$. Je vidět že pak platí $\lambda_i(T_j) = \delta_{ij}$.
+
  
Mějme standardní bázi $(e_j),\ D \in \g_0,\ \ De_j = \left(\begin{smallmatrix} d_1 \\ & \ddots \\ && d_l \end{smallmatrix} \right) e_j = d_je_j$, váhy $\{ \phi_1,\dots,\phi_{l+1} \},\ \phi_{l+1} = -(\phi_1 + \dots + \phi_l)$, lze zapsat jako $\{ \phi_1, \phi_1 - \alpha_1, \phi_1 - \alpha_1 - \alpha_2, \dots,\phi_1 - \alpha_1 - \dots 0 \alpha_l \}$. Nejvyšší váha je $\phi_1 = \lambda_1$, násobnosti $1$, $\dim\rho_1 = l+1$. $\rho_1 \land \rho_1$:
+
V QM symetriím odpovídají infinitezimální generátory jako integŕaly pohybu, ve smyslu operátorů na Hilbertově prostoru $\mathscr{H} \rimpl$Lieova algebra integrálů pohybu, tj operátorů kumutujících s Hamiltoniáneme$\rimpl$operátory reprezentující naši abstraktní Lieovu algebru jsou pozorovatelné reprezentované na $\mathscr{H}$. Pokud daná Lieova algebra je kompaktní, pak reprezentace na $\mathscr{H}$ je direktním součtem konečněrozměrných ireducibilních reprezentací$\rimpl$ v nich máme báze tvořené váhovými vektory. Cartanova podalgebra je tvořena operátory komutujícími s Hamiltonánem. Pokud je jich dostatečně mnoho, máme ÚMP, jejich hodnoty označíme vektory. Váhové vektory jsou pak vektory spřesně určenými hodnotami ÚMP tvořené Cartanovou podalgebrou a Hamiltoniánem.
\begin{align*}
+
 
(\rho_1 \land \rho_1)(e_i \land e_j) &= (D \otimes \mathbb{1} + \mathbb{1} \otimes D)(e_i \otimes e_j - e_j \otimes e_i) = \\
+
\subsection{Izospin}
&= d_ie_i \otimes e_j - d_je_j \otimes e_i + e_i \otimes d_je_j - e_j \otimes d_ie_i = (d_i+d_j)(e_i \land e_j),
+
Proton a neutron se vzhledem k silné interakci chovají stejně. Hypotéza: $p$ a $n$ jsou 2 stavy nukleonu$\rimpl$existuje néjaký vnitřní stupeň volnosti nukleonu, můžeme jej popsat $\C^2 \rimpl \ket{p}=\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right)$ a $\ket{n}=\left(\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right)$. Teorie jaderné interakce je invariantní vůči jejich míchání$\rimpl$může to být $SO(2)\sim U(1)$ nebo libovolná $SU(2)$. Zkusíme tedy $SU(2)$, $2$-rozměrnou reprezentaci $\mfrk{su}(2) = \mfrk{so}(3) \rimpl$dvojznačná reprezentace $SO(3)\rimpl$spin jen ve vnitřním Hilbertově prostoru (nesouvisející s prostoročasem, momentem hybnosti), izotropický spin $\equiv$ izospin, $I^2,I_3$:
\end{align*}
+
\begin{align*}
váhy: $\{ \phi_i + \phi_j | i \neq j \},\ \dim \rho\land\rho = \binom{l+1}{2}$, nejvyšší je $\phi_1 + \phi_2$.
+
&I^2\ket{p} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2} + 1 \right) \ket{p} && I_3\ket{p} = \frac{1}{2}\ket{p} &&\text{náboj: }Q = I_3 + \frac{1}{2} \\
 +
&I^2\ket{n} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2} + 1 \right) \ket{n} && I_3\ket{n} = -\frac{1}{2}\ket{n}
 +
\end{align*}
 +
Postupně se objevily další částice: antinukleony, piony$\rimpl$barionové číslo $B$ (počet nukleonů). Pionům se přiřadila vektorová repreezntace izospinové grupy $SO(3)$, tj. $l=1,\ m=-1,0,1$.
 +
\begin{align*}
 +
&Q = I_3 +\frac{1}{2}B \left\{
 +
\begin{array}{ll}
 +
\text{nukleony: } &B=1,\ Q \in \{0,1\}\\
 +
\text{piony: } &B=0,\ \sigma{I_3}= \{-1,0,1\} \rimpl Q \in \{-1,0,1\}\\
 +
\text{antinukleony: } &B=-1,\ \sigma(I_3) = \left\{ \pm\frac{1}{2} \right\} \rimpl Q \in \{ 0,-1 \}
 +
\end{array}\right. \\
 +
&I_3\text{ je prvek Cartanovy podalgebry }\mfrk{so}(3)_\C \\
 +
&B\text{ je dán zvolenou reprezentací}
 +
\end{align*}
 +
Pak se objevily Kaony, rozpadající se na známe částice, ale né silně$\quad\to\quad$ nová zachovávající se veličina, podivnost $S\rimpl$Gellmann-Nishijimův vzorec:
 +
\begin{align*}
 +
Q=I_3+\frac{1}{2}Y,\qquad Y = S + B\ \dots\ \text{hypernáboj}
 +
\end{align*}
 +
$\Rightarrow\quad$motivace pokusu spojit $I_3$ a $Y$ do jedné algebry infinitezimálních symetrií, tj hledáme algebru s $2$-dim. Cartanovou podalgebrou (chceme komutující $I_3,Y$). To nefungovalo, dokud se nezkusil předpoklad nukleonů složených z komponent - kvarků, jako vhodná algebra se ukázala $\g = \mfrk{su}(3)$, budeme se jí tedy zabývat.
 +
 
