02TFpriklady:Kapitola2: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 5: | Řádka 5: | ||
}{ | }{ | ||
(a) | (a) | ||
− | $$L=\frac{1}{2} m(\dot{x}_{1} ^{2} +\dot{x}_{2} ^{2} +\dot{x}_{3} ^{2} )$$ | + | $$ |
+ | L=\frac{1}{2} m(\dot{x}_{1} ^{2} +\dot{x}_{2} ^{2} +\dot{x}_{3} ^{2} ) | ||
+ | $$ | ||
(b) transformace (a) pomocí | (b) transformace (a) pomocí | ||
− | $$\begin{array}{l} {x_{1} {\; }=r\cos \varphi \sin \theta } \\ {x_{2} =r\sin | + | $$ |
− | \varphi \sin \theta } \\ {x_{3} =r\cos \theta } \end{array}$$ | + | \begin{array} |
+ | {l} {x_{1} {\; }=r\cos \varphi \sin \theta } \\ {x_{2} =r\sin | ||
+ | \varphi \sin \theta } \\ {x_{3} =r\cos \theta } | ||
+ | \end{array} | ||
+ | $$ | ||
$$ | $$ | ||
Řádka 18: | Řádka 24: | ||
(c) transformace (a) pomocí | (c) transformace (a) pomocí | ||
− | $$\begin{array}{l} {x_{1} {\; }=r\cos \varphi } \\ {x_{2} =r\sin \varphi } \\ | + | $$ |
− | {x_{3} =x_{3} } \end{array}$$ | + | \begin{array} |
+ | {l} {x_{1} {\; }=r\cos \varphi } \\ {x_{2} =r\sin \varphi } \\ | ||
+ | {x_{3} =x_{3} } | ||
+ | \end{array} | ||
+ | $$ | ||
$$L=\frac{1}{2} m(\dot{r}^{2} +r^{2} \dot{\theta }^{2} +\dot{x}_{3} ^{2} )$$ | $$L=\frac{1}{2} m(\dot{r}^{2} +r^{2} \dot{\theta }^{2} +\dot{x}_{3} ^{2} )$$ | ||
Řádka 281: | Řádka 291: | ||
$$ | $$ | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
− | mga=\frac{1}{2} ma^{2} \dot{\varphi }^{2} +mga\cos \varphi \cr | + | mga &= \frac{1}{2} ma^{2} \dot{\varphi }^{2} +mga\cos \varphi \cr |
2\frac{g}{a} (1-\cos \varphi ) &= \dot{\varphi }^{2} \cr | 2\frac{g}{a} (1-\cos \varphi ) &= \dot{\varphi }^{2} \cr | ||
2\frac{g}{a} (1-\cos ^{2} \frac{\varphi }{2} +\sin ^{2} \frac{\varphi }{2} ) &= \dot{\varphi }^{2} \cr | 2\frac{g}{a} (1-\cos ^{2} \frac{\varphi }{2} +\sin ^{2} \frac{\varphi }{2} ) &= \dot{\varphi }^{2} \cr | ||
Řádka 288: | Řádka 298: | ||
$$ | $$ | ||
− | a tuto rovnici budeme integrovat | + | a tuto rovnici budeme integrovat. |
Verze z 21. 6. 2014, 00:03
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02TFpriklady
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02TFpriklady | Admin | 4. 9. 2015 | 10:33 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:47 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Admin | 21. 6. 2011 | 06:34 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Newtonova mechanika | Krasejak | 20. 6. 2014 | 22:59 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Lagrangeův formalismus | Nemecfil | 29. 1. 2017 | 18:59 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Základní úlohy mechaniky | Admin | 1. 8. 2010 | 10:32 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Základní principy mechaniky | Admin | 1. 8. 2010 | 10:32 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Hamiltonův formalismus | Tichaond | 12. 3. 2014 | 16:31 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Admin | 1. 8. 2010 | 10:34 | kapitola6.tex | ||
