02GR:Kapitola2: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Doplnění chybějícího bodu důkazu – inverze, Podgrupa musí být podmnožinou.) |
m |
||
(Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze od stejného uživatele.) | |||
Řádka 25: | Řádka 25: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | Pro konečnou podgrupu $H \leq G$ platí ($\all x \in H$)($|x| | + | Pro konečnou podgrupu $H \leq G$ platí ($\all x \in H$)($|x|< \infty$). |
\end{remark} | \end{remark} | ||
Řádka 91: | Řádka 91: | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
$N_G(A)\le G$: Použijeme značení z def. \ref{gA}. | $N_G(A)\le G$: Použijeme značení z def. \ref{gA}. | ||
− | + | \begin{enumerate} | |
− | + | \item $N_G(A)\neq\emptyset$, protože $e\in N_G(A)$. | |
− | Nechť $x\in N_G(A)$. Pak zřejmě platí $xAx^{-1}=A\ | + | \item Nechť $x,y\in N_G(A)$, tj. $xAx^{-1}=A$ a $yAy^{-1}=A$. Pak platí $(xy)A(xy)^{-1}=x\underbrace{(yAy^{-1})}_A x^{-1}=xAx^{-1}=A.$ (Asociativita platí z vlastností grupového násobení v $G$.) To ale znamená, že $(xy)\in N_G(A)$. |
+ | \item Nechť $x\in N_G(A)$. Pak zřejmě platí $xAx^{-1}=A\ra x^{-1}Ax=A$, tj. $x^{-1}\in N_G(A)$, čímž je $N_G(A)\le G$ dokázáno. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
$C_G(A)\le G$ již bylo dokázáno a $C_G(A)\leq N_G(A)$ je pak zřejmé z definice podgrupy. | $C_G(A)\le G$ již bylo dokázáno a $C_G(A)\leq N_G(A)$ je pak zřejmé z definice podgrupy. | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
Řádka 233: | Řádka 235: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | Svaz $\{ M,\wedge,\vee\}$ nazýváme \textbf{modulární}, pokud $(\all | + | Svaz $\{ M,\wedge,\vee\}$ nazýváme \textbf{modulární}, pokud $(\all a,b,c \in M)((a \preceq c) \ra a\wedge (b\vee c)=(a \wedge b)\vee c)$. |
\end{define} | \end{define} | ||
Aktuální verze z 25. 12. 2018, 14:30
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02GR
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02GR | Maresj23 | 23. 12. 2012 | 21:49 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:51 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 26. 12. 2015 | 16:53 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Nguyebin | 26. 12. 2015 | 16:55 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Grupy | Kubuondr | 5. 1. 2019 | 10:03 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Podgrupy | Kubuondr | 25. 12. 2018 | 14:30 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Faktor grupy | Kubuondr | 7. 1. 2019 | 22:00 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Přímý a polopřímý součin grup | Kubuondr | 6. 1. 2019 | 13:45 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Reprezentace | Kubuondr | 6. 1. 2019 | 17:50 | kapitola5.tex | |
KapitolaA | editovat | Literatura | Maresj23 | 21. 12. 2012 | 16:45 | literatura.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Soubor:02GR_trojuhelnik.jpg | trojuhelnik.jpg |
Soubor:02GR_usporadani.jpg | usporadani.jpg |
Soubor:02GR_mrizka.PNG | mrizka.PNG |
Soubor:02GR_vlakna.PNG | vlakna.PNG |
