Matematika1:Kapitola7: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{Matematika1} \section{Integrální počet} \subsection{Primitivní funkce a neurčitý integrál} \begin{define}[Primitivní funkce]~\\ Funkci $F$ nazveme p...) |
|||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{Matematika1} | %\wikiskriptum{Matematika1} | ||
− | \section{Integrální počet} | + | \section[Integrální počet]{\fbox{Integrální počet}} |
\subsection{Primitivní funkce a neurčitý integrál} | \subsection{Primitivní funkce a neurčitý integrál} | ||
− | \begin{define}[Primitivní funkce] | + | \begin{define}[Primitivní funkce]\label{def:primitiv} |
− | + | Funkci $F$ nazveme primitivní k funkci $f$ na intervalu $[a,b]$, pokud $F$ je spojitá na intervalu | |
− | $[a,b]$ a platí $F^\prime(x) = f(x)$ pro všechna $x \in (a,b)$. | + | $[a,b]$ a platí $F^\prime(x) = f(x)$ pro všechna $x \in (a,b)$. |
− | \end{define | + | \end{define} |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \begin{ | + | \begin{theorem}[O jednoznačnosti primitivní funkce] |
− | + | Buď funkce $F$ primitivní k funkci $f$ na intervalu $(a,b)$. Potom funkce $G$ je primitivní k funkci $f$ | |
− | + | právě když $(\exists C\in\R)(\forall x\in(a,b)~)(F(x)=G(x)+C).$ | |
− | + | \begin{proof} | |
− | + | Zjevně $F^\prime = G^\prime$, proto z definice~\ref{def:primitiv} plyne, že funkce $G$ je primitivní k $f$. | |
− | + | \end{proof} | |
− | \end{define} | + | \end{theorem} |
− | \begin{theorem}[ | + | |
− | + | ||
− | funkci $H$. Potom funkce $f^\prime g$ má v $(a,b)$ primitivní funkci $fg-H$. \\ | + | \begin{define}[Neurčitý integrál] |
− | Neboli | + | Nechť pro funkci $f$ existuje primitivní funkce $F$ na $(a,b)$. Množinu všech primitivních |
− | + | funkcí k funkci $f$ nazveme neurčitým integrálem funkce $f$ v intervalu $(a,b)$ a značíme symbolem | |
− | + | $$ | |
− | \ | + | \int f(x)~\ud x, \quad \hbox{nebo krátce} \quad \int f. |
− | \end{theorem} | + | $$ |
− | + | \end{define} | |
− | + | ||
− | + | \begin{remark} | |
+ | $$ | ||
+ | \int f = \int f(x) \ud x = \left\{ F : F \hbox{~je primitivní k ~} f \right\} = F(x)+C, | ||
+ | $$ | ||
+ | kde $f$ \dots integrand, $x$ \dots integrační proměnná, $F$ \dots reprezentant (=nějaká primitivní funkce), $C$ \dots integrační konstanta. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Linearita integrace] | ||
+ | Buď $F$, resp. $G$ primitivní funkce k $f$, resp. $g$ na $(a,b)$ a $\alpha\in\R$. Pak $F+\alpha G$ je primitivní funkce k $f+\alpha g$ na $(a,b)$. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Plyne z linearity derivace a definice~\ref{def:primitiv}. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Per partes]\label{thm:perpartes} | ||
+ | Nechť $f$, $g$ mají na $(a,b)$ konečné derivace a funkce $h=fg^\prime$ má v $(a,b)$ primitivní | ||
+ | funkci $H$. Potom funkce $f^\prime g$ má v $(a,b)$ primitivní funkci $fg-H$. \\ | ||
+ | Neboli | ||
+ | $$ | ||
+ | \int fg^\prime = fg-\int f^\prime g. | ||
+ | $$ | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Stačí ověřit, zda funkce $fg-H$ je primitivní k $f^\prime g$, tj. dle definice~\ref{def:primitiv} a pravidla pro derivaci součinu (Věta~\ref{thm:derivovani}) | ||
+ | $$ | ||
+ | \left(fg-H \right)^\prime = f^\prime g + \underbrace{fg^\prime}_h - \underbrace{H^\prime}_h = f^\prime g + h - h = f^\prime g. | ||
