01MAA3:Kapitola4: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(oprava překlepů a doplnění slova podle) |
m (Opravena malá chyba a vylepšena srozumitelnost.) |
||
Řádka 173: | Řádka 173: | ||
\tilde a_n=\la f(x),\frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}\ra=\int_{-\pi}^\pi f(x)\frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}\dx | \tilde a_n=\la f(x),\frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}\ra=\int_{-\pi}^\pi f(x)\frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}\dx | ||
,\quad | ,\quad | ||
− | \tilde b_n=\la f(x),\frac{\sin(nx)}{\sqrt{\pi}}\ra=\int_{-\pi}^\pi f(x)\frac{\ | + | \tilde b_n=\la f(x),\frac{\sin(nx)}{\sqrt{\pi}}\ra=\int_{-\pi}^\pi f(x)\frac{\sin(nx)}{\sqrt{\pi}}\dx |
\] | \] | ||
Porovnáním s definicí Eulerových vzorců \ref{deffour} vidíme, že se $\tilde a_n$ a $\tilde b_n$ liší od $a_n$ a $b_n$ o násobek $1/\sqrt{\pi}$. To je však normovací konstanta pro funkce $\sin(nx)$ a $\cos(nx)$. Norma těchto funkcí je tedy zahrnuta již v členech $a_n$ a $b_n$, resp. $\tilde a_n=a_n\norm{\cos(nx)}$ a $\tilde b_n=b_n\norm{\sin(nx)}$. | Porovnáním s definicí Eulerových vzorců \ref{deffour} vidíme, že se $\tilde a_n$ a $\tilde b_n$ liší od $a_n$ a $b_n$ o násobek $1/\sqrt{\pi}$. To je však normovací konstanta pro funkce $\sin(nx)$ a $\cos(nx)$. Norma těchto funkcí je tedy zahrnuta již v členech $a_n$ a $b_n$, resp. $\tilde a_n=a_n\norm{\cos(nx)}$ a $\tilde b_n=b_n\norm{\sin(nx)}$. | ||
Řádka 429: | Řádka 429: | ||
\norm{f-T_n}^2\ge\norm{f-F_n}^2\ge 0. | \norm{f-T_n}^2\ge\norm{f-F_n}^2\ge 0. | ||
\] | \] | ||
− | Nejlepší možná aproximace funkce $f$ pomocí $T_n$ je právě $n$-tý částečný součet její Fourierovy řady. | + | Nejlepší možná aproximace funkce $f$ pomocí trigonometrického polynomu $T_n$ je právě $n$-tý částečný součet její Fourierovy řady. |
\end{remark} | \end{remark} | ||
Aktuální verze z 11. 2. 2016, 13:14
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA3
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA3 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:09 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 12:36 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Klinkjak | 9. 9. 2015 | 08:50 | preamble.tex | |
Kapitola1 | editovat | Funkční posloupnosti | Kubuondr | 21. 1. 2017 | 16:45 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Funkční řady | Dedicma2 | 21. 2. 2016 | 23:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola4 | editovat | Trigonometrické řady | Peckaja1 | 11. 2. 2016 | 13:14 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Metrika | Kubuondr | 22. 1. 2017 | 17:32 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Topologie | Kubuondr | 3. 2. 2017 | 21:08 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Spojitost | Kubuondr | 22. 1. 2017 | 18:14 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Kompaktní prostory | Kubuondr | 8. 2. 2017 | 21:51 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Souvislé prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 10:28 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Úplné prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 11:08 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Afinní prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 12:43 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Totální derivace | Kubuondr | 7. 10. 2017 | 17:50 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Derivace vyšších řádů | Kubuondr | 20. 1. 2017 | 09:50 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Lokální extrémy | Klinkjak | 9. 9. 2015 | 13:31 | kapitola14.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA3} \section{Trigonometrické řady} \index{trigonometrická řada} \begin{define} Buďte $\poslo{a_n}$ a $\posl{b_n}$ dvě posloupnosti reálných čísel. Potom řadu \[\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\] nazýváme {\bf trigonometrickou řadou}. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{3pt} \item Díky Moivreově větě je trigonometrická řada vlastně \textit{komplexní} mocninnou řadou. Komplexním mocninným řadám se věnuje poslední kapitola v MAA4. \item Existuje-li $a\in\R$ tak, že trigonometrická řada konverguje na $\left[a,a+2\pi\right)$ resp. $\left( a,a+2\pi \right] $, pak řada konverguje na celém $\R$ a její součtová funkce je periodická s~periodou $2\pi$. \item Díky této periodicitě se můžeme omezit na zkoumání intervalu délky $2\pi$. Obvykle volíme symetrický interval $\left[-\pi,\pi\right]$ (na něm je integrál z liché funkce nulový). Ve fyzice se však můžeme setkat s~volbou intervalu $\left[0,2\pi\right]$. \item Členy trigonometrické řady jsou funkce s~periodou $2\pi$. Lineární transformací však můžeme docílit libovolné periody. Např. řada \[ \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\left( a_n\cos \frac{\pi n}\lambda x+ b_n\sin \frac{\pi n}\lambda x\right), \] kde $\lambda>0$, má za členy funkce periodické s~periodou $2\lambda$. Při jejím studiu se tedy můžeme omezit pouze na interval $\left[-\lambda,\lambda\right]$. Takovou řadu budeme někdy stručně označovat jako trigonometrickou řadu s~periodou $2\lambda$. \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem}[Eulerovy vzorce] \label{euler} Nechť trigonometrická řada $\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ konverguje stejnoměrně na $\R$ a buď $F$ její součtová funkce. Potom pro všechna $n\in\No$ platí: \[ a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi F(x)\cos nx\dx\qquad\text{a}\qquad b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi F(x)\sin nx\dx. \] \begin{proof} Řada $\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ konverguje stejnoměrně na intervalu $\left[-\pi,\pi\right]$ a tudíž podle věty \ref{ointegraci-r} je \[ \int_{-\pi}^\pi F(x)\dx=\frac{a_0}2\int_{-\pi}^\pi\dx+ \sum_{n=1}^\infty\left( a_n\int_{-\pi}^\pi \cos nx\dx+ b_n\int_{-\pi}^\pi \sin nx\dx \right)=a_0\pi. \] Podobně pro $n\in\N$ podle věty \ref{veta69} dostáváme \[ \int_{-\pi}^\pi F(x)\cos nx\dx=\frac{a_0}2 \int_{-\pi}^\pi\cos nx\dx+ \sum_{k=1}^\infty\left( a_k\int_{-\pi}^\pi \cos kx\cos nx\dx+ b_k\int_{-\pi}^\pi \sin kx\cos nx\dx \right)=a_n\pi. \] a \[ \int_{-\pi}^\pi F(x)\sin nx\dx=\frac{a_0}2 \int_{-\pi}^\pi\sin nx\dx+ \sum_{k=1}^\infty\left( a_k\int_{-\pi}^\pi \cos kx\sin nx\dx+ b_k\int_{-\pi}^\pi \sin kx\sin nx\dx \right)=b_n\pi, \] neboť $\forall k\not=n$ platí tzv. relace ortogonality \[ \int_{-\pi}^\pi\cos kx\cos nx\dx=\int_{-\pi}^\pi\sin kx\cos nx\dx= \int_{-\pi}^\pi\sin kx\sin nx\dx=0 \] a $\forall k,n \in \No$ platí tzv. normovací podmínky \[ \int_{-\pi}^\pi\cos^2 nx\dx=\int_{-\pi}^\pi\sin^2 nx\dx=\pi. \] \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Analogicky potom ze stejnoměrné konvergence řady \[ \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\left( a_n\cos \frac{\pi n}\lambda x+ b_n\sin \frac{\pi n}\lambda x\right), \] na $\R$ k~součtové funkci $F$ plyne pro všechna $n\in\No$: \[ a_n=\frac1\lambda\int_{-\lambda}^\lambda F(x) \cos\frac{\pi n}\lambda x\dx\text{ a } b_n=\frac1\lambda\int_{-\lambda}^\lambda F(x) \sin\frac{\pi n}\lambda x\dx. \] \item Vyjádření koeficientů trigonometrické řady pomocí své součtové funkce připomíná vyjádření koeficientů Taylorovy řady pomocí rozvíjené (součtové) funkce --- zde však v koeficientech vystupují integrály, nikoli derivace. Do trigonometrické řady lze však rozvinout daleko více funkcí než do mocninné řady. \end{enumerate} \end{remark} \index{Fourierova řada} \begin{define} \label{deffour} Nechť funkce $f$ má absolutně konvergentní zobecněný integrál (v Riemannově smyslu) na intervalu $(a,b)$, kde $b-a=2\pi$. Položme \[ a_n=\frac1\pi\int_{a}^b f(x)\cos nx\dx \quad \forall n\in\No \quad\text {a} \quad b_n=\frac1\pi\int_{a}^b f(x)\sin nx\dx \quad \forall n\in\N. \] Potom trigonometrickou řadu \[\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\] nazýváme {\bf Fourierovou řadou funkce $f$ na intervalu $(a,b)$} a čísla $a_n$, $b_n$ nazýváme {\bf Fourierovými koeficienty}. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{3pt} \item Obecně --- pro případ pouze omezeného intervalu $(a,b)$ --- klademe \[ a_n=\frac1\lambda\int_a^b f(x) \cos\frac{\pi n}\lambda x\dx \quad\text {a} \quad b_n=\frac1\lambda\int_a^b f(x) \sin\frac{\pi n}\lambda x\dx, \] kde $2\lambda=b-a$. Fourierovou řadou funkce $f$ na intervalu $(a,b)$ potom rozumíme trigonometrickou řadu \[ \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\left( a_n\cos \frac{\pi n}\lambda x+ b_n\sin \frac{\pi n}\lambda x\right). \] \item Má-li periodická funkce s~periodou $\omega$ absolutně konvergentní zobecněný integrál na některém z~intervalů délky $\omega$, má absolutně konvergentní integrál na každém omezeném intervalu. \item Buď $g$ periodická funkce s~periodou $\omega$ a nechť existuje $a\in\R$ tak, že integrál $\int_a^{a+\omega}g(x)\dx$ absolutně konverguje. Potom pro libovolné $b\in\R$ je \[\int_b^{b+\omega}g(x)\dx=\int_0^\omega g(x)\dx.\] \item Z~předchozích poznámek plyne, že Eulerovy vzorce v~definici \ref{deffour} lze pro funkci s~periodou $2\pi$ psát také ve tvaru \[ a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\dx \quad \forall n\in\No \quad\text {a} \quad b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\dx \quad \forall n\in\N. \] \item Existence členu $\frac{a_0}{2}$ má své hluboké opodstatnění. Fourierova řada totiž připomíná vyjádření funkce jakožto lineární kombinaci bázových funkcí.Prostor funkcí je však nekonečné dimenze a pro tyto prostory nejsou zavedeny pojmy báze ani lineární kombinace. \item Z LAA2: Je-li $(\vec e_1,\dots\vec e_n)$ ON báze prostoru $V$, pak $\forall\vec y\in V$ platí rozvoj \[\vec y=\sum_{n=1}^n\la \vec e_i,\vec y\ra \vec e_i, \] kde čísla $\la \vec e_i,\vec x\ra$ nazýváme Fourierovými koeficienty vektoru $\vec{x}$ vzhledem k ON bázi $\posloupnost{1}{n}{\vec{e_i}}$. \item \label{onbaze} Zaveďme skalární součin dvou spojitých funkcí $f,g$ jako $\la f,g\ra=\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x) \dx$. \footnote{Tento vzorec pro skalární součin je však čistě formální záležitost (vzniklá zespojitěním skalárního součinu posloupností) a je třeba jej korektně zavést později.} Definujeme pojem ortonormální báze (který je nedělitelný a odlišný od pojmu algebraické báze z LNA). Ve funkcionální analýze se ukazuje, že ortonormální bázi prostoru funkcí je spočetná množina \[ \left\lbrace \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{\sin(x)}{\sqrt{\pi}},\frac{\cos(x)}{\sqrt{\pi}},\frac{\sin(2x)}{\sqrt{\pi}},\frac{\cos(2x)}{\sqrt{\pi}},\dots \right\rbrace. \] Z důkazu věty \ref{euler} (poslední dva řádky důkazu) plyne, že tyto funkce jsou \begin{itemize} \item vzájemně kolmé (relace ortogonality --- $\la\sin(kx),\cos(nx)\ra=0$), \item normované na jedničku (normovací podmínka --- $\norm{\sin(nx)}^2=\norm{\cos(nx)}^2=\pi$). \end{itemize} \vspace{4pt} Vzhledem k tomu, že můžeme bázové funkce (mimo první člen) rozdělit na sudé a liché, vznikají nám i dvě sady Fourierových koeficientů: \[ \tilde a_n=\la f(x),\frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}\ra=\int_{-\pi}^\pi f(x)\frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}\dx ,\quad \tilde b_n=\la f(x),\frac{\sin(nx)}{\sqrt{\pi}}\ra=\int_{-\pi}^\pi