Verze z 5. 10. 2013, 00:16

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Třída $\Lambda$ ($\LL$)}
 
\begin{define}
Řekneme, že funkce $\phi$ je třídy $\Lambda(X)$ (resp. $\LL(X)$),
právě když existují $f,g\in\Lambda^+(X)$, z~nichž alespoň jedna je
třídy $\LL^+(X)$ (resp. $f,g\in\LL^+(X)$) tak, že $\phi\sim f-g$.
\end{define}
 
\begin{remark}
Omezení s~$\LL^+$ je tam, aby nevzniklo $\infty-\infty$. Teď vzniknout
sice může, ale jen na množině míry nula.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Buďte $\phi,\psi\in\LL$, $\alpha\in\R$. Pak platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\phi+\psi\in\LL$,
\item $\alpha\phi\in\LL$,
\item $\abs{\phi}\in\LL$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Buď $\phi\sim f_1-g_1$, $\psi\sim f_2-g_2$, $f_1,g_1,f_2,g_2\in\LL^+$.
\begin{enumerate}[1)]
\item 
\[\phi+\psi\sim f_1-g_1+f_2-g_2=
\underbrace{(f_1+f_2)}_{\in\LL^+}
-\underbrace{(g_1+g_2)}_{\in\LL^+}.\]
\item
\[\alpha\phi\sim\underbrace{\alpha f}_{\in\LL^+}
-\underbrace{\alpha g}_{\in\LL^+}\quad\text{pro }\alpha\ge 0,\]
\[\alpha\phi\sim\underbrace{(-\alpha g)}_{\in\LL^+}
-\underbrace{(-\alpha f)}_{\in\LL^+}\quad\text{pro }\alpha< 0.\]
\item
\[\abs{\phi}\sim\underbrace{\max(f,g)}_{\in\LL^+}
-\underbrace{\min(f,g)}_{\in\LL^+}.\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $\HH\subset\Lambda^+\subset\Lambda$,
\item $\HH\subset\LL^+\subset\LL$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
Nechť $\phi\in\Lambda$, $\phi\sim f-g$, $\II\phi=\II f-\II g$. Pak
$\II$ je {\bf Lebesgueův integrál}.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Značení:
\[\II\phi=\int_X\phi(x)\,\d x=\int_X\phi=\int\phi\]
\item $\II\phi$ nezávisí na volbě $f,g$: Vezmu $\phi\sim f_1-g_1$.
Protože jsem v~$f,g,f_1,g_1\in\Lambda$, je $f+g_1\sim f_1+g$ a $\II
f+\II g_1=\II f_1+\II g$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Jestliže $\phi,\psi\in\Lambda$, $\alpha\in\R$, pak platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\II(\phi+\psi)=\II\phi+\II\psi$, má-li pravá strana smysl.
\item $\II(\alpha\phi)=\alpha\II\phi$.
\item Je-li $\phi\gtrsim 0$, je $\II\phi\ge 0$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)]
\item Jsou-li $\phi,\psi\in\Lambda$, potom $\phi\sim f_1-g_1$,
$\psi\sim f_2-g_2$. Výraz $\II\phi+\II\psi$ má smysl právě tehdy,
je-li buď $f_1,f_2\in\LL^+$ nebo $g_1,g_2\in\LL^+$. Potom ovšem
$\phi+\psi\sim(f_1+f_2)-(g_1+g_2)$ je třídy $\Lambda$ a 
$\II(\phi+\psi)=\II(f_1+f_2)-\II(g_1+g_2)=\II(f_1-g_1)+\II(f_2-g_2)=
\II\phi+\II\psi$.
\item Je-li $\phi\in\Lambda$, potom $\phi\sim f-g$, kde
$f,g\in\Lambda^+$ a alespoň jedna z~nich je třídy $\LL^+$.
\begin{enumerate}[a)]
\item $\alpha\ge 0$:
$\alpha\phi=\alpha f_1-\alpha g_1$,
$\II(\alpha\phi)=\alpha\II f_1-\alpha\II g_1=\alpha\II\phi$.
\item $\alpha< 0$:
$\alpha\phi=(-\alpha)g_1-(-\alpha f_1)$,
$\II(\alpha\phi)=\II(-\alpha g_1)-\II(-\alpha f_1)=
-\alpha\II g_1+\alpha\II f_1=\alpha\II\phi$.
\end{enumerate}
\item Je-li navíc $\phi\gtrsim 0$, potom $f\gtrsim g$ a tedy je $\II
f\ge\II g$ a $\II\phi=\II f-\II g\ge 0$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Funkce $\phi\in\Lambda$, právě když
$\phi^+\in\Lambda\wedge\phi^-\in\Lambda$ a
$\phi^+\in\LL\vee\phi^-\in\LL$.
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item ($\Rightarrow$)
Buď $\phi\in\Lambda$, $\phi=f-g$, $f\in\Lambda^+$, $g\in\LL^+$.
\[\phi^+\sim\max(\phi,0)\sim\max(f,g)-g\implies\phi^+\in\Lambda,\]
\[\phi^-\sim\max(-\phi,0)\sim g-\min(f,g)\implies\phi^-\in\LL.\]
\item ($\Leftarrow$) $\phi=\phi^+-\phi^-$,
$\II\phi^+-\II\phi^-=\II\phi$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
% \begin{remark}
% Z~věty plyne, že kladná funkce má vždy integrál. to z toho teda neplyne!
% \end{remark}
 
