Verze z 12. 11. 2015, 20:40

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01NUM1}
\section{Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry}
 
\setcounter{define}{21}
\begin{theorem}
Nechť jsou $\matice A$ a $\matice B \in \mathbbm C^{nn}$ dolní (resp. horní) trojúhelníkové matice. Pak matice $\matice C = \matice A \matice B$ je dolní (resp. horní) trojúhelníková. Dále pak platí:
$$\forall i \in \hat n, \matice C_{ii} = \matice A_{ii} \matice B_{ii} $$
\begin{proof}
Protože jsou matice $\matice A$ a $\matice B$ dolní trojúhelníkové, platí $\matice A_{ik} = 0 \; \; \forall i < k$ a $\matice B_{kj} = 0 \; \; \forall k < j$. Tudíž:
$$\matice C_{ij} = \sum_{k = 1}^n \matice A_{ik} \matice B_{kj} = \sum_{k = 1}^i \matice A_{ik} \matice B_{kj} = \sum_{k = j}^i \matice A_{ik} \matice B_{kj} $$
což je rovno 0 pro $i < j$ a $\matice A_{ii} \matice B_{ii}$ pro $i = j$. Důkaz pro horní trojúhelníkové matice je obdobný.
\end{proof}
\end{theorem}