Kapitola7 | editovat | Speciální teorie relativity | Krasejak | 21. 6. 2014 | 00:27 | kapitola7.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TFpriklady} \section{Kapitola 2: Lagrangeův formalismus} \priklad{2.1}{Napište Lagrangeovu funkci volného bezsilového hmotného bodu (a) v kartézských souřadnicích, (b) ve sférických souřadnicích, (c) v cylindrických souřadnicích. }{ (a) $$ L=\frac{1}{2} m(\dot{x}_{1} ^{2} +\dot{x}_{2} ^{2} +\dot{x}_{3} ^{2} ) $$ (b) transformace (a) pomocí $$ \begin{array} {l} {x_{1} {\; }=r\cos \varphi \sin \theta } \\ {x_{2} =r\sin \varphi \sin \theta } \\ {x_{3} =r\cos \theta } \end{array} $$ $$ L=\frac{1}{2} m(\dot{r}^{2} +r^{2} \dot{\varphi }^{2} \sin ^{2} \theta +r^{2} \dot{ \theta }^{2} ) $$ (c) transformace (a) pomocí $$ \begin{array} {l} {x_{1} {\; }=r\cos \varphi } \\ {x_{2} =r\sin \varphi } \\ {x_{3} =x_{3} } \end{array} $$ $$L=\frac{1}{2} m(\dot{r}^{2} +r^{2} \dot{\theta }^{2} +\dot{x}_{3} ^{2} )$$ } % priklad 2.1 \priklad{2.2}{ Napište Lagrangeovu funkci volného hmotného bodu, na který působí homogenní gravitační pole a elastická centrální izotropní síla. }{ $$L=\frac{1}{2} m(\dot{x}_{1} ^{2} +\dot{x}_{2} ^{2} +\dot{x}_{3} ^{2} )-mgx_{3} -\frac{1}{2} k(x_{1} ^{2} +x_{2} ^{2} +x_{3} ^{2} )$$ } % priklad 2.2 \priklad{2.3}{ Napište Lagrangeovu funkci volné nabité částice v elektrostatickém poli. }{ $$L=T-U=\frac{1}{2} m(\dot{x}_{1} ^{2} +\dot{x}_{2} ^{2} +\dot{x}_{3} ^{2} )-q(\varphi -\sum _{i=1}^{3}A_{i} \dot{x}_{i} )$$ } % priklad 2.3 \priklad{2.4}{ Najděte výraz pro obecnou hybnost a energii nabité částice v elektromagnetickém poli z Lagrangeovy funkce ${L=}\frac{{1}}{{2}} {mv}^{2} -q(\varphi -\vec{v}\cdot \vec{A})$. }{ Obecná hybnost: $$p_{j} =\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{j} } =m\dot{x}_{j} ^{2} -qA_{j} $$ $$\vec{p}=m \vec{v}+q\vec{A}$$ Obecná energie: $$E=\sum _{j}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{j} } \dot{x}_{j} -L=\sum _{j}\frac{1}{2} m\dot{x}_{j} ^{2} +q\varphi $$ }% priklad 2.4 \priklad{2.5}{ Přesvědčete se, že vazba určená Pfaffovou formou $$\left[x_{2} (x_{1} -x_{2} )^{2} -x_{1} x_{2} ^{3} \right]dx_{1} +\left[x_{1} ^{3} x_{2} -x_{1} (x_{1} -x_{2} )^{2} \right]dx_{2} -x_{1} x_{2} (x_{1} -x_{2} )^{2} dx_{3} =0$$ je ekvivalentní holonomní vazbě $x_{3} =\ln \left|\frac{x_{1} }{x_{2} } \right|+\frac{x_{1} x_{2} }{x_{1} -x_{2} } +C$. }{ Označíme-li pro přehlednost funkce u diferenciálů Pfaffovy formy $a_{1} dx_{1} +a_{2} dx_{2} +a_{3} dx_{3} =0$, můžeme podmínku ekvivalence vazeb zachytit jako $$\begin{array}{l} {0=\frac{\partial x_{3} }{\partial x_{1} } +\frac{a_{1} }{a_{3} } } \\ {0=\frac{\partial x_{3} }{\partial x_{2} } +\frac{a_{2} }{a_{3} } } \end{array}.