 +
\subsection{$\mfrk{su}(3)$}
 +
$\mfrk{su}(3)_\C$:
 +
\begin{align*}
 +
I_3 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
 +
1 \\
 +
& -1 \\
 +
&& 0
 +
\end{pmatrix} && Y = \frac{1}{3} \begin{pmatrix}
 +
1 \\
 +
& 1 \\
 +
&& -2
 +
\end{pmatrix} && \g_0 = \mrm{span}\{ I_3,Y \}
 +
\end{align*}
 +
\begin{align*}
 +
K(I_3,Y) = 0 && K(I_3,I_3) = c\frac{1}{2} && K(Y,Y) = c\frac{2}{3}
 +
\end{align*}
 +
\begin{align*}
 +
I_+ = E_{12} = E_\alpha = \begin{pmatrix}
 +
0 & 1 & 0 \\
 +
& 0 & 0 \\
 +
&& 0 \\
 +
\end{pmatrix} &&
 +
U_+ = E_{23} = E_\beta = \begin{pmatrix}
 +
0 & 0 & 0 \\
 +
& 0 & 1 \\
 +
&& 0 \\
 +
\end{pmatrix}
 +
\end{align*}
 +
\begin{align*}
 +
V_+ = [I_+,U_+] = E_{13} = E_{\alpha+\beta} && I_- = (I_+)^T && U_- = (U_+)^T && V_- = (V_+)^T
 +
\end{align*}
 +
\begin{align*}
 +
&[I_+,V_+] = 0 && [U_+,V_+] = 0 && [I_3,Y] = 0 \\
 +
&[I_3,I_\pm] = \pm I_\pm && [I_3,U_\pm] = \mp\frac{1}{2}U_\pm && [I_3,V_\pm] = \pm\frac{1}{2}V_\pm \\
 +
&[Y,I_\pm] = 0 && [Y,U_\pm] = \pm U_\pm && [Y,V_\pm] = \pm V_\pm \\
 +
&[I_+,I_-] = 2I_3 && [U_+,U_-] = \begin{pmatrix}
 +
0 \\
 +
& 1 \\
 +
&& -1
 +
\end{pmatrix} = -I_3 + \frac{3}{2}Y && [V_+,V_-] = I_3 + \frac{3}{2}Y
 +
\end{align*}
 +
Kořenový diagram:
 +
\begin{figure}[!h]
 +
\centering
 +
\includegraphics[pdf]{su3_1.pdf}
 +
\end{figure}
 +
\begin{align*}
 +
I_3\ket{\lambda,\mu} = \lambda\ket{\lambda,\mu} && Y\ket{\lambda,\mu} = \mu\ket{\lambda,\mu}
 +
\end{align*}
 +
Definující vektorová reprezentace $\mfrk{su}(3)$ (značí se $3$), je to fundamentální reprezentace $\mfrk{su}(3)_\C = \mfrk{sl}(3)$:
 +
\begin{align*}
 +
\ket{u} = \ket{\frac{1}{2},\frac{1}{3}} && \ket{d} = \ket{-\frac{1}{2},\frac{1}{3}} && \ket{s} = \ket{0,-\frac{2}{3}}
 +
\end{align*}
 +
Částice se nazývají kvarky. Váhový diagram:
 +
\begin{figure}[!h]
 +
\centering
 +
\includegraphics[pdf]{su3_2.pdf}
 +
\end{figure}
 