\begin{lemma}
Buď $\phi\in\Lambda$, nechť $\II\phi>-\infty$. Pak pro každé
$\epsilon>0$ existují $f\in\Lambda^+$, $g\in\LL^+$ tak, že platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\phi\sim f-g$,
\item $g\gtrsim 0$,
\item $\II g<\epsilon$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Existují $f_1\in\Lambda^+$, $g_1\in\LL^+$ takové, že $\phi\sim
f_1-g_1$, neboť $\II\phi>-\infty$. 
Existuje $k_n\nearrow g_1$, $\lim_{n\to\infty}\II k_n=\II g_1$.
Vezmu $\epsilon>0$, potom existuje $n$ takové, že $0\le\II g_1-\II
k_n<\epsilon$. Položme $f=f_1-k_n$, $g=g_1-k_n$. Potom je
$f\in\Lambda^+$, $g\in\LL^+$, $g\gtrsim 0$. Platí, že
\[\phi\sim\underbrace{(f_1-k_n)}_{\in\Lambda^+}
-\underbrace{(g_1-k_n)}_{\in\LL^+}
\implies\phi\sim f-g,\]
čímž je dokázáno (i) a (ii). Dále platí
\[\II g=\II(g_1-k_n)=\II g_1-\II k_n<\epsilon,\]
čímž je dokázán bod (iii).
\end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{remark}
Věta vyjadřuje vztah mezi $\Lambda^+$ a $\Lambda$ (něco jako $\Q$ a $\R$).
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Levi]
\label{levi}
Buď $\posloupnost{n=1}{\infty}{\phi_n}\in\Lambda$, $\phi_n\gtrsim 0$,
$\phi\sim\sum_{n=1}^\infty\phi_n$. Pak $\phi\in\Lambda$ a
$\II\phi=\sum_{n=1}^\infty\II\phi_n$.
\begin{proof}
Buď $\phi_n\gtrsim 0$. Podle předchozí věty je $\phi_n\sim f_n-g_n$,
kde $g_n\gtrsim 0$ a $\II g_n<\frac1{2^n}=\epsilon$. Protože je
$\phi_n\gtrsim 0$, je $f_n\gtrsim 0$, $f_n,g_n\in\Lambda^+$,
\[g\sim\sum_{n=1}^\infty g_n,\quad 
f\sim\sum_{n=1}^\infty f_n\in\Lambda^+.\]
Víme, že
\[\II f=\sum_{n=1}^\infty\II f_n,\quad
\II g=\sum_{n=1}^\infty\II g_n\le 1,\]
takže $g\in\LL^+$.
\[\phi\sim\sum_{n=1}^\infty\phi_n=\sum_{n=1}^\infty(f_n-g_n)=
\sum_{n=1}^\infty f_n-\sum_{n=1}^\infty g_n.\]
Sumu lze roztrhnout, protože $g_n$ jsou skoro všude konečné, $\sum
g_n$ je skoro všude konečná.
\[\sum_{n=1}^\infty\II\phi_n=
\sum_{n=1}^\infty(\II f_n-\II g_n)=
\sum_{n=1}^\infty\II f_n-\sum_{n=1}^\infty\II g_n=
\II f-\II g=\II\phi.\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{levi-dusledek}
Buď $\posl{\psi_n}\in\LL$, $\psi_n\nearrow\psi$. Pak $\psi\in\Lambda$
a $\II\psi=\lim_{n\to\infty}\II\psi_n$. Existuje-li navíc číslo $c\in \R$, aby $\forall n \in \N$ platilo $|\II\psi_n|\leq c$ tak je  $\psi \in\LL$
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Nechť jsou $\psi_n\gtrsim 0$:
Definujme $\phi_1=\psi_1$, $\phi_n\sim\psi_n-\psi_{n-1}$ pro
$n>1$. Pak $\phi_n\gtrsim 0$, $\phi_n\in\LL$.
\[\Lambda\ni\sum_{n=1}^\infty\phi_n\sim\psi_1+\lim_{n\to\infty}
\sum_{k=2}^n(\psi_k-\psi_{k-1})\sim\lim_{n\to\infty}\psi_n\sim\psi\]
\[\II\psi=\sum_{n=1}^\infty\II\phi_n=\lim_{n\to\infty}\II\psi_n\]
\item Je $\psi_n-\psi_1\gtrsim 0$, takže
$\psi_n-\psi_1\nearrow\psi-\psi_1$. Podle předchozího je
$\psi-\psi_1\in\Lambda$ a tedy $\psi\in\Lambda$.
\[\II(\psi-\psi_1)=\lim_{n\to\infty}\II(\psi_n-\psi_1).\]
\item Je-li $ \forall n\in \N \,\,|\II\psi_n|\leq c$ potom také $|\II\psi|\leq c$ a $\psi \in \LL$
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Je-li $\posl{\psi_n}\in\LL$, $\psi_n\searrow\psi$,
pak $\lim_{n\to\infty}\II\psi_n=\II\psi$ díky linearitě.
\item V~třídě $\LL$ už platí axiomy základního souboru a hlavně $\II$
už je základní integrál.
\item Problém s~existencí množiny  míry nula: $\mu(Z)=0$, právě když
$(\forall\epsilon>0)(\exists\posl{\phi_n})(\phi_n\in\LL\wedge
0\le\phi_n\le\phi_{n+1})$ a platí
\begin{enumerate}[1)]
\item $ \forall n\in \N \ \II\phi_n<\epsilon$,
\item $\sup_{k\in\N}\phi_k(x)\ge 1$ pro $\forall x\in \Z$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item ($\Rightarrow$) Zvolím $\phi_n=h_n$.
\item ($\Leftarrow$) Volím $\epsilon=\frac1n$, potom existuje
posloupnost $\phi_m^{(n)}$ taková, že
$0\le\phi_m^{(n)}\le\phi_{m+1}^{(n)}$,
$\II\phi_m^{(n)}\le\frac1n$ a $\sup_{m\in\N}\phi_m^{(n)}\ge 1$ pro
$x\in Z$.
 
