02TSFA:Kapitola1: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFA} \section{Matematický aparát} \subsection{Stirlingova formule} \index{formule, Stirlingova} Víme, že ve statistice a kombinatorice často pou...) |
m |
||
Řádka 318: | Řádka 318: | ||
Dále platí, že | Dále platí, že | ||
− | $$\pderivx{x_k}{x_l} = \pderivx{}{x_l}\left( \pderivx{g}{y_k} \right) = \dots$$ | + | $$\pderivx{x_k}{x_l} = \pderivx{}{x_l}\left( -\pderivx{g}{y_k} \right) = \dots$$ |
Funkce $\pderivx{g}{y_k}$ je funkcí proměnných $y_i$, použijeme tedy pravidlo | Funkce $\pderivx{g}{y_k}$ je funkcí proměnných $y_i$, použijeme tedy pravidlo |
Verze z 23. 8. 2010, 13:28
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02TSFA
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02TSFA | Admin | 1. 8. 2010 | 11:52 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Karel.brinda | 27. 1. 2011 | 21:47 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Matematický aparát | Kunzmart | 25. 8. 2021 | 12:16 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Statistický popis složitých soustav | Krasejak | 27. 6. 2014 | 13:56 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Statistický soubor a rozdělovací funkce | Krasejak | 27. 6. 2014 | 14:15 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Nejpravděpodobnější rozdělení | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:23 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Partiční funkce systému a jeho podsystémů | Krasejak | 29. 3. 2014 | 04:02 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Mikrokanonický soubor | Kunzmart | 26. 8. 2021 | 10:10 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Kanonický soubor | Maresj23 | 5. 1. 2014 | 12:23 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Grandkanonický soubor | Godalale | 7. 6. 2023 | 22:04 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Ekvivalence statistických souborů | Kunzmart | 12. 7. 2021 | 01:40 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Principy termodynamiky | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:29 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Termodynamické potenciály | Kunzmart | 12. 7. 2021 | 04:41 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Závislost termodynamických potenciálů na látkovém množství | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:33 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Vztahy mezi derivacemi termodynamických veličin | Batysfra | 30. 8. 2011 | 15:22 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Další termodynamické veličiny | Tomas | 7. 9. 2010 | 15:53 | kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Kvantověmechanický harmonický oscilátor | Kubuondr | 29. 5. 2017 | 14:21 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Měření Poissonovy konstanty | Admin | 1. 8. 2010 | 11:47 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Termodynamika směsí různých látek | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:38 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vratné a nevratné procesy | Kubuondr | 26. 5. 