02LIAG:Kapitola2: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 33: | Řádka 33: | ||
$\exp =:\e$ tedy splňuje $\varphi(t)=\e^{tX}$, $\varphi(t+s)=\e^{(t+s)X}=\varphi (t) \varphi (s) =\e^{tX}\e^{sX}$. | $\exp =:\e$ tedy splňuje $\varphi(t)=\e^{tX}$, $\varphi(t+s)=\e^{(t+s)X}=\varphi (t) \varphi (s) =\e^{tX}\e^{sX}$. | ||
} | } | ||
− | |||
\Prl{ | \Prl{ | ||
Exponenciela $\mfrk{af}(1) \to Af(1)$. | Exponenciela $\mfrk{af}(1) \to Af(1)$. | ||
} | } | ||
Hledáme integrální křivky vektorového pole z~příkladu \ref{grupa Af(1)}. Pro libovolné levoinvariantní pole jsou rovnice integrálních křivek $\dot{x}(t)=\alpha x(t)$ a $\dot{y}(t)=\beta x(t)$ s~počátečními podmínkami $(x(0),y(0))=(1,0)$, řešením je $(x(t),y(t))=(\e^{\alpha t}, \frac{\beta}{\alpha}(\e^{\alpha t}-1))$. Exponencielu získáme dosazením $t=1$, tj. $\e^X=\e^{\alpha x \partial_x + \beta x\partial_y}=(\e^{\alpha}, \frac{\beta}{\alpha}(\e^{\alpha}-1))$ (pro $\alpha=0$ vyjde výsledek stejně jako provedením $\lim_{\alpha \to 0}$). | Hledáme integrální křivky vektorového pole z~příkladu \ref{grupa Af(1)}. Pro libovolné levoinvariantní pole jsou rovnice integrálních křivek $\dot{x}(t)=\alpha x(t)$ a $\dot{y}(t)=\beta x(t)$ s~počátečními podmínkami $(x(0),y(0))=(1,0)$, řešením je $(x(t),y(t))=(\e^{\alpha t}, \frac{\beta}{\alpha}(\e^{\alpha t}-1))$. Exponencielu získáme dosazením $t=1$, tj. $\e^X=\e^{\alpha x \partial_x + \beta x\partial_y}=(\e^{\alpha}, \frac{\beta}{\alpha}(\e^{\alpha}-1))$ (pro $\alpha=0$ vyjde výsledek stejně jako provedením $\lim_{\alpha \to 0}$). | ||
− | + | ||
V~maticovém vyjádření je pole | V~maticovém vyjádření je pole | ||
$\left( \begin{smallmatrix} | $\left( \begin{smallmatrix} | ||
Řádka 76: | Řádka 75: | ||
\dot{\gamma}^i_j(t)=\gamma^i_k(t)X^k_j(e), \quad \gamma^i_j(0)=\delta^i_j \,, | \dot{\gamma}^i_j(t)=\gamma^i_k(t)X^k_j(e), \quad \gamma^i_j(0)=\delta^i_j \,, | ||
&& \Leftrightarrow && | && \Leftrightarrow && | ||
− | \dot{\gamma}(t)= \gamma (t) X(e), \quad \gamma (0)=1 \,. | + | \dot{\gamma}(t)= \gamma (t) X(e), \quad \gamma (0)=\mathbbm{1} \,. |
\end{align} | \end{align} | ||
Z~maticového zápisu vidíme, že řešením je maticová exponenciela $\gamma(t)=\e^{t X(e)}$, výsledkem je $\e^{X}=\gamma (1)=\e^{X(e)}$. | Z~maticového zápisu vidíme, že řešením je maticová exponenciela $\gamma(t)=\e^{t X(e)}$, výsledkem je $\e^{X}=\gamma (1)=\e^{X(e)}$. | ||
\Vet{ | \Vet{ | ||
− | $A \in \ | + | $A \in \gl(n,\C)$, potom $\det \e^A=\e^{\Tr A}$. |
} | } | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Řádka 93: | Řádka 92: | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\Vet{ | \Vet{ | ||
− | Buď $G$ Lieova grupa, pak $\exp: \g \to G:X\to \e^{X}$ je lokální difeomorfismus okolí $\vec{0}\in\g$ \emph{na} okolí $\e\in G$. (Toto zobrazení | + | Buď $G$ Lieova grupa, pak $\exp: \g \to G:X\to \e^{X}$ je lokální difeomorfismus okolí $\vec{0}\in\g$ \emph{na} okolí $\e\in G$. (Toto zobrazení není obecně surjektivní ani injektivní na celé $G$). |
} | } | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | $\g$ jako vektorový prostor lze chápat jako varietu, $T_0\g\cong\g \Rightarrow \exp$ je hladké zobrazení variet. $\left.\exp_*\right|_0:\g \to \g, \exp (tX)$ je integrálí křivka procházející $ | + | $\g$ jako vektorový prostor lze chápat jako varietu, $T_0\g\cong\g \Rightarrow \exp$ je hladké zobrazení variet. $\left.\exp_*\right|_0:T_0\g\equiv\g \to \g\equiv T_{\e} G, \exp (tX)$ je integrálí křivka procházející $e$, s tečným vektorem $X\Rightarrow \zuz{\exp_*}{0} = \text{identita}\Rightarrow$ podle věty o inverzní funkci je $\exp$ lokální difeomorfismus. |