 
Pro $\rho^{\land j}$ jsou váhy $\left\{ \phi_{i_1} + \dots + \phi_{i_j} \middle| i_1 < \dots < i_j \right\},\ \dim\rho^{\land j} = \binom{l+1}{j}$, nejvyšší váha $\lambda_j = \phi_1 + \dots + \phi_j$.
+
\newpage
 +
Druhá fundamentální (antifundamentální) reprezentace $\mfrk{su}(3)_\C$ se získá mínus transpozicí:
 +
\begin{figure}[!h]
 +
\centering
 +
\includegraphics[pdf]{su3_3.pdf}
 +
\end{figure}
 +
Značí se $\overline{3}$ a její částice se nazývájí $antikvarky$.
 
 
Pro $\rho^{\land l}$ jsou váhy $\left\{ \sum_{i\neq 1}\phi_i,\dots,\sum_{i\neq l+1}\phi_i \right\} = \{ -\phi_1,\dots,-\phi_{l+1} \} \overset{l\neq 1}{\neq} \{ \phi_1,\dots,\phi_{l+1} \}$. Když $l=1$, pak $\rho^{\land l=1} \simeq \rho$, tj. $\rho^{\land l=1}$ je izomorfní definující reprezentaci.
+
Vázané stavy kvark-antikvark, $3\otimes\overline{3} = 8 \oplus 1$:
}
+
\begin{figure}[!h]
 +
\centering
 +
\includegraphics[pdf]{su3_4.pdf}
 +
\end{figure}
 +
 +
\begin{align*}
 +
\pi^0 = \frac{\ket{u\overline{u}} - \ket{d\overline{d}}}{\sqrt{2}} &&
 +
\eta = \frac{\ket{u\overline{u}}+\ket{d\overline{d}}-2\ket{s\overline{s}}}{\sqrt{6}} &&
 +
1 = \mrm{span}\Bigg\{ \underbrace{\frac{\ket{u\overline{u}}+\ket{d\overline{d}}+\ket{s\overline{s}}}{\sqrt{3}}}_{\eta'} \Bigg\}
 +
\end{align*}
 +
 
 +
\newpage
 +
Reprezentace vedoucí na celočíselné náboje (trojice kvarků), $3\otimes3\otimes3=10\oplus8\oplus8\oplus1$:
 +
\begin{figure}[!h]
 +
\centering
 +
\includegraphics[pdf]{su3_5.pdf}
 +
\end{figure}
 +
 +
$8$:
 +
\begin{figure}[!h]
 +
\centering
 +
\includegraphics[pdf]{su3_6.pdf}
 +
\end{figure}
 +
 +
V době kdy Gellmann vytvořil reorii $\Omega^-$ nebyla známa, později byla potvrzena.
 
