01MAA4:Kapitola38: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
m |
||
Řádka 102: | Řádka 102: | ||
a to je holomorfní funkce, z~Cauchyho pak vyplývá, že | a to je holomorfní funkce, z~Cauchyho pak vyplývá, že | ||
\[\int_\phi\left(f(z)-\sum_{a\in M\cap\intd\phi}H_a(z)\right)=0.\]\\ | \[\int_\phi\left(f(z)-\sum_{a\in M\cap\intd\phi}H_a(z)\right)=0.\]\\ | ||
− | Druhá možnost: Předpokládám, že v~$\intd\phi$ leží pouze jeden singulární bod, potom z~Laurentovy věty je | + | Druhá možnost (bez záruky): Předpokládám, že v~$\intd\phi$ leží pouze jeden singulární bod, potom z~Laurentovy věty je |
\[a_{-1}=\frac{1}{2\pi \im}\int_{\phi}f(\xi) \d \xi\,. \] | \[a_{-1}=\frac{1}{2\pi \im}\int_{\phi}f(\xi) \d \xi\,. \] | ||
Pro jeden singulární bod tedy věta platí, na další body to mohu natáhnout indukcí. Vždy sestrojím v~$G\sm M$ Jordanovu dráhu $\phi_n \dot{+} \psi$, která obsahuje $n$ singulárních bodů a neobsahuje $n+1$. bod. Kolem tohoto bodu mohu sestrojit dráhu $\phi_{n+1}\dot{-}\psi$, $\psi$ je společná část dráhy. Celkem potom dostanu | Pro jeden singulární bod tedy věta platí, na další body to mohu natáhnout indukcí. Vždy sestrojím v~$G\sm M$ Jordanovu dráhu $\phi_n \dot{+} \psi$, která obsahuje $n$ singulárních bodů a neobsahuje $n+1$. bod. Kolem tohoto bodu mohu sestrojit dráhu $\phi_{n+1}\dot{-}\psi$, $\psi$ je společná část dráhy. Celkem potom dostanu |
Verze z 1. 6. 2013, 00:22
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 21:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 08:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 08:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 10:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 21:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 10:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 15:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 10:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 08:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 09:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 20:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 08:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 08:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 10:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 08:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 12:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 00:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 20:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 08:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 08:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 12:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 10:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Laurentovy řady} \begin{define} Buď $a_n\in\C$ pro $n\in\Z$. Potom řadu \[\sum_{-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n\] nazveme {\bf Laurentovou řadou} a {\bf součet Laurentovy} [Loránovy] {\bf řady} je \[\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n+ \sum_{n=1}^{+\infty}a_{-n}(z-z_0)^{-n}.\] \end{define} \begin{remark} Konvergence na mezikruží $B(z_0,r,R)$: $\abs{z-z_0}<R$ a $\abs{z-z_0}>r$. \end{remark} \begin{theorem}[Laurent] Nechť funkce $f$ je holomorfní na mezikruží \[P(z_0,r,R)=\{z\in\C|r<\abs{z-z_0}<R\}.\] Pak pro každé $z\in P$ platí \[f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n,\] kde \[a_n=\frac{\ind_\vartheta z_0}{2\pi\im} \int_\vartheta\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi,\quad [\vartheta]\subset P,\ z_0\in\intd\vartheta.