Detailně: $\exp:X \to \e^X$ | Detailně: $\exp:X \to \e^X$ | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
− | \exp_*(\left.X\right|_0)f = \lim_{t \to 0}\frac{f(\e^{tX+0})-f(\e^0)}{t} = \lim_{t \to 0}\frac{f(\e^{tX})-f(\e)}{t} \overset{\mrm{def.}}{=} \left.Xf\right|_\e \Rightarrow \exp_*(\left.X\right|_0) = \left.\exp_*(X)\right|_\e = \left.X\right|_\e | + | \exp_*(\left.X\right|_0)f = \lim_{t \to 0}\frac{f(\e^{tX+0})-f(\e^0)}{t} = \lim_{t \to 0}\frac{f(\e^{tX})-f(\e)}{t} \overset{\mrm{def.}}{=} \left.Xf\right|_\e \quad\Rightarrow \\ |
+ | \Rightarrow\quad \exp_*(\left.X\right|_0) = \left.\exp_*(X)\right|_\e = \left.X\right|_\e | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
\end{proof} | \end{proof} |
Verze z 12. 6. 2016, 17:11
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02LIAG
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02LIAG | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 20:54 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Hazalmat | 7. 7. 2016 | 06:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Hazalmat | 10. 7. 2016 | 21:12 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvod | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 21:12 | LIAG_Kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Definice Lieovy grupy a Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:02 | LIAG_Kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Vztah mezi Lieovou grupou a její algebrou | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:27 | LIAG_Kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Nástin teorie integrabilních distribucí | Hazalmat | 30. 7. 2016 | 14:10 | LIAG_Kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Akce grupy na varietě | Hazalmat | 17. 7. 2016 | 19:23 | LIAG_Kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Reprezentace Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 17:21 | LIAG_Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Souvislost Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 18:51 | LIAG_Kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 01:06 | LIAG_Kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Cartanova kritéria | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:29 | LIAG_Kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Klasifikace pomocí kořenů | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:34 | LIAG_Kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Kořenové diagramy, Cartanova martice | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 15:32 | LIAG_Kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Dynkinovy diagramy | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:39 | LIAG_Kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Reálné formy komplexních poloprostých algeber | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 23:39 | LIAG_Kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Význam kompaktních Lieových grup | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 23:45 | LIAG_Kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Reprezentace poloprostých Lieových algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 12:45 | LIAG_Kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Spinorové reprezentace | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 20:38 | LIAG_Kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Symetrie v QM | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 21:21 | LIAG_Kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Cvičení | Hazalmat | 6. 