+ | $$ | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Substituce]\label{thm:substituce} | ||
+ | Nechť $f$ má v $(a,b)$ primitivní funkci $F$, $\varphi$ má v $(\alpha,\beta)$ konečnou derivaci | ||
+ | $\varphi^\prime$ a $\varphi(\alpha,\beta)~\subset~(a,b)$. Potom funkce $F \circ \varphi$ je primitivní | ||
+ | funkce $(f \circ \varphi)\varphi^\prime$ v intervalu $(\alpha,\beta)$. | ||
+ | Neboli | ||
+ | $$ | ||
+ | \int f(z)~\ud z = \int f(\varphi(x)) \varphi^\prime(x)~\ud t = F(\varphi(x)) + C. | ||
+ | $$ | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Stačí ověřit, zda funkce $F\circ\varphi$ je primitivní k $(f \circ \varphi)\varphi^\prime$, tj. dle definice~\ref{def:primitiv} a Věty~\ref{thm:circ} (řetězové pravidlo) | ||
+ | $$ | ||
+ | \Big( (F\circ\varphi)(x) \Big)^\prime = F^\prime(\varphi(x)) \varphi^\prime(x). | ||
+ | $$ | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{lemma} | ||
+ | Pro $n \neq -1$ platí | ||
+ | $\displaystyle | ||
+ | \int x^n = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C. | ||
+ | $ | ||
+ | \end{lemma} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
\subsection{Určitý integrál} | \subsection{Určitý integrál} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | \begin{ | + | \begin{define}[Rozdělení intervalu $\varsigma$] |
− | + | Rozdělením $\varsigma$ intervalu $[a,b]$ rozumíme množinu bodů $\varsigma = \left\{ x_k : k = 0, 1, 2, \dots, n\right\}$ takovou, že $a=x_0 < x_1 < x_2 < \dots x_{n-1} < x_n=b$. Intervaly $[x_{k-1}, x_k]$ nazýváme částečnými intervaly rozdělení $\varsigma$ pro $k = 1, 2, \dots, n$. | |
− | + | \end{define} | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \begin{theorem}[ | + | \begin{define}[Horní integrální součet $S_f(\varsigma)$] |
− | + | Horní integrální součet $S_f(\varsigma)$ funkce $f$ při rozdělení $\varsigma$ je | |
− | Potom | + | $$ |
− | + | S_f(\varsigma) = \sum\limits_{k=1}^{n} M_k (x_{k}-x_{k-1}), | |
− | + | $$ | |
− | \ | + | kde $\displaystyle M_k = \max \left\{f(x) : x\in[x_{k-1},x_k] \right\}$ pro $k=1,2,\dots,n$. |
− | \ | + | \end{define} |
− | + | ||
− | + | \begin{define}[Dolní integrální součet $s_f(\varsigma)$] | |
− | + | Horní integrální součet $s_f(\varsigma)$ funkce $f$ při rozdělení $\varsigma$ je | |
+ | $$ | ||
+ | s_f(\varsigma) = \sum\limits_{k=1}^{n} m_k (x_{k}-x_{k-1}), | ||
+ | $$ | ||
+ | kde $\displaystyle m_k = \min \left\{f(x) : x\in[x_{k-1},x_k] \right\}$ pro $k=1,2,\dots,n$. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{figure}[htb] | ||
+ | \centering | ||
+ | \includegraphics{figures/riemann} | ||
+ | \caption{{Ilustrace k Riemannově definici určitého integrálu}}\label{fig:riemann} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | |||
+ | \begin{define}[Určitý integrál]\label{def:urcity} | ||
+ | Buď $s_f(\varsigma)$, resp. $S_f(\varsigma)$ dolní, resp. horní integrální součet funkce $f$ při rozdělení $\varsigma$ | ||
+ | intervalu $[a,b]$. Potom jednoznačně určené číslo $I$, které pro všechna možná rozdělení $\varsigma$ splňuje | ||
+ | $$ | ||
+ | s_f(\varsigma) \leq I \leq S_f(\varsigma) | ||
+ | $$ | ||
+ | se nazývá určitý integrál funkce $f$ od $a$ do $b$ (přes interval $(a,b)$) a značí se | ||
+ | $$ | ||
+ | I = \int\limits_a^b f(x)~\ud x = \int\limits_a^b f. | ||
+ | $$ | ||
