02LIAG:Kapitola6: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m
m
Řádka 2: Řádka 2:
  
 
\section{Souvislost Lieových grup a algeber}  
 
\section{Souvislost Lieových grup a algeber}  
\Prp{
+
\Prl{
 
Souvislá varieta $M$ je jednoduše souvislá$\quad \Leftrightarrow \quad$její fundamentální grupa $\Pi_1(M)\neq \{0\}  \quad \Leftrightarrow \quad$všechny 1-cykly jsou hranice$\quad \Leftrightarrow \quad$všechny uzavřené křivky lze hladce zdeformovat do bodu, tj. na konstantní zobrazení $S^1 \to x_0 \in M$.
 
Souvislá varieta $M$ je jednoduše souvislá$\quad \Leftrightarrow \quad$její fundamentální grupa $\Pi_1(M)\neq \{0\}  \quad \Leftrightarrow \quad$všechny 1-cykly jsou hranice$\quad \Leftrightarrow \quad$všechny uzavřené křivky lze hladce zdeformovat do bodu, tj. na konstantní zobrazení $S^1 \to x_0 \in M$.
 
}
 
}

Verze z 8. 7. 2016, 21:17

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02LIAG

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02LIAGHazalmat 3. 8. 201620:54
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůHazalmat 7. 7. 201606:04
Header editovatHlavičkový souborHazalmat 10. 7. 201621:12 header.tex
Kapitola0 editovatÚvodHazalmat 3. 8. 201621:12 LIAG_Kapitola0.tex
Kapitola1 editovatDefinice Lieovy grupy a Lieovy algebryHazalmat 5. 8. 201617:02 LIAG_Kapitola1.tex
Kapitola2 editovatVztah mezi Lieovou grupou a její algebrouHazalmat 5. 8. 201617:27 LIAG_Kapitola2.tex
Kapitola3 editovatNástin teorie integrabilních distribucíHazalmat 30. 7. 201614:10 LIAG_Kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAkce grupy na varietěHazalmat 17. 7. 201619:23 LIAG_Kapitola4.tex
Kapitola5 editovatReprezentace Lieových grup a algeberHazalmat 4. 8. 201617:21 LIAG_Kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSouvislost Lieových grup a algeberHazalmat 4. 8. 201618:51 LIAG_Kapitola6.tex
Kapitola7 editovatLieovy algebryHazalmat 5. 8. 201601:06 LIAG_Kapitola7.tex
Kapitola8 editovatCartanova kritériaHazalmat 5. 8. 201617:29 LIAG_Kapitola8.tex
Kapitola9 editovatKlasifikace pomocí kořenůHazalmat 5. 8. 201617:34 LIAG_Kapitola9.tex
Kapitola10 editovatKořenové diagramy, Cartanova marticeHazalmat 31. 7. 201615:32 LIAG_Kapitola10.tex
Kapitola11 editovatDynkinovy diagramyHazalmat 5. 8. 201617:39 LIAG_Kapitola11.tex
Kapitola12 editovatReálné formy komplexních poloprostých algeberHazalmat 31. 7. 201623:39 LIAG_Kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVýznam kompaktních Lieových grupHazalmat 31. 7. 201623:45 LIAG_Kapitola13.tex
Kapitola14 editovatReprezentace poloprostých Lieových algeberHazalmat 1. 8. 201612:45 LIAG_Kapitola14.tex
Kapitola15 editovatSpinorové reprezentaceHazalmat 27. 7. 201620:38 LIAG_Kapitola15.tex
Kapitola16 editovatSymetrie v QMHazalmat 27. 7. 201621:21 LIAG_Kapitola16.tex
Kapitola17 editovatCvičeníHazalmat 6. 8. 201603:42 LIAG_Kapitola17.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:liag-1.pdf liag-1.pdf
Image:su3_1.pdf su3_1.pdf
Image:su3_2.pdf su3_2.pdf
Image:su3_3.pdf su3_3.pdf
Image:su3_4.pdf su3_4.pdf
Image:su3_5.pdf su3_5.pdf
Image:su3_6.pdf su3_6.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02LIAG}
 