f(x)\frac{\sin(nx)}{\sqrt{\pi}}\dx \] Porovnáním s definicí Eulerových vzorců \ref{deffour} vidíme, že se $\tilde a_n$ a $\tilde b_n$ liší od $a_n$ a $b_n$ o násobek $1/\sqrt{\pi}$. To je však normovací konstanta pro funkce $\sin(nx)$ a $\cos(nx)$. Norma těchto funkcí je tedy zahrnuta již v členech $a_n$ a $b_n$, resp. $\tilde a_n=a_n\norm{\cos(nx)}$ a $\tilde b_n=b_n\norm{\sin(nx)}$. \end{enumerate} \end{remark} \begin{example} \[\norm{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}^2=\int_{-\pi}^\pi \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right) ^2\dx=\left[\frac{x}{2\pi}\right]_{-\pi}^\pi=1\] \end{example} \begin{remark} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{7} \setlength{\itemsep}{3pt} \item V předchozí poznámce jsme však nevyšetřili první člen, tedy Fourierův koeficient $a_0$. Z příkladu výše vidíme, že funkce $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ je již normovaná. Pak platí \[ \tilde a_0=\la f(x),\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ra=\int_{-\pi}^\pi f(x)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\dx \] První člen Fourierovy řady je tedy \[ \tilde a_0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\underbrace{\cos(0x)}_{=1}\dx=\frac{a_0}{2}. \] Poslední rovnost plyne z vyjádření $a_n$ pro $n=0$. Tímto je uzavřena otázka, proč nelze první člen Fourierovy řady zahrnout do sumy. Z výše uvedeného je též zřejmé, že není možné zaměnit role členů $a_n$ a $b_n$, neboť by mj. neseděla definice prvního členu (tj. $n=0$). \item Na uzavření analogie mezi mocninnými a Fourierovými řadami poznamenejme, že prvky ortonormální báze \ref{deffour}.\ref{onbaze} jsou vlastně reálné a imaginární složky prvků komplexní ortonormální báze tvaru $\poslo{(2\pi)^{-1/2}e^{\im nx}}$. Proto se lze setkat s definicí Fourierovy řady obsahující $e^{\im nx}$ namísto $\sin(nx)$ a $\cos(nx)$. \item V kvantové mechanice se vzorci \ref{deffour} říká relace úplnosti. Souvisí to s výše uvedeným rozvojem funkcí do báze (tedy do nekonečné řady). Viz \ref{uplnost}. \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem}[Dirichletův integrální vzorec] \label{dirichlet} Buď $f$ funkce periodická s~periodou $2\pi$ mající absolutně konvergentní zobecněný integrál na intervalu délky $2\pi$. Potom pro $n$-tý částečný součet její Fourierovy řady platí: \[ F_n(x)=\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx)= \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x+t) \frac{\sin(n+\frac12)t}{2\sin\frac t2}\dt \qquad \forall x\in\R. \] \begin{proof} Buď $x\in\R$ a $n\in\N$. Potom podle poznámek \ref{deffour} je: \[ \begin{split} F_n(x) & =\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\dt + \frac1\pi\sum_{k=1}^{n}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)(\cos kt\cos kx+ \sin kt\sin kx)\dt= \\ & = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\left( \frac12+\sum_{k=1}^n\cos k(x-t) \right)\dt = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t) \frac{\sin\left((n+\frac12)(x-t)\right)}{2\sin\frac{x-t}{2}}\dt = \\ & = \frac1\pi\int_{-\pi-x}^{\pi-x}f(x+\tau) \frac{\sin(n+\frac12)\tau}{2\sin\frac{\tau}{2}}\,\d \tau = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x+t) \frac{\sin(n+\frac12)t}{2\sin\frac{t}{2}}\dt. \end{split} \] Přitom jsme použili vyjádření \[ \sum_{k=1}^n\cos kx=\frac{\cos\frac n2x\cdot\sin\frac{n+1}2x} {\sin\frac x2}= \frac{\sin\left[(n+\frac12)x\right]-\sin\frac x2}{2\sin\frac x2}= \frac{\sin\left[(n+\frac12)x\right]}{2\sin\frac x2}-\frac12 \] platné $\forall x\in\R$, $x\not=2\pi m$, kde $m\in\Z$. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item \label{dir1}Díky aditivitě integrálu lze nalézt ještě následující integrální vyjádření $n$-tého součtu Fourierovy řady: \[F_n(x)=\frac1\pi\int_0^\pi(f(x+t)+f(x-t)) \frac{\sin\left[(n+\frac12)t\right]}{2\sin\frac t2}\dt.\] \item \label{dir2} Zvolme ($\forall x\in\R$) ($f(x)=1$), pak jsou ($\forall k\in\N$) ($a_0=2$, $a_k=b_k=0$). Dosazením do předchozí poznámky získáme vyjádření jedničky pomocí integrálu z periodických funkcí: \[1=\frac1\pi\int_0^\pi\frac{\left[\sin(n+\frac12)t\right]}{\sin\frac t2}\dt \quad \forall n\in\N.\] \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem}[Dirichlet] \label{dirichlet2} Buď $f$ periodická funkce s~periodou $2\pi$ mající absolutně konvergentní zobecněný integrál na intervalu délky $2\pi$. Potom její Fourierova řada (s~periodou $2\pi$) konverguje v~bodě $x$ právě tehdy, existuje-li číslo $s$ tak, že platí: \[ \lim_{n\to\infty}\int_0^\pi\left( \frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s \right) \frac{\sin\left[(n+\frac12)t\right]}{\sin\frac t2}\dt=0. \] \begin{proof} Z~poznámek \ref{dirichlet}.\ref{dir1}, \ref{dirichlet}.\ref{dir2} a z linearity integrálu plyne $\forall x,s\in\R$, $\forall n\in\N$: \[ F_n(x)-s=\frac1\pi\int_0^\pi\left(\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s\right)\frac{\sin\left[(n+\frac12)t\right]}{\sin\frac t2}\dt. \] Odtud již plyne tvrzení věty. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Z důkazu věty \ref{dirichlet2} vyplývá, že číslo $s$ je právě součtem Fourierovy řady funkce $f$ v bodě $x$. \item Tvrzení věty \ref{dirichlet2} můžeme rozšířit ještě o jednu ekvivalenci: Fourierova řada funkce $f$ konverguje stejnoměrně na intervalu $\left[a,b\right]$ právě tehdy, existuje-li funkce $s$, jejíž definiční obor je interval $\left[a,b\right]$, taková, že platí: \[ \int_0^\pi\left(\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s(x)\right)\frac{\sin\left[(n+\frac12)t\right]}{\sin\frac t2}\dt \sk{\left[a,b\right]} 0. \] Funkce $s$ je potom součtovou funkcí Fourierovy řady funkce $f$ na intervalu $\left[a,b\right]$. \item Vyšetřování konvergence Fourierovy řady jsme pomocí věty \ref{dirichlet2} převedli na studium limity (Dirichletova) integrálu. Než k němu přikročíme, dokážeme jednu velmi užitečnou nerovnost. \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem}[Besselova nerovnost] \label{bessel} Buď $f$ funkce zobecněně integrabilní na intervalu $(-\pi,\pi)$, jejíž zobecněný integrál $\int\limits_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx$ konverguje. Potom koeficienty její Fourierovy řady vyhovují nerovnosti \[ \frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)\le \frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx. \] \begin{proof} Díky kovergenci $\int\limits_{-\pi}^\pi f^2$ platí, že $\int\limits_{-\pi}^\pi f$ konverguje absolutně (Hölderova nerovnost - viz FA1). Má tedy smysl mluvit o Fourierově řadě. Označíme-li opět $F_n$ $n$-tý částečný součet Fourierovy řady funkce $f$ na intervalu $(-\pi,\pi)$, platí: \[ \begin{split} 0 & \le \int_{-\pi}^\pi (f(x)-F_n(x))^2\dx= \int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx - 2\int_{-\pi}^\pi f(x)F_n(x)\dx + \int_{-\pi}^\pi F_n^2(x)\dx= \\ & = \int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx-2\left( \frac{a_0}2\int_{-\pi}^\pi f(x)\dx + \sum_{k=1}^n\left( a_k\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos kx\dx + b_k\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin kx\dx \right) \right) + \\ & \quad + \frac{a_0^2}2\pi + \sum_{k=1}^n(a_k^2+b_k^2)\pi = \int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx - \left( \frac{a_0^2}2 + \sum_{k=1}^n(a_k^2+b_k^2) \right)\pi. \end{split} \] Tato nerovnost platí $\forall n\in\N$. Odečtením závorky v posledním kroku na levou stranu a vydělením $\pi$ získáme tvrzení věty. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{4pt} \item Předchozí věta představuje zobecnění Pythagorovy věty a z jejího tvrzení, resp. důkazu vyplývá několik důležitých poznatků, které uvádíme v následujících poznámkách a~větách. \item (kritérium konvergence) \[ \int_{-\pi}^\pi f^2(x) \dx <+\infty \quad\Longrightarrow\quad \frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)<+\infty. \] \item \label{riemann-lemma} Z nutné podmínky konvergence řady na levé straně Besselovy nerovnosti dostáváme, že pro každou $f\in \mathcal{R}^2(a,b)$, kde $b-a=2\pi$, platí: \[ \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\cos nx\dx= \lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\sin nx\dx=0. \] \item Dle poznámky \ref{deffour}.\ref{onbaze} známe tvar skalárního součinu funkcí, tedy $\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx=\la f,f\ra$. Pokud by skalární součin indukoval normu, pravá strana až na prefaktor $\pi^{-1}$ odpovídá pravé straně Besselovy nerovnosti z LAA2. Existenci normy je třeba vyšetřit. \item Mějme množinu všech funkcí $f$, pro něž zobecněné integrály $\int_a^b f^2(x)\dx$ a tedy i $\int_a^b f(x)\dx$ konvergují, a označme ji $\mathcal{R}^2(a,b)$. Tato množina tvoří lineární prostor. Je tento prostor normovaný? Z předchozí poznámky se vhodným kandidátem na normu zdá být zobrazení \[f\mapsto\sqrt{\la f,f\ra}=\sqrt{\int_a^b f^2(x)\dx}.\] Splňuje-li naše zobrazení všechny axiomy normy \ref{defnorm}, jedná se skutečně o normu. Třetí axiom normy však není splněn, neboť rovnost $\norm{f}=0$ platí i~pro nějakou nenulovou funkci $f$. Zobrazení je tedy pozitivně semidefinitní (nikoli pozitivně definitní) a nazveme jej {\bf seminormou}. \item Konvergenci posloupnosti funkcí definovaných na intervalu $(a,b)$ můžeme brát jako konvergenci v~prostoru $\mathcal{R}^2(a,b)$ s~výše definovanou seminormou. Nazývá se {\bf konvergence podle normy}, někdy též konvergence dle středu. Limitu v normovaném prostoru pak značíme l.i.m. z~latinského \textit{limes in medio}. \item \index{konvergence podle normy} Jsou-li $f_n\in \mathcal{R}^2(a,b)$ pro $n\in\N$ a $f\in \mathcal{R}^2(a,b)$, říkáme, že posloupnost $\posl{f_n}$ {\bf konverguje dle normy} k~funkci $f$ na intervalu $(a,b)$ právě tehdy, když $\norm{f_n-f}\to 0$, tj. \[\lim_{n\to\infty}\int_a^b(f_n(x)-f(x))^2\dx=0.\] Řada $\rada f_n$ konverguje na intervalu $(a,b)$ podle normy k~funkci $F$, jestliže posloupnost částečných součtů této řady konverguje na intervalu $(a,b)$ podle normy k~funkci $F$. \item V důkazu věty jsme tedy operovali s výrazem $\norm{f-F_n}^2$. Proto jsme si mohli dovolit odhadnout integrál zdola nulou, neboť naše seminorma je pozitivně semidefinitní. \item Číslo $\norm{f-g}$ má význam {\bf střední kvadratické odchylky} funkcí $f$ a $g$ na intervalu, na němž je definovaný skalární součin, v našem případě ($-\pi,\pi$). \item Pro studium bodové konvergence nám však teorie užívající seminormy příliš nepomůže, neboť bodová konvergence a konvergence podle normy spolu nijak nesouvisí. Pochopíme to z následujících dvou poznámek. \item Položme $f_n(x) = n^\frac32x^\frac12e^{-nx}$, $f(x) = 0$ pro všechna $n \in \N$ a $x \in \left[0,1\right]$. Potom $f_n(x) \to f(x)$ pro všechna $x \in \left[0,1\right]$, ale $\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^1\left(f_n(x)-f(x)\right)^2\dx=+\infty$. Posloupnost $\posloupnost{1}{\infty}{f_n}$ tedy nekonverguje podle normy na intervalu $\left[0,1\right]$ ke své limitní funkci $f$. Snadno se přesvědčíme, že nekonverguje podle normy vůbec. \item Pro každé $n \in \N$ položme $p_n = n-2^{\left[\log_2n\right]}$. Buď nyní $\posloupnost{1}{\infty}{f_n}$ posloupnost funkcí definovaných na intervalu $\left[0,1\right]$ takto: \[ f_n(x) = \begin{cases} 1 & \text{pro } x \in \left[\frac{p_n}{n-p_n},\frac{p_n+1}{n-p_n}\right] \\ 0 & \text{pro } x \in \left[0,1\right] \sm \left[\frac{p_n}{n-p_n},\frac{p_n+1}{n-p_n}\right] \end{cases} \] Potom posloupnost $\posloupnost{1}{\infty}{f_n(x)}$ nemá limitu pro žádné $x \in \left[0,1\right]$, i když posloupnost $\posloupnost{1}{\infty}{f_n}$ konverguje podle normy na intervalu $\left[0,1\right]$ k nulové funkci. \newline Snadnou úpravou definice funkcí $f_n$ dosáhneme toho, že sestrojíme dokonce posloupnost funkcí spojitých na intervalu $\left[0,1\right]$, která nebude mít limitu v žádném bodé intervalu $\left[0,1\right]$, ale která bude konvergovat podle normy na intervalu $\left[0,1\right]$ ke spojité (nulové) funkci. \end{enumerate} \end{remark} \begin{define}(trigonometrický polynom) Buďte $\posloupnost{0}{n}{c_k}$, $\posloupnost{1}{n}{d_k}$ dvě posloupnosti reálných čísel, $n\in\N$. Položme \[ T_n(x)=\frac{c_0}2+\sum_{k=1}^n(c_k\cos kx+d_k\sin kx) \quad \forall x\in\R. \] Potom funkci $T_n$ nazýváme {\bf trigonometrický polynom stupně nejvýše $n$-tého} \index{trigonometrický polynom} resp. {\bf trigonometrický polynom stupně $n$-tého}, je-li alespoň jedno z~čísel $c_n$, $d_n$ nenulové. \end{define} \begin{remark} Zopakujme si nyní důkaz věty \ref{bessel} s~tím, že nahradíme součet $F_n$ trigonometrickým polynomem $T_n$. Obdržíme: \[ \begin{split} & \norm{f-T_n}^2=\int_{-\pi}^\pi(f(x)-T_n(x))^2\dx = \\ &= \int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx-2\left( \frac{c_0a_0}{2}+\sum_{k=1}^n(c_k a_k+d_k b_k) \right) \pi+ \left( \frac{c_0^2}{2}+\sum_{k=1}^n(c_k^2+d_k^2) \right)\pi=\\ &=\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx + \left[ \frac12(a_0-c_0)^2+\sum_{k=1}^n(a_k-c_k)^2+\sum_{k=1}^n(b_k-d_k)^2 \right]\pi\,-\\ & \quad- \left( \frac{a_0^2}{2}+\sum_{k=1}^n(a_k^2+b_k^2) \right)\pi\ge \int_{-\pi}^\pi(f(x)-F_n(x))^2\dx=\norm{f-F_n}^2\ge 0, \end{split} \] přičemž rovnost nastane pro ($\forall k\in\hat{n_0}$)($a_k=c_k$) a ($\forall k\in\hat{n}$)($b_k=d_k$). Tedy \[ \norm{f-T_n}^2\ge\norm{f-F_n}^2\ge 0. \] Nejlepší možná aproximace funkce $f$ pomocí trigonometrického polynomu $T_n$ je právě $n$-tý částečný součet její Fourierovy řady. \end{remark} \begin{theorem}[o~jednoznačnosti] \label{trigon_jednoznacnost} Nechť $f\in \mathcal{R}^2(a,b)$. Pak jediná trigonometrická řada, která může na intervalu $(-\pi,\pi)$ konvergovat podle normy k~funkci $f$ je právě Fourierova řada funkce $f$. \begin{proof} Označme \[F_n(x)=\frac{c_0}2+\sum_{k=1}^n(c_k\cos kx+d_k\sin kx)\] a nechť posloupnost $\posl{F_n}$ konverguje podle normy na intervalu $(-\pi,\pi)$ k~funkci $f$. Potom platí: \[ \begin{split} \frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin mx\dx & = \frac1\pi\int_{-\pi}^\pi (f(x)-F_n(x))\sin mx\dx+ \frac1\pi\int_{-\pi}^\pi F_n(x)\sin mx\dx=\\ &= \frac1\pi\int_{-\pi}^\pi (f(x)-F_n(x))\sin mx\dx+d_m \end{split} \] pro všechna $n,m\in\N$, $n\ge m$. Nyní stačí užít Besselovy nerovnosti \[ \abs{\int_{-\pi}^\pi(f(x)-F_n(x))\sin mx\dx}\le \sqrt{\pi\int_{-\pi}^\pi(f(x)-F_n(x))^2\dx} \] a provést limitní přechod pro $n\to\infty$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Parsevalova rovnost] \label{parseval} Buď $f\in \mathcal{R}^2(-\pi,\pi)$. Potom Fourierova řada funkce $f$ konverguje na intervalu $(-\pi,\pi)$ podle normy k~funkci $f$ právě tehdy, platí-li \[ \frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)= \frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx. \] \begin{proof} Rovnost v Besselově nerovnosti nastane právě tehdy, když $\norm{f-F_n}^2\longrightarrow 0$. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Stejnoměrná konvergence je zřejmě postačující pro konvergenci podle normy. Odtud plyne, že tvrzení věty \ref{euler} (která jsou nyní také důsledkem věty \ref{trigon_jednoznacnost}) lze rozšířit o Parsevalovu rovnost z předchozí věty. \end{remark} \begin{theorem}[Riemann] \label{riemann} Nechť existují $a,b\in\RR$ tak, že zobecněný integrál $\int\limits_a^bf(x)\dx$ absolutně konverguje. Potom platí: \[ \lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\cos nx\dx= \lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\sin nx\dx= 0. \] \begin{proof} \begin{enumerate}[a)] \item Nechť je nejdříve funkce $f$ na \textit{uzavřeném} intervalu $\left[a,b\right]$ riemannovsky integrabilní. Buď \[m=\left\lfloor\frac{b-a}{2\pi}\right\rfloor \quad \text{a} \quad f^*(x)= \begin{cases} f(x) & \text{pro }x\in\left[a,b\right]\\ 0 & \text{pro } x\in\left( b,a+2(m+1)\pi\right] \end{cases} \] Funkce $f^*$ je riemannovsky integrabilní na intervalu $\left[a,a+2(m+1)\pi\right]$ a platí: \[ \int_a^b f(x)\cos nx\dx=\int_a^{a+2(m+1)\pi}f^*(x)\cos nx\dx= \sum_{k=1}^{m+1}\int_{a+2(k-1)\pi}^{a+2k\pi}f^*(x)\cos nx\dx. \] Nyní již stačí provést limitní přechod pro $n\to\infty$ a užít poznámky \ref{bessel}.\ref{riemann-lemma}. \item Nechť $\int\limits_a^b f(x)\dx$ absolutně konverguje jako nevlastní Riemannův integrál a nechť např. $b$ je jediný kritický bod tohoto integrálu. Zvolme $\epsilon>0$. Potom existuje $c\in (a,b)$ tak, že \[\int\limits_c^b \abs{f(x)}\dx<\frac\epsilon2.\] Protože podle bodu a) je \[\lim_{n \to \infty}\int_a^c f(x)\cos nx\dx=0,\] existuje $n_0\in\R$ tak, že pro všechna $n>n_0$ platí \[\int_a^c f(x)\cos nx\dx<\frac\epsilon2.\] Odtud již dostáváme, že pro všechna $n>n_0$ je: \[ \int_a^b f(x)\cos nx\dx\le \abs{\int_a^c f(x)\cos nx\dx} + \abs{\int_c^b f(x)\cos nx\dx}<\epsilon. \] Analogicky dokážeme, že také \[\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\sin nx\dx=0.