\Pzn{
 
\Pzn{
Nechť $\rho$ reprezentace $\g$ na $V$, definujeme $\rho^T: \rho^T(X) = (-\rho(X))^T \rimpl \rho^{\land 1} = \rho^T$.
+
Dnes už je tato teorie zastaralá, protože kvarků, tesp. částic je víc, takže současný standardní model je uspořádan jinak. Je to dobré přiblížení pro některé energie.  
 
}
 
}
\Prl{
+
\Pzn{
$C_l = \mfrk{sp}(2l,\C),\ D \in \g_0,\ \alpha_i(T_j) = a_{ij}$:
+
Pozorované Částice odpovídají rozkladům obsahujícím singlet, tj. pozorujeme pouze bezbarvé částice.
\begin{align*}
+
D = \begin{pmatrix}
+
d_1 \\
+
& \ddots \\
+
&& d_l \\
+
&&& -d_1 \\
+
&&&& \ddots \\
+
&&&&& -d_l
+
\end{pmatrix} && \begin{array}{l}
+
\phi_i(D) = d_i \\
+
\alpha_i = \phi_i - \phi_{i+1} \\
+
\alpha_l = 2\phi_l
+
\end{array}
+
\end{align*}
+
\begin{align*}
+
T_j &= \begin{array}{cc}
+
\left(\begin{array}{ccccccccccccc}
+
0 \\
+
& \ddots \\
+
&& 0 \\
+
&&& 1 & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
+
&&&& -1 \\
+
&&&&& 0 \\
+
&&&&&& \ddots \\
+
&&&&&&& 0 \\
+
&&&&&&&& 1 & \dots & \dots & \dots & \dots  \\
+
&&&&&&&&& -1 \\
+
&&&&&&&&&& 0 \\
+
&&&&&&&&&&& \ddots \\
+
&&&&&&&&&&&& 0 
+
\end{array}\right) &
+
\begin{array}{c}
+
\\
+
\\
+
\\
+
j \\
+
\\
+
\\
+
\\
+
\\
+
\\
+
l+j \\
+
\\
+
\\
+
\\
+
\\
+
\end{array}
+
\end{array}
+
\end{align*}
+
\begin{align*}
+
\left .\begin{array}{l}
+
\alpha_i(T_l) = 0,\ i < l-1 \\
+
\alpha_{l-1}(T_l) = -1 \\
+
\alpha_l(T_l) = 2
+
\end{array} \right\} \rimpl T_l = \begin{array}{cc}
+
\left(\begin{array}{cccccccc}
+
0 \\
+
& \ddots \\
+
&& 0 \\
+
&&& 1 & \dots & \dots & \dots & \dots \\
+
&&&& 0 \\
+
&&&&& \ddots \\
+
&&&&&& 0 \\
+
&&&&&&& 1 \\
+
\end{array}\right) &
+
\begin{array}{c}
+
\\
+
\\
+
\\
+
l \\
+
\\
+
\\
+
\\
+
\\
+
\end{array}
+
\end{array}\\
+
\end{align*}
+
$\lambda_i(T_j) = \delta_{ij} \rimpl \lambda_i = \phi_1 + \dots + \phi_i,\ i \in \hat{l}$. Definující reprezentace má váhy $\{ \phi_1,\dots,\phi_l,\phi_{-1},\dots,\phi_{-l} \},\ \dim = 2l$, nejvyšší váha je $\phi_1$.
+
}
+
\Prl{
+