+ | Funkce, která má určitý integrál se nazývá Riemannovsky integrovatelná (integrabilní). | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Základní vlastnosti určitého integrálu]~ | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item $\displaystyle \int\limits_a^b f + \int\limits_b^c f = \int\limits_a^c f,$ pokud jednotlivé integrály existují. | ||
+ | \item $\displaystyle \int\limits_a^a f = 0$ | ||
+ | \item $\displaystyle \int\limits_a^b f= - \int\limits_b^a f$ | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \begin{proof}~ | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Plyne přímo z definice~\ref{def:urcity} nebo též z grafického znázornění integrálu jako plochy pod grafem funkce $f$ pokud $a<b<c$. | ||
+ | \item Z prvního tvrzení je patrné, že pro volbu $a=b=c$ máme rovnost $2\int\limits_a^af = \int\limits_a^af$, kterou splňuje pouze $\int\limits_a^af = 0$. | ||
+ | \item Z prvního a druhého tvrzení dostaneme pro volbu $c=b$ rovnost $\int\limits_a^bf+\int\limits_b^af=0$, odkud již plyne třetí tvrzení. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{define}[Integrál jako funkce horní, resp. dolní meze] | ||
+ | Nechť funkce $f$ je Riemannovsky integrovatelná na intervalu $[a,b]$. Potom | ||
+ | $$ | ||
+ | x \mapsto \int\limits_a^x f(t)\ud t | ||
+ | $$ | ||
+ | nazýváme \textbf{integrálem jako funkcí horní meze} a | ||
+ | $$ | ||
+ | x \mapsto \int\limits_x^b f(t)\ud t | ||
+ | $$ | ||
+ | nazýváme \textbf{integrálem jako funkcí dolní meze}. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{lemma}\label{lemma:newton} | ||
+ | Funkce $\displaystyle F(x) = \int\limits_a^x f(t)\ud t$ je primitivní funkce k funkci $f$, tj. | ||
+ | $$ | ||
+ | \frac{\ud}{\ud x}\left( \int\limits_a^x f(t)\ud t \right) = f(x). | ||
+ | $$ | ||
+ | \end{lemma} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Newtonova formule]\label{thm:newton} | ||
+ | Nechť funkce $f$ je spojitá na $[a,b]$ a $F$ její primitivní funkce. Potom | ||
+ | $$ | ||
+ | \int\limits_a^b f(x)~\ud x = [ F(x) ]_a^b = F(b) - F(a). | ||
+ | $$ | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Dle lemmatu~\ref{lemma:newton} zkoumejme primitivní funkci $F$ k $f$ ve tvaru | ||
+ | $$ | ||
+ | F(x) = \int\limits_a^x f(t) \ud t + K, | ||
+ | $$ | ||
+ | kde $K\in\R$. Z hodnoty v bodě $x=a$ určíme $K$ takto: | ||
+ | $$ | ||
+ | F(a) = \int\limits_a^a f(t) \ud t + K = 0 + K, | ||
+ | $$ | ||
+ | odkud $K = F(a)$. Z hodnoty v bodě $x=b$ pak dostaneme tvrzení věty: | ||
+ | $$ | ||
+ | F(b) = \int\limits_a^b f(t) \ud t + F(a). | ||
+ | $$ | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Per partes] | ||
+ | Nechť funkce $f$, $g$ mají na $[a,b]$ spojité derivace. Potom | ||
+ | $$ | ||
+ | \int\limits_a^b f(x)g^\prime(x) = [f(x)g(x)]_a^b - \int\limits_a^b f^\prime(x)g(x)~\ud x. | ||
+ | $$ | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Plyne z vět~\ref{thm:perpartes} a \ref{thm:newton}. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Substituce] | ||
+ | Buď $\varphi^\prime$ spojitá na intervalu $[\alpha,\beta]$. Nechť funkce $f$ je spojitá na $H_\varphi$. | ||
+ | Potom | ||
+ | $$ | ||
+ | \int\limits_a^b f(\varphi(t))\varphi^\prime(t) ~\ud t= \int\limits_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(u)~\ud u. | ||
