02GR:Kapitola4: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Není zobrazena jedna mezilehlá verze od stejného uživatele.) | |||
Řádka 84: | Řádka 84: | ||
Nechť $H,K \le G$. Počet různých způsobů, jak napsat libovolný element z $HK$ ve tvaru $hk$ pro nějaké $h \in H$ a $k \in K$, je $|H \cap K|$. Speciálně když $H \cap K = e$, pak pro každý element existuje pouze jeden způsob. | Nechť $H,K \le G$. Počet různých způsobů, jak napsat libovolný element z $HK$ ve tvaru $hk$ pro nějaké $h \in H$ a $k \in K$, je $|H \cap K|$. Speciálně když $H \cap K = e$, pak pro každý element existuje pouze jeden způsob. | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | Nechť $x \in HK$ a $y \in H \cap K$ libovolné, pak $x = yy^{-1}x = yz$, kde $z = y^{-1}x$ je element $H$ nebo $K$. Takže existuje alespoň $|H \cap K|$ možností, jak zvolit $y$. Kdyby existovalo $x \in HK$, které lze zapsat více způsoby než $H \cap K$, pak celkový počet způsobů, jak zapsat všechny prvky, by byl větší než | + | Nechť $x \in HK$ a $y \in H \cap K$ libovolné, pak $x = yy^{-1}x = yz$, kde $z = y^{-1}x$ je element $H$ nebo $K$. Takže existuje alespoň $|H \cap K|$ možností, jak zvolit $y$. Kdyby existovalo $x \in HK$, které lze zapsat více různými způsoby než $H \cap K$, pak celkový počet způsobů, jak zapsat všechny prvky, by byl větší než |
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
− | |HK||H \cap K| = \frac{|H||K|}{|H \cap K|}|H \cap K| = |H||K| | + | |HK||H \cap K| = \frac{|H||K|}{|H \cap K|}|H \cap K| = |H||K|, |
− | + | \end{align*} | |
− | + | což je spor s růzností zápisu. | |
− | + | \end{proof} | |
− | + | \end{theorem} | |
\begin{theorem}\label{soucin je G} | \begin{theorem}\label{soucin je G} | ||
Řádka 150: | Řádka 150: | ||
&= (a, x)((b, y)(c, z)). \nonumber | &= (a, x)((b, y)(c, z)). \nonumber | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
+ | Platnost rovnosti mezi řádky 3 a 4 odpovídá axiomu homomorfismu $\varphi(b)\varphi(y\cdot c)=\varphi(b(y\cdot c))$. | ||
Dále je z definice vidět, že $(1,1)$ je jednotkový prvek, $(h,k)^{-1} = (k^{-1} \cdot h^{-1}, k^{-1})$ je inverzní prvek pro libovolné $(h,k) \in G$ a $|G| = |H||K|$. | Dále je z definice vidět, že $(1,1)$ je jednotkový prvek, $(h,k)^{-1} = (k^{-1} \cdot h^{-1}, k^{-1})$ je inverzní prvek pro libovolné $(h,k) \in G$ a $|G| = |H||K|$. | ||
\item Nechť $\tilde{H} = \{ (h, 1) | h \in H \}$ a $\tilde{K} = \{ (1, k) | k \in K \}$. Máme | \item Nechť $\tilde{H} = \{ (h, 1) | h \in H \}$ a $\tilde{K} = \{ (1, k) | k \in K \}$. Máme |
Aktuální verze z 6. 1. 2019, 13:45
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02GR
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02GR | Maresj23 | 23. 12. 2012 | 21:49 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:51 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 26. 12. 2015 | 16:53 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Nguyebin | 26. 12. 2015 | 16:55 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Grupy | Kubuondr | 5. 1. 2019 | 10:03 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Podgrupy | Kubuondr | 25. 12. 2018 | 14:30 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Faktor grupy | Kubuondr | 7. 1. 2019 | 22:00 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Přímý a polopřímý součin grup | Kubuondr | 6. 1. 2019 | 13:45 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Reprezentace | Kubuondr | 6. 1. 2019 | 17:50 | kapitola5.tex | |