$$ Upravíme výrazy a dostaneme \begin{align} \nonumber \frac{\partial }{\partial x_{1} } \left(\ln \left|\frac{x_{1} }{x_{2} } \right|+ \frac{x_{1} x_{2} }{x_{1} -x_{2} } +C\right)-\frac{x_{2} (x_{1} -x_{2} )^{2} -x_{1} x_{2} ^{3} }{x_{1} x_{2} (x_{1} -x_{2} )^{2} } &= \\ \nonumber = \frac{x_{2} }{x_{1} x_{2} } +\frac{x_{2} (x_{1} -x_{2} )-x_{1} x_{2} }{(x_{1} -x_{2} )^{2} } -\frac{1}{x_{1} } +\frac{x_{2} ^{2} }{(x_{1} -x_{2} )^{2} } &= 0. \end{align} a \begin{align} \nonumber \frac{\partial }{\partial x_{2} } \left(\ln \left|\frac{x_{1} }{x_{2} } \right|+ \frac{x_{1} x_{2} }{x_{1} -x_{2} } +C\right)+\frac{x_{1} (x_{1} -x_{2} )^{2} -x_{1} ^{3} x_{2} }{x_{1} x_{2} (x_{1} -x_{2} )^{2} } &=, \\ \nonumber = -\frac{x_{2} x_{1} }{x_{1} x_{2} ^{2} } +\frac{x_{1} (x_{1} -x_{2} )+x_{1} x_{2} }{(x_{1} -x_{2} )^{2} } +\frac{1}{x_{2} } -\frac{x_{1} ^{2} }{(x_{1} -x_{2} )^{2} } &= 0, \end{align} což bylo dokázati. } % priklad 2.5 \priklad{2.6}{ Napište Lagrangeovu funkci matematického kyvadla. }{ Použijeme polární souřadnice $$L=T-U=\frac{1}{2} mr^{2} \dot{\varphi }^{2} +mgr\cos \varphi $$ } % priklad 2.6 \priklad{2.7}{ Odvoďte pohybové rovnice matematického kyvadla s pružným závěsem tuhosti k a s rovnovážnou délkou $r_{0} $ (bez zatížení). Zkoumejte limitu $k/m \to \infty $ jako přechod k ideální vazbě (pozn. osy volíme tak, že tíhové pole působí ve směru osy y). }{ Pomocí $$\begin{array}{l} {x{\; }=r(t)\cos \varphi (t)} \\ {y=r(t)\sin \varphi (t)} \\ {z=0} \end{array}$$ transformujeme Lagrangeovu funkci $$L=\frac{1}{2} m(\dot{x}^{2} +\dot{y}^{2} +\dot{z}^{2} )+mgy-\frac{1}{2} k\left(r-r_{0} \right)^{2} $$ na $$L=\frac{1}{2} m(\dot{r}^{2} +r^{2} \dot{\varphi }^{2} )+mgr\cos \varphi -\frac{1}{2} k\left(r-r_{0} \right)^{2}. $$ Lagrangeovy pohybové rovnice $$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}} \right)-\frac{\partial L}{ \partial r} =\frac{d}{dt} \left(m\dot{r}\right)-mr\dot{\varphi }^{2} -mg\cos \varphi +k(r-r_{0} )=m\ddot{r}-mr\dot{\varphi }^{2} -mg\cos \varphi +k(r-r_{0} )=0$$ $$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }} \right)-\frac{\partial L}{\partial \varphi } =\frac{d}{dt} \left(mr^{2} \dot{\varphi }\right)-mgr\sin \varphi =2mr\dot{r}\dot{\varphi }+mr^{2} \ddot{\varphi }-mgr\sin \varphi =0$$ čímž jsme dostali soustavu diferenciálních rovnic $$\frac{m}{k} (\ddot{r}-r\dot{\varphi }^{2} -g\cos \varphi )+r-r_{0} =0$$ $$\ddot{\varphi }+2\frac{\dot{r}}{r} \dot{\varphi }-\frac{g}{r} \sin \varphi =0$$ a při limitě $\frac{m}{k} \to \infty$, tj. $\frac{m}{k} \to 0$, dostaneme z první rovnice $r=r_{0}$ a druhá rovnice potom popisuje pohyb matematického kyvadla s pevným závěsem. } % priklad 2.7 \priklad{2.8}{ Odvoďte pohybovou rovnici matematického kyvadla, jehož délka roste lineárně s časem $r=r_{0} (1+kt)$, kde $r_{0}$ a $k$ jsou konstanty. (pozn. osy volíme tak, že tíhové pole působí ve směru osy y) }{ Pomocí $$\begin{array}{l} {x{\; }=r_{0} (1+kt)\sin \varphi (t)} \\ {y=r_{0} (1+kt)\cos \varphi (t)} \\ {z=0} \end{array}$$ transformujeme Lagrangeovu funkci $$L=\frac{1}{2} m(\dot{x}^{2} +\dot{y}^{2} +\dot{z}^{2} )+mgy$$ na $$L=\frac{1}{2} m(r_{0} ^{2} k^{2} +r_{0} ^{2} (1+kt)^{2} \dot{\varphi }^{2} )+mgr_{0} (1+kt)\cos \varphi $$ a zjednodušíme vypuštěním konstant $$L=\frac{1}{2} mr_{0} ^{2} (1+kt)^{2} \dot{\varphi }^{2} +mgr_{0} (1+kt)\cos \varphi.