02KVAN:Kapitola3: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(oprava v prvním integrálu rovnice 107.)
 
(Není zobrazena jedna mezilehlá verze od jednoho dalšího uživatele.)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
  
−
\section{Popis stavů \qv é \cc e}
+
\chapter{Stavy a pozorovatelné v \qv é mechanice}
 
\ll{Popisstavu}
 
\ll{Popisstavu}
  
−
\sv a \rc e  má v~\qv é mechanice stejnou roli jako Newtonova rovnice v~mechanice klasické, \textbf{popisuje časový vývoj fyzikálního  
+
\sv a \rc e  má v~\qv é mechanice stejnou roli jako Newtonova rovnice v~mechanice klasické, \textbf{popisuje časový vývoj fyzikálního
−
systému}. Matematicky jsou však typy obou rovnic odlišné. Zatímco Newtonovy \rc e jsou soustavou obyčejných diferenciálních rovnic,  
+
systému}. Matematicky jsou však typy obou rovnic odlišné. Zatímco Newtonovy \rc e jsou soustavou obyčejných diferenciálních rovnic,
−
\sv a \rc e je parciální diferenciální rovnicí. Z~tohoto rozdílu plyne i odlišný způsob popisu stavu v~daném okamžiku v~klasické a  
+
\sv a \rc e je parciální diferenciální rovnicí. Z~tohoto rozdílu plyne i odlišný způsob popisu stavu v~daném okamžiku v~klasické a
 
\qv é mechanice.
 
\qv é mechanice.
  
Řádka 12: Řádka 12:
  
  
−
\subsection{Stavový prostor}
+
\section{Stavový prostor}
 
\ll{stavprost}
 
\ll{stavprost}
  
−
{\small Stav klasického systému v~daném okamžiku je určen hodnotou všech poloh a rychlostí či poloh a hybností jednotlivých hmotných  
+
{\small Stav klasického systému v~daném okamžiku je určen hodnotou všech poloh a rychlostí či poloh a hybností jednotlivých hmotných
 
bodů. Znalost okamžitých hodnot pak jednoznačně určuje řešení pohybových rovnic. Přirozená otázka je, jak popsat stav \qv é \cc e.}
 
bodů. Znalost okamžitých hodnot pak jednoznačně určuje řešení pohybových rovnic. Přirozená otázka je, jak popsat stav \qv é \cc e.}
  
−
\sv a \rc e je parciální lineární diferenciální rovnicí 1.~řádu v~čase a její řešení je (při daných okrajových podmínkách) určeno  
+
\sv a \rc e je parciální lineární diferenciální rovnicí 1.~řádu v~čase a její řešení je (při daných okrajových podmínkách) určeno
−
volbou počáteční podmínky $\psi (\vex,t=t_0)= g(\vex)$, tj.~funkcí $g$. Přijmeme-li předpoklad, že \sv a \rc e \rf{sr} popisuje  
+
volbou počáteční podmínky $\psi (\vex,t=t_0)= g(\vex)$, tj.~funkcí $g$. Přijmeme-li předpoklad, že \sv a \rc e \rf{sr} popisuje
−
časový vývoj kvantové částice, pak docházíme k~závěru, že \textbf{okamžitý stav kvantové částice je určen komplexní funkcí tří  
+
časový vývoj kvantové částice, pak docházíme k~závěru, že \textbf{okamžitý stav kvantové částice v $\R^3$ je určen komplexní funkcí tří
−
proměnných} (Jak zvláštní!). Této funkci se obvykle říká \emph{stavová či vlnová funkce částice}.
+
proměnných} (Jak zvláštní!). Této funkci se obvykle říká \emph{vlnová funkce částice}.
  