KapitolaA | editovat | Literatura | Maresj23 | 21. 12. 2012 | 16:45 | literatura.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Soubor:02GR_trojuhelnik.jpg | trojuhelnik.jpg |
Soubor:02GR_usporadani.jpg | usporadani.jpg |
Soubor:02GR_mrizka.PNG | mrizka.PNG |
Soubor:02GR_vlakna.PNG | vlakna.PNG |
Soubor:02GR_nasobeni_reprezentanti.PNG | nasobeni_reprezentanti.PNG |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GR} % **************************************************************************************************************************** % KAPITOLA: Přímý a polopřímý součin grup % **************************************************************************************************************************** \chapter{Přímý a polopřímý součin grup} Jedná se o způsob konstrukce větších grup z menších. \begin{define} Přímý součin definujeme pro konečné a spočetně nekonečné množiny grup (rozdíl definice je jen formální). \begin{enumerate} \item \textbf{Přímým součinem} grup $G_1 \times G_2 \times \ldots \times G_n$ s násobením $\ast_1, \ast_2, \ldots \ast_n$ po řadě, je množina $n$-tic $(g_1, g_2, \ldots, g_n)$ ($g_i \in G_i$) s násobením definovaným po složkách. Tedy: \begin{equation} (g_1, g_2, \ldots, g_n)\ast(h_1, h_2, \ldots, h_n) = (g_1 \ast_1 h_1, g_2 \ast_2 h_2, \ldots, g_n \ast_n h_n). \end{equation} \item \textbf{Přímým součinem} grup $G_1 \times G_2 \times \ldots $ s násobením $\ast_1, \ast_2, \ldots $, po řadě, je množina posloupností $(g_1, g_2, \ldots )$ ($g_i \in G_i$) s násobením definovaným po složkách. Tedy: \begin{equation} (g_1, g_2, \ldots)\ast(h_1, h_2, \ldots) = (g_1 \ast_1 h_1, g_2 \ast_2 h_2, \ldots). \end{equation} \end{enumerate} \end{define} Je zřejmé, že výsledkem přímého součinu grup je opět grupa a to řádu $|G| = |G_1||G_2|\ldots|G_n|$ nebo nekonečného. \section{Klasifikace Abelovských grup} \begin{define} \begin{enumerate} \item Grupa $G$ je \textbf{konečně generovaná}, pokud existuje konečná množina $A\subset G$ taková, že $G=\cycl A$. \item Pro každé $r\in \mathbb{Z}$, $r \geq 0$, buď $\mathbb{Z}^r=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z} \times \ldots \times \mathbb{Z}$ direktní součet $r$ kopií grupy $\mathbb{Z}$, kde $\mathbb{Z}^0=e$. Grupa $\mathbb{Z}^r$ se nazývá \textbf{volná Abelovská grupa řádu $r$}. \end{enumerate} \end{define} \begin{theorem} [základní věta Abelovských grup] Buď $G$ konečně generovaná Abelovská grupa. Pak: \begin{enumerate} \item $G \cong \mathbb{Z}^r \times Z_{n_1}\times Z_{n_2} \times \ldots \times Z_{n_s}$ pro nějaká celá čísla splňující následující podmínky: \begin{enumerate} \item $r \geq 0$ a $n_j \geq 2$ pro všechna $j$, \item $n_{i+1}|n_i$ pro $1\leq i \leq s-1$, \end{enumerate} \item a rozklad je jednoznačný. \end{enumerate} \begin{proof} Bez důkazu. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Každý prvočíselný dělitel $|G|$ musí dělit $n_1$. \end{remark} \begin{theorem} Buď $G$ grupa řádu $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\ldots p_k^{\alpha_k}$. Potom \begin{enumerate} \item $G \cong A_1 \times A_2\times \ldots \times A_k$, kde $|A_i|=p_i^{\alpha_i}$, \item pro každé $A\in {A_1, A_2, \ldots, A_k}$, kde $|A|=p^\alpha$ je $A \cong Z_{p^{\beta_1}} \times Z_{p^{\beta_2}} \times \ldots \times Z_{p^{\beta_t}}$, kde $\beta_1 \geq \beta_2 \geq \ldots \geq \beta_t \geq 1$ a $\beta_1 + \beta_2 + \ldots + \beta_t = \alpha$ ($t$ a $\beta_j$ závisí na $i$) \item a rozklad v 1) a 2) je jednoznačný až na pořadí $A_i$. \end{enumerate} \begin{proof} Bez důkazu. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Nechť $m,n \in \Z^+$, pak $\Z_m \times \Z_n \cong \Z_{mn} \lra \gcd{(m,n)}=1$ (tj. $m$ a $n$ jsou nesoudělná). \begin{proof} \begin{enumerate} \item[$\ra$)] Nechť $\Z_m = \cycl x$, $\Z_n = \cycl y$ a $l = \lcm{(m,n)}$ (nejmenší společný násobek). Všimneme si, že $l = mn$, právě když $\gcd{(m,n)} = 1$. Dále nechť $x^a y^b \in \Z_m \times \Z_n$ libovolné, pak \begin{align*} (x^a y^b)^l = x^{la} y^{lb} = e^a e^b = e, \end{align*} protože $m \mid l$ a taky $n \mid l$. Pokud $\gcd{(m,n)} \neq 1$, každý element $\Z_m \times \Z_n$ je řádu nanejvýš $l$, tedy ostře menšího než $mn$, tedy $\Z_m \times \Z_n $ nemůže být isomorfní $\Z_{mn}$. \item[$\la$)] Naopak, pokud $\gcd{(m,n)} = 1$, pak $|xy| = \lcm{(|x|,|y|)} = mn$. Tudíž $\Z_m \times \Z_n = \cycl{xy}$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Nechť $H,K \le G$. Počet různých způsobů, jak napsat libovolný element z $HK$ ve tvaru $hk$ pro nějaké $h \in H$ a $k \in K$, je $|H \cap K|$. Speciálně když $H \cap K = e$, pak pro každý element existuje pouze jeden způsob. \begin{proof} Nechť $x \in HK$ a $y \in H \cap K$ libovolné, pak $x = yy^{-1}x = yz$, kde $z = y^{-1}x$ je element $H$ nebo $K$. Takže existuje alespoň $|H \cap K|$ možností, jak zvolit $y$. Kdyby existovalo $x \in HK$, které lze zapsat více různými způsoby než $H \cap K$, pak celkový počet způsobů, jak zapsat všechny prvky, by byl větší než \begin{align*} |HK||H \cap K| = \frac{|H||K|}{|H \cap K|}|H \cap K| = |H||K|, \end{align*} což je spor s růzností zápisu. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}\label{soucin je G} Nechť $H, K \npg G$ a $H \cap K = e$, pak $HK \cong H \times K$. \begin{proof} Protože $H,K \npg G$, je $HK \le G$. Nechť $h \in H$, $k \in K$. Protože $H \npg G$, platí $k^{-1}hk \in H$, tedy taky $h^{-1}(k^{-1}hk) \in H$. Analogicky, $(h^{-1}k^{-1}h)k \in K$. Dále díky tomu, že $H \cap K = e$, máme $h^{-1}k^{-1}hk = e$, tedy $hk=kh$, takže prvky $H$ komutují s prvky $K$. Podle předcházející věty lze každý prvek $HK$ zapsat právě jedním způsobem ve tvaru $hk$, kde $h \in H$ a $k \in K$. Zobrazení \begin{align*} \varphi : HK \rightarrow H \times K : hk \rightarrow (h,k) \end{align*} je proto dobře definované. Pro důkaz toho, že $\varphi$ je homomorfismus, vezměme $h_1, h_2 \in H$ a $k_1, k_2 \in K$. Pak díky tomu, že prvky $H$ a $K$ spolu komutují, platí \begin{align*} (h_1k_1)(h_2k_2) = (h_1h_2)(k_1k_2) \end{align*} a tento tvar je jednoznačně zapsán ve tvaru $hk$, kde $h \in H$, $k \in K$. Takže \begin{align*} \varphi(h_1k_1h_2k_2) = \varphi(H_1h_2k_1k_2) = (h_1h_2, k_1k_2) = (h_1,k_1)(h_2,k_2) = \varphi(h_1k_1)\varphi(h_2k_2), \end{align*} tedy $\varphi$ je homomorfismus. Zároveň je to ale bijekce, proto $\varphi$ je isomorfizmus. \end{proof} \end{theorem} \section{Polopřímý