Matematika1Priklady:Kapitola2: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 3: | Řádka 3: | ||
\subsection*{\fbox{Rozcvička}} | \subsection*{\fbox{Rozcvička}} | ||
− | V této úvodní části jsou příklady na derivace, které pro svou nižší náročnost nebudou ve zkouškové písemce a tudíž nejsou číslovány. | + | V této úvodní části jsou příklady na derivace, které pro svou nižší náročnost nebudou ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány. |
\begin{itemize} | \begin{itemize} |
Verze z 18. 7. 2011, 08:56
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika1Priklady
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika1Priklady | Fucikrad | 18. 9. 2011 | 07:54 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:44 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 27. 4. 2022 | 08:11 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Limity a spojitost | Pitrazby | 25. 10. 2016 | 08:25 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Derivace, inverzní funkce, tečny, normály, asymptoty | Dvoraro3 | 4. 11. 2022 | 21:56 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Vyšetřování funkcí | Admin | 29. 1. 2023 | 19:44 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Extremální úlohy, konvexnost, konkávnost, inflexe | Admin | 3. 4. 2024 | 10:17 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Neurčité integrály a primitivní funkce | Dvoraro3 | 28. 11. 2022 | 22:16 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Určité integrály | Pitrazby | 28. 4. 2016 | 11:29 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Aplikace integrálů | Fucikrad | 12. 4. 2022 | 09:53 | kapitola7.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1Priklady} \section{Derivace, inverzní funkce, tečny, normály, asymptoty} \subsection*{\fbox{Rozcvička}} V této úvodní části jsou příklady na derivace, které pro svou nižší náročnost nebudou ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány. \begin{itemize} \item \begin{priklad} f(x) = \sqrt{x}(2x^2+3x+5); f^\prime(x)=? \end{priklad} \res{$\frac{10x^2+9x+5}{2\sqrt{x}}$} \item \begin{priklad} f(x) = \frac{2\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}; f^\prime(x)=? \end{priklad} \res{$\frac{1}{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})^2} $} \item \begin{priklad} f(x) = \frac{\cos{x} - 1}{\sin{x}}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$ -\frac{1}{1+\cos{x}}$} \item \begin{priklad} f(x) = \sqrt[3]{x^2-1}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$ \frac{2x\sqrt[3]{x^2-1}}{3(x^2-1)}$} \item \begin{priklad} f(x) = \sin{(x^2-1)}; f^\prime(x)=? \end{priklad} \res{$2x\cos{(x^2-1)} $} \item \begin{priklad} f(x) = \sqrt[3]{x}(2x^2+1); f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\frac{\sqrt[3]{x}(14x^2+1)}{3x} $} \item \begin{priklad} f(x) = \frac{1+x}{\sqrt{x}}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\frac{x-1}{2x\sqrt{x}} $} \item \begin{priklad} f(x) = \frac{1+\cos{x}}{1-\cos{x}}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$-\frac{\sin{(2x)}}{(1-\cos{x})^2} $} \item \begin{priklad} f(x) = \sqrt{\sin{x}}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\frac{\cos{x}}{2\sqrt{\sin{x}}} $} \item \begin{priklad} f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}; f^\prime(x)=? \end{priklad} \res{$ - \frac{x}{\sqrt{(1+x^2)^3}} $} \item \begin{priklad} f(x) = \sin{\sqrt{x}}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\frac{\cos{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} $} \item \begin{priklad} f(x) = \sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\frac{\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}}{2x} $} \item \begin{priklad} f(x) = \frac{(1-\sqrt{x})^2}{2x}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\frac{\sqrt{x}-1}{2x^2} $} \item \begin{priklad} f(x) = \frac{x^3}{3} (\ln{x} - \frac{1}{3}); f^\prime(x)=? \end{priklad} \res{$ x^2 \ln{x} $} \item \begin{priklad} f(x) = \frac{x^2+1}{(1-x)^2}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\frac{2(x+1)}{(1-x)^3} $} \item \begin{priklad} f(x) = x\sqrt{1+x^2}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\frac{2x^2+1}{\sqrt{1+x^2}} $} \item \begin{priklad} f(x) = -\frac{2\cos{x}}{3} - \frac{\cos{x}\sin^2{x}}{3}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\sin^3{x} $} \item \begin{priklad} f(x) = \sin^4{x} - \cos^4{x}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\sin{(2x)} $} \item \begin{priklad} f(x) = \tan^4{x} - 2 \tan^2{x}-4 \ln{\cos{x}}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$4 \tan^5{x} $} \item \begin{priklad} f(x) = \sin{(1+\cos{x})}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\cos{x} + \cos^2{x} - \sin^2{x} $} \item \begin{priklad} f(x) = \frac{2}{\sin{x}} - \frac{\cos{x}}{3} + \tan{x}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$-\frac{2\cos{x}}{\sin^2{x}} + \frac{\sin{x}}{3} + \frac{1}{\cos^2{x}} $} \item \begin{priklad} f(x) = \frac{3}{2x-4} + 6x^2\sqrt{x}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$-\frac{6}{(2x-4)^2}+15x\sqrt{x} $} \item \begin{priklad} f(x) = (a^2 - x^2 )\frac{x-1}{x}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$(2-2x)+(a^2-x^2)x^{-2} $} \item \begin{priklad} f(x) = \sqrt{x^2-\sqrt{x}}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\frac{1}{2\sqrt{x^2-\sqrt{x}}}\Big( 2x - \frac{1}{2\sqrt{x}}\Big) $} \item \begin{priklad} f(x) = \ln{(x^3)}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\frac{3}{x} $} \item \begin{priklad} f(x) = \ln^3{x}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\frac{3}{x}\ln^2{x} $} \item \begin{priklad} f(x) = \ln{\tan{x}}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\frac{2}{\sin{2x}} $} \item \begin{priklad} f(x) = \ln{\sin{x}}; f^\prime(x)=? \end{priklad} \res{$ \cot{x} $} \item \begin{priklad} f(x) = \frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\frac{1}{1+\cos{x}} $} \item \begin{priklad} f(x) = \arctan{x^2+1}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\frac{2x}{x^4+2x^2+2} $} \item \begin{priklad} f(x) = \ln{\sin{(x^3-2x+1)}}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$(3x^2-2)\cot{(x^3-2x+1)} $} \item \begin{priklad} f(x) = \ln{(e^x + e^{-x})}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\frac{e^x - e^{-x}}{e^x+e^{-x}} $} \item \begin{priklad} f(x) = \frac{2x+7}{(x^3+2x+5)^2}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\frac{-10x^3-42x^2-4x-18}{(x^3+2x+5)^3} $} \item \begin{priklad} f(x) = a ^ {\sqrt{x}}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\frac{\ln{a}}{2\sqrt{x}}a ^ {\sqrt{x}} $} \item \begin{priklad} f(x) = \frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\frac{2\sin{x}}{(1+\cos{x})^2} $} \item \begin{priklad} f(x) = x \ln{x}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\ln{x} + 1 $} \item \begin{priklad} f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}; f^\prime(x)= ? \end{priklad} \res{$\frac{a}{(x^2+a) ^{3/2}} $} \item Nalezněte $n$. derivaci funkce \begin{priklad} \e^x \end{priklad} \res{$\e^x$} \end{itemize} \subsection*{\fbox{Zkouškové příklady}} \begin{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \odstavec{Derivace} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Nechť je dána funkce $\displaystyle