$$ Lagrangeovy pohybové rovnice $$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }} \right)-\frac{\partial L}{\partial \varphi } =0$$ $$\frac{d}{dt} \left(mr_{0} ^{2} (1+kt)^{2} \dot{\varphi }\right)+mgr_{0} (1+kt) \sin \varphi =mr_{0} ^{2} 2k(1+kt)\dot{\varphi }+mr_{0} ^{2} (1+kt)^{2} \ddot{\varphi }+mgr_{0} (1+kt)\sin \varphi =0$$ čímž jsme dostali diferenciálních rovnici $$(1+kt)\ddot{\varphi }+2k\dot{\varphi }+\frac{g}{r_{0} } \sin \varphi =0$$ } % priklady 2.8 \priklad{2.9}{ Napište Lagrangeovu funkci matematického kyvadla, jehož bod závěsu se pohybuje předepsaným způsobem v rovině kyvů (rheonomní vazba) (a) konstantní rychlostí po vodorovné přímce (b) s konstantním zrychlením po vodorovné přímce (c) kmitavým pohybem podle zákona $a\cos \omega t$ po vodorovné přímce (d) kmitavým pohybem $a \sin \omega t$ po svislé přímce (e) s konstantní úhlovou rychlostí $\omega$ po svislé kružnici. }{ V inerciální soustavě má Lagrangeova funkce tvar $L=\frac{1}{2} m\vec{v}^{2} -U( \vec{r})$ Po transformaci do obecně neinerciální soustavy vztahem $\vec{v}=\vec{v}'+\vec{V}(t)$, kde $\vec{V}(t)$ je rychlost, kterou se soustava pohybuje, a po vypuštění úplných časových derivací (viz teorie) dostaneme $$ L'=\frac{1}{2} m\vec{v}'^{2} -m\vec{r}'\dot{\vec{V}}-U(\vec{r}'). $$ Poznamenejme ještě transformační vztahy do polárních souřadnic: $$ \begin{array}{l} {x{\; }=r\sin \varphi (t)} \\ {y=r\cos \varphi (t)} \\ {\vec{v}= \dot{\vec{r}}=(\dot{x},\dot{y},0)} \\ {\vec{v}^{2} =r^{2} \dot{\varphi }^{2} } \end{array}. $$ (a) $\dot{ \vec{V}}(t)=\frac{d}{dt} (V,0,0)=\vec{0}$ $$L'=\frac{1}{2} m\vec{v}'^{2} -m\vec{r}'\dot{\vec{V}}-U(\vec{r}')=\frac{1}{2} m( \dot{r}^{2} +r^{2} \dot{\varphi }^{2} )+mgr\cos \varphi $$ (b) $\dot{\vec{V}}(t)=\frac{d}{dt} (at,0,0)=(a,0,0)$ $$L'=\frac{1}{2} m\vec{v}'^{2} -m\vec{r}'\dot{\vec{V}}-U(\vec{r}')=\frac{1}{2} m(r^{2} \dot{\varphi }^{2} )-mar\sin \varphi +mgr\cos \varphi $$ (c) $\dot{\vec{V}}(t)=\frac{d}{dt} \left(\frac{d}{dt} (a\cos \omega t),0,0\right)=(- \omega ^{2} a\cos \omega t,0,0)$ $$L'=\frac{1}{2} m\vec{v}'^{2} -m\vec{r}'\dot{\vec{V}}-U(\vec{r}')=\frac{1}{2} m(r^{2} \dot{\varphi }^{2} )+\omega ^{2} mr\cos \omega t\sin \varphi +mgr\cos \varphi $$ (d) $\dot{ \vec{V}}(t)=\frac{d}{dt} \left(0,\frac{d}{dt} (a\sin \omega t),0\right)=(0,-\omega ^{2} a\sin \omega t,0)$ $$L'=\frac{1}{2} m\vec{v}'^{2} -m\vec{r}'\dot{\vec{V}}-U(\vec{r}')=\frac{1}{2} m(r^{2} \dot{\varphi }^{2} )+\omega ^{2} mr\sin \omega t\cos \varphi +mgr\cos \varphi $$ (e) $\dot{ \vec{V}}(t)=\frac{d}{dt} \left(\frac{d}{dt} (a\cos \omega t),\frac{d}{dt} (a\sin \omega t),0\right)=(-\omega ^{2} a\cos \omega t,-\omega ^{2} a\sin \omega t,0)$ $$L'=\frac{1}{2} m\vec{v}'^{2} -m\vec{r}'\dot{\vec{V}}-U(\vec{r}')=\frac{1}{2} m(r^{2} \dot{\varphi }^{2} )+\omega ^{2} mr\sin (\omega t+\varphi )+mgr\cos \varphi $$ } % priklad 2.9 \priklad{2.11} {Hmotný bod se pohybuje působením tíže po svislé kružnici