\] \begin{figure}[h] \center \includegraphics{01MAA4_lauren.pdf} \caption{K důkazu Laurentovy věty} \end{figure} \begin{proof} Buď $z\in P$, $r<r_1\le\abs{z-z_0}<r_2<R$, \[ \begin{split} f(z)&=\frac{1}{2\pi\im}\int_{\varphi_2}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi+ \frac{1}{2\pi\im}\int_{\varphi_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi= \frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_2}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi- \frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi=\\ &=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_2} \frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\right)(z-z_0)^n+ \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_1} \frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{-n+1}}\right)(z-z_0)^{-n} \end{split} \] Využilo se toho, že \[ \begin{split} -\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi&= \int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{z-\xi}\,\d\xi= \int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{z-z_0} \frac{\d\xi}{1-\frac{\xi-z_0}{z-z_0}}= \int_{\psi_1}\sum_{n=0}^\infty \frac{f(\xi)}{z-z_0}\left(\frac{\xi-z_0}{z-z_0}\right)^n\d\xi=\\ &=\sum_{n=1}^\infty\int_{\psi_1} \frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{-n+1}}(z-z_0)^{-n}\,\d\xi \end{split} \] \end{proof} \end{theorem} \begin{define} $P(z_0,R)$ bude značit $P(z_0,0,R)$. \end{define} \begin{define} Bod $z_0$ se nazývá {\bf singulárním bodem funkce $f$}, jestliže $f$ je holomorfní na $P(z_0,R)$ a v~$z_0$ není. \end{define} \begin{define} Buď $z_0$ singulární bod funkce $f$. \begin{enumerate}[(i)] \item Řekneme, že singularita je {\bf odstranitelná}, jestliže v~její Laurentově řadě se středem $z_0$ je $a_n=0$ pro $n<0$. \item Řekneme, že singularita je {\bf $p$-tého řádu} (pól p-tého stupně), jestliže $a_n=0$ pro $n<-p$. \item Řekneme, že singularita je {\bf podstatná}, jestliže pro nekonečně mnoho $a_n$, $n<0$ platí, že $a_n\not=0$. \end{enumerate} \end{define} \begin{define} Buď $z_0$ singulární bod funkce $f$ a \[\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n\] její Laurentova řada. Pak číslo $a_{-1}=\rez_{z_0}f$ nazýváme {\bf reziduum funkce v~bodě $z_0$}. \end{define} \begin{theorem}[reziduová] Nechť $f$ je holomorfní na otevřené množině $G\sm M$, $M\subset G$ je množina jejích singulárních bodů, nechť $\phi$ je po částech hladká Jordanova dráha, $\intd\phi\subset G$. Pak \[\int_\phi f(z)\,\d z=\sum_{a\in M\cap\intd\phi} 2\pi\im\,\rez_a f\,\ind_\phi a.\] \begin{proof} Vezmu $a\in M\cap\intd\phi$ a udělám rozvoj $f(z)=H_a(z)+R_a(z)$. Vytvořím \[f(z)-\sum_{a\in M\cap\intd\phi}H_a(z)\] a to je holomorfní funkce, z~Cauchyho pak vyplývá, že \[\int_\phi\left(f(z)-\sum_{a\in M\cap\intd\phi}H_a(z)\right)=0.\]\\ Druhá možnost (bez záruky): Předpokládám, že v~$\intd\phi$ leží pouze jeden singulární bod, potom z~Laurentovy věty je \[a_{-1}=\frac{1}{2\pi \im}\int_{\phi}f(\xi) \d \xi\,. \] Pro jeden singulární bod tedy věta platí, na další body to mohu natáhnout indukcí. Vždy sestrojím v~$G\sm M$ Jordanovu dráhu $\phi_n \dot{+} \psi$, která obsahuje $n$ singulárních bodů a neobsahuje $n+1$. bod. Kolem tohoto bodu mohu sestrojit dráhu $\phi_{n+1}\dot{-}\psi$, $\psi$ je společná část dráhy. Celkem potom dostanu \[\int_\phi = \int_{\phi_n \dot{+} \phi_{n+1}}=\int_{\phi_n \dot{+} \psi}+\int_{\phi_{n+1} \dot{-} \psi}=\sum_{k=1}^{n}2\pi\im\,\rez_{a_k} f\,\ind_\phi a_k + 2\pi\im\,\rez_{a_{n+1}} f\,\ind_\phi a_{n+1} \,. \]\\ \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Výpočet rezidua ($a_{-1})$ v bodě $z_0$, kde je singularita p-tého řádu (chová se to podobně jako $1/(z-z_0)^p$)\\ \[ f(z) = \sum_{n=-p}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n \] \[ f(z)(z-z_0)^p = \sum_{n=-p}^{+\infty}a_n(z-z_0)^{n+p} \] \[ \frac{\d^{p-1}}{\d z^{p-1}}\left( f(z)(z-z_0)^p \right)= (p-1)!\sum_{n=-1}^{+\infty}a_n(z-z_0)^{n+1} \] \[ a_{-1} = \lim_{z\to z_0}\frac{1}{(p-1)!}\frac{\d^{p-1}}{\d z^{p-1}}\left( f(z)(z-z_0)^p \right)\] Limitu jde dobře vypočítat pomocí l'Hospitalova pravidla. \end{remark} \newpage