−
Bornova interpretace řešení \sv y \rc e  klade na stavové funkce jistá omezení. Podmínka \rf{konecnanorma} platí pro libovolný čas  
+
Bornova interpretace řešení \sv y \rc e  klade na vlnové funkce jistá omezení. Podmínka \rf{konecnanorma} platí pro libovolný čas
 
$t$ a musíme proto požadovat, aby každá funkce $g(\vex)$ popisující stav kvantové částice splňovala podmínku ($\vex\equiv (x,y,z)^T$)
 
$t$ a musíme proto požadovat, aby každá funkce $g(\vex)$ popisující stav kvantové částice splňovala podmínku ($\vex\equiv (x,y,z)^T$)
 
\be \int_{\R^3} |g(\vex)|^2 \d^3x <\infty. \ll{konecnanormag} \ee
 
\be \int_{\R^3} |g(\vex)|^2 \d^3x <\infty. \ll{konecnanormag} \ee
−
Tyto funkce nazýváme \emph{kvadraticky integrovatelné} (na $\R^3$ s~mírou $\d\vex$, ve fyzice obvykle značíme $\d^3x$) a značíme $g\in\mathscr L^2(\R^3,\d^3x)$. Mimo to funkce $g$ a $\alpha g$, kde $\alpha\in\C$ je libovolné  
+
Tyto funkce nazýváme \emph{kvadraticky integrovatelné} (na $\R^3$ s~mírou $\d^3 x$) a značíme $g\in\mathscr L^2(\R^3,\d^3x)$. Mimo to funkce $g$ a $\alpha g$, kde $\alpha\in\C$ je libovolné nenulové komplexní číslo dávají stejnou pravděpodobnostní interpretaci a popisují tedy tentýž stav kvantové \cc e.
−
komplexní číslo dávají stejnou pravděpodobnostní interpretaci a popisují tedy tentýž stav kvantové \cc e.
+
  
 
\bc
 
\bc
Řádka 38: Řádka 37:
 
Díky Minkowského nerovnosti
 
Díky Minkowského nerovnosti
 
\[
 
\[
−
   \left( \int_{\R^3}|f+g|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2}  
+
   \left( \int_{\R^3}|f+g|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2}
 
     \leq \left( \int_{\R^3}|f|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2} + \left( \int_{\R^3}|g|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2},
 
     \leq \left( \int_{\R^3}|f|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2} + \left( \int_{\R^3}|g|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2},
 
\]
 
\]
 
jež platí pro funkce splňující \rf{konecnanormag}, tvoří kvadraticky integrovatelné funkce lineární prostor. Odtud plyne tzv.~\textbf{
 
jež platí pro funkce splňující \rf{konecnanormag}, tvoří kvadraticky integrovatelné funkce lineární prostor. Odtud plyne tzv.~\textbf{
−
princip lineární superpozice stavů \qv é mechaniky jedné částice}: \emph{Může-li se \cc e nacházet ve stavech popsaných \fc emi $\psi_1$,  
+
princip lineární superpozice stavů \qv é mechaniky jedné částice}: \emph{Může-li se \cc e nacházet ve stavech popsaných \fc emi $\psi_1$,
−
$\psi_2$, pak existuje stav popsaný \fc í $a \psi_1 + b \psi_2$, kde $a,b$ jsou libovolná komplexní čísla.}
+
$\psi_2$, pak existuje stav popsaný \fc í $a \psi_1 + b \psi_2$, kde $a,b$ jsou libovolná nenulová komplexní čísla.}
  
 
\bc
 
\bc
Řádka 54: Řádka 53:
 
\ec
 
\ec
  
−
Na lineárním vektorovém prostoru stavových funkcí splňujících podmínku \rf{konecnanorma} je možno zavést ještě bohatší matematickou  
+
Na lineárním vektorovém prostoru vlnových funkcí splňujících podmínku \rf{konecnanorma} je možno zavést ještě bohatší matematickou
−
strukturu, která má pro konstrukci kvantové mechaniky zásadní význam. Ukážeme totiž, že tento prostor (po jisté faktorizaci) je Hilbertův,  
+
strukturu, která má pro konstrukci kvantové mechaniky zásadní význam. Ukážeme totiž, že tento prostor (po jisté faktorizaci) je Hilbertův,
 
což pak použijeme k~předpovědi výsledku měření fyzikálních veličin provedených na \qv ém sytému v~daném stavu.
 
což pak použijeme k~předpovědi výsledku měření fyzikálních veličin provedených na \qv ém sytému v~daném stavu.
  