f(x) = x \sqrt[3]{|x+1|}$. \begin{enumerate} \item Nalezněte definiční obor funkce $f$, rozhodněte o spojitosti a nalezněte derivaci funkce $f$ v každém bodě $D_f$ kromě bodu $x=-1$. \item Rozhodněte o existenci derivace funkce $f$ v bodě $x=-1$. \end{enumerate} \res{spojitá na $D_f=\R$, $f^\prime(-1)$ neex} \item Nechť je dána funkce $\displaystyle f(x) = \ln( \ln x)$. \begin{enumerate} \item Nalezněte definiční obor $D_f$, první derivaci $f'$ a její definiční obor $D_{f'}$. \item Je tato funkce prostá na svém definičním oboru ? Pokud ano, nalezněte inverzní funkci $f^{-1}$ a její první derivaci $(f^{-1})'$. \end{enumerate} \res{$D_f=(1,+\infty)$. $f^\prime(x)=\frac{1}{x\ln{x}}$, $f^{-1}(x)=\exp(\exp(x))$, $(f^{-1})^\prime(x)=\exp(\exp(x))(\exp(x)+1)$} \item Nechť je dána funkce $\displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} \cos(\sqrt{x}) & \hbox{pro} & x > 0 \\ 1 & \hbox{pro} & x = 0 \\ \cos(\sqrt{-x}) & \hbox{pro} & x < 0. \end{array} \right.$ \begin{enumerate} \item Je funkce $f$ spojitá v bodě $x=0$ ? Své rozhodnutí zdůvodněte. \item Z definice jednostranné derivace nalezněte $f'_-(0)$ a $f'_+(0)$ a rozhodněte o existenci derivace $f'(0)$. \end{enumerate} \res{Spojitá na $\R$, $f^\prime_+(0) = -1/2$, $f^\prime_-(0)=1/2$, $f^\prime(0)$ neex} \item Funkci $\displaystyle f(x) = \frac{1-\cos x}{\sin x}$ dodefinujte v bodě $x=0$ tak, aby byla spojitá a pro takto dodefinovanou funkci nalezněte z definice derivaci $f^\prime(0)$. \res{0, $\frac12$} \item Nalezněte derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = \arccos{\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}}. \end{priklad} \res{$\pm \frac{1}{1+x^2} $} \item Nalezněte derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = \arcsin{(2x\sqrt{1-x^2})}. \end{priklad} \res{$\pm \frac{2}{\sqrt{1-x^2}} $} \item Nalezněte derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = \frac{x}{x+\sqrt{x+\sqrt{a^2+x^2}}}. \end{priklad} \res{$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+x^2}(x+\sqrt{a^2+x^2})^2} $} \item Nalezněte derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = \Big( \frac{1+x}{1-x}\Big) ^ {\frac{1-x}{1+x}}. \end{priklad} \res{$\frac{2y}{(1+x)^2}\big(1-\ln{\frac{1+x}{1-x}}\big) $} \item Nalezněte derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = x ^ {1/x}. \end{priklad} \res{$x ^ {1/x - 2}(1- \ln{x}) $} \item Nalezněte derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = x ^ {\sin{x}}. \end{priklad} \res{$x ^ {\sin{x}}(\cos{\ln{x}} + x ^ {-1}\sin{x}) $} \item Nalezněte derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = \arctan{\big( \frac{x}{x^2+1}\big)}. \end{priklad} \res{$\frac{1-x^2}{1+3x^2+x^4} $} \item Nalezněte derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = \frac{1}{2} \ln{\tan{\frac{x}{2}}} - \frac{\cos{x}}{2\sin^2{x}}. \end{priklad} \res{$\frac{1}{\sin^3{x}} $} \item Nalezněte derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = \arcsin{\big(\frac{x}{x^2+1}\big)}. \end{priklad} \res{$\frac{1-x^2}{1+x^2}(1+x^2+x^4)^{-1/2} $} \item Nalezněte derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = \arcsin{\tan{x}}. \end{priklad} \res{$\frac{1}{|\cos{x}|\sqrt{\cos{2x}}} $} \item Nalezněte $D_f$ a derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}. \end{priklad} \res{$D_f=[0,+\infty)$, $\frac{1+ \frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x + \sqrt{x}}} }{2\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}}$} \item Nalezněte $D_f$ a derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = \sqrt{\sin\sqrt{x}}. \end{priklad} \res{$D_f=(0,\pi^2)$, $\frac{\cos\sqrt{x}}{4\sqrt{x}\sqrt{\sin\sqrt{x}}}$} \item