Soubor:02GR_nasobeni_reprezentanti.PNG | nasobeni_reprezentanti.PNG |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GR} % **************************************************************************************************************************** % KAPITOLA: Podgrupy % **************************************************************************************************************************** \chapter{Podgrupy} \begin{define} Neprázdná podmnožina $H$ grupy $G$, tj. $\emptyset\neq H\subset G$, je \textbf{podgrupa} grupy $G$ (značíme $H \leq G$), pokud je grupou vůči násobení v $G$. (Tedy obsahuje jednotku z $G$ a je uzavřená vůči násobení prvků z $H$ a jejich inverzi.) \end{define} \begin{example} Množina $\{E,A\}$ je podgrupou v $D_6$ ($A^2=E$, $A^{-1}=A$). \end{example} \begin{theorem} Množina $\emptyset \neq H \subset G$ je podgrupa $\lra$ $(\all x,y \in H)(xy^{-1} \in H)$. \begin{proof} Implikace $\ra$ plyne přímo z definice podgrupy. Dokážeme opačnou implikaci. Z definice je $H$ neprázdná, a tedy můžeme vzít $g \in H$. Pokud nyní položíme $x = g$ a $y = g$, máme $gg^{-1} \in H$, tedy $H$ obsahuje jednotku. Dále tedy volíme $x = 1$ a $y = g$ a dostáváme $1g^{-1} \in H$, tedy $H$ obsahuje inverzi $g$. Nakonec pro libovolné prvky $f,g \in G$ volíme $x = f$ a $y = g^{-1}$, dostáváme $f(g^{-1})^{-1} \in H$, tedy $H$ obsahuje součin $fg$. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Pro konečnou podgrupu $H \leq G$ platí ($\all x \in H$)($|x|< \infty$). \end{remark} %________________________________________Centralizátory, normalizátory, stabilizátory__________________________________________ \section{Centralizátory a normalizátory} \begin{define} Buď $\emptyset \neq A \subset G$. Definujeme \textbf{centralizátor} množiny $A$ v $G$ jako: $C_G(A)=\{g \in G | gag^{-1} = a $ pro $ \all a \in A\}$. \end{define} \begin{remark} Jelikož $(gag^{-1} = a) \lra (ga = ag)$, je centralizátor množiny $A$ množina všech prvků z $G$, které komutují se všemi prvky z $A$. \end{remark} \begin{theorem} Množina $C_G(A)$ je podgrupa v $G$. \begin{proof} Víme, že $C_G(A)$ je neprázdná, jelikož $1 \in C_G(A)$ (z definice komutuje se vším). Dále mějme $x \in C_G(A)$. Pak pro $\all a \in A$ platí: \begin{align} x^{-1} | \quad xax^{-1} &= a \quad | x \nonumber \\ a &= x^{-1}ax, \nonumber \end{align} tedy $x^{-1} \in C_G(A)$. Pro dva prvky $x,y \in C_G(A)$ pak máme: \begin{align} (xy)a(xy)^{-1} = x(yay^{-1})x^{-1} = xax^{-1} = a, \nonumber \end{align} a tedy centralizátor je uzavřený i vůči násobení. \end{proof} \end{theorem} \begin{define} Definujeme \textbf{centrum} grupy $G$ jako: $Z(G) = \{g \in G | gfg^{-1} = f $ pro $ \all f \in G\}$. \end{define} \begin{remark} Platí, že $Z(G)=C_G(G)$, tedy je to množina prvků $G$, které komutují se všemi ostatními. Jako speciální případ předchozí věty platí $Z(G) \le G$. \end{remark} \begin{define}\label{gA} Pro $A \subset G$ a $g \in G$ zavádíme značení: $gA = \{ga | a \in A\}$. Obdobně pro $Ag$, a tedy konkrétně $gAg^{-1} = \{gag^{-1} | a \in A\}$. \end{define} \begin{define} Buď $\emptyset \neq A \subset G$. Definujeme \textbf{normalizátor} $A$ v $G$ jako: $N_G(A) = \{g \in G | gAg^{-1} = A\}$. \end{define} \begin{remark} Normalizátor se od centralizátoru liší tím, že může prvky $A$ zpermutovat (množina $A$ se tím nezmění). Grupové vlastnosti $N_G(A)$ se ukáží podobně jako u $C_G(A)$. \end{remark} \begin{corollary} Platí, že $C_G(A) \le N_G(A)\le G$. \end{corollary} \begin{proof} $N_G(A)\le G$: Použijeme značení z def. \ref{gA}. \begin{enumerate} \item $N_G(A)\neq\emptyset$, protože $e\in N_G(A)$. \item Nechť $x,y\in N_G(A)$, tj. $xAx^{-1}=A$ a $yAy^{-1}=A$. Pak platí $(xy)A(xy)^{-1}=x\underbrace{(yAy^{-1})}_A x^{-1}=xAx^{-1}=A.