$D_l = \mfrk{so}(2l,\C)$.
+
\begin{align*}
+
H = \begin{pmatrix}
+
d_1\sigma_2 \\
+
& \ddots \\
+
&& d_l\sigma_2
+
\end{pmatrix} = H(d_1,\dots,d_l) &&
+
(a_{ij}) = \begin{pmatrix}
+
2 & -1 \\
+
-1 & \ddots & \ddots \\
+
& \ddots & 2 & -1 & -1 \\
+
& & -1 & 2 & 0 \\
+
& & -1 & 0 & 2
+
\end{pmatrix}
+
\end{align*}
+
\begin{align*}
+
&\phi_i(H) = d_i && \alpha_i = \phi_i - \phi_{i+1},\ i \leq l-1 \\
+
&T_i = H(0,\dots,0,\underset{i}{1},\underset{i+1}{-1},0,\dots,0),\ i \leq l-1 && \alpha_l = \phi_{l-1}+\phi_l
+
\end{align*}
+
$T_l$:
+
\begin{align*}
+
\left .\begin{array}{rll}
+
\alpha_{l-2}(T_l) &= -1 &= d_{l-2} - d_{l-1} \\
+
\alpha_{l-1}(T_l) &= 0 &= d_{l-1} - d_l \\
+
\alpha_l(T_l) &= 2 &= \phi_{l-1}(T_l) + \phi_l(t_l) = d_{l-1} + d_l
+
\end{array}\right\} \rimpl T_l = H(0,\dots,0,1,1)
+
\end{align*}
+
$\lambda_i(T_j) = \delta_{ij}$:
+
\begin{align*}
+
\lambda_1 &= \phi_1 \\
+
\lambda_i &= \phi_1 + \dots + \phi_i,\ i \leq l-2 \\
+
\lambda_{l-1} &= \frac{1}{2}(\phi_1 + \dots + \phi_{l-1} - \phi_l) \\
+
\lambda_l &= \frac{1}{2}(\phi_1 + \dots + \phi_l)
+
\end{align*}
+
Definující reprezentace má váhy $\{ \phi_1,\dots,\phi_l,-\phi_1,\dots, -\phi_l \}$.
+
}
+
\Prl{
+
$B_l = \mfrk{so}(2l + 1)$.
+
\begin{align*}
+
H = \begin{pmatrix}
+
d_1\sigma_2 \\
+
& \ddots \\
+
&& d_l\sigma_2 \\
+
&&& 0
+
\end{pmatrix} &&
+
(a_{ij}) = \begin{pmatrix}
+
2 & -1 \\
+
-1 & \ddots & \ddots \\
+
& \ddots & 2 & -2 \\
+
&& -1 & 2
+
\end{pmatrix}
+
\end{align*}
+
\begin{align*}
+
&\phi_i(H) = d_i && \alpha_i = \phi_i - \phi_{i+1},\ i \leq l-1 \\
+
&T_i = H(0,\dots,0,\underset{i}{1},\underset{i+1}{-1},0,\dots,0) && \alpha_l = \phi_l
+
\end{align*}
+
$T_l$:
+
\begin{align*}
+
\left.\begin{array}{rl}
+
\alpha_{l-1}(T_l) &= -2 \\
+
\alpha_l(t_l) &= 2
+
\end{array}\right\} \rimpl T_l = H(0,\dots,0,2)
+
\end{align*}
+
$\lambda_i(T_j)=\delta_{ij}$:
+
\begin{align*}
+
\lambda_i &= \phi_1 + \dots + \phi_i,\ i \leq l-1 \\
+
\lambda_l &= \frac{1}{2}(\phi_1 + \dots + \phi_l)
+
\end{align*}
+
 