\] \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{3pt} \item Důsledkem této věty je tvrzení: Je-li $f$ integrabilní funkce na intervalu, její Fourierovy koeficienty jdou k nule pro rostoucí $n$ a tím se součet Fourierovy řady blíží nule. Analogické tvrzení (Riemannovo-Lebesgueovo lemma) platí i pro případ, kdy máme místo řady integrál a používá se v teorii Fourierovy transformace a zobecněných funkcí. \item Aplikujme nyní větu \ref{riemann} na limitu ve větě \ref{dirichlet2}. Předpokládejme v~následujících poznámkách, že funkce $f$ je periodická s~periodou $2\pi$ a že má absolutně konvergentní zobecněný integrál na intervalu délky $2\pi$. Protože podle věty \ref{riemann} pro libovolné $s\in\R$ je \[ \lim_{n\to\infty}\int_0^\pi\left( \frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s \right) \cos nt\dt=0, \] dostáváme: \item \label{p773} Fourierova řada funkce $f$ konverguje v~bodě $x$ k~číslu $s$ právě tehdy, platí-li \[ \lim_{n\to\infty}\int_0^\pi\left( \frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s \right) \cotg\frac t2\sin nt \dt=0. \] \item \label{p774} Buď $c\in(0,\pi)$. Potom pro libovolné $s\in\R$ je podle věty \ref{riemann} \[ \lim_{n\to\infty}\int_c^\pi\left( \frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s \right) \cotg\frac t2\sin nt \dt=0 \] a tudíž Fourierova řada funkce $f$ konverguje v~bodě $x$ k~číslu $s$ právě tehdy, platí-li \[ \lim_{n\to\infty}\int_0^c\left( \frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s \right) \cotg\frac t2\sin nt \dt=0. \] \item (Dini) Pro konvergenci Fourierovy řady funkce $f$ v~bodě $x$ k~číslu $s$ stačí konvergence integrálu \[ \int_0^c\frac{\abs{f(x+t)+f(x-t)-2s}}{t}\dt \] pro některé $c\in(0,\pi)$. Skutečně --- z~konvergence výše uvedeného integrálu plyne konvergence integrálu \[ \int_0^c\frac{\abs{f(x+t)+f(x-t)-2s}}{2}\cotg\frac t2 \dt \] a ostatní je již důsledek věty \ref{riemann} a poznámky \ref{riemann}.\ref{p773}. \item \label{p776} (Lipschitz) Fourierova řada funkce $f$ konverguje v~bodě $x$ k~číslu $s$, existují-li $L>0,\alpha\in\left(0,1\right]$ a pravé okolí $\H_0$ bodu $0$ tak, že pro všechna $t\in\H_0$ platí: \[\abs{f(x+t)+f(x-t)-2s}\le Lt^\alpha.\] \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem}[Riemannova o lokalizaci] \label{vlokaliz} Konvergence Fourierovy řady funkce $f$ i~hodnota jejího součtu v~bodě $x$ závisí pouze na průběhu funkce $f$ v~bezprostředním okolí tohoto bodu. \begin{proof} Plyne z poznámky \ref{riemann}.\ref{p774}. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[o bodové konvergenci] \label{souc1} Buď $f$ periodická funkce s~periodou $2\pi$, která má absolutně konvergentní zobecněný integrál na intervalu délky $2\pi$. buď dále $x_0\in\R$ a nechť platí jeden z~následujících výroků: \begin{enumerate}[(I)] \item Funkce $f$ má v~bodě $x_0$ obě konečné jednostranné derivace. \item Funkce $f$ je v~prstencovém okolí bodu $x_0$ diferencovatelná a její derivace má v~bodě $x_0$ obě konečné jednostranné limity. \end{enumerate} Potom Fourierova řada (s~periodou $2\pi$) funkce $f$ konverguje v~bodě $x_0$ a její součet je: \[ \lim_{n\to\infty}F_n(x_0) = \begin{cases} f(x_0) & \text{v~případě (I)} \\ \displaystyle\frac12\left(\lim_{x\to x_0+}f(x)+ \lim_{x\to x_0-}f(x)\right) & \text{v~případě (II)} \end{cases} \] \begin{proof} \begin{enumerate}[a)] \item Nechť platí (I). Položme $L=2\max(\abs{f'_+(x_0)},\abs{f'_-(x_0)}) + 1$. Potom existuje pravé okolí $\H$ bodu $0$ tak, že pro všechna $t\in\H$ platí: \[\abs{f(x_0+t)-f(x_0)}\le\frac12Lt\quad\wedge\quad\abs{f(x_0-t)-f(x_0)}\le\frac12Lt,\] a tedy \[\abs{f(x_0+t)+f(x_0-t)-2f(x_0)}\le Lt.\] To je ovšem Lipschitzova podmínka pro konvergenci (poznámka \ref{riemann}.\ref{p776}) Fourierovy řady funkce $f$ v~bodě $x_0$ k~součtu $f(x_0)$. \item Nechť platí (II). Označme $f'(x_0+)=\lim_{x\to x_0+}f'(x)$, $f'(x_0-)=\lim_{x\to x_0-}f'(x)$ a položme $L=2\max(\abs{f'(x_0+)},\abs{f'(x_0-)}) + 1$. Potom existuje $\delta>0$ tak, že pro všechna $x\in(x_0,x_0+\delta)$ je $\abs{f'(x)}\le\frac12L$. Zvolíme-li nyní libovolně dva body $x_1,x_2\in(x_0,x_0+\delta)$, existuje podle věty o~přírůstku funkce $\xi\in(x_1,x_2)$ takové, že platí: \[\abs{f(x_1)-f(x_2)}=\abs{f'(\xi)}\,\abs{x_2-x_1}\le\frac12L\abs{x_2-x_1}.\] Odtud dle Bolzanova-Cauchyova kritéria plyne existence vlastní limity funkce $f$ v~bodě $x_0$ zprava. Položme opět $f(x_0+)=\lim_{x\to x_0+}f(x)$ a definujme funkci $g$ takto: \[ g(t)= \begin{cases} f(x_0+t) & \text{pro $t\in(0,\delta)$} \\ f(x_0+) & \text{pro $t=0$} \end{cases} \] Funkce $g$ je spojitá zprava v~bodě $0$, diferencovatelná na intervalu $(0,\delta)$ a platí \[\lim_{t\to 0+}g'(t)=\lim_{t\to 0+}f'(x_0+t)=f'(x_0+).\] Potom funkce $g$ má v~bodě $0$ derivaci zprava a platí $g'_+(0)=f'(x_0+)$, tj. \[\lim_{t\to 0+}\frac{f(x_0+t)-f(x_0+)}{t}=f'(x_0+).\] Podobně dokážeme, že \[\lim_{t\to 0-}\frac{f(x_0+t)-f(x_0-)}{t}=f'(x_0-).\] Odtud již plyne, že existuje takové pravé okolí $\H$ bodu $0$, že pro všechna $t\in\H$ platí: \[ \abs{f(x_0+t)-f(x_0+)}\le\frac12Lt,\ \abs{f(x_0-t)-f(x_0-)}\le\frac12Lt \] a tedy \[ \abs{f(x_0+t)+f(x_0-t)-(f(x_0+)+f(x_0-))}\le Lt. \] Podle poznámky \ref{riemann}.\ref{p776} odtud plyne, že Fourierova řada funkce $f$ konverguje v~bodě $x_0$ k~číslu \[\frac12(f(x_0+)+f(x_0-)).\] \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{3pt} \item Předpoklady (I) a (II) ve větě \ref{souc1} jsou vzájemně nezávislé. Z~(I) evidentně neplyne (II) a na druhé straně z~platnosti (II) neplyne (právě když funkce $f$ není spojitá v~bodě $x_0$) platnost předpokladu (I). Pro funkci spojitě diferencovatelnou v~bodě $x_0$ jsou ovšem oba předpoklady (I) a (II) ekvivalentní. \item Poznámkami \ref{riemann}.\ref{p773}--\ref{riemann}.