2017 | 13:32 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Ustálení dynamické rovnováhy | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:40 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Důsledky podmínek rovnováhy | Kubuondr | 15. 4. 2017 | 09:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Rovnováha systému o více fázích | Tomas | 7. 9. 2010 | 15:23 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Klasifikace fázových přechodů | Chladjar | 14. 9. 2020 | 15:32 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Joule-Thompsonův pokus | Tomas | 7. 9. 2010 | 19:43 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Termodynamické nerovnosti | Karel.brinda | 6. 2. 2011 | 21:44 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Narušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip) | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:46 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Statistická rozdělení soustavy volných částic | Chladjar | 15. 9. 2020 | 11:40 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Odvození termodynamiky IP statistickými metodami | Admin | 25. 4. 2024 | 12:36 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa | Groveond | 1. 7. 2014 | 21:35 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Modely krystalů | Chladjar | 17. 9. 2020 | 18:19 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Jiný statistický přístup — kinetická teorie | Tomas | 15. 2. 2011 | 00:22 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Otázky ke zkoušce z TSF | Admin | 1. 8. 2010 | 11:51 | kapitola31.tex | |
Kapitola32 | editovat | Reference | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:54 | reference.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:Gauss.pdf | Gauss.pdf |
Image:Fcel1.pdf | fcel1.pdf |
Image:2krabab.pdf | 2krabab.pdf |
Image:Transw.pdf | transw.pdf |
Image:Syst.pdf | syst.pdf |
Image:3pt.pdf | 3pt.pdf |
Image:Cholesctv.pdf | Cholesctv.pdf |
Image:Oscpot.pdf | Oscpot.pdf |
Image:Spins.pdf | spins.pdf |
Image:Spins2.pdf | spins2.pdf |
Image:Spins3.pdf | spins3.pdf |
Image:Spins4.pdf | spins4.pdf |
Image:Ptdiag.pdf | ptdiag.pdf |
Image:Joulthom.pdf | joulthom.pdf |
Image:Trirozd.pdf | trirozd.pdf |
Image:FD_e_mu.jpg | FD_e_mu.jpg |
Image:Krystal.pdf | krystal.pdf |
Image:Krystal2.pdf | krystal2.pdf |
Image:Procesyr.pdf | procesyr.pdf |
Image:Hgraf.pdf | hgraf.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TSFA} \section{Matematický aparát} \subsection{Stirlingova formule} \index{formule, Stirlingova} Víme, že ve statistice a kombinatorice často používaný objekt je faktoriál. S tím se však nesmírně těžko pracuje. Proto je vhodné si jej vyjádřit nějak přibližně. Vyjdeme z jeho logaritmu: $$\ln n! = \suma{k=1}{n}\ln k$$ \bigskip Pro dostatečně vysoké $n$ je možné nahradit sumu integrálem a z diskrétního problému udělat spojitý. Zintegrovat $\ln x$ už ale umíme: $$\int \ln k \: dk= k( \ln k - 1) = k( \ln k - \ln e) = k \ln \frac{k}{e} = \ln \left(\frac{k}{e}\right)^k$$ \bigskip \medskip Porovnáme-li výše uvedené výrazy, zjistíme, že $$\ln n! \approx \ln \left(\frac{n}{e}\right)^n \qquad \Rightarrow \qquad n! \approx \left(\frac{n}{e}\right)^n$$ \bigskip To je