8. 2016 | 03:42 | LIAG_Kapitola17.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:liag-1.pdf | liag-1.pdf |
Image:su3_1.pdf | su3_1.pdf |
Image:su3_2.pdf | su3_2.pdf |
Image:su3_3.pdf | su3_3.pdf |
Image:su3_4.pdf | su3_4.pdf |
Image:su3_5.pdf | su3_5.pdf |
Image:su3_6.pdf | su3_6.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Vztah mezi Lieovou grupou $G$ a její algebrou $\g$} \Def{ (Homomorfismus Lieových grup $G$ a $H$) \begin{itemize} \item \emph{Homomorfismus $G$ a $H$} je libovolné hladké $\phi :G \to H$, $\phi(g\cdot_G h)=\phi(g) \cdot_H \phi(h)$, $\forall g,h \in G$. \item \emph{Izomorfismus $G$ a $H$} je bijektivní homomorfismus s~hladkou inverzí. \end{itemize} } \Def{ \emph{Jednoparametrická podgrupa v~$G$} je homomorfismus $\varphi: (\R,+) \to G$. } \Dsl{ Takže platí $\varphi(s+t)=\varphi(s)\varphi(t)=\varphi(t)\varphi(s)$, tedy nutně $\varphi (0)=e$ } \Prl{ $G$ Maticová grupa $\Rightarrow \dot{g}(t)=g(t)\cdot\underbrace{\dot{g}(0)}_{konst.}=\dot{g}(0)\cdot g(t)=L_{g(t)*}\left(\dot{g}(0)\right)=R_{g(t)*}\left(\dot{g}(0)\right) $ } \Pzn{ Obecně: $g(s+t)=g(t)g(s)\equiv L_{g(t)}g(s) \Rightarrow \underbrace{\dot{g}(t)}_{T_{g(t)}G}=\zuz{\td{}{s}}{0}\left(L_{g(t)}g(s)\right)=L_{g(t)*}\underbrace{\dot{g}(0)}_{T_{\e} G}$ Označíme-li pro $X\in \g$, $\zuz{X}{e}=\dot{g}(0)$, pak $\dot{g}(t)=L_{g(t)*}(\zuz{X}{e})=Xg(t)$ } \Dsl{ Jednoparametrickě podgrupy jsou integrální křivky levoinvariantních vektorových polí, tj. elementů Lieovy algebry, vycházející z~$e$. } \subsubsection*{Exponenciální zobrazení} % Jak jsem zmínili ve větě \ref{ztotozneni g a TeG}, odpovídá prostor levoinvariatních vektorových polí Lieově algebře $T_eG$. Pokud chceme z~daného levoinvariantního pole $X$ získat vektor z~$T_eG$ stačí toto pole vyhodnotit v~$e$, tj. získáme $X|_e \in T_eG$. Na základě integrálních křivek můžeme definovat zobrazení $\g \to G$, které danému vektoru $X|_e \in \g$ přiřadí nějaký bod na příslušné integrální křivce levoinvariantního vektorového pole $X$, ke kterému je $X|_e$ tečným vektorem. \Def{ $\exp : \g \to G$ definujeme $\exp (X) =\varphi (1)$, kde $\varphi$ je integrální křivka $X \in \g$. } \Pzn{ $\exp =:\e$ tedy splňuje $\varphi(t)=\e^{tX}$, $\varphi(t+s)=\e^{(t+s)X}=\varphi (t) \varphi (s) =\e^{tX}\e^{sX}$. } \Prl{ Exponenciela $\mfrk{af}(1) \to Af(1)$. } Hledáme integrální křivky vektorového pole z~příkladu \ref{grupa Af(1)}. Pro libovolné levoinvariantní pole jsou rovnice integrálních křivek $\dot{x}(t)=\alpha x(t)$ a $\dot{y}(t)=\beta x(t)$ s~počátečními podmínkami $(x(0),y(0))=(1,0)$, řešením je $(x(t),y(t))=(\e^{\alpha t}, \frac{\beta}{\alpha}(\e^{\alpha t}-1))$. Exponencielu získáme dosazením $t=1$, tj. $\e^X=\e^{\alpha x \partial_x + \beta x\partial_y}=(\e^{\alpha}, \frac{\beta}{\alpha}(\e^{\alpha}-1))$ (pro $\alpha=0$ vyjde výsledek stejně jako provedením $\lim_{\alpha \to 0}$). V~maticovém vyjádření je pole $\left( \begin{smallmatrix} \alpha & \beta \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)$, platí $\left( \begin{smallmatrix} \alpha & \beta \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)^2 = \left( \begin{smallmatrix} \alpha^2 & \alpha \beta \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)$, \dots , $\left( \begin{smallmatrix} \alpha & \beta \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)^k = \left( \begin{smallmatrix} \alpha^k & \alpha^{k-1} \beta \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)$, takže získáme $\exp \left( \begin{smallmatrix} \alpha & \beta \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}\left( \begin{smallmatrix} \alpha & \beta \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)^n= \left( \begin{smallmatrix} \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\alpha^n}{n!}, & \frac{\beta}{\alpha}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\alpha^n}{n!} \\ 0, &1 \end{smallmatrix} \right)= \left( \begin{smallmatrix} \e^\alpha, & \frac{\beta}{\alpha}(\e^\alpha -1) \\ 0, &1 \end{smallmatrix} \right)$. \Prl{ Exponenciela maticových grup $G$. } Hledáme integrální křivku $\gamma (t)$ levoinvariantního vektorového pole, určenou $X \in \g$. Jak toto pole vypadá víme z~příkladu \ref{Maticove grupy} (značení převezmeme z~tohoto příkladu, tj. $X^i_j(e)=\alpha^i_j$). Máme tak pro složky pole $X^i_j(\gamma (t))=\gamma^i_k(t)X^k_j(e)$. Rovnice pro integrální křivky tohoto pole je \begin{align} \dot{\gamma}^i_j(t)=\gamma^i_k(t)X^k_j(e), \quad \gamma^i_j(0)=\delta^i_j \,, && \Leftrightarrow && \dot{\gamma}(t)= \gamma (t) X(e), \quad \gamma (0)=\mathbbm{1} \,. \end{align} Z~maticového zápisu vidíme, že řešením je maticová exponenciela $\gamma(t)=\e^{t X(e)}$, výsledkem je $\e^{X}=\gamma (1)=\e^{X(e)}$. \Vet{ $A \in \gl(n,\C)$, potom $\det \e^A=\e^{\Tr A}$. } \begin{proof} Předpokládame, že $\exists B$, tak, že $D=BAB^{-1}$ diagonální (diagonalizovatelné matice jsou husté v množine všech matic a obě strany rovnice jsou spojité $\Rightarrow$ platí obecně). \begin{align*} \Tr D = \Tr BAB^{-1} = \Tr AB^{-1}B = \Tr A \end{align*} Platí $\e^{BAB^{-1}} = B\e^AB^{-1}$ z definice pomocí řady, proto $\det\,\e^{D} = \det\,B\det\,B^{-1}\det\,\e^A = \det\,\e^{A}$, a protože $D = \mrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n) \Rightarrow \e^D = \mrm{diag}(\e^{\lambda_1},\dots,\e^{\lambda_n})$, tedy \begin{align*} \det\,\e^D =\prod_{k=1}^{n}\e^{\lambda_k} = \e^{\sum_k \lambda_k} = \exp(\Tr D). \end{align*} \end{proof} \Vet{ Buď $G$ Lieova grupa, pak $\exp: \g \to G:X\to \e^{X}$ je lokální difeomorfismus okolí $\vec{0}\in\g$ \emph{na} okolí $\e\in G$. (Toto zobrazení není obecně surjektivní ani injektivní na celé $G$). } \begin{proof} $\g$ jako vektorový prostor lze chápat jako varietu, $T_0\g\cong\g \Rightarrow \exp$ je hladké zobrazení variet. $\left.\exp_*\right|_0:T_0\g\equiv\g \to \g\equiv T_{\e} G, \exp (tX)$ je integrálí křivka procházející $e$, s tečným vektorem $X\Rightarrow \zuz{\exp_*}{0} = \text{identita}\Rightarrow$ podle věty o inverzní funkci je $\exp$ lokální difeomorfismus. Detailně: $\exp:X \to \e^X$ \begin{align*} \exp_*(\left.X\right|_0)f = \lim_{t \to 0}\frac{f(\e^{tX+0})-f(\e^0)}{t} = \lim_{t \to 0}\frac{f(\e^{tX})-f(\e)}{t} \overset{\mrm{def.}}{=} \left.Xf\right|_\e \quad\Rightarrow \\ \Rightarrow\quad \exp_*(\left.X\right|_0) = \left.\exp_*(X)\right|_\e = \left.X\right|_\e \end{align*} \end{proof} \Pzn{ Pro matice platí: $\exp_*(X)=\left.