}
 
}

Verze z 7. 7. 2016, 06:05

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02LIAG

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02LIAGHazalmat 3. 8. 201620:54
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůHazalmat 7. 7. 201606:04
Header editovatHlavičkový souborHazalmat 10. 7. 201621:12 header.tex
Kapitola0 editovatÚvodHazalmat 3. 8. 201621:12 LIAG_Kapitola0.tex
Kapitola1 editovatDefinice Lieovy grupy a Lieovy algebryHazalmat 5. 8. 201617:02 LIAG_Kapitola1.tex
Kapitola2 editovatVztah mezi Lieovou grupou a její algebrouHazalmat 5. 8. 201617:27 LIAG_Kapitola2.tex
Kapitola3 editovatNástin teorie integrabilních distribucíHazalmat 30. 7. 201614:10 LIAG_Kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAkce grupy na varietěHazalmat 17. 7. 201619:23 LIAG_Kapitola4.tex
Kapitola5 editovatReprezentace Lieových grup a algeberHazalmat 4. 8. 201617:21 LIAG_Kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSouvislost Lieových grup a algeberHazalmat 4. 8. 201618:51 LIAG_Kapitola6.tex
Kapitola7 editovatLieovy algebryHazalmat 5. 8. 201601:06 LIAG_Kapitola7.tex
Kapitola8 editovatCartanova kritériaHazalmat 5. 8. 201617:29 LIAG_Kapitola8.tex
Kapitola9 editovatKlasifikace pomocí kořenůHazalmat 5. 8. 201617:34 LIAG_Kapitola9.tex
Kapitola10 editovatKořenové diagramy, Cartanova marticeHazalmat 31. 7. 201615:32 LIAG_Kapitola10.tex
Kapitola11 editovatDynkinovy diagramyHazalmat 5. 8. 201617:39 LIAG_Kapitola11.tex
Kapitola12 editovatReálné formy komplexních poloprostých algeberHazalmat 31. 7. 201623:39 LIAG_Kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVýznam kompaktních Lieových grupHazalmat 31. 7. 201623:45 LIAG_Kapitola13.tex
Kapitola14 editovatReprezentace poloprostých Lieových algeberHazalmat 1. 8. 201612:45 LIAG_Kapitola14.tex
Kapitola15 editovatSpinorové reprezentaceHazalmat 27. 7. 201620:38 LIAG_Kapitola15.tex
Kapitola16 editovatSymetrie v QMHazalmat 27. 7. 201621:21 LIAG_Kapitola16.tex
Kapitola17 editovatCvičeníHazalmat 6. 8. 201603:42 LIAG_Kapitola17.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:liag-1.pdf liag-1.pdf
Image:su3_1.pdf su3_1.pdf
Image:su3_2.pdf su3_2.pdf
Image:su3_3.pdf su3_3.pdf
Image:su3_4.pdf su3_4.pdf
Image:su3_5.pdf su3_5.pdf
Image:su3_6.pdf su3_6.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02LIAG}
 
\section{Symetrie v QM}
V klasické mechanice vede symetrie (invariance teorie vůči transformacím) na integrály pohybu (Teorém Noethorové).
 
V QM symetriím odpovídají infinitezimální generátory jako integŕaly pohybu, ve smyslu operátorů na Hilbertově prostoru $\mathscr{H} \rimpl$Lieova algebra integrálů pohybu, tj operátorů kumutujících s Hamiltoniáneme$\rimpl$operátory reprezentující naši abstraktní Lieovu algebru jsou pozorovatelné reprezentované na $\mathscr{H}$. Pokud daná Lieova algebra je kompaktní, pak reprezentace na $\mathscr{H}$ je direktním součtem konečněrozměrných ireducibilních reprezentací$\rimpl$ v nich máme báze tvořené váhovými vektory. Cartanova podalgebra je tvořena operátory komutujícími s Hamiltonánem. Pokud je jich dostatečně mnoho, máme ÚMP, jejich hodnoty označíme vektory. Váhové vektory jsou pak vektory spřesně určenými hodnotami ÚMP tvořené Cartanovou podalgebrou a Hamiltoniánem. 
 