Řádka 61: Řádka 60:
  
  
−
\subsubsection{Matematická vsuvka 1: Hilbertovy prostory}
+
\section{Matematická vsuvka 1: Hilbertovy prostory}
−
Více či méně zevrubné poučení o~Hilbertových prostorech je možno najít v~mnoha učebnicích (viz např.~\cite{beh:lokf} a citace tam uvedené).  
+
Více či méně zevrubné poučení o~Hilbertových prostorech je možno najít v~mnoha učebnicích (viz např.~\cite{beh:lokf} a citace tam uvedené).
 
Zde uvedeme jen základní definice a fakta, která budeme používat v~této přednášce.
 
Zde uvedeme jen základní definice a fakta, která budeme používat v~této přednášce.
 
{\small
 
{\small
 
\bd
 
\bd
−
   \textbf{Sesquilineární formou} na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ (ne nutně konečně rozměrném) nazveme zobrazení  
+
   \textbf{Sesquilineární formou} na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ (ne nutně konečně rozměrném) nazveme zobrazení
 
   $F:V\times V\rightarrow \C$ splňující
 
   $F:V\times V\rightarrow \C$ splňující
 
   \[
 
   \[
Řádka 78: Řádka 77:
 
\ed
 
\ed
  
−
\bp
+
\noindent \bp
 
  Na lineárním prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí na $\R^N$ lze zavést sesquilineární formu předpisem
 
  Na lineárním prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí na $\R^N$ lze zavést sesquilineární formu předpisem
 
  \be F(g_1,g_2) \equiv (g_1,g_2) := \int_{\R^N} g_1^*(\vex)g_2(\vex)\d^Nx. \ll{ss} \ee
 
  \be F(g_1,g_2) \equiv (g_1,g_2) := \int_{\R^N} g_1^*(\vex)g_2(\vex)\d^Nx. \ll{ss} \ee
Řádka 112: Řádka 111:
 
     Nechť $f,g\in V$. Pak z~pozitivity a sesquilinearity dostaneme pro každé $\beta\in\C$
 
     Nechť $f,g\in V$. Pak z~pozitivity a sesquilinearity dostaneme pro každé $\beta\in\C$
 
     \be 0\leq F(f+\beta g,f+\beta g)=F(f,f)+\beta F(f,g)+\beta^* F(f,g)^*+|\beta|^2F(g,g) \ll{possesq} \ee
 
     \be 0\leq F(f+\beta g,f+\beta g)=F(f,f)+\beta F(f,g)+\beta^* F(f,g)^*+|\beta|^2F(g,g) \ll{possesq} \ee
−
     Pokud $F(f,f)=F(g,g)=0$ pak volbou $\beta=-F^*(f,g)$ dostaneme \rf{schwarz}. Ze striktní pozitivity absolutní hodnoty komplexního  
+
     Pokud $F(f,f)=F(g,g)=0$ pak volbou $\beta=-F^*(f,g)$ dostaneme \rf{schwarz}. Ze striktní pozitivity absolutní hodnoty komplexního
 
     čísla plyne  $F(f,g)=0$ a snadno dokážeme i druhou část tvrzení ($\alpha=0$).
 
     čísla plyne  $F(f,g)=0$ a snadno dokážeme i druhou část tvrzení ($\alpha=0$).
  
−
     Bez újmy na obecnosti můžeme nadále předpokládat, že např.~$F(g,g)\neq 0$. Volbou $\beta=-\frac{F(g,f)}{F(g,g)}$ v~\rf{possesq}, pak  
+
     Bez újmy na obecnosti můžeme nadále předpokládat, že např.~$F(g,g)\neq 0$. Volbou $\beta=-\frac{F(g,f)}{F(g,g)}$ v~\rf{possesq}, pak
 
     dostaneme nerovnost \rf{schwarz}. Druhou část tvrzení dokážeme takto: Nechť platí první rovnost v~\rf{schwrovn}. Z~nerovnosti
 
     dostaneme nerovnost \rf{schwarz}. Druhou část tvrzení dokážeme takto: Nechť platí první rovnost v~\rf{schwrovn}. Z~nerovnosti
 