\ref{p776} a větami \ref{souc1} a \ref{vlokaliz} je v~podstatě vyřešena otázka bodové konvergence Fourierovy řady funkce $f$. \item Poněkud omezující (i~když pro rozvoj v~trigonometrickou řadu zcela logickou) se již vzhledem k~definici \ref{deffour} zdá skutečnost, že všechna tato tvrzení byla vyslovena pro periodickou funkci. Abychom všechna tato tvrzení mohli užít i~pro funkci definovanou na omezeném intervalu, pomůžeme si tzv. periodickým prodloužením. \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} \label{periodprodl}Buďte $a,b\in\R$ a nechť $f$ je funkce definovaná na intervalu $\left[a,b\right)$. Potom {\bf periodickým prodloužením funkce $f$} na intervalu $\left[a,b\right)$ rozumíme funkci $f^*$ definovanou na množině $\R$ \[ f^*(x)=f\left(x-\left\lfloor\frac{x-a}{b-a}\right\rfloor(b-a)\right) \qquad \forall x \in \R. \] \end{define} \begin{example} \begin{itemize} \setlength{\itemsep}{3pt} \item Periodickým prodloužením funkce $x\mapsto\sin x$ na intervalu $\left[0,\pi\right)$ je $\abs{\sin x}$. \item Periodickým prodloužením funkce $x\mapsto\sin x$ na intervalu délky $2\pi$ je funkce $\sin x$. \item Periodickým prodloužením funkce $x\mapsto x$ na intervalu $\left[ 0,1\right)$ je funkce $x\mapsto x-\lfloor x\rfloor$. \end{itemize} \end{example} \begin{remark} \begin{enumerate} \setlength{\itemsep}{3pt} \item \label{period1} Buď nyní $f$ funkce definovaná na intervalu $\left[a,b\right)$, $b-a=2\pi$ a nechť zobecněný integrál $\int_a^b f(x)\dx$ absolutně konverguje. Potom, užijeme-li větu \ref{souc1} na periodické prodloužení $f^*$ funkce $f$ na intervalu $\left[a,b\right)$, dostáváme: Buď $x_0\in(a,b)$ a nechť je splněn alespoň jeden z~předpokladů (I) a (II) věty \ref{souc1}. Potom platí: \[ \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx_0+b_n\sin nx_0)= \frac12(f(x_0+)+f(x_0-)), \] kde \[a_n=\frac1\pi\int_a^b f(x)\cos nx\dx,\quad b_n=\frac1\pi\int_a^b f(x)\sin nx\dx\] pro všechna $n\in\No$ a symboly $f(x_0+)$ resp. $f(x_0-)$ chápeme ve smyslu užitém v~důkazu věty \ref{souc1}. \item \label{period2} Buďte $a,b$ libovolná různá reálná čísla, $x_0$ vnitřní bod intervalu o~krajních bodech $a,b$. Nechť dále zobecněný integrál $\int_a^b f(x)\dx$ absolutně konverguje. Potom, je-li splněn alespoň jeden z~předpokladů (I), (II) věty \ref{souc1}, platí: \[ \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left( a_n\cos\frac{2\pi n}{b-a}x_0+b_n\sin\frac{2\pi n}{b-a}x_0 \right)=\frac12(f(x_0+)+f(x_0-)), \] kde \[ a_n=\frac{2}{b-a}\int_a^b f(x)\cos\frac{2\pi n}{b-a}x\dx,\quad b_n=\frac{2}{b-a}\int_a^b f(x)\sin\frac{2\pi n}{b-a}x\dx,\quad \] pro všechna $n\in\No$. \item Nevyřešena v~předchozích dvou poznámkách ještě zůstává otázka konvergence Fourierovy řady funkce $f$ v~krajních bodech intervalu $(a,b)$. Předpokládáme opět, že zobecněný integrál $\int_a^b f(x)\dx$ absolutně konverguje a nechť je splněn jeden z~následujících předpokladů: \begin{enumerate}[(I$^*$)] \item $f(a)=f(b)$ a existují jednostranné derivace $f_+'(a)$ a $f_-'(b)$. \item Funkce $f$ je diferencovatelná v~jistém pravém okolí bodu $a$ a levém okolí bodu $b$, přičemž existují vlastní limity $\lim_{x\to a+}f'(x)$ a $\lim_{x\to b-}f'(x)$. \end{enumerate} Aplikací věty \ref{souc1} na periodické prodloužení funkce $f$ na intervalu $\left[a,b\right)$ získáme: \newline Fourierova řada funkce $f$ z~poznámky \ref{periodprodl}.\ref{period1} resp. \ref{periodprodl}.\ref{period2} konverguje v~bodě $a$ (a~tím i~v~bodě $b$) a její součet je $\frac12(f(a+)+f(b-))$. \item Z našich úvah zatím vyplývá, že Fourierova řada funkce $f$ konverguje v bodech spojitosti, má-li v nich funkce $f$ obě jednostranné konečné derivace. Na druhé straně jsme také ukázali, že Fourierova řada funkce $f$ konverguje i v bodech nespojitosti prvního druhu funkce $f$ (je-li ovšem splněna podmínka (II)). Napadne nás možná, že by již spojitost funkce $f$ mohla být pro konvergenci Fourierovy řady funkce $f$ postačující. Že tomu tak není, dokázal již du Bois-Reymond. Relativně jednoduchý příklad spojité funkce, jejíž Fourierova řada v jednom bodě diverguje, pocházející od L. Fejéra, uvádí V. Jarník ve své knize Integrální počet II (kap. XIII, § 9). Dodnes však není vyřešena otázka, jestli existuje spojitá funkce, jejíž Fourierova řada by divergovala v každém bodě. \item Naopak --- diferencovatelnost spojité funkce $f$ není nutná k tomu, aby její Fourierova řada konvergovala. Např. trigonometrická řada $\sum\limits_{n=0}^\infty q^n\cos(p^n\pi x)$, kde $q \in (0,1)$ a $p \in \N$ konverguje stejnoměrně na množině $\R$ a tedy podle věty \ref{euler} je Fourierovou řadou své spojité součtové funkce $f$. K. Weierstrass dokázal (a není to triviální), že pro $pq > 1+\frac32\pi$ nemá funkce $f$ derivaci v žádném bodě množiny $\R$. \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} Řekneme, že funkce je {\bf po částech spojitá} na uzavřeném a omezeném intervalu, má-li v tomto intervalu nejvýše konečně mnoho bodů nespojitosti a ani v jednom z nich nemá nespojitost druhého druhu. Funkce je po částech spojitá na neomezeném intervalu, je-li po částech spojitá na každém jeho omezeném a uzavřeném podintervalu. \end{define} \begin{theorem}[\uv {pro život}] \label{soucet} Nechť funkce $f$ je po částech spojitá a má po částech spojitou derivaci na intervalu $\left[a,b\right]$. Potom Fourierova řada funkce $f$ na intervalu $(a,b)$ konverguje na celé množině $\R$ a označíme-li $F$ její součtovou funkci, platí: \begin{enumerate}[(i)] \item Funkce $F$ je periodická s~periodou $b-a$. \item $F(x)=\frac12(f(x+)+f(x-))$ pro všechna $x\in(a,b)$. \item $F(a)=F(b)=\frac12(f(a+)+f(b-))$. \end{enumerate} \begin{proof} Plyne z~předchozích poznámek, nebo přímo z~věty \ref{souc1}, jestliže ji aplikujeme na periodické prodloužení funkce $f$. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Druhý bod (ii) věty \ref{soucet} můžeme vyslovit také v~následující podrobnější formě: \begin{enumerate}[(ii)] \item Pro všechna $x\in(a,b)$ platí: \[ F(x)= \begin{cases} f(x) & \text{je-li funkce $f$ v~bodě $x$ spojitá}\\ \displaystyle{\lim_{y\to x}f(y)} & \text{má-li funkce $f$ v~bodě $x$ odstranitelnou nespojitost}\\ \frac12(f(x+)+f(x-)) & \text{má-li funkce $f$ v~bodě $x$ nespojitost I. druhu} \end{cases} \] \end{enumerate} \item Nechť integrál $\int_{-\pi}^\pi f(x)\dx$ absolutně konverguje a buď \[\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\] Fourierova řada funkce $f$ na intervalu $(-\pi,\pi)$. Potom platí: Je-li funkce $f$ lichá, jsou \[a_n=0,\ b_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\sin nx\dx\text{ pro }n\in\No;\] je-li funkce $f$ sudá, jsou \[b_n=0,\ a_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\cos nx\dx\text{ pro }n\in\No.\] \item Buď $\alpha\in\R$ a položme $f(x)=\cos\alpha x$ pro všechna $x\in\left[-\pi,\pi\right]$. Je-li $\alpha\in\Z$, je triviálně funkce $f$ součtovou funkcí své Fourierovy řady na intervalu $\left[-\pi,\pi\right]$. Buď dále $\alpha\in\R-\Z$; potom podle předchozí poznámky platí: \[ a_n=\frac2\pi\int_0^\pi \cos\alpha x\cos nx\dx=\frac1\pi\left( \frac{\sin(\alpha+n)\pi}{\alpha+n} + \frac{\sin(\alpha-n)\pi}{\alpha-n} \right)= \frac1\pi\frac{2\alpha(-1)^n}{\alpha^2-n^2}\sin\alpha\pi \] a $b_n=0$ pro všechna $n\in\No$. Z~věty \ref{soucet} potom plyne: \[ \cos\alpha x=\frac{\sin\alpha\pi}{\alpha\pi}+\sum_{n=1}^\infty(-1)^n \frac{2\alpha\sin\alpha\pi}{\pi(\alpha^2-n^2)}\cos nx \] pro všechna $x\in\left[-\pi,\pi\right]$. Analogicky obdržíme \[ \sin\alpha x=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2n\sin\alpha\pi}{\pi(\alpha^2-n^2)}\sin nx \] pro všechna $x\in(-\pi,\pi)$. \item Položme ve vyjádření pro $\cos\alpha x$ v~předchozí poznámce $x=0$ a $\alpha\pi=z$ resp. $x=\pi$ a $\alpha\pi=z$. Potom dostáváme: \[ \frac1{\sin z}=\frac1z+ \sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^nz}{z^2-(\pi n)^2}=\frac1z+ \sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left( \frac{1}{z+n\pi}+\frac{1}{z-n\pi} \right) \] resp. \[ \cotg z=\frac1z+ \sum_{n=1}^\infty\frac{2z}{z^2-(\pi n)^2}=\frac1z+ \sum_{n=1}^\infty\left( \frac{1}{z+n\pi}+\frac{1}{z-n\pi} \right) \] pro všechna $z\in\R-\pi\Z$ (tj. všechna reálná $z$, která nejsou celým násobkem $\pi$). Našli jsme tak vlastně rozklad dvou neracionálních funkcí na parciální zlomky. Položíme-li v~rozkladech $z=\frac{-\pi}2-y$, obdržíme také rozklad funkcí $\frac1{\cos z}$ a $\tg z$ na parciální zlomky. \item Buď $x\in(0,\pi)$. Potom podle předcházející poznámky pro všechna $y\in\left(0,x\right] $ je \[ \cotg y-\frac1y=\sum_{n=1}^\infty\frac{2y}{y^2-(n\pi)^2}. \] Protože řada na pravé straně rovnosti podle Weierstrassova kritéria konverguje stejnoměrně na $\left[0,x\right]$, platí podle věty \ref{ointegraci-r} \[ \int_0^x\left(\cotg y-\frac1y\right)\dy= \sum_{n=1}^\infty\int_0^x\frac{2y\dy}{y^2-(n\pi)^2}, \] tj. \[ \left[\ln\frac{\sin y}{y}\right]_0^x= \sum_{n=1}^\infty\left[\ln\abs{y^2-(n\pi)^2}\right]_0^x \] a \[ \ln\frac{\sin x}{x}=\sum_{n=1}^\infty\ln \left( 1-\frac{x^2}{(n\pi)^2} \right). \] Ze spojitosti funkce $\ln$ (můžeme tedy \uv{odlogaritmovat}) potom plyne \[ \sin x=x\prod_{n=1}^\infty \left( 1-\frac{x^2}{(n\pi)^2} \right). \] Poslední rovnost platí evidentně na intervalu $\left[-\pi,\pi\right]$ a užijeme-li periodičnost obou stran, dokážeme její platnost na celé množině $\R$. Speciálně pro $z=\frac\pi 2$ obdržíme vyjádření jedničky jako nekonečný součin (tzv. Wallisovu formuli) \[ 1=\frac\pi 2\prod\frac{(2k+1)(2k-1)}{(2k)^2}. \] Ze vztahu $\sin2z=2\sin z\cos z$ ještě plyne, že \[ \cos z=\prod_{n=1}^\infty\left( 1-\frac{4z^2}{(2n-1)^2\pi^2} \right) \] pro všechna $z\in\R$. \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem}[Jordan] Buď $f$ funkce definovaná na intervalu $\left[a,b\right]$ s~následujícími vlastnostmi: \begin{enumerate}[(i)] \item $f(a)=f(b)$. \item $f$ je spojitá na intervalu $\left[a,b\right]$. \item Funkce $f$ má po částech spojitou derivaci na intervalu $\left[a,b\right]$. \end{enumerate} Potom Fourierova řada funkce $f$ na intervalu $\left[a,b\right]$ konverguje stejnoměrně na množině $\R$. \begin{proof} Větu stačí zřejmě dokázat pro případ $b-a=2\pi$. Buďte $c_1<c_2<\dots<c_{n-1}$ všechny body nespojitosti derivace funkce $f$. Označíme-li $c_0=a$, $c_n=b$, platí pro všechna $n\in\N$ \[ \begin{split} a_n & =\frac1\pi\int_a^b f(x)\cos nx\dx= \frac1\pi\sum_{i=1}^n\int_{c_{i-1}}^{c_i} f(x)\cos nx\dx= \\ & = \frac1{n\pi}\sum_{i=1}^n \left( [f(x)\sin nx]_{c_{i-1}}^{c_i}- \int_{c_{i-1}}^{c_i}f'(x)\sin nx\dx \right)= \\ & = \frac1{n\pi}(f(b)\sin nb-f(a)\sin na)- \frac1{n\pi}\int_a^b f'(x)\sin nx\dx = -\frac1n b_n', \end{split} \] kde jsme písmenem $b_n'$ označili příslušný Fourierův koeficient funkce $f'$. Analogicky dokážeme, že pro všechna $n\in\N$ platí \[b_n=\frac1n a_n'.\] Pro všechna $n\in\N$ a pro všechna $x\in\R$ tedy platí: \[ \abs{a_n\cos nx+b_n\sin nx}\le \abs{a_n}+\abs{b_n}= \frac{\abs{a_n'}}{n}+\frac{\abs{b_n'}}{n}\le \frac12\left( \abs{a_n'}^2+\frac1{n^2}+\abs{b_n'}^2+\frac1{n^2} \right). \] Poslední krok platí z tzv. Youngovy nerovnosti: \[ 0\leq(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \Longrightarrow 2ab\leq a^2+b^2 \] Z~Besselovy nerovnosti (věta \ref{bessel}) vyplývá, že výraz na pravé straně nerovnosti je $n$-tý člen konvergentní číselné řady. Tvrzení věty nyní plyne z~Weierstrassova kritéria. \end{proof} \end{theorem}