Platí, že $\phi_m^{(n)}\nearrow\phi_n\in\Lambda$ a
$\II\phi_n=\lim\II\phi_m^{(n)}\le\frac1n$, takže $\phi_n\in\LL$ a
protože $\phi_m^{(n)}$ roste, je $\phi_n\ge 1$.
 
Položme $1\le\psi_n:=\min_{1\le k\le n}\phi_k$, potom
$\psi_n\searrow\psi\in\LL$, $\II\psi=0$. Protože
$\II\psi=\lim_{n\to\infty}\II\psi_n=0$ a $\psi\ge 0$, musí být
$\psi\sim 0$. Protože $\psi\ge 1$ pro všechna $x\in Z$, je $Z$
míry nula.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Buď $\phi\gtrsim 0$, $\phi\in\Lambda$. Pak $\II\phi=0 \iff \phi\sim 0$.
\begin{proof}
Protože $\phi^+\sim\phi$ a $\II\phi^+=\II\phi=0$, můžeme se bez újmy
na obecnosti omezit se na funkce všude nezáporné: $\phi\ge 0$,
$\psi_n:=n\phi\in\LL$, $\psi_n\nearrow\psi$, takže $\psi\in\Lambda$ a
$\II\psi=\lim_{n\to\infty}\II\psi_n= \lim_{n\to\infty}n\II\phi=0$ takže $\psi\in\LL$ a tedy množina,
kde $\psi$ je nekonečná je množina, kde $\phi$ je nenulová, a~ta je podle věty \ref{konecnost_fci_L} míry nula.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Je-li $\phi\in\LL$ a $\II\abs{\phi}=0$, pak $\phi\sim 0$.
\end{remark}