\section{Souvislost Lieových grup a algeber} 
\Prl{
	Souvislá varieta $M$ je jednoduše souvislá$\quad \Leftrightarrow \quad$její fundamentální grupa $\Pi_1(M)\neq \{0\}  \quad \Leftrightarrow \quad$všechny 1-cykly jsou hranice$\quad \Leftrightarrow \quad$všechny uzavřené křivky lze hladce zdeformovat do bodu, tj. na konstantní zobrazení $S^1 \to x_0 \in M$.
	}
\Def{
	Buďte $M$, $\overline{M}$ souvislé variety. $\overline{M}$ je \emph{nakrytí} $M$ právě, když $\exists$ $\pi : \overline{M} \to M$ splňující
	\begin{itemize}
		\item $\forall x \in M,\ \exists U = U^\circ,\ \pi^{(-1)}(U)=\bigcup_{\alpha \in \mathcal{I}}U_\alpha,\ U_\alpha = U_{\alpha}^\circ \subset \overline{M},\ U_\alpha \cap U_\beta = \emptyset,\ \forall \alpha\neq\beta$,
		\item $\left. \pi \right\rvert_{U_\alpha}: U_\alpha \to U$ je difeomorfismus.
	\end{itemize}
	}
\Pzn{
	Pojem nakrytí je podrobněji rozebrán ve Feckovi, kapitola 13.3.
	}
\Prl{
	$M=S^1,\ \overline{M}=S^1,\ \Pi(\e^{i\varphi})=\e^{2i\varphi}$ 
	}	
\Prl{
	$M=S^1,\ \overline{M}=\R,\ \Pi(\varphi)=\e^{i\varphi}$
	}	
\Def{
	Nakrytí $\overline{M}$ variety $M$ je \textbf{univerzální} právě, když $\overline{M}$ je jednoduše souvislá.
	}
%\Pzn{	Protože je nakrytí lokální difeomorfismus platí pro Lieovy grupy $G$ a nakrytí $\overline{G}$ vztah $\g \simeq \overline{\g}$.	}
\Pzn{
	Všechna univerzální nakrytí souvislé variety jsou izomorfní.
	}
 
\vspace{1cm}
\textbf{Konstrukce univerzálního nakrytí} \\
 
\Pzn{
	Pro křivky $\gamma_1:\langle 0,1 \rangle \to M,\ \widetilde{\gamma} : \langle 0,1 \rangle \to M,\ \gamma_1(1) = \widetilde{\gamma}(0)$ definujeme:
	\begin{align*}
		\gamma_1 \circ \widetilde{\gamma}: \langle 0,1 \rangle \to M:\gamma_1 \circ \widetilde{\gamma}(t) &= \gamma _1(2t) & 0 \leq t \leq \frac{1}{2} \\
		&= \widetilde{\gamma}(2t) & \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \\
		\gamma^{-1}(t) : \langle 0,1 \rangle \to M : \gamma^{-1}(t) &= \gamma(1-t) & 0 \leq t \leq1
		\end{align*}
	}
$x_0 \in M$ fixní, pak $\overline{M} = \left\{ [\gamma] \middle| \gamma:\langle 0,1 \rangle \to M,\ \gamma(0) = x_0 \right\},\ \gamma \sim \widetilde{\gamma} \Leftrightarrow \left( \gamma(1) = \widetilde{\gamma}(1) \land  \gamma \circ \widetilde{\gamma}^{-1}\right.$ je možno deformovat do $\gamma(t) =x_0 \left. \right)$. Vezmeme jednoduše souvislé okolí $x \in M,\ U_x = U_x^\circ \rimpl \forall y \in U,\ \exists \gamma_{xy}:\langle 0,1 \rangle \to M:\ \gamma_{xy}(0)=x,\ \gamma_{xy}(1) = y,\ \gamma_{xy}(t) \in U_x,\ \forall t \in \langle 0,1 \rangle$. Všechny takové $\gamma_{x,y}$ spojující $x$ a $y$ uvnitř jednoduše souvislého okolí jsou ekvivalentní. Definujeme $\overline{U} \in \overline{M}$ okolí $[\gamma]$ jako $\overline{U} = \left\{ [\gamma \circ \gamma_{xy}] \middle| y \in U_x \right\}$	. Platí tedy $\gamma\circ\gamma_{xy}(0) = x_0,\ \gamma\circ\gamma_{xy}(1) = y. \rimpl$Definujeme-li $\Pi([\gamma]) = \gamma(1) \in M$, pak takto definované $\overline{U}$ je homeomorfní $U_x$.
 