     \[ 0\leq|\alpha^* F(g,g)+F(f,g)|^2 \]
 
     \[ 0\leq|\alpha^* F(g,g)+F(f,g)|^2 \]
−
     pak plyne $|F(f,g)|^2\geq F(f,f)F(g,g)$, což spolu s~\rf{schwarz} dává $|F(f,g)|^2 = F(f,f)F(g,g)$. Pokud naopak tato rovnost  
+
     pak plyne $|F(f,g)|^2\geq F(f,f)F(g,g)$, což spolu s~\rf{schwarz} dává $|F(f,g)|^2 = F(f,f)F(g,g)$. Pokud naopak tato rovnost
 
     platí, pak pro $\alpha=-\frac{F(g,f)}{F(g,g)}$ je splněna první rovnost v~\rf{schwrovn}.
 
     platí, pak pro $\alpha=-\frac{F(g,f)}{F(g,g)}$ je splněna první rovnost v~\rf{schwrovn}.
 
   \end{proof}
 
   \end{proof}
Řádka 124: Řádka 123:
 
} %konec prostředí \small
 
} %konec prostředí \small
  
−
\bd  
+
\bd
−
   Sesquilineární pozitivně definitní forma na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ se nazývá \textbf{skalární součin}. Lineární  
+
   Sesquilineární pozitivně definitní forma na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ se nazývá \textbf{skalární součin}. Lineární
 
   vektorový prostor vybavený skalárním součinem se nazývá \textbf{unitární} nebo též \textbf{pre-hilbertův}.
 
   vektorový prostor vybavený skalárním součinem se nazývá \textbf{unitární} nebo též \textbf{pre-hilbertův}.
 
\ed
 
\ed
  
−
\bp  
+
\bp
 
   Na prostoru $\C^N$ lze zavést skalární součin způsobem
 
   Na prostoru $\C^N$ lze zavést skalární součin způsobem
 
   \be F(x,y)\equiv(x,y):=\sum_{j=1}^N x_j^*y_j \ll{sscn} \ee
 
   \be F(x,y)\equiv(x,y):=\sum_{j=1}^N x_j^*y_j \ll{sscn} \ee
 
\ep
 
\ep
  
−
Ze cvičení \rf{symfor} plyne, že skalární součin je symetrický a použitím Schwarzovy nerovnosti je snadné ukázat, že indukuje na prostoru  
+
Ze cvičení \rf{symfor} plyne, že skalární součin je symetrický a použitím Schwarzovy nerovnosti je snadné ukázat, že indukuje na prostoru
 
$V$ normu $\|f\|:=\sqrt{(f,f)}$ a metriku $\rho(f,g):=\|f-g\|$
 
$V$ normu $\|f\|:=\sqrt{(f,f)}$ a metriku $\rho(f,g):=\|f-g\|$
  
−
\bd  
+
\bd
 
   Unitární prostor, který je (v indukované metrice $\rho$) úplný se nazývá \textbf{Hilbertův}.
 
   Unitární prostor, který je (v indukované metrice $\rho$) úplný se nazývá \textbf{Hilbertův}.
 
\ed
 
\ed
Řádka 144: Řádka 143:
  
 
{\small
 
{\small
−
Sesquilineární forma \rf{ss} na prostoru kvadraticky integrabilních funkcí není striktně pozitivní. Považujeme-li však funkce lišící se na  
+
Sesquilineární forma \rf{ss} na prostoru kvadraticky integrabilních funkcí není striktně pozitivní. Považujeme-li však funkce lišící se na
−
množině míry nula za \uv{stejné}, tzn.~provedeme-li jistou faktorizaci (viz \cite{beh:lokf}), dostaneme opět lineární prostor označovaný obvykle  
+
množině míry nula za \uv{stejné}, tzn.~provedeme-li jistou faktorizaci (viz \cite{beh:lokf}), dostaneme opět lineární prostor označovaný obvykle
 
\qintrn, na kterém pak \rf{ss} definuje skalární součin. V~normě určené tímto skalárním součinem je navíc tento prostor úplný, a tedy Hilbertův. Je třeba rozlišovat $\mathscr L^2(\R^N,\d^Nx)$ (obsahuje funkce) a \qintrn{} (obsahuje třídy ekvivalence).
 