\subsection{Izospin}
Proton a neutron se vzhledem k silné interakci chovají stejně. Hypotéza: $p$ a $n$ jsou 2 stavy nukleonu$\rimpl$existuje néjaký vnitřní stupeň volnosti nukleonu, můžeme jej popsat $\C^2 \rimpl \ket{p}=\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right)$ a $\ket{n}=\left(\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right)$. Teorie jaderné interakce je invariantní vůči jejich míchání$\rimpl$může to být $SO(2)\sim U(1)$ nebo libovolná $SU(2)$. Zkusíme tedy $SU(2)$, $2$-rozměrnou reprezentaci $\mfrk{su}(2) = \mfrk{so}(3) \rimpl$dvojznačná reprezentace $SO(3)\rimpl$spin jen ve vnitřním Hilbertově prostoru (nesouvisející s prostoročasem, momentem hybnosti), izotropický spin $\equiv$ izospin, $I^2,I_3$:
\begin{align*}
	&I^2\ket{p} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2} + 1 \right) \ket{p} && I_3\ket{p} = \frac{1}{2}\ket{p} &&\text{náboj: }Q = I_3 + \frac{1}{2} \\
	&I^2\ket{n} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2} + 1 \right) \ket{n} && I_3\ket{n} = -\frac{1}{2}\ket{n} 
	\end{align*}
Postupně se objevily další částice: antinukleony, piony$\rimpl$barionové číslo $B$ (počet nukleonů). Pionům se přiřadila vektorová repreezntace izospinové grupy $SO(3)$, tj. $l=1,\ m=-1,0,1$.
\begin{align*}
	&Q = I_3 +\frac{1}{2}B \left\{
	\begin{array}{ll}
		\text{nukleony: } &B=1,\ Q \in \{0,1\}\\
		\text{piony: } &B=0,\ \sigma{I_3}= \{-1,0,1\} \rimpl Q \in \{-1,0,1\}\\
		\text{antinukleony: } &B=-1,\ \sigma(I_3) = \left\{ \pm\frac{1}{2} \right\} \rimpl Q \in \{ 0,-1 \}
		\end{array}\right. \\
	&I_3\text{ je prvek Cartanovy podalgebry }\mfrk{so}(3)_\C \\
	&B\text{ je dán zvolenou reprezentací}	
	\end{align*}
Pak se objevily Kaony, rozpadající se na známe částice, ale né silně$\quad\to\quad$ nová zachovávající se veličina, podivnost $S\rimpl$Gellmann-Nishijimův vzorec: 
\begin{align*}
	Q=I_3+\frac{1}{2}Y,\qquad Y = S + B\ \dots\ \text{hypernáboj}
	\end{align*}
$\Rightarrow\quad$motivace pokusu spojit $I_3$ a $Y$ do jedné algebry infinitezimálních symetrií, tj hledáme algebru s $2$-dim. Cartanovou podalgebrou (chceme komutující $I_3,Y$). To nefungovalo, dokud se nezkusil předpoklad nukleonů složených z komponent - kvarků, jako vhodná algebra se ukázala $\g = \mfrk{su}(3)$, budeme se jí tedy zabývat.
 