$ (Asociativita platí z vlastností grupového násobení v $G$.) To ale znamená, že $(xy)\in N_G(A)$. \item Nechť $x\in N_G(A)$. Pak zřejmě platí $xAx^{-1}=A\ra x^{-1}Ax=A$, tj. $x^{-1}\in N_G(A)$, čímž je $N_G(A)\le G$ dokázáno. \end{enumerate} $C_G(A)\le G$ již bylo dokázáno a $C_G(A)\leq N_G(A)$ je pak zřejmé z definice podgrupy. \end{proof} %__________________________________________________ \section{Cyklické grupy} \begin{define} Grupu nazýváme \textbf{cyklická}, pokud je generována jen jedním prvkem $a$ a značíme $H=\cycl{a}=\{a^n|n \in \mathbb{Z},a^0=e\}$. \end{define} \begin{remark} Cyklická grupa je vždy abelovská (komutativní). \end{remark} \begin{remark} Dvě cyklické grupy $\cycl{x}$ a $\cycl\xi$ stejného řádu jsou isomorfní ($\varphi(x^n)=\xi^n$). \end{remark} \begin{theorem} Pro grupu $G=\cycl x$ platí $|G|=|x|$. \begin{proof} \begin{enumerate} \item Pro $|x|=\infty$ jsou všechny prvky $c^\alpha$ různé pro $\all \alpha \in \N$, tedy jich je nekonečně mnoho. \item Nechť $|x|=n$. Platí $(\all \alpha \in \Z)(\alpha = kn+m)$, pro nějaké $n \in \Z$ a $(m \in \Z^+)(m \le n)$. Potom $s^\alpha = x^{kn}x^m = e x^m$. Máme tedy právě $n$ prvků v $G$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Největší společný dělitel čísel $n$ a $m$ značíme $\gcd{(n,m)}$. \end{remark} \begin{theorem} \label{v:rady} Mějme grupu $G = \cycl{x}$. Potom platí: \begin{enumerate} \item $|G|=\infty \ra |x^\alpha|=\infty$ a navíc $(x^\alpha \neq x^\beta)(\all \alpha,\beta \in \Z\setminus\{0\})$, \item $|G|=n \ra |x^\alpha|=\frac{n}{\gcd{(n,\alpha)}}$ pro $\alpha \in \Z\setminus\{0\}$. \end{enumerate} \begin{proof} 1) $|G|=\infty$ znamená, že $|x|=\infty$, tedy $(\all a \in \N)((x^\alpha)^n = x^{n\alpha} \neq e)$. Důkaz druhé části provedeme sporem, tedy nechť $x^\alpha = x^\beta$. Potom $x^{\alpha - \beta} = x^0 = 1$ (tedy $|x|=\alpha-\beta$), což je spor. 2) Víme tedy, že $|x|=n$. Označme si $d=\gcd{(n,\alpha)}$. Musí existovat celé číslo $c$ takové, že $\alpha = c d$. Jelikož $\alpha$ i $n$ jsou pevná, pak i $c$ je pevně určeno. Nyní budeme hledat nejmenší $a \in \N$ takové, aby $(x^\alpha)^a=x^{\alpha a} = e$. Musí tedy platit $\alpha a = bn$ pro nějaké $b \in \N$, které si můžeme volit. To dále upravíme: \begin{align} \alpha a &= b n \nonumber \\ c d a &= b n \nonumber \\ a &= \frac{b}{c} \frac{n}{d}. \nonumber \end{align} Víme, že $\frac{n}{d}$ je celé číslo. Jelikož $a$ musí být také celé číslo a navíc chceme, nejmenší možné, zvolíme $b=c$. Nemůžeme volit $b < c$, protože aby pak bylo $a$ celé, muselo by mít $c$ a $n$ společného dělitele, což je spor s definicí $c$. Tím dostáváme tvrzení věty. (Doporučuji si to vyzkoušet na konkrétních číslech, třeba $n=4$ a $\alpha = 6$.) \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Každá podgrupa grupy $\cycl x$ je cyklická. \end{remark} \begin{define} Podgrupa \textbf{generovaná podmnožinou} $M \subset G$ je nejmenší podgrupa $G$ obsahující všechny prvky $M$. Tedy $$\cycl M=\bigcap_{H_i \le G \atop M \subset H_i} H_i.