poloměru $a$. Byl vypuštěn s nulovou počáteční rychlostí z nejvyššího bodu kružnice. Určete polohu hmotného bodu v libovolném okamžiku, tj. určete $\varphi =\varphi (t)$. }{ Počátek kartézského souřadného systému umístíme do středu kružnice, kladný směr osy y volíme proti směru tíhového pole a vzhledem k vazbě na kružnici volíme transformaci $$ \begin{align} x &= a\sin \varphi \cr y &= a\cos \varphi \cr z &= 0. \end{align} $$ Sestavíme Lagrangeovu funkci $$ L=\frac{1}{2} m(\dot{x}^{2} +\dot{y}^{2} )-mgy=\frac{1}{2} ma^{2} \dot{\varphi }^{2} -mga\cos \varphi. $$ Z obecné energie $$ E=\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }} \dot{\varphi }-L=\frac{1}{2} ma^{2} \dot{\varphi }^{2} +mga\cos \varphi $$ zjistíme $E$, neb víme, že v čase $t=0$, kterému odpovídá $\varphi =0$, bylo těleso vypuštěno s nulovou počáteční rychlostí, tedy $$ E=0+mga\cos 0=mga. $$ Pomocí zákona zachování energie odvodíme pohybovou rovnici $$ \begin{align} mga &= \frac{1}{2} ma^{2} \dot{\varphi }^{2} +mga\cos \varphi \cr 2\frac{g}{a} (1-\cos \varphi ) &= \dot{\varphi }^{2} \cr 2\frac{g}{a} (1-\cos ^{2} \frac{\varphi }{2} +\sin ^{2} \frac{\varphi }{2} ) &= \dot{\varphi }^{2} \cr 2\sqrt{\frac{g}{a} } \sin \frac{\varphi }{2} &= \dot{\varphi } \end{align} $$ a tuto rovnici budeme integrovat. \begin{align} \nonumber 2\sqrt{\frac{g}{a} } t+2\delta &=\int \frac{d\varphi }{\sin {\raise0.5ex\hbox{$ \scriptstyle \varphi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2 $}}} = \int \frac{\sin {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \varphi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2 $}}}{\sin ^{2} {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \varphi $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2 $}}} d\varphi =\left\{z=\cos \frac{\varphi }{2} \right\} = \\ \nonumber &=-2\int \frac{dz}{1-z^{2} } =-2{\; }\argtgh(z), \end{align} a tedy výsledek můžeme napsat jako $$ \tanh\left(\sqrt{\frac{g}{a} } t+\delta \right)=-\cos \frac{\varphi }{2}. $$ Poznámka k výsledku ve skriptu: volbou úhlu $\frac{\theta }{2} =\frac{\pi }{2} -\frac{\varphi }{2} $ dostaneme \begin{align} \nonumber -\cos \frac{\varphi }{2} &=-\cos \left(-\frac{\pi }{2} -\frac{\theta }{2} \right)= -\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\cos \left(\frac{\theta }{2} \right)+\sin \left(- \frac{\pi }{2} \right)\sin \left(-\frac{\theta }{2} \right)= \\ \nonumber &=\sin \left(\frac{\theta }{2} \right)=tgh\left(\sqrt{\frac{g}{a} } t+\delta \right). \end{align} } % priklad 2.11 \priklad{2.12}{ Ve vodorovné rovině může klouzat bez tření těleso hmotnosti $m_{1} $. Je spojeno nehmotnou tyčí délky $r$ s tělesem hmotnosti $m_{2} $, které koná působením tíže kmitavý pohyb ve svislé rovině. Dokažte, že těleso $m_{2} $ se pohybuje po elipse, a vypočítejte dobu kmitu $T$ tohoto eliptického kyvadla pro malé amplitudy. }{ Kartézský souřadný systém zvolíme tak, že kladný směr osy $y$ je ve směru tíhového pole vazby: $$z_{1} =z_{2} =y_{1} =0$$ $$(x_{2} -x_{1} )^{2} +y_{2} ^{2} =r^{2} $$ Zvolíme nezávislé souřadnice podle vztahů $$\begin{array}{l} {y_{2} =r\cos \varphi } \\ {x_{2} =x_{1} +r\sin \varphi } \end{array}$$ $$\begin{array}{l} {\dot{y}_{2} =-r\sin \varphi \dot{\varphi }} \\ {\dot{x}_{2} =\dot{x}_{1} -r\cos \varphi \dot{\varphi }} \end{array}.