součin} \begin{remark} Polopřímý součin je další způsob, jak z menších grup vyrobit grupu větší. Ve výsledku dostaneme z grup $H$ a $K$ grupu $G$, ve které bude platit $H \npg G$, ale $K \le G$ nemusí být normální. Jako motivaci předpokládejme, že už takovou $G$ máme a platí $H \cap K = e$. Platí, že $HK \le G$ a existuje bijekce mezi prvky $HK$ a dvojicemi $(h,k)$, kde $h \in H$ a $k \in K$. Chceme-li součin dvou prvků z $HK$ opět napsat ve tvaru $hk$, postupujeme takto: \begin{align} (h_1 k_1)(h_2 k_2) = h_1 k_1 h_2 (k_1^{-1} k_1) k_2 = h_1 (k_1 h_2 k_1^{-1}) k_1 k_2 = h_1 h_3 k_3 = h_4 k_3, \nonumber \end{align} kde jsme využili toho, že $H$ je normální podgrupa. Cílem polopřímého součinu je zavést grupu s obdobným násobením bez \uv{zastřešující} grupy, která nám umožňuje násobit mezi sebou prvky z $K$ a $H$. \end{remark} \begin{theorem} Buďte $H$ a $K$ grupy a $\varphi:K\rightarrow\Aut H$ je homomorfismus (každému prvku $k \in K$ přiřadí nějakou permutaci $H$). Dále buď $\cdot$ akce grupy $K$ na $H$ daná vztahem $\varphi(k)h=k\cdot h$. Buď $G$ množina dvojic $(h,k)$, $h \in H$ a $k \in K$ a definuje násobení těchto dvojic jako: \begin{align} (h_1,k_1)(h_2,k_2) = (h_1 k_1 \cdot h_2,k_1 k_2). \nonumber \end{align} \begin{enumerate} \item $G$ s takto definovanou operací je grupa řádu $|G| = |K||H|$. \item Množiny $\{(h,1) |h \in H\}$ a $\{(1,k) |k \in K\}$ jsou podgrupy $G$ isomorfní grupám $H$ a $K$. (Dále mezi nimi nerozlišujeme.) \item $H \npg G$. \item $H \cap K = e$. \item $(\all h \in H, k \in K)(khk^{-1} = k \cdot h)$. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Asociativita platí, protože pro libovolné $(a,x), (b,y), (c,z) \in G$ platí \begin{align*} ((a,x)(b,y))(c,z) &= (a x \cdot b, x y)(c, z) \nonumber \\ &= (a x \cdot b (xy) \cdot c, x y z) \nonumber \\ &= (a x \cdot b x \cdot (y \cdot c), x y z) \nonumber \\ &= (a x \cdot (b y \cdot c), x y z) \nonumber \\ &= (a, x)(b y \cdot c, y z) \nonumber \\ &= (a, x)((b, y)(c, z)). \nonumber \end{align*} Platnost rovnosti mezi řádky 3 a 4 odpovídá axiomu homomorfismu $\varphi(b)\varphi(y\cdot c)=\varphi(b(y\cdot c))$. Dále je z definice vidět, že $(1,1)$ je jednotkový prvek, $(h,k)^{-1} = (k^{-1} \cdot h^{-1}, k^{-1})$ je inverzní prvek pro libovolné $(h,k) \in G$ a $|G| = |H||K|$. \item Nechť $\tilde{H} = \{ (h, 1) | h \in H \}$ a $\tilde{K} = \{ (1, k) | k \in K \}$. Máme \begin{align*} (a, 1)(b, 1) = (a 1 \cdot b, 1) = (ab, 1), \qquad \all a,b \in H. \end{align*} Analogicky, \begin{align*} (1, x)(1, y) = (1, xy), \qquad \all x,y \in K, \end{align*} takže $\tilde{H},\tilde{K} \le G$ isomorfní $H,K$. \item[4.] Je jasné, že $\tilde{H} \cap \tilde{K} =e$. \item[5.] Dále platí \begin{align*} (1, k)(h, 1)(1, k)^{-1} &= ((1, k)(h, 1))(1, k^{-1}) \\ &= (k \cdot h, k)(1, k^{-1}) \\ &= (k \cdot h k \cdot 1, k k^{-1}) \\ &= (k \cdot h, 1), \end{align*} tedy přiřazením $h \leftrightarrow (h, 1)$ a $k \leftrightarrow (1,k)$ z bodu (2.) dostáváme $khk^{-1} = k \cdot h$. \item[3.] Nakonec, protože $K \le N_G(H)$, platí $G = HK$ a zároveň $H \leq N_G(H)$, dostáváme $N_G(H) = G$, tedy $H \npg G$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{define} Grupu $G$ z předchozí věty nazýváme \textbf{polopřímý součin} grup $H$ a $K$ a značíme $H \rtimes_\varphi K$. \end{define}