tzv. \index{formule, Stirlingova}\emph{Stirlingova formule} odhadující faktoriál pro vysoká $n$. Přesnější odhad je $\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$. \subsection{Základní definice počtu pravděpodobnosti} Zaveďme si potřebné pojmy počtu pravděpodobnosti: \bigskip \index{pravděpodobnost, klasická}\textsc{Klasická pravděpodobnost} je definována jako limita podílu $$p(A) = \lim_{n \to +\infty} \frac{ n_A }{n}$$ kde $n$ je celkový počet pozorovaných opakování náhodného pokusu a $n_A$ počet případů příznivých jevu $A$. Pravděpodobnost $p$ udává \index{četnost, relativní}relativní četnost výskytu jevu $A$. Tato definice je svázána s počátky rozvoje teorie pravděpodobnosti a je již vpravdě historická, nám však bude stačit. Je ovšem použitelná jen pro diskrétní úlohy --- ve spojitých problémech si musíme vypomoci hustotou pravděpodobnosti. Pravděpodobnost (i ve spojitém případě) má následující vlastnosti: \begin{enumerate} \item $0 \leq p(A) \leq 1$ \item $p( S ) = 1 , \: p( \emptyset ) = 0$ \item $p( A \cup B) = p(A) + p(B) \qquad \text{pro}\ p(A \cap B) = 0$ \end{enumerate} \medskip kde $S$ značí jev jistý, $\emptyset$ jev vyloučený a výraz $p(A \cup B)$ pravděpodobnost toho, že se realizuje alespoň jeden z jevů $A, B$. \bigskip \index{hustota, pravděpodobnosti} \textsc{Hustota pravděpodobnosti} $\varrho$ je funkce, analogická s obyčejnou hustotou (hmotnosti). Stejně tak, jako hustota hmotnosti hovoří o rozdělení hmoty v tělese (a hmotnost tělesa nebo jeho části získáme integrací), tak hustota pravděpodobnosti udává rozložení pravděpodobnosti a pravděpodobnost toho, že nastane jev z nějaké spojité oblasti (například že $A : x \in (-1, +1))$, získáme integrací přes tuto oblast (zde $ p(A) = \int _{-1} ^{+1} \varrho (x) dx $). Pravděpodobnosti toho, že padnou čísla $\{ 2, 3, 4\}$ na kostce a že veličina $x$ je z intervalu $(2, 4)$, se pak získají opticky velmi podobně: $$p(A) = \suma{\gamma = 2}{4} w_\gamma \qquad \qquad p(A) = \integral{2}{4} \varrho(x) dx$$ V tomto případě $w_2 = w_3 = w_4 = \frac{1}{6}$, funkce $\varrho (x)$ pak má tvar podle toho, o jaký jev se jedná. Povšimněme si, že pravděpodobnost toho, že $x=$ \emph{přesné číslo}, je ve spojitém případě nulová. Na pravděpodobnosti základních jevů (tj. takových, která se neskládají z nějakých jiných, např. jev: na kostce padne číslo k) lze pohlížet jako na diskrétní hustotu pravděpodobnosti. \bigskip Typickým příkladem hustoty pravděpodobnosti je \index{rozdělení, Gaussovo}Gaussovo rozdělení: \begin{center} \includegraphics{Gauss.pdf} \end{center} $$\varrho(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma ^2}} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma ^2}\right)$$ Takové rozdělení říká, že provedeme-li náhodný pokus, hodnota $x$ padne nejspíše někam do okolí $\mu$. Důležitou podmínkou je tzv. \index{podmínka, normovací}\emph{normovací podmínka} $$\suma{\gamma}{}w_\gamma = 1 \qquad \qquad \integral{\gamma}{} \varrho(x) dx = 1$$ Zde $\gamma$ jde přes všechny jevy, které vůbec mohou nastat. Toto tvrzení je vcelku zřejmé --- zrealizujeme-li pokus, pak je jisté, že některou z přípustných možností výsledku určitě uvidíme. \bigskip \index{hodnota, střední}\textsc{Střední hodnoty} (nebo také očekávané hodnoty) definujeme jako $$\left< x \right> = \suma{\gamma}{} x_\gamma w_\gamma $$ $$\left< x \right> = \integral{\gamma}{} x \varrho(x) dx$$ Udávají nám, která oblast je pro dané rozdělení nejvýznamnější, tj kde máme s největší pravděpodobností očekávat výsledek pokusu. Pro již zmíněné Gaussovo rozdělení je $\left< x \right> = \mu$, což je nanejvýš názorné. \bigskip Střední hodnoty libovolné funkce $x$ pak definujeme jako $$\left< f(x) \right> = \suma{\gamma}{} f(x_\gamma) w_\gamma $$ $$\left< f(x) \right> = \integral{\gamma}{} f(x) \varrho(x) dx$$ \bigskip \index{rozptyl}\textsc{Rozptyl} (též \index{variance}varianci) definujeme jako $$D(x) = \suma{\gamma}{} ( x_\gamma \: - \left< x \right> ) ^2 w_\gamma $$ $$D(x) = \integral{\gamma}{} ( x \: - \left< x \right> ) ^2 \varrho(x) dx$$ resp. $$D(f) = \suma{\gamma}{} ( f(x_\gamma) \: - \left< f(x) \right> ) ^2 w_\gamma $$ $$D(f) = \integral{\gamma}{} ( f(x) \: - \left< f(x) \right> ) ^2 \varrho(x) dx$$ Vzhledem k vlastnostem integrálů a sum lze rozptyl vyjádřit také takto (nezapomeňte, že $\left< x \right> $ je reálné číslo): $$D(x) \: = \: \left< (x - \left< x \right> )^2 \right> \: = \: \left< x^2 - 2\left< x \right> x - \left< x \right> ^2\right> \: =$$ $$= \: \left< x^2 \right> - 2\left< x \right> \left< x \right> + \left< x \right> ^2 \: = \: \left< x^2 \right> - \left< x \right> ^2$$ Dále se zavádí tzv. \index{odchylka, směrodatná}\emph{směrodatná odchylka}: $$\sigma = \sqrt{D}$$ \begin{remark} V dalším textu budeme vždy množinu všech přípustných jevů značit $\gamma$. Nebudeme již ale rozlišovat, zda se jedná o diskrétní množinu (jako kostka) či kontinuum (hodnoty fyzikálních veličin jako třeba rychlost). Všechny pravděpodobnosti budeme značit pomocí sum a výraz $$\suma{\gamma}{}w_\gamma$$ přechází na $$\integral{\gamma}{} \varrho(x) dx$$ je-li $\gamma$ spojité. Není-li v textu řečeno něco jiného, jsou obecně vždy přípustné obě možnosti a závisí pak na konkrétním fyzikálním problému. \end{remark} Na závěr několik příkladů rozdělovacích funkcí: \bigskip \index{rozdělení, binomické}\textsc{Binomické rozdělení} využijeme tam, kde sledujeme jeden určitý jev, který buď nastane s pravděpodobností $p$, nebo nenastane (s pravděpodobností $1-p$). Buď $N$ celkový počet pokusů. Potom pravděpodobnost toho, že uvidíme právě $n$ příznivých případů, kdy jev nastal, bude $$w(n) = \kombcislo{N}{n} p^{n} (1-p)^{N-n}$$ Střední hodnota počtu příznivých pokusů při binomickém rozdělení je $\left<n\right> = Np$, kde vidíme jasný vztah ke klasické definici pravděpodobnosti. Rozptyl binomického rozdělení je $D(n) = Np(1-p)$, tedy ve zvláštních případech $p=1$ (pokus vždy vyjde) a $p=0$ (pokus nevyjde nikdy) je rozptyl nulový. \bigskip \index{rozdělení, Poissonovo}\textsc{Poissonovo rozdělení} je limitním případem binomického rozdělení za předpokladu, že $p\rightarrow0$, $N\rightarrow\infty$, $p\,N\rightarrow\lambda = const$. Pomocí {\bf Stirlingovy formule} $n!\approx\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n $ nebo přímým limitním přechodem je možné binomické rozdělení upravit na následující tvar: $$ w_N (n)= \frac{\lambda^{n}}{n!