+ | $$ | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Plyne z vět~\ref{thm:substituce} a \ref{thm:newton}. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
− | |||
− | |||
\subsection{Vlastnosti určitého integrálu} | \subsection{Vlastnosti určitého integrálu} | ||
− | \begin{theorem}[Věta o střední hodnotě integrálu] | + | \begin{theorem}[Vlastnosti určitého integrálu]~ |
− | + | \begin{enumerate} | |
− | + | \item Nechť $f \geq 0$ na $(a,b)$. Pak $\displaystyle \int\limits_a^b f \geq 0$. | |
− | + | \item Nechť $f > 0$ na $(a,b)$. Pak $\displaystyle \int\limits_a^b f > 0$. | |
− | + | \item Nechť $f < g$ na $(a,b)$. Pak $\displaystyle \int\limits_a^b f < \int\limits_a^b g$. | |
− | \end{theorem} | + | \item $\displaystyle \Big| \int\limits_a^b f \Big| \leq \int\limits_a^b |f|$, přičemž rovnost nastává, pokud je funkce $f$ nezáporná na $(a,b)$. |
− | + | \item $\displaystyle m(b-a) < \int\limits_a^b f < M(b-a)$, kde $m=\min \left\{ f(x):x\in[a,b]\right\}$ a $M = \max \left\{ f(x) : x \in[a,b]\right\}$. | |
− | + | \end{enumerate} | |
− | + | \end{theorem} | |
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Věta o střední hodnotě integrálu]\label{thm:stredni} | ||
+ | Nechť $f$ a $g$ jsou spojité funkce na intervalu $[a,b]$ a navíc funkce $g$ nezáporná na $[a,b]$. Potom $\exists c\in [a,b]$ tak, že | ||
+ | $$ | ||
+ | \int\limits_a^b f(x)g(x)~\ud x = f(c)\int\limits_a^b g(x)~\ud x. | ||
+ | $$ | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Označme $m=\min \left\{ f(x):x\in[a,b]\right\}$ a $M = \max \left\{ f(x) : x \in[a,b]\right\}$, pak platí | ||
+ | $$ | ||
+ | mg(x) \leq f(x)g(x) \leq Mg(x). | ||
+ | $$ | ||
+ | Integrací přes interval $[a,b]$ dostaneme nerovnost | ||
+ | $$ | ||
+ | m\int\limits_a^bg(x)\ud x \leq \int\limits_a^bf(x)g(x)\ud x \leq M\int\limits_a^bg(x)\ud x. | ||
+ | $$ | ||
+ | Celou nerovnost můžeme vydělit kladným integrálem (číslem) $\int\limits_a^bg$, neboť dle předpokladů je $g>0$ | ||
+ | $$ | ||
+ | m \leq \underbrace{\frac{\int\limits_a^bf(x)g(x)\ud x}{\int\limits_a^bg(x)\ud x}}_{Y} \leq M. | ||
+ | $$ | ||
+ | Tento výsledek je možné interpretovat také tak, že pro $Y$ ležící mezi $m$ (minimem $f$) a $M$ (maximem $f$) existuje ze spojitosti funkce $f$ takové $c\in[a,b]$, že $f(c) = Y$. | ||
+ | \end{proof} | ||
− | \ | + | \begin{corollary} |
− | + | Nechť $f$ je spojitá na $[a,b]$. Pak existuje $c\in[a,b]$ tak, že | |
+ | $$ | ||
+ | \int\limits_a^b f(x)\ud x = f(c)(b-a). | ||
+ | $$ | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Ve větě~\ref{thm:stredni} zvolme $g(x) = 1$. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{corollary} |
Verze z 5. 8. 2011, 16:41
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika1 | Fucikrad | 4. 9. 2015 | 10:23 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:43 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 27. 8. 2011 | 07:16 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Úvod, jazyk, značení | Fucikrad | 25. 9. 2023 | 10:48 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Funkce | Admin | 6. 8. 2014 | 09:45 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Limita funkce | Fucikrad | 7. 10. 2021 | 15:41 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Spojitost funkce | Pitrazby | 5. 11. 2016 | 18:18 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Derivace funkce | Dvoraro3 | 6. 1. 