\td{}{t}(\e^{tX})\right|_{t=0} = \left.\td{}{t}\left(1+tX+O(t^2)\right)\right|_{t=0}$ } %SURJEKTIVITA V~RÁMCI OKOLÍ??? Je zřejmé, že $\exp$ nemůže být \emph{surjektivní} pro grupy s~více komponentami souvislosti (nelze spojit křivkou body z~různých komponent). $\exp$ není obecně \emph{surjektivní} ani pro souvislé $G$, pouze v~případě, že je $G$ kompaktní. \newpage \subsubsection*{Vyšetřování souvislosti variet} \Def{ Buďte $V^k \subset M^n$ dif. variety ($V^k$ podvarieta $M^n$). $V^k$ je \emph{deformační retrakt} $M^n$ právě tehdy, když $\exists$ $r: \langle 0,1 \rangle \times M^n \to M^n$ spojité, takové že \begin{itemize} \item $\forall m \in M$, $r(0,m)=p$, \item $\forall v \in V$, $\forall t \in \langle 0, 1\rangle$: $r(t,v)=v$, \item $\forall m \in M$, $r(1,m) \in V$. \end{itemize} } \Vet{ $V^k$ je deformační retrakt $M^n$, pak \begin{itemize} \item $M$ souvislá $\Leftrightarrow$ $V$ souvislá, \item $M$ jednoduše souvislá $\Leftrightarrow$ $V$ jednoduše souvislá. \end{itemize} } \Pzn{ Souhrnné pojednání o souvislosti námi používaných grup je v~\emph{The American Mathematical Monthly} Vol. 74, No. 8 (Oct., 1967), pp. 964-966.\footnote{ \texttt{http://www.jstor.org/stable/2315278} } } \Vet{ $G$ souvislá Lieova grupa, $\varphi: 0\in U=U^\circ \subset \g \to \varphi(U)=(\varphi (U))^\circ \subset G$ ($e \in \varphi (U)$) difeomorfismus. Pak libovolný $g \in G$ lze zapsat vepsat ve tvaru konečného součinu $g=g_1g_2 \cdots g_k$, kde $g_j\in \varphi (U)$. (V~případě $\varphi =\exp$ umí Vysouš ukázat, že $k=2$.) } \subsubsection*{Tok levoinvariantního vektorového pole} Pro $X \in \g$ je $X|_e \in T_eG$ a $\e^{tX|_e}$ je integrální křivka procházející $e$. Integrální křivka tohoto pole procházející $g$ je $g \e^{t X|_e}$ ($\left.\frac{\dd}{\dd t}\right|_{t=0}g \e^{t X|_e}=L_{g*}\left.\frac{\dd}{\dd t}\right|_{t=0} \e^{t X|_e}=L_{g*}X|_e=X_g$). \Vet{ Tok generovaný levoinvariatním $X$ (tj. $X \in \g =T_eM$) je jednoparametrická grupa pravých translací, tj. \begin{align*} \Phi^t_X(g)=g\e^{tX} && \Leftrightarrow && \Phi^t_X=R_{\e^{tX}} \,. \end{align*} } \Dsl{ $X \in G$, $Y \in \Xs (G)$, $Y \circ R^*_g=R^*_g \circ Y$, potom $[X,Y]=0$. (To znamená, že levoinvariantní a pravoinvariantní pole komutují.) } \Vet{ $M$ dif. varieta, $X,Y \in \Xs (M)$, $\Phi_t$, $\Psi_t$ jejich toky, $p\in M$. Potom \begin{align*} \left.([X,Y]f)\right|_p=\lim_{t \to 0}\frac{f(\sigma (t))-f(p)}{t^2}\,, \end{align*} $\sigma(t)=(\Psi_{-t}\circ \Phi_{-t} \circ \Psi_t \circ \Phi_t \ )(p)$. } \Dsl{ Pro maticové grupy tak platí $[X,Y]|_e=XY-YX$, $\forall X,Y \in \g$ (rozvoj $\exp$). } \Vet{ \label{Veta} $G$ Lieova grupa, $\g$ Lieova algebra, $\h$ podalgebra $\g$. Potom existuje vnořená podvarieta $H \subset G$, taková, že $H$ je podgrupa $G$ a její Lieova algebra je přirozeně izomorfní $\h$. } \Pzn{ Obecně se nejedná o vložení. Uvažujme například $T^2=S^1[\varphi] \times S^1[\vartheta]$. Vektorové pole $X=a\partial_\varphi + b \partial_\vartheta \in \mathfrak{t}^2$, $\h =\mathrm{span} \{ X \}$ a $\frac{a}{b}\not \in \mathbb{Q}$. } Protože $[X,X]=0$ je $\h$ jednorozměrná podalgebra. Pro $\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}$ je křivka na toru uzavřená a jedná se o vložení, pro $\frac{a}{b}\not \in \mathbb{Q}$ ale v~topologii $T^2$ je $\overline{H}=T^2$, tj. nejedná se o vložení.