01ALG:Kapitola7: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(zavažná chyba v definici modulu) |
|||
Řádka 38: | Řádka 38: | ||
\defined[modul]{Modulem} rozumíme grupu s~operátory $G_R$, kde $R$ je asociativní okruh s~jednotkou | \defined[modul]{Modulem} rozumíme grupu s~operátory $G_R$, kde $R$ je asociativní okruh s~jednotkou | ||
a $(\AA \alpha,\beta\in R\supdot)(\AA a\in G\supdot)\bigl((\alpha+\beta)a=\alpha a+\beta a | a $(\AA \alpha,\beta\in R\supdot)(\AA a\in G\supdot)\bigl((\alpha+\beta)a=\alpha a+\beta a | ||
− | \Land \alpha(\beta a)= | + | \Land \alpha(\beta a)= (\alpha \beta) a\bigr)$. |
Modul $G_R$ nazveme \defined[modul!unitární]{unitární}, pokud $1\cdot a=a$. | Modul $G_R$ nazveme \defined[modul!unitární]{unitární}, pokud $1\cdot a=a$. | ||
Aktuální verze z 11. 11. 2011, 16:50
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01ALG
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01ALG | Karel.brinda | 24. 8. 2010 | 15:49 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Karel.brinda | 24. 10. 2010 | 20:54 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvodní poznámky | Karel.brinda | 26. 8. 2010 | 16:03 | alg_note.tex | |
Kapitola1 | editovat | Teorie množín | Snilard | 6. 1. 2011 | 01:37 | alg_set.tex | |
Kapitola2 | editovat | Relace | Karel.brinda | 25. 1. 2011 | 23:52 | alg_rel.tex | |
Kapitola3 | editovat | Uspořádané množiny | Sedlam18 | 24. 1. 2012 | 14:18 | alg_set2.tex | |
Kapitola4 | editovat | Algebra | Snilard | 6. 1. 2011 | 01:59 | alg_alg.tex | |
Kapitola5 | editovat | Teorie grup | Pitrazby | 17. 2. 2012 | 03:51 | alg_group.tex | |
Kapitola6 | editovat | Okruhy | Pitrazby | 17. 2. 2012 | 04:00 | alg_ring.tex | |
Kapitola7 | editovat | Moduly a lineární algebry | Kosarvac | 11. 11. 2011 | 16:50 | alg_module.tex | |
Kapitola8 | editovat | Teorie svazů | Pitrazby | 17. 2. 2012 | 15:19 | alg_lattice.tex | |
Kapitola9 | editovat | Polynomy nad komutativními tělesy | Pitrazby | 17. 2. 2012 | 15:21 | alg_polynoms.tex | |
Kapitola10 | editovat | Konečná tělesa | Pitrazby | 17. 2. 2012 | 15:24 | alg_finite.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01ALG} \xxx{Moduly a lineární algebry} \xxxx{Moduly} \define Mějme aditivní grupu $G=(M,+)$ a množinu \defined[skalár]{skalárů} $S\neq\emptyset$. Pro každé $\alpha\in S$ definujeme endomorfismus značený stejně $\map\alpha GG$. Pak systém $G_S:=(G,S)$ nazýváme \defined[grupa!s operátory]{grupa s~operátory}. \define \defined[podgrupa!přípustná]{Přípustnou podgrupou} grupy s~operátory nazveme takové $H\sg G$, že $(\AA\alpha\in S)(\AA a\in H\supdot)(\alpha a\in H\supdot)$. \example \begin{enumerate} \item Mějme libovolnou grupu $G$ a množinu celých čísel $\Z$ jako skaláry. Definujme pro $k\in\Z$ a $x\in G\supdot$ hodnotu $kx:=k\times x$. Pak $G_\Z$ je grupa s~operátory. \item Nechť $G$ je Abelova grupa. Označme $\EM G$ množinu všech endomofrismů a definujme pro $h,g\in\EM G$ operace $(h\oplus g)(x):=h(x)+g(x)$ a $(h\odot g)(x):=h(g(x))$. Pak $(\EM G, \oplus, \odot)$ tvoří okruh nazývaný \defined[okruh!endomordismů]{okruh endomorfismů}. Pak přípustnou podgrupou grupy s~operátory $G_{\EM G}$ je taková podgrupa, která je uzavřená vůči všem endomorfismům. Přípustné podgrupy $G_{\EM G}$ se nazývají \defined[podgrupa!přípustná!úplně charakteristická]{úplně charakteristické}. \item Přípustné podgrupy $G_{\AM G}$ se nazývají \defined[podgrupa!přípustná!charakteristická]{charakteristické}. \item Přípustné podgrupy $G_{\IM G}$ se nazývají normální. (Narozdíl od $\EM G$ nejsou $\AM G$ ani $\IM G$ okruhy, přesto mohou jejich prvky být skaláry.) \end{enumerate} \define \defined[modul]{Modulem} rozumíme grupu s~operátory $G_R$, kde $R$ je asociativní okruh s~jednotkou a $(\AA \alpha,\beta\in R\supdot)(\AA a\in G\supdot)\bigl((\alpha+\beta)a=\alpha a+\beta a \Land \alpha(\beta a)= (\alpha \beta) a\bigr)$. Modul $G_R$ nazveme \defined[modul!unitární]{unitární}, pokud $1\cdot a=a$. \define Unitární modul $G_R$ nazveme \defined[prostor!vektorový]{vektorovým prostorem}, pokud $R$ je tělesem. \example Vezměme $G=R\subplus$ a $R=R$. Pak $(R\subplus,R)$ je modulem. \xxxx{Lineární algebry} \define Mějme okruh $R$ a množinu skalárů $S\neq\emptyset$. Pak $(R,S)$ je \defined[okruh!s~operátory]{okruh s~operátory}, pokud $(R\subplus,S)$ je grupa s~operátory a platí $(\AA\alpha\in S)(\AA a,b\in R\supdot)\bigl(\alpha(ab)=(\alpha a)b=a(\alpha b)\bigr)$. \define \defined[algebra!lineární]{Lineární algebra} je dvojice $(R,S)$, kde $R$ je okruh, $S$ je těleso a platí: \begin{enumerate} \item $(R\subplus,S)$ je unitární modul; \item $(R,S)$ je okruh s~operátory. \end{enumerate} \remark Pokud zapomeneme násobení skaláry, je lineární algebra okruhem. Pokud zapomeneme okruhové násobení, je vektorovým prostorem. \example \begin{enumerate} \item $(\C^{n,n},+,\cdot)$ je lineární algebra nad $\C$. \item $(\C^{n,n},+,\cdot)$ je lineární algebra nad $\R$. \item $C_R$ je lineární algebra $C$ nad $\R$. \item $R_R$ je lineární algebra $R$ nad $\R$. \end{enumerate} \define Algebry definované nad tělesem reálných čísel nazýváme \defined[algebra!lineární!reálná]{reálné}. \remark Mějme $U$ těleso a $T\sg U$ jeho podtěleso. Pak $U$ je lineární algebra nad $T$ a $U\subplus$ je vektorový prostor nad $T$. \xxxx{Algebra kvaternionů} Vymyslel ji Hamilton v~Dublinu 16.~října 1843. Vezměme algebru $\C^{2,2}$ nad $\R$ a uvažujme podmnožinu $$K:=\set{\matrixtwo ab{-\bar b}{\bar a}}{a,b\in\C}.$$ Ukážeme, že $K$ je podalgebra $\C^{2,2}$. Uzavřenost vůči sčítání matic je zjevná, stejně tak vůči násobení reálným číslem. Zbývá nám uzavřenost vůči součinu: $$\matrixtwo ab{-\bar b}{\bar a}\matrixtwo cd{-\bar d}{\bar c}= \matrixtwo{ac-b\bar d}{ad+b\bar c}{-\bar bc-\bar a\bar d\;}{\;-\bar bd+\bar ac}.$$ Tedy $K$ nad $\R$ je algebrou, kterou nazýváme \defined[algebra!kvaternionová]{kvaternionová algebra} a její prvky nazýváme \defined[kvaternion]{kvaterniony}. Je asociativní, není komutativní, má jednotku $\matrixtwo1001$ a je algebrou s~dělením (tedy $K$ jako okruh je tělesem) --- ukážeme. Pro dané $a,b$ hledáme $c,d$, aby $ac-b\bar d=1$ a $\bar bc+\bar a\bar d=0$. Zbylé dvě rovnice jsou lineárně závislé na těchto dvou. Matice soustavy s~neznámými $c,\bar d$ je $\matrixtwo a{-b}{\bar b}{\bar a}$ a její determinant je $D=\abs a^2+\abs b^2$. Tedy podle Cramerova pravidla je $c=\frac{\bar a}D$ a $\bar d=\frac{-\bar b}D$, tedy $d=\frac{-b}D$. Zapišme $a=\alpha_1+\alpha_2i$ a $b=\beta_1+\beta_2i$, kde $\alpha_{1,2},\beta_{1,2}\in\R$. Pak $$\matrixtwo ab{-\bar b}{\bar a} =\matrixtwo{\alpha_1+\alpha_2i}{\beta_1+\beta_2i}{-\beta_1+\beta_2i}{\alpha_1-\alpha_2i} =\alpha_1\,\,\underbrace{\!\!\matrixtwo1001\!\!}_e\,\,+\alpha_2\underbrace{\matrixtwo i00{-i}}_i+\beta_1\underbrace{\matrixtwo01{-1}0}_j+\beta_2\underbrace{\matrixtwo0ii0}_k.$$ Tedy $\mathfunction{dim} K=4$ a $(e,i,j,k)$ tvoří bázi $K$. Prvky báze se násobí podle následující tabulky (první činitel vlevo, druhý nahoře): $$\te{array}{{c||c|c|c|c|} \cdot&1&i&j&k\\\hline\hline 1&1&i&j&k\\\hline i&i&-1&k&-j\\\hline j&j&-k&-1&i\\\hline k&k&j&-i&-1\\\hline }$$ Označme $Q_8:=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$. Pak $Q_8$ s~násobením podle tabulky je grupa nazývaná \defined[grupa!kvaternionová]{kvaternionová grupa}. V~úvahu přicházejí čtyř- a dvouprvkové podgrupy. Jsou tři 4prvkové podgrupy, např. $\{1,-1,i,-i\}$, a jedna 2prvková $\{1,-1\}$. První 3 mají index 2, a jsou tudíž normální, taktéž 2prvková je normální. Tedy $Q_8$ je příklad neabelovské grupy, která má všechny podgrupy normální. Takové grupy se nazývají \defined[grupa!hamiltonovská]{hamiltonovské}. \theorem (Frobenius) Buď $A$ reálná asociativní konečnědimenzionální lineární algebra bez dělitelů nuly. Je-li $A$ komutativní, potom je izomorfní s~algebrou $C_R$ nebo $R_R$. Není-li $A$ komutativní, pak je izomorfní s algebrou kvaternionů.