$$ \end{define} \begin{remark} Snadno se ukáže, že průnik dvou podgrup je opět podgrupa. \end{remark} %________________________________________Uspořádání__________________________________________ \section{Svazy podgrup} Nyní zavedeme relaci uspořádání, abychom mohli zavést svazy podgrup a kreslit tzv. Hasseho diagramy. \begin{define} Relaci $\preceq$ na množině $M$ nazýváme \textbf{částečné uspořádání}, pokud platí: \begin{enumerate} \item reflexivita: $(\all x \in M)(x \preceq x)$, \item tranzitivita: $(\all x,y,z \in M)(x \preceq y \wedge y \preceq z \ra x \preceq z)$, \item slabá antisymetrie: $(\all x,y \in M)(x \preceq y \wedge y \preceq x \ra x=y)$. \end{enumerate} \end{define} \begin{example} Mějme libovolnou množinu $A$ a její potenční množinu $\mathcal{P}(A)=2^A$. Zavedeme uspořádání $(\all M,N \in 2^A)(M \preceq N \lra M \subset N)$. \end{example} \begin{example} Grupa $G=\{e,a,b|a^2=e,b^2=e\}$ má podgrupy $\{e\}$, $\cycl a$, $\cycl b$ a $G$. Můžeme zavést uspořádání pomocí relace "být podgrupou", tedy způsobem: $G_1 \preceq G_2 \lra G_1 \le G_2$. Obr. \ref{fig:usporadani}. \end{example} \begin{figure} \centering \includegraphics[scale=.4]{usporadani.jpg} \caption{Uspořádání na $G=\{e,a,b|a^2=e,b^2=e\}$ podle relace \uv{být podgrupou}.} \label{fig:usporadani} \end{figure} \begin{define} Buď $\{M,\preceq\}$ množina s částečným uspořádáním a $A\subset M$ její podmnožina. Prvek $x\in M$ nazveme \begin{itemize} \item \textbf{horní závora} množiny $A$, pokud $(\all a \in A)(a\preceq x)$, \item \textbf{dolní závora} množiny $A$, pokud $(\all a \in A)(x\preceq a)$, \item \textbf{supremum} množiny $A$ ($x=\sup_\preceq A$), je-li $x$ nejmenší prvek množiny horních závor $A$, \item \textbf{infimum} množiny $A$ ($x=\inf_\preceq A$), je-li $x$ největší prvek množiny dolních závor $A$. \end{itemize} \end{define} \begin{define} Buď $\{M,\preceq\}$ množina s částečným uspořádáním. Pak $\all x,y\in M$ definujeme operace \begin{itemize} \item \textbf{spojení} $x\vee y=\sup_\preceq \{x,y\}$. \item \textbf{průsek} $x\wedge y=\inf_\preceq \{x,y\}$, \end{itemize} \end{define} \begin{remark} Neplést spojení a průsek ($\vee,\wedge$) s operacemi sjednocení a průnik ($\cup,\cap$). \end{remark} \begin{define} Buď $\{M,\preceq\}$ množina s částečným uspořádáním a operacemi $\wedge, \vee$. Potom $\{ M,\wedge,\vee\}$ nazýváme \textbf{svaz}, pokud $(\all x,y \in M)((x\vee y \in M)$ a zároveň $(x\wedge y \in M))$. \end{define} \begin{define} Svaz $\{ M,\wedge,\vee\}$ nazýváme \textbf{modulární}, pokud $(\all a,b,c \in M)((a \preceq c) \ra a\wedge (b\vee c)=(a \wedge b)\vee c)$. \end{define} %________________________________________Zobrazení grupy přes podgrupy__________________________________________ % %\section{Zobrazení grupy přes podgrupy} %\begin{remark} %V této sekci popíšeme, jak je možné zobrazit strukturu grupy pomocí jejích podgrup. %\end{remark} \subsection{Hasseovy diagramy} Konstrukce \textbf{Hasseova diagramu} podgrup konečné grupy $G$: \begin{remark} Najdeme všechny podgrupy $G$ a seřadíme je podle jejich řádu. Grupu $G$ umístíme nejvýše a grupu $1$ nejníže. Zbytek podgrup rozmístíme podle jejich řádu a čarami spojíme všechny grupy $A$ a $B$, pro něž $A \le B$ a neexistuje podgrupa $C$, pro kterou $C < B$ (vlastní podgrupa) a zároveň $A < C$. (Tedy spojujeme jen \uv{nejbližší} podgrupy.) \end{remark} \begin{remark} Mezi každými dvěma podgrupami $A \le B$ existuje spojnice, ale může vést přes celý řetězec podgrup a těchto spojnic může být i více. Příklad je na Obr. \ref{fig:mrizka}. \end{remark} \begin{figure} \centering \includegraphics[scale=0.6]{mrizka.PNG} \caption{Svaz podgrup grupy $\Z/12\Z.$ Převzato z \cite{AA}.} \label{fig:mrizka} \end{figure}