\subsection{$\mfrk{su}(3)$}	
$\mfrk{su}(3)_\C$:
\begin{align*}
	I_3 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
		1 \\
		& -1 \\
		&& 0
		\end{pmatrix} && Y = \frac{1}{3}	\begin{pmatrix}
		1 \\
		& 1 \\
		&& -2
		\end{pmatrix} && \g_0 = \mrm{span}\{ I_3,Y \}
	\end{align*}
\begin{align*}
	K(I_3,Y) = 0 && K(I_3,I_3) = c\frac{1}{2} && K(Y,Y) = c\frac{2}{3}
	\end{align*}	
\begin{align*}
	I_+ = E_{12} = E_\alpha = \begin{pmatrix}
		0 & 1 & 0 \\
		& 0 & 0 \\
		&& 0 \\
		\end{pmatrix} &&
	U_+ = E_{23} = E_\beta = \begin{pmatrix}	
		0 & 0 & 0 \\
		& 0 & 1 \\
		&& 0 \\
		\end{pmatrix}
	\end{align*}
\begin{align*}		
		V_+ = [I_+,U_+] = E_{13} = E_{\alpha+\beta} && I_- = (I_+)^T && U_- = (U_+)^T && V_- = (V_+)^T
	\end{align*}	
\begin{align*}
	&[I_+,V_+] = 0 && [U_+,V_+] = 0 && [I_3,Y] = 0 \\
	&[I_3,I_\pm] = \pm I_\pm && [I_3,U_\pm] = \mp\frac{1}{2}U_\pm && [I_3,V_\pm] = \pm\frac{1}{2}V_\pm \\
	&[Y,I_\pm] = 0 && [Y,U_\pm] = \pm U_\pm && [Y,V_\pm] = \pm V_\pm \\
	&[I_+,I_-] = 2I_3 && [U_+,U_-] = \begin{pmatrix}
		0 \\
		& 1 \\
		&& -1 
		\end{pmatrix} = -I_3 + \frac{3}{2}Y && [V_+,V_-] = I_3 + \frac{3}{2}Y
	\end{align*}
Kořenový diagram:
\begin{figure}[!h]
	\centering
	\includegraphics[pdf]{su3_1.pdf}
	\end{figure}
\begin{align*}	
	I_3\ket{\lambda,\mu} = \lambda\ket{\lambda,\mu} && Y\ket{\lambda,\mu} = \mu\ket{\lambda,\mu}
	\end{align*}
Definující vektorová reprezentace $\mfrk{su}(3)$ (značí se $3$), je to fundamentální reprezentace $\mfrk{su}(3)_\C = \mfrk{sl}(3)$:
\begin{align*}
	\ket{u} = \ket{\frac{1}{2},\frac{1}{3}} && \ket{d} = \ket{-\frac{1}{2},\frac{1}{3}} && \ket{s} = \ket{0,-\frac{2}{3}}
	\end{align*}
 Částice se nazývají kvarky. Váhový diagram:
\begin{figure}[!h]
	\centering
	\includegraphics[pdf]{su3_2.pdf}
	\end{figure}
 
\newpage	
Druhá fundamentální (antifundamentální) reprezentace $\mfrk{su}(3)_\C$ se získá mínus transpozicí:
\begin{figure}[!h]
	\centering
	\includegraphics[pdf]{su3_3.pdf}
	\end{figure}
Značí se $\overline{3}$ a její částice se nazývájí $antikvarky$.
 
Vázané stavy kvark-antikvark, $3\otimes\overline{3} = 8 \oplus 1$:
\begin{figure}[!h]
	\centering
	\includegraphics[pdf]{su3_4.pdf}
	\end{figure}
 
\begin{align*}
 	\pi^0 = \frac{\ket{u\overline{u}} - \ket{d\overline{d}}}{\sqrt{2}} && 
 	\eta = \frac{\ket{u\overline{u}}+\ket{d\overline{d}}-2\ket{s\overline{s}}}{\sqrt{6}} &&
 	1 = \mrm{span}\Bigg\{ \underbrace{\frac{\ket{u\overline{u}}+\ket{d\overline{d}}+\ket{s\overline{s}}}{\sqrt{3}}}_{\eta'} \Bigg\}
	\end{align*}
 
\newpage
Reprezentace vedoucí na celočíselné náboje (trojice kvarků), $3\otimes3\otimes3=10\oplus8\oplus8\oplus1$:
\begin{figure}[!h]
	\centering
	\includegraphics[pdf]{su3_5.pdf}
	\end{figure}
 
$8$:	
\begin{figure}[!h]
	\centering
	\includegraphics[pdf]{su3_6.pdf}	
	\end{figure}
 
V době kdy Gellmann vytvořil reorii $\Omega^-$ nebyla známa, později byla potvrzena.
\Pzn{
	Dnes už je tato teorie zastaralá, protože kvarků, tesp. částic je víc, takže současný standardní model je uspořádan jinak. Je to dobré přiblížení pro některé energie. 
	}	
\Pzn{
	Pozorované Částice odpovídají rozkladům obsahujícím singlet, tj. pozorujeme pouze bezbarvé částice.
	}