\qintrn, na kterém pak \rf{ss} definuje skalární součin. V~normě určené tímto skalárním součinem je navíc tento prostor úplný, a tedy Hilbertův. Je třeba rozlišovat $\mathscr L^2(\R^N,\d^Nx)$ (obsahuje funkce) a \qintrn{} (obsahuje třídy ekvivalence).
 
}%small
 
}%small
Řádka 155: Řádka 154:
 
\ep
 
\ep
  
−
V~dalším textu obvykle nebudeme rozlišovat mezi kvadraticky integrabilními funkcemi a jim odpovídajícími třídami funkcí lišícími se na množině míry  
+
V~dalším textu obvykle nebudeme rozlišovat mezi kvadraticky integrabilními funkcemi a jim odpovídajícími třídami funkcí lišícími se na množině míry
−
nula. Můžeme tedy shrnout, že  \textbf{funkce \rf{konecnanormag} popisující stavy kvantové částice tvoří nekonečně rozměrný Hilbertův prostor}.
+
nula. Můžeme tedy shrnout, že  \textbf{funkce \rf{konecnanormag} popisující stavy kvantové částice v $\R^3$ tvoří nekonečně rozměrný Hilbertův prostor $\mathcal{H} = L^2(\R^3,\d^3x)$}.
  
 
\bt [Rieszovo lemma]
 
\bt [Rieszovo lemma]
Řádka 163: Řádka 162:
 
\et
 
\et
 
Toto tvrzení znamená že prostor lineárních funkcionálů na $\Hil$ je izomorfní $\Hil$, přesněji, existuje kanonická antilineární bijekce %Jinými slovy, Hilbertovy prostory jsou samoduální:
 
Toto tvrzení znamená že prostor lineárních funkcionálů na $\Hil$ je izomorfní $\Hil$, přesněji, existuje kanonická antilineární bijekce %Jinými slovy, Hilbertovy prostory jsou samoduální:
−
$\Hil^*\leftrightarrow\Hil$, tj. $\Hil^*\cong\Hil$. Tento fakt je základem tzv.~\uv{bra-ketového formalismu}, který je v~\qv é \mi ce často používán.
+
$\Hil^*\leftrightarrow\Hil$, tj. $\Hil^*\cong\Hil$. Tento fakt je základem tzv.~\uv{bra-ketového formalismu}, který je v~\qv é \mi ce často používán, a se kterým se podrobněji seznámíme v kapitole \ref{kets}.
  
−
\vskip 1cm  
+
\vskip 1cm
  
−
Důležitým pojmem v~teorii Hilbertových prostorů, který mnohokrát využijeme, je tzv.~ortonormální báze (často ne zcela správně nazývaná
+
Důležitým pojmem v~teorii Hilbertových prostorů, který mnohokrát využijeme, je tzv.~ortonormální báze.
−
ortogonální báze).
+
 
{\small
 
{\small
 
\bd
 
\bd
 
   Vektory $x,y$ v~Hilbertově prostoru $\Hil$ nazveme \textbf{ortogonální} pokud $(x,y)=0$. Množinu $M\subset\Hil$ nenulových vektorů nazveme
 
   Vektory $x,y$ v~Hilbertově prostoru $\Hil$ nazveme \textbf{ortogonální} pokud $(x,y)=0$. Množinu $M\subset\Hil$ nenulových vektorů nazveme
−
   \textbf{ortogonální množinou} pokud každé dva její různé prvky jsou ortogonální. Pokud navíc pro každý prvek z~množiny $M$ platí $\|x\|=1$ nazveme  
+
   \textbf{ortogonální množinou} pokud každé dva její různé prvky jsou ortogonální. Pokud navíc pro každý prvek z~množiny $M$ platí $\|x\|=1$ nazveme
 
   ji \textbf{ortonormální}.
 
   ji \textbf{ortonormální}.
 