}\exp(-\lambda) $$ Přímým výpočtem snadno odvodíme, že střední hodnota i rozptyl náhodné veličiny $n$ jsou pro Poissonovo rozdělení rovny hodnotě parametru $\lambda$. Mějme však na paměti, že rozptyl je třeba odmocnit, pokud chceme mluvit o směrodatné odchylce! \subsection{Vázané extrémy} \index{extrémy, vázané} V mnoha fyzikálních aplikacích se setkáváme s problémem najít extrém funkce jedné či více proměnných. Jedná-li se o obyčejný extrém na celém definičním oboru (či podmnožině definičního oboru o stejné dimenzi), není to nic těžkého --- stačí položit všechny parciální derivace rovny nule a vyřešit soustavu rovnic. Úloha se však zkomplikuje, má-li uvažovaná podmnožina definičního oboru dimenzi nižší než sám definiční obor --- chceme například znát extrém funkce vzhledem k nějaké křivce. Tento problém je důkladně teoreticky rozebrán v předmětu \emph{Matematická analýza 4}. V \emph{Termodynamice a statistické fyzice} na něj ale narazíme dříve, a proto si ukažme praktický postup, jak vázané extrémy řešit. \bigskip Mějme reálnou funkci $$f = f \ntice{x}{1}{n}$$ několika reálných proměnných. Hledejme extrém na varietě (obecně nikoliv lineární), která je popsána rovnicemi $$ \Phi _1 \nx= 0 $$ $$ \Phi _2 \nx= 0 $$ $$ \dots $$ $$ \Phi _k \nx = 0 $$ Jako první krok utvoříme tzv. \index{funkce, Lagrangeova}\emph{Lagrangeovu funkci} následujícím způsobem: $$\Lambda \nx = f \nx - \suma{\ell = 1}{k} \lambda _\ell \Phi _\ell \nx$$ Čísla $\lambda _\ell$ se nazývají Lagrangeovy multiplikátory a mohou být obecná. Vyčíslují se spolu s hodnotami $\nx$, nicméně jsou na nich nezávislá. Nyní vypočítáme všechny parciální derivace Lagrangeovy funkce a položíme je rovny nule. Tím jsme získali $n$ rovnic, ovšem neznámých je $n + k$, neboť máme navíc Lagrangeovy multiplikátory. Proto přidáme ještě rovnice popisující varietu a tím je určena soustava $n + k$ rovnic o $n + k$ neznámých: $$\pderivx{\Lambda}{x_1} = 0$$ $$\pderivx{\Lambda}{x_2} = 0$$ \medskip $$ \dots $$ \medskip $$\pderivx{\Lambda}{x_n} = 0$$ \bigskip $$ \Phi _1 \nx= 0 $$ $$ \Phi _2 \nx= 0 $$ $$ \dots $$ $$ \Phi _k \nx = 0 $$ Tuto soustavu vyřešíme a získáme tak body $\nx$ a $\ntice{\lambda}{1}{k}$. Dále bychom určili, zda se jedná o minimum, maximum či sedlo, to ale v této přednášce nebude třeba a tak se tím zde není nutné zabývat. \bigskip \textsc{\index{příklad}Příklad.} Mějme reálnou funkci $$f(x, y, z) = x.y + y.z + x.z$$ a zjistěme její extrém vázaný na povrch koule $$\Phi _1 (x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 4 = 0$$ Tedy nejprve Lagrangeova funkce: $$\Lambda (x,y,z) = f(x,y,z) - \lambda \Phi _1 (x,y,z) = x.y + y.z + x.z - \lambda( x^2 + y^2 + z^2 - 4)$$ a z ní soustava rovnic: $$\pderivx{\Lambda}{x} = y + z - 2 \lambda x = 0$$ $$\pderivx{\Lambda}{y} = x + z - 2 \lambda y = 0$$ $$\pderivx{\Lambda}{z} = x + y - 2 \lambda z = 0$$ $$x^2 + y^2 + z^2 = 4$$ Řešme. Odečtěme od první druhou rovnici a také od druhé třetí: $$y - x + 2 \lambda (y - x) = (y - x)(1 + 2 \lambda) = 0$$ $$z - y + 2 \lambda (z - y) = (z - y)(1 + 2 \lambda) = 0$$ $$ x + y - 2 \lambda z = 0$$ $$x^2 + y^2 + z^2 = 4$$ Prozkoumejme případ, kdy $\lambda \not= - \pul$. Potom z prvních dvou rovnic plyne, že $x = y = z$ a z poslední pak $3 x^2 = 4 \Rightarrow x = y = z = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$. Nakonec můžeme spočítat $\lambda$ ze zbylé rovnice: $$\lambda = \pul \frac{x+y}{z} = \pul \frac{\frac{4}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}} = \pul 2 = 1$$ Otázkou zůstává, co by se stalo, kdybychom připustili, že $\lambda = - \pul$. V takovém případě vidíme z původní soustavy, že první tři rovnice jsou závislé a soustava přejde na tvar $$x + y + z = 0$$ $$x^2 + y^2 + z^2 = 4$$ Tato soustava rovnic ovšem zjevně nemá jedno řešení. Jedná se o průnik roviny s koulí a výsledkem bude kružnice. To ovšem není ostrý extrém. Našli jsme tedy pouze body $\frac{2}{\sqrt{3}}(1,1,1)$ a $-\frac{2}{\sqrt{3}}(1,1,1)$. Lagrangeův multiplikátor lambda už nyní není k ničemu potřebný, ve fyzikálních aplikacích může mít ale velmi konkrétní smysl. \subsection{Legendreova transformace} \index{transformace, Legendrova} Mějme funkci $f( x_i, t_j )$ několika nezávislých proměnných. Dejme tomu, že se nám její proměnné nelíbí a více by se nám hodily proměnné jiné, třeba $(y_i, t_j)$, které jsou rovněž mezi sebou nezávislé, a platí $y_i = \pderivx{f}{x_i}$ . Přejdeme proto k nové funkci podle vztahu $$g( y_i, t_j ) = f( x_i, t_j) - \suma{i}{}x_i y_i$$ To je vzorec pro tzv. \index{transformace, Legendrova}\emph{Legendreovu transformaci}. Prozkoumejme, co se stane s~diferenciály. $$d g = d f - d \suma{i}{}(x_i y_i) $$ Pro jednoduchost sledujme pouze $i$-té a $j$-té proměnné: $$d g ^{(i,j)} = \pderivx{f}{x_i}dx_i + \pderivx{f}{t_j}d t_j - x_i d y_i - y_i d x_i$$ $$d g ^{(i,j)} = y_i dx_i + \pderivx{f}{t_j}d t_j - x_i d y_i - y_i d x_i = \pderivx{f}{t_j}d t_j - x_i d y_i $$ a zároveň $$d g^{(i,j)} = \pderivx{g}{y_i}d y_i + \pderivx{g}{t_j}d t_j$$ Porovnáme-li koeficienty, pak vidíme, že $$\pderivx{f}{t_j} = \pderivx{g}{t_j}$$ a tedy proměnné $t_j$ mají stejný význam pro obě funkce, ovšem $$x_i = - \pderivx{g}{y_i} \qquad a \qquad y_i = \pderivx{f}{x_i}$$ Provedeme-li transformaci ještě jednou, dostaneme opět původní funkci. Dále platí, že $$\pderivx{x_k}{x_l} = \pderivx{}{x_l}\left( -\pderivx{g}{y_k} \right) = \dots$$ Funkce $\pderivx{g}{y_k}$ je funkcí proměnných $y_i$, použijeme tedy pravidlo řetězení a $$ \dots = - \suma{i}{} \pderivx{}{y_i} \termderiv{g}{y_k}{} . \pderivx{y_i}{x_l} = -\suma{i}{} \pderivxy{g}{y_i}{y_k} . \pderivx{}{x_l} \termderiv{f}{x_i}{} = $$ $$ = -\suma{i}{} \pderivxy{g}{y_i}{y_k}\pderivxy{f}{x_l}{x_i}$$ a protože samozřejmě $\pderivx{x_k}{x_l} = \delta _{kl}$, platí $$\delta _{kl} = -\suma{i}{}\pderivxy{g}{y_i}{y_k}\pderivxy{f}{x_l}{x_i}$$ Tento výraz výhodně využijeme při odvozování vztahů mezi termodynamickými proměnnými. % Pokud jsem něco nepřehlédl, využije se v jediném místě, kde je navíc snadno nahraditelný. % S ohledem na to se mu přikládá trochu moc důležitosti. V.P. \subsection{Homogenní funkce} \index{funkce, homogenní} Mějme funkci $f = f \nx$ takovou, že platí $$f \ntice{\lambda x}{1}{n} = \lambda ^k f \nx$$ Takové funkci říkáme \index{funkce, homogenní}\emph{homogenní funkce k-tého stupně}. Má zajímavé