$\Pi$ definujeme jako hladké zobrazení, pomocí $\left( \zuz{\Pi}{\overline{U}} \right)^{-1}$ přeneseme hladkou strukturu a ukážeme že tímto lze definovat hladkou strukturu na $\overline{M}$. O $M$ lze pak dokázat, že je jednoduše souvislé.
 
Je-li $G$ souvislá Lieova grupa, pak na $\overline{G}$ můžeme definovat strukturu Lieovy grupy následovně: $x_0 \equiv e,\ \forall g \in G,\ \gamma_g: \langle 0,1 \rangle \to G,\ \gamma_g(1) = g$,
\begin{itemize}
	\item $\left[ \gamma_g \right] \cdot \left[ \gamma_h \right] \equiv \left[ \gamma_g \cdot L_g(\gamma_h) \right], \ \forall g,h \in G$, kde $L_g(\gamma_h)(t) = g \cdot \gamma_h(t),\ \forall t$
	\item $\overline{e} = \left[ \gamma_e \right],\ \gamma_e(t) = e,\ \forall t$
	\item $\left[ \gamma_g \right]^{-1} = \left[ L_{g^{-1}} \left( \gamma_g^{-1} \right) \right]$
	\item $\Pi \left( \left[ \gamma_g \right] \cdot \left[ \gamma_h \right] \right) = g \cdot h$, tj. $\Pi$ je homomorfizmus grup
	\end{itemize}
$\Rightarrow \quad \g \cong \overline{\g}$, protože okolí počátků jsou difeomorfní	
 
\Vet{
	Ke každé konečněrozměrné Lieově algebře  $\g$ existuje právě jedna souvislá a jednoduše souvislá Lieova grupa $G$ taková, že $\g$ je její Lieova algebra. Všechni ostatní souvislé Lieovy grupy s touto algebrou $g$ jsou nakrývány $G$ a mohou být proto zapsány jako $G/D$, kde D je diskrétní normální podgrupa. Bez důkazu.
	}
\Pzn{
	$D$ normální $\Leftrightarrow gDg^{-1} = D,\ \forall g \in G \rimpl$ pro pevně zvolené $d_0 \in D$ a $\phi : G \to D \subset G : \phi(g) = g_0 d_0 g_0^{-1} \in D$, je $\phi(G)$ souvislá díky tomu, že $G$ je souvislá a $\phi$ hladké. A protože $D$ je diskrétní podmnožina $G \rimpl \phi(g) = d_0,\ \forall g \in G \rimpl gd_0 = d_0g \forall g \in G \rimpl D \subset \Zs (G) = \left\{ h \in G \middle| hg = gh,\ \forall g \in G \right\} \rimpl D$ je Abelovská. 
	}	
	Pomocí předchozích vět máme vyřešen problém všech souvislých $G$ se stejnou $\g$. Teoreticky můžu vždy nalézt univerzální nakrytí a následně ho faktorizovat podle možných $D$ a tím získám všechny $G$.
\Prl{
	Pro $su(2)$ existují právě 2 souvislé Lieovy grupy $SU(2)$ a $SO(3) = SU(2)/_{\{ \mathbb{-1}, \mathbb{1} \}}$.
	}
\Pzn{
	$\rho$ reprezentace $\g$ na $V,\ \mrm{dim}\,V < +\infty \rimpl \rho$ je reprezentace jednoduše souvislé grupy $G$. Zároveň ale pokud $\rho(D) \neq \{ \mathbb{1} \}$, pak nelze skonstruovat $\rho : G/D \to GL(V)$, tj.:
	\begin{itemize}
		\item $\rho (D) = \{ 1 \}$ a máme tedy reprezentaci $G/D$,
		\item nebo $\rho_G (D) \neq \{ 1 \}$ a reprezentaci nemáme (víceznačná reprezentace).
	\end{itemize}
	}