Nalezněte derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = \sqrt[3]{\frac{1+x^3}{1-x^3}} \end{priklad} pro $|x|\neq1$. \res{$ 1/3\, \left( 3\,{\frac {{x}^{2}}{1-{x}^{3}}}+3\,{\frac { \left( 1+{x}^ {3} \right) {x}^{2}}{ \left( 1-{x}^{3} \right) ^{2}}} \right) \left( {\frac {1+{x}^{3}}{1-{x}^{3}}} \right) ^{-2/3} $} \item Nalezněte $D_f$ a derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = \ln\ln\ln x. \end{priklad} \res{$D_f=(\e,+\infty)$, $\frac{1}{\ln\ln x} \frac{1}{\ln x} \frac{1}{x} $} \item Nalezněte derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = \ln\left( \frac1x + \ln \frac1x \right). \end{priklad} \res{$- \frac{1}{x^2}\frac{x+1}{\frac1x + \ln\frac1x}$} \item Nalezněte derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = \ln\sqrt{\frac{1-\sin{x}}{1+\sin{x}}}. \end{priklad} \res{$-\frac{1}{\cos{x}}$} \item Nalezněte derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = x(\sin\ln{x} - \cos\ln{x}). \end{priklad} \res{$-2\sin\ln{x}$} \item Nalezněte derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = \arctg\left(x - \sqrt{1+x^2}\right). \end{priklad} \res{$-\frac{x-\sqrt{1+x^2}}{2\sqrt{1+x^2}(1+x^2-x\sqrt{1+x^2})}$} \item Nalezněte derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = x + \sqrt{1-x^2} \arccos{x}. \end{priklad} \res{$-\frac{x\arccos{x}}{\sqrt{1-x^2}}$} \item Nalezněte derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = \arcsin\frac{1-x^2}{1+x^2} \end{priklad} pro $x\neq 0$. \res{$-\sign{x}\frac{2}{1+x^2}$} \item Nalezněte $D_f$ a derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = \arctg\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} \end{priklad} pro $|x|<1$. \res{$D_f=\{|x|\leq1\}$, $f^\prime(x)=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$} \item Nalezněte derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = \arcctg\frac{1-2x}{2\sqrt{x-x^2}} \end{priklad} pro $x\in(0,1)$. \res{$\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$} \item Nalezněte derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = \ln \left(\e^x + \sqrt{1+\e^{2x}} \right). \end{priklad} \res{$\frac{\e^x}{\sqrt{1+\e^{2x}}}$} \item Nalezněte derivaci funkce \begin{priklad} f(x) = \frac{\cosh{x}}{\sinh^2{x}} - \ln\ctgh{\frac{x}{2}}. \end{priklad} \res{$-\frac2{\sinh^3{x}}$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \odstavec{Derivace vyšších řádů} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Nalezněte derivaci řádu $n\in\N_0$ funkce \begin{priklad} f(x)=a^x, \end{priklad} kde $a>0$. \res{$f^{(n)}(x)=(\ln^n(a)~a^x$} \item Nalezněte derivaci řádu $n\in\N_0$ funkce \begin{priklad} f(x)=\cos{x}. \end{priklad} \res{$f^{(2k)}(x)=(-1)^k\cos{x}$, $f^{(2k+1)}(x)=(-1)^{k+1}\sin(x)$} \item Nalezněte derivaci řádu $n\in\N_0$ funkce \begin{priklad} f(x)=\sin{x}. \end{priklad} \res{$f^{(2k)}(x)=(-1)^k\sin{x}$, $f^{(2k+1)}(x)=(-1)^{k}\cos(x)$} \item Nalezněte derivaci řádu $n\in\N_0$ funkce \begin{priklad} f(x)=x^n. \end{priklad} \res{$f^{(n)} = n!$} \item Nalezněte derivaci 2. řádu funkce \begin{priklad} f(x)=\tg{x}. \end{priklad} \res{$f^{\prime\prime} = \frac{2\sin{x}}{\cos^3{x}}$} \item Nalezněte derivaci 2. řádu funkce \begin{priklad} f(x)=x\ln{x}. \end{priklad} \res{$f^{\prime\prime} = \frac{1}{x}$} \item Nalezněte derivaci 2. řádu funkce \begin{priklad} f(x)=(1+x^2)\arctg{x}. \end{priklad} \res{$f^{\prime\prime} = 2\arctg{x} + \frac{2x}{1+x^2}$} \item Nalezněte derivaci 4. řádu funkce \begin{priklad} f(x)=\sqrt{x}. \end{priklad} \res{$f^{(4)} = -\frac{1\cdot3\cdot5\cdot7}{2\cdot2\cdot2\cdot2}x^{-\frac92}$} \end{enumerate}