vlastnosti. Zderivujeme obě strany předchozí rovnice podle $\lambda$: $$\suma{i=1}{n}\pderivx{f}{(\lambda x_i)}\pderivx{(\lambda x_i)}{\lambda} = k \lambda ^ {k - 1} f \nx$$ což platí pro libovolné $\lambda$. Zvolme tedy $\lambda = 1$ a dosaďme jej: $$\suma{i=1}{n}\pderivx{f}{x_i} x_i = k f \nx$$ Funkci se nám tedy podařilo vyjádřit pomocí nezávislých proměnných $x_{i}$ a parciálních derivací podle nich. To se hodí například při vyjadřování termodynamických potenciálů v závislosti na látkovém množství (viz. str. \pageref{potlat}), neboť vnitřní energie $U$ je homogenní funkcí prvního stupně. \subsection{Gaussovy integrály} \index{integrál, Gaussův} \emph{Gaussův} se nazývá každý integrál ve tvaru $$I(n, a, b ) = \integral{-\infty}{+\infty} x^n e^{-ax^2 + bx}$$ \bigskip Obecné řešení pro $I(n,a,b)$ není v principu nijak komplikované, ale velmi, velmi pracné. Naznačíme: \bigskip Vzorec $-ax^2 + bx$ upravme na čtverec: $$-ax^2 + bx = -a\left[ \left(x-\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} \right] = -a\left( x - \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{b^2}{4a}$$ \bigskip Pro $n=0$ proveďme v integrálu substituci $y = \sqrt{a}(x - \frac{b}{2a})$, $\sqrt{a} \: dx = dy$: $$I(0, a, b) = \frac{1}{\sqrt{a}}e^{\frac{b^2}{4a^2}}\integral{-\infty}{+\infty} e^{-y^2}dy = \sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}$$ \bigskip a nyní, když známe vzorec pro $I(0,a,b)$, dopracujeme se k dalším pomocí věty o derivaci podle parametru: $$\derivx{}{b}I(n,a,b) = \integral{-\infty}{+\infty} \pderivx{}{b} x^ne^{-ax^2 + bx}dx = \integral{-\infty}{+\infty}x^{n+1}e^{-ax^2 + bx}dx = I(n + 1,a,b)$$ \bigskip Potom tedy $$I(1,a,b) = \derivx{}{b}I(0,a,b) = \pderivx{}{b}\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}=\sqrt{\pi}\frac{b}{2a^{\frac{2}{3}}}e^{\frac{b^2}{4a}}$$ $$I(2,a,b) = \derivx{}{b}I(1,a,b) = \sqrt{\pi}\left[ \frac{1}{2a^{\frac{2}{3}}}+\frac{b^2}{4a^{\frac{5}{2}}}\right]e^{\frac{b^2}{4a}}$$ \bigskip a tak dále. Pro naše \uv{jednoduché} potřeby si uveďme vzorce pro prvních několik~$n$, je-li $b = 0$. Pro $n$ liché je i integrand lichý, tedy integrál je nulový. Pro $n=0$ platí: $$\integral{-\infty}{+\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$$ % $$ \qquad \qquad % \integral{-\infty}{+\infty} x e^{-ax^2} dx = 0$$ \medskip Pro vyšší $n$ se integrál spočte derivací předchozího vzorce podle parametru~$a$. $$\integral{-\infty}{+\infty} x^2 e^{-ax^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2a^{\frac{3}{2}}} \qquad \qquad \integral{-\infty}{+\infty} x^4 e^{-ax^2} dx = \frac{3\sqrt{\pi}}{4a^{\frac{5}{2}}}$$ %\bigskip Další možnost řešení je převod Gaussova integrálu na Eulerovu gama funkci pomocí substituce $a x^2 = t$. Je však potřeba nejprve integrál přepsat pomocí integrace od nuly do nekonečna, abychom po substituci neintegrovali od $+\infty$ do $+\infty$. Pro lichá $n$ získáme okamžitě nulový výsledek ze stejného důvodu jako výše, zabývejme se tedy pouze sudými hodnotami. $$ \integral{-\infty}{+\infty}x^n e^{-ax^2} dx =a^{-\frac{n+1}{2}}\integral{0}{+\infty}t^{\frac{n+1}{2}-1} e^{-t} = a^{-\frac{n+1}{2}}\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right) $$