$$ Potom Lagrangeova funkce $$L=\frac{1}{2} m_{1} \dot{x}_{1} ^{2} +\frac{1}{2} m_{2} (\dot{x}_{2} ^{2} +\dot{y}_{2} ^{2} )+m_{2} gy_{2} $$ bude mít v těchto nových souřadnicích tvar $$L=\frac{1}{2} \dot{x}_{1} ^{2} (m_{1} +m_{2} )+m_{2} \dot{x}_{1} r\cos \varphi \dot{\varphi }+\frac{1}{2} m_{2} r^{2} \dot{\varphi }^{2} +m_{2} gr\cos \varphi $$ Abychom mohli při malých výchylkách určit periodu kmitů, aproximujeme Lagrangeovu funkci $$\cos \varphi \approx 1-\frac{\varphi ^{2} }{2} \approx 1$$ $$\tilde{L}=\frac{1}{2} \dot{x}_{1} ^{2} (m_{1} +m_{2} )+m_{2} \dot{x}_{1} r\dot{ \varphi }+\frac{1}{2} m_{2} r^{2} \dot{\varphi }^{2} -\frac{1}{2} m_{2} gr\varphi ^{2}. $$ Potom budou mít Lagrangeovy rovnice mít tvar $$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial \tilde{L}}{\partial \dot{\varphi }} \right)- \frac{\partial \tilde{L}}{\partial \varphi } =\frac{d}{dt} \left(m_{2} r\dot{x}_{1} +m_{2} r^{2} \dot{\varphi }\right)+m_{2} gr\varphi =m_{2} r\ddot{x}_{1} +m_{2} r^{2} \ddot{\varphi }+m_{2} gr\varphi =0$$ $$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial \tilde{L}}{\partial \dot{x}} \right)-\frac{\partial \tilde{L}}{\partial \varphi } =\frac{d}{dt} \left((m_{1} +m_{2} )\dot{x}_{1} +m_{2} r\dot{\varphi }\right)=(m_{1} +m_{2} )\ddot{x}_{1} +m_{2} r\ddot{\varphi }=0$$ a dostali jsme soustavu diferenciálních rovnic $$\ddot{x}_{1} +r\ddot{\varphi }+g\varphi =0$$ $$\ddot{x}_{1} +\frac{m_{2} }{m_{1} +m_{2} } r\ddot{\varphi }=0$$ odkud po úpravě dostaneme rovnici $$\ddot{\varphi }+\frac{g}{r} \frac{m_{1} +m_{2} }{m_{1} } \varphi =0$$ která představuje rovnici harmonického $\ddot{\varphi }+\omega ^{2} \varphi =0$oscilátoru s úhlovou frekvencí $\omega =\sqrt{\frac{g}{r} \frac{m_{1} +m_{2} }{m_{1} } } $ a protože $\omega =2\pi \nu =\frac{2\pi }{T} $ dostaneme $$T=2\pi \sqrt{\frac{r}{g} \frac{m_{1} }{m_{1} +m_{2} } } $$ nyní ještě stačí dokázat, že se $m_{2} $ pohybuje po elipse -- zde je výhodné se vrátit k neaproximované Lagrangeově funkci a využít, že $$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right)-\frac{\partial L}{ \partial \varphi } = \frac{d}{dt} \left((m_{1} +m_{2} )\dot{x}_{1} +m_{2} r\cos \varphi + \dot{\varphi }\right)=0$$ je integrál pohybu a tedy $$(m_{1} +m_{2} )\int dx_{1} +m_{2} r\int \cos \varphi d\varphi =C_{1} \int dt +C_{2} $$ $$(m_{1} +m_{2} )x_{1} +m_{2} r\sin \varphi =C_{1} t+C_{2} $$ a protože chceme trajektorii hmotného bodu $m_{2} $, dosadíme za $x_{1} =x_{2} -r \sin \varphi $ $$(m_{1} +m_{2} )x_{2} -m_{1} r\sin \varphi =C_{1} t+C_{2} $$ nyní eliminujeme $\varphi$ -- za tím účelem si vhodně vyjádříme předchozí rovnice $$\frac{(m_{1} +m_{2} )x_{2} -C_{1} t-C_{2} }{m_{1} r} =\sin \varphi $$ $$\frac{y_{2} }{r} =\cos \varphi $$ které umocníme na druhou a sečteme, čímž dostaneme hledanou rovnici elipsy $$\frac{y_{2} ^{2} }{r^{2} } +\frac{\left((m_{1} +m_{2} )x_{2} -C_{1} t-C_{2} \right)^{2}}{m_{1} ^{2} r^{2} } =1$$ } % priklad 2.12 \priklad{2.17}{ Přesvědčete se, že funkce $F_{1} (x,\dot{x},t)=\dot{x}+gt$a $F_{2} (x,\dot{x},t)= \dot{x}^{2} +2gx$ jsou první integrály rovnice $\ddot{x}+g=0$, kde g je konstanta. Vypočítejte pomocí nich $x=x(t)$. }{ $F$ je integrál rovnice $\ddot{x}+g=0$ právě když platí $\frac{d}{dt} F=0$ a to použijeme: $$\frac{d}{dt} F_{1} (x,\dot{x},t)=\ddot{x}+g=0$$ $$\frac{d}{dt} F_{2} (x,\dot{x},t)=2\dot{x}\ddot{x}+2g\dot{x}=2\dot{x}(\ddot{x}+g)=0,$$ což bylo dokázati. $x=x(t)$ vypočítáme pomocí těchto integrálů tak, že z první funkce vyjádříme $\dot{x}=F_{1} -gt$ a dosadíme do druhé $F_{2} =(F_{1} -gt)^{2} +2gx$ a z této jednoduché rovnice nám vyjde, že $$x(t)=\frac{F_{2} -(F_{1} -gt)^{2} }{2g} =-\frac{1}{2} gt^{2} +F_{1} t+\frac{F_{2} -F_{1} }{2g} $$ } % priklad 2.17 \priklad{2.18}{ Přesvědčete se, že funkce $F_{1} (x,\dot{x},t)=-\omega t+\arctan\left(\frac{\omega x}{\dot{x}} \right)$ a $F_{2} (x,\dot{x},t)=\frac{\dot{x}^{2} }{\omega ^{2} } +x^{2} $ jsou první integrály rovnice $\ddot{x}+\omega ^{2} x=0$, kde $\omega$ je kladná konstanta. }{ Vypočítejte pomocí nich $x=x(t)$ $$\frac{d}{dt} F_{1} =-\omega +\frac{\dot{x}^{2} }{\dot{x}^{2} +\omega ^{2} x^{2} } \frac{\dot{x}^{2} -x\ddot{x}}{\dot{x}^{2} } \omega =\omega \frac{-(\dot{x}^{2} +\omega ^{2} x^{2} )+\dot{x}^{2} -x\ddot{x}}{\dot{x}^{2} +\omega ^{2} x^{2} } =- \omega x\frac{\ddot{x}+\omega ^{2} x}{\dot{x}^{2} +\omega ^{2} x^{2} } =0$$ $$\frac{d}{dt} F_{2} =\frac{2\dot{x}\ddot{x}}{\omega ^{2} } +2x\dot{x}=2\dot{x}\frac{ \ddot{x}+\omega ^{2} x}{\omega ^{2} } =0$$ což bylo dokázati a nyní odvodíme $x=x(t)$ tak, že z první funkce vyjádříme $$\frac{\dot{x}}{\omega } =\frac{x}{tg(F_{1} +\omega t)} $$ a dosadíme do druhé $$F_{2} =\frac{x^{2} }{tg^{2} (F_{1} +\omega t)} +x^{2} =x^{2} \frac{1+tg^{2} (F_{1} +\omega t)}{tg^{2} (F_{1} +\omega t)} =x^{2} \frac{1}{\sin ^{2} (F_{1} +\omega t)} $$ čímž po úpravě dostaneme $$x(t)=\sqrt{F_{2} } \sin (F_{1} +\omega t)$$ } % priklad 2.18 \priklad{2.22}{ Vypočtěte složky vektorů dostředivého, Eulerova a Coriolisova zrychlení v neinerciální soustavě S', která se otáčí kolem osy z' s předepsanou časovou závislostí úhlu otočení $\varphi =\varphi (t)$. }{ Vektor otáčení okolo osy z : $$\vec{\Omega }=(0,0,\dot{\varphi }(t))$$ $$\dot{\vec{\Omega }}=(0,0,\ddot{\varphi }(t))$$ dostředivé zrychlení $\vec{a}_{d} =-\vec{\Omega }\times (\vec{r}'\times \vec{\Omega })=(-\dot{\varphi }^{2} x',{\; }-\dot{\varphi }^{2} y',0)$ Eulerovo zdrchlení $\vec{a}_{E} =-\vec{r}'\times \dot{\vec{\Omega }}=(-\ddot{\varphi }y',{\; }-\ddot{\varphi }x',0)$ Coriolisovo zrychlení $\vec{a}_{C} =-2\dot{\vec{r}}'\times \vec{\Omega }=(-2\dot{ \varphi }\dot{y}',{\; }-2\dot{\varphi }\dot{x}',0)$ } % priklad 2.22 \priklad{2.23}{ Hmotný bod je vázán na polopřímku vycházející z počátku O inerciálního systému S souřadnic $x_{1} ,x_{2} ,x_{3} $. Polopřímka leží v rovině$x_{1} ,x_{2} $a otáčí se vůči S s konstantní úhlovou rychlostí $\Omega$. Hmotný bod o hmotnosti m je po přímce volně pohyblivý a nepůsobí na něj žádná skutečná síla. Pomocí Lagrangeovy funkce odvoďte jeho pohybovou rovnici a integrujte ji. }{ Vazby a následné transformace tedy jsou $$\begin{array}{l} {\varphi =\Omega t+\varphi _{0} } \\ {x_{1} =r\cos \varphi } \\ {x_{2} =r\sin \varphi } \\ {x_{3} =0} \end{array}$$ sestavíme Lagrangeovu funkci $$L=\frac{1}{2} m(\dot{x}_{1} ^{2} +\dot{x}_{2} ^{2} )=\frac{1}{2} m(\dot{r}^{2} +r^{2} \dot{\varphi })=\frac{1}{2} m(\dot{r}^{2} +r^{2} \Omega ^{2} )$$ a řešíme Lagrangeovu rovnici $$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}} \right)-\frac{\partial L}{ \partial r} =\frac{d}{dt} \left(m\dot{r}\right)-m\Omega ^{2} r=m\ddot{r}-m\Omega ^{2} r=0$$ dostali jsme diferenciální rovnici $$\ddot{r}-\Omega ^{2} r=0$$ jejímž řešení je $$r(t)=A\cosh (\Omega t+\varphi _{0} )$$ } \priklad{2.24}{ Odvoďte rovnici pohybu hmotného bodu po kružnici poloměru R, která se otáčí konstantní úhlovou rychlostí $\Omega$ kolem svislé osy, ležící v rovině kružnice. Vzdálenost středu kružnice od osy otáčení je a. Soustava je v homogenním tíhovém poli. Při a = 0 diskutujte rovnovážné polohy bodu v závislosti na $\Omega$. }{ Počátek naší inerciální soustavy souřadné umístíme tak, že osa z je totožná s osou otáčení a kladný směr směřuje proti tíhovému poli, a zbylé dvě osy tvoří rovinu, ve které leží otáčející se střed kružnicenapišme Lagrangeovu funkci této soustavy $$L= \frac{1}{2} m(\dot{x}^{2} +\dot{y}^{2} +\dot{z}^{2} )-mgz$$ a vazby, kterým se soustava podřizuje $$(x-a)^{2} +z^{2} =R^{2} $$ vzhledem k těmto vazbám i ke konstantní rychlosti otáčení kolem svislé osy zaveďme nové obecné souřadnice $$\begin{array}{l} {x{\; }=(a+R\sin \varphi )\cos \Omega t} \\ {y=(a+R\sin \varphi )\sin \Omega t} \\ {z=R\cos \varphi } \end{array}$$ čímž Lagrangeova funkce dostane novou podobu $$L=\frac{1}{2} m(R^{2} \dot{\varphi }^{2} +2\Omega ^{2} aR\sin \varphi +\Omega ^{2} R^{2} \sin ^{2} \varphi )-mgR\cos \varphi $$ a přistoupíme k napsání Lagrangeových rovnic II. druhu $$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }} \right)-\frac{\partial L}{\partial \varphi } =mR^{2} \ddot{\varphi }-m\Omega ^{2} aR\cos \varphi -\Omega ^{2} R^{2} \sin \varphi \cos \varphi -mgR\sin \varphi =0$$ $$\ddot{\varphi }-\Omega ^{2} \sin \varphi \cos \varphi -\frac{g}{R} \sin \varphi -\frac{\Omega ^{2} a}{R} \cos \varphi =0$$ a nyní položme a = 0 a hledejme rovnovážné body z podmínky $\ddot{\varphi }=0$ $$-\Omega ^{2} \sin \varphi \cos \varphi -\frac{g}{R} \sin \varphi =0$$ $$\sin \varphi \left(\cos \varphi +\frac{g}{R\Omega ^{2} } \right)=0$$ odkud dostáváme rovnovážné body jako $$\varphi \in \left\{\pi \cdot {Z},{\; }-\frac{g}{R\Omega ^{2} } \right\}$$ } % priklad 2.24