2023 | 22:50 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Aplikace derivace | Fucikrad | 24. 10. 2020 | 12:32 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Integrální počet | Fucikrad | 21. 4. 2022 | 05:45 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Transcendentní funkce | Fucikrad | 20. 2. 2021 | 11:29 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Aplikace integrálu | Fucikrad | 11. 1. 2021 | 09:39 | kapitola9.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:matematika1_cosh.pdf | cosh.pdf |
Image:matematika1_sinh.pdf | sinh.pdf |
Image:matematika1_sinxx.pdf | sinxx.pdf |
Image:matematika1_tgh.pdf | tgh.pdf |
Image:matematika1_cotgh.pdf | cotgh.pdf |
Image:matematika1_riemann.pdf | riemann.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1} \section[Integrální počet]{\fbox{Integrální počet}} \subsection{Primitivní funkce a neurčitý integrál} \begin{define}[Primitivní funkce]\label{def:primitiv} Funkci $F$ nazveme primitivní k funkci $f$ na intervalu $[a,b]$, pokud $F$ je spojitá na intervalu $[a,b]$ a platí $F^\prime(x) = f(x)$ pro všechna $x \in (a,b)$. \end{define} \begin{theorem}[O jednoznačnosti primitivní funkce] Buď funkce $F$ primitivní k funkci $f$ na intervalu $(a,b)$. Potom funkce $G$ je primitivní k funkci $f$ právě když $(\exists C\in\R)(\forall x\in(a,b)~)(F(x)=G(x)+C).$ \begin{proof} Zjevně $F^\prime = G^\prime$, proto z definice~\ref{def:primitiv} plyne, že funkce $G$ je primitivní k $f$. \end{proof} \end{theorem} \begin{define}[Neurčitý integrál] Nechť pro funkci $f$ existuje primitivní funkce $F$ na $(a,b)$. Množinu všech primitivních funkcí k funkci $f$ nazveme neurčitým integrálem funkce $f$ v intervalu $(a,b)$ a značíme symbolem $$ \int f(x)~\ud x, \quad \hbox{nebo krátce} \quad \int f. $$ \end{define} \begin{remark} $$ \int f = \int f(x) \ud x = \left\{ F : F \hbox{~je primitivní k ~} f \right\} = F(x)+C, $$ kde $f$ \dots integrand, $x$ \dots integrační proměnná, $F$ \dots reprezentant (=nějaká primitivní funkce), $C$ \dots integrační konstanta. \end{remark} \begin{theorem}[Linearita integrace] Buď $F$, resp. $G$ primitivní funkce k $f$, resp. $g$ na $(a,b)$ a $\alpha\in\R$. Pak $F+\alpha G$ je primitivní funkce k $f+\alpha g$ na $(a,b)$. \begin{proof} Plyne z linearity derivace a definice~\ref{def:primitiv}. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Per partes]\label{thm:perpartes} Nechť $f$, $g$ mají na $(a,b)$ konečné derivace a funkce $h=fg^\prime$ má v $(a,b)$ primitivní funkci $H$. Potom funkce $f^\prime g$ má v $(a,b)$ primitivní funkci $fg-H$. \\ Neboli $$ \int fg^\prime = fg-\int f^\prime g. $$ \end{theorem} \begin{proof} Stačí ověřit, zda funkce $fg-H$ je primitivní k $f^\prime g$, tj. dle definice~\ref{def:primitiv} a pravidla pro derivaci součinu (Věta~\ref{thm:derivovani}) $$ \left(fg-H \right)^\prime = f^\prime g + \underbrace{fg^\prime}_h - \underbrace{H^\prime}_h = f^\prime g + h - h = f^\prime g. $$ \end{proof} \begin{theorem}[Substituce]\label{thm:substituce} Nechť $f$ má v $(a,b)$ primitivní funkci $F$, $\varphi$ má v $(\alpha,\beta)$ konečnou derivaci $\varphi^\prime$ a $\varphi(\alpha,\beta)~\subset~(a,b)$. Potom funkce $F \circ \varphi$ je primitivní funkce $(f \circ \varphi)\varphi^\prime$ v intervalu $(\alpha,\beta)$. Neboli $$ \int f(z)~\ud z = \int f(\varphi(x)) \varphi^\prime(x)~\ud t = F(\varphi(x)) + C. $$ \end{theorem} \begin{proof} Stačí ověřit, zda funkce $F\circ\varphi$ je primitivní k $(f \circ \varphi)\varphi^\prime$, tj. dle definice~\ref{def:primitiv} a Věty~\ref{thm:circ} (řetězové pravidlo) $$ \Big( (F\circ\varphi)(x) \Big)^\prime = F^\prime(\varphi(x)) \varphi^\prime(x). $$ \end{proof} \begin{lemma} Pro $n \neq -1$ platí $\displaystyle \int x^n = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C. $ \end{lemma} \subsection{Určitý integrál} \begin{define}[Rozdělení intervalu $\varsigma$] Rozdělením $\varsigma$ intervalu $[a,b]$ rozumíme množinu bodů $\varsigma = \left\{ x_k : k = 0, 1, 2, \dots, n\right\}$ takovou, že $a=x_0 < x_1 < x_2 < \dots x_{n-1} < x_n=b$. Intervaly $[x_{k-1}, x_k]$ nazýváme částečnými intervaly rozdělení $\varsigma$ pro $k = 1, 2, \dots, n$. \end{define} \begin{define}[Horní integrální součet $S_f(\varsigma)$] Horní integrální součet $S_f(\varsigma)$ funkce $f$ při rozdělení $\varsigma$ je $$ S_f(\varsigma) = \sum\limits_{k=1}^{n} M_k (x_{k}-x_{k-1}), $$ kde $\displaystyle M_k = \max \left\{f(x) : x\in[x_{k-1},x_k] \right\}$ pro $k=1,2,\dots,n$. \end{define} \begin{define}[Dolní integrální součet $s_f(\varsigma)$] Horní integrální součet $s_f(\varsigma)$ funkce $f$ při rozdělení $\varsigma$ je $$ s_f(\varsigma) = \sum\limits_{k=1}^{n} m_k (x_{k}-x_{k-1}), $$ kde $\displaystyle m_k = \min \left\{f(x) : x\in[x_{k-1},x_k] \right\}$ pro $k=1,2,\dots,n$. \end{define} \begin{figure}[htb] \centering \includegraphics{figures/riemann} \caption{{Ilustrace k Riemannově definici určitého integrálu}}\label{fig:riemann} \end{figure} \begin{define}[Určitý integrál]\label{def:urcity} Buď $s_f(\varsigma)$, resp. $S_f(\varsigma)$ dolní, resp. horní integrální součet funkce $f$ při rozdělení $\varsigma$ intervalu $[a,b]$. Potom jednoznačně určené číslo $I$, které pro všechna možná rozdělení $\varsigma$ splňuje $$ s_f(\varsigma) \leq I \leq S_f(\varsigma) $$ se nazývá určitý integrál funkce $f$ od $a$ do $b$ (přes interval $(a,b)$) a značí se $$ I = \int\limits_a^b f(x)~\ud x = \int\limits_a^b f. $$ Funkce, která má určitý integrál se nazývá Riemannovsky integrovatelná (integrabilní). \end{define} \begin{theorem}[Základní vlastnosti určitého integrálu]~ \begin{enumerate} \item $\displaystyle \int\limits_a^b f + \int\limits_b^c f = \int\limits_a^c f,$ pokud jednotlivé integrály existují. \item $\displaystyle \int\limits_a^a f = 0$ \item $\displaystyle \int\limits_a^b f= - \int\limits_b^a f$ \end{enumerate} \begin{proof}~ \begin{enumerate} \item Plyne přímo z definice~\ref{def:urcity} nebo též z grafického znázornění integrálu jako plochy pod grafem funkce $f$ pokud $a<b<c$. \item Z prvního tvrzení je patrné, že pro volbu $a=b=c$ máme rovnost $2\int\limits_a^af = \int\limits_a^af$, kterou splňuje pouze $\int\limits_a^af = 0$. \item Z prvního a druhého tvrzení dostaneme pro volbu $c=b$ rovnost $\int\limits_a^bf+\int\limits_b^af=0$, odkud již plyne třetí tvrzení. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{define}[Integrál jako funkce horní, resp. dolní meze] Nechť funkce $f$ je Riemannovsky integrovatelná na intervalu $[a,b]$. Potom $$ x \mapsto \int\limits_a^x f(t)\ud t $$ nazýváme \textbf{integrálem jako funkcí horní meze} a $$ x \mapsto \int\limits_x^b f(t)\ud t $$ nazýváme \textbf{integrálem jako funkcí dolní meze}. \end{define} \begin{lemma}\label{lemma:newton} Funkce $\displaystyle F(x) = \int\limits_a^x f(t)\ud t$ je primitivní funkce k funkci $f$, tj. $$ \frac{\ud}{\ud x}\left( \int\limits_a^x f(t)\ud t \right) = f(x). $$ \end{lemma} \begin{theorem}[Newtonova formule]\label{thm:newton} Nechť funkce $f$ je spojitá na $[a,b]$ a $F$ její primitivní funkce. Potom $$ \int\limits_a^b f(x)~\ud x = [ F(x) ]_a^b = F(b) - F(a). $$ \end{theorem} \begin{proof} Dle lemmatu~\ref{lemma:newton} zkoumejme primitivní funkci $F$ k $f$ ve tvaru $$ F(x) = \int\limits_a^x f(t) \ud t + K, $$ kde $K\in\R$. Z hodnoty v bodě $x=a$ určíme $K$ takto: $$ F(a) = \int\limits_a^a f(t) \ud t + K = 0 + K, $$ odkud $K = F(a)$. Z hodnoty v bodě $x=b$ pak dostaneme tvrzení věty: $$ F(b) = \int\limits_a^b f(t) \ud t + F(a). $$ \end{proof} \begin{theorem}[Per partes] Nechť funkce $f$, $g$ mají na $[a,b]$ spojité derivace. Potom $$ \int\limits_a^b f(x)g^\prime(x) = [f(x)g(x)]_a^b - \int\limits_a^b f^\prime(x)g(x)~\ud x. $$ \begin{proof} Plyne z vět~\ref{thm:perpartes} a \ref{thm:newton}. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Substituce] Buď $\varphi^\prime$ spojitá na intervalu $[\alpha,\beta]$. Nechť funkce $f$ je spojitá na $H_\varphi$. Potom $$ \int\limits_a^b f(\varphi(t))\varphi^\prime(t) ~\ud t= \int\limits_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(u)~\ud u. $$ \begin{proof} Plyne z vět~\ref{thm:substituce} a \ref{thm:newton}. \end{proof} \end{theorem} \subsection{Vlastnosti určitého integrálu} \begin{theorem}[Vlastnosti určitého integrálu]~ \begin{enumerate} \item Nechť $f \geq 0$ na $(a,b)$. Pak $\displaystyle \int\limits_a^b f \geq 0$. \item Nechť $f > 0$ na $(a,b)$. Pak $\displaystyle \int\limits_a^b f > 0$. \item Nechť $f < g$ na $(a,b)$. Pak $\displaystyle \int\limits_a^b f < \int\limits_a^b g$. \item $\displaystyle \Big| \int\limits_a^b f \Big| \leq \int\limits_a^b |f|$, přičemž rovnost nastává, pokud je funkce $f$ nezáporná na $(a,b)$. \item $\displaystyle m(b-a) < \int\limits_a^b f < M(b-a)$, kde $m=\min \left\{ f(x):x\in[a,b]\right\}$ a $M = \max \left\{ f(x) : x \in[a,b]\right\}$. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{theorem}[Věta o střední hodnotě integrálu]\label{thm:stredni} Nechť $f$ a $g$ jsou spojité funkce na intervalu $[a,b]$ a navíc funkce $g$ nezáporná na $[a,b]$. Potom $\exists c\in [a,b]$ tak, že $$ \int\limits_a^b f(x)g(x)~\ud x = f(c)\int\limits_a^b g(x)~\ud x. $$ \end{theorem} \begin{proof} Označme $m=\min \left\{ f(x):x\in[a,b]\right\}$ a $M = \max \left\{ f(x) : x \in[a,b]\right\}$, pak platí $$ mg(x) \leq f(x)g(x) \leq Mg(x). $$ Integrací přes interval $[a,b]$ dostaneme nerovnost $$ m\int\limits_a^bg(x)\ud x \leq \int\limits_a^bf(x)g(x)\ud x \leq M\int\limits_a^bg(x)\ud x. $$ Celou nerovnost můžeme vydělit kladným integrálem (číslem) $\int\limits_a^bg$, neboť dle předpokladů je $g>0$ $$ m \leq \underbrace{\frac{\int\limits_a^bf(x)g(x)\ud x}{\int\limits_a^bg(x)\ud x}}_{Y} \leq M. $$ Tento výsledek je možné interpretovat také tak, že pro $Y$ ležící mezi $m$ (minimem $f$) a $M$ (maximem $f$) existuje ze spojitosti funkce $f$ takové $c\in[a,b]$, že $f(c) = Y$. \end{proof} \begin{corollary} Nechť $f$ je spojitá na $[a,b]$. Pak existuje $c\in[a,b]$ tak, že $$ \int\limits_a^b f(x)\ud x = f(c)(b-a). $$ \begin{proof} Ve větě~\ref{thm:stredni} zvolme $g(x) = 1$. \end{proof} \end{corollary}