\ed
 
\ed
Řádka 181: Řádka 179:
 
Je snadné ukázat, že ortogonální doplněk libovolné podmnožiny $\Hil$ je lineární podprostor $\Hil$, tj. $M^\perp\!\subset\subset\Hil$.
 
Je snadné ukázat, že ortogonální doplněk libovolné podmnožiny $\Hil$ je lineární podprostor $\Hil$, tj. $M^\perp\!\subset\subset\Hil$.
 
\bt
 
\bt
−
   Je-li $\mathcal{G}$ uzavřený podprostor $\Hil$, pak pro každé $x\in\Hil$ existuje právě jedno $y\in\mathcal{G}$ a $z\in \mathcal{G}^\perp$ tak, že  
+
   Je-li $\mathcal{G}$ uzavřený podprostor $\Hil$, pak pro každé $x\in\Hil$ existuje právě jedno $y\in\mathcal{G}$ a $z\in \mathcal{G}^\perp$ tak, že
 
   $x=y+z$, tzn.~$\Hil=\mathcal{G}\oplus\mathcal{G}^\perp$ (direktní součet).
 
   $x=y+z$, tzn.~$\Hil=\mathcal{G}\oplus\mathcal{G}^\perp$ (direktní součet).
 
\et
 
\et
Řádka 189: Řádka 187:
 
   \textbf{Ortonormální bází} nazveme ortonormální množinu $B$, jejíž ortogonální doplněk je nulový prostor, tj.~$B^\perp=\{\vec 0\}\subset\Hil$.
 
   \textbf{Ortonormální bází} nazveme ortonormální množinu $B$, jejíž ortogonální doplněk je nulový prostor, tj.~$B^\perp=\{\vec 0\}\subset\Hil$.
 
\ed
 
\ed
−
Pozor! Poznamenejme, že ortonormální báze není bází v~obvyklém smyslu, totiž že libovolný prvek prostoru je možno zapsat jako \emph{konečnou}(!) lineární  
+
Pozor! Poznamenejme, že ortonormální báze není bází v~obvyklém smyslu, totiž že libovolný prvek prostoru je možno zapsat jako \emph{konečnou}(!) lineární
−
kombinaci prvků báze. Jak uvidíme, obecný prvek budeme většinou schopni zapsat pouze jako \uv{nekonečnou lineární kombinaci} prvků ortonormální  
+
kombinaci prvků báze. Jak uvidíme, obecný prvek budeme většinou schopni zapsat pouze jako \uv{nekonečnou lineární kombinaci} prvků ortonormální
 
báze, která je definována pomocí konvergence ve smyslu normy $ \|f\|:=(f,f)$.
 
báze, která je definována pomocí konvergence ve smyslu normy $ \|f\|:=(f,f)$.
 +
 
\bp
 
\bp
 
   Nechť $(a,b)$ je omezený interval v~$\R$, $c:=b-a$, $m\in\Z$. Funkce $f_m(x):= {c}^{-1/2}e^{2\pi imx/ c}$ jsou ortonormální bází prostoru $L^2(a,b)$.
 
   Nechť $(a,b)$ je omezený interval v~$\R$, $c:=b-a$, $m\in\Z$. Funkce $f_m(x):= {c}^{-1/2}e^{2\pi imx/ c}$ jsou ortonormální bází prostoru $L^2(a,b)$.
Řádka 197: Řádka 196:
  
 
\bd
 
\bd
−
   Nechť $B$ je ortonormální báze v~Hilbertově prostoru $\Hil$. \textbf{Fourierovými koeficienty vektoru} $f\in\Hil$ \textbf{pro bázi $B$} nazveme  
+
   Nechť $B$ je ortonormální báze v~Hilbertově prostoru $\Hil$. \textbf{Fourierovými koeficienty vektoru} $f\in\Hil$ \textbf{pro bázi $B$} nazveme
 
   skalární součiny $(b,f)$, kde $b\in B$.
 
   skalární součiny $(b,f)$, kde $b\in B$.
 
\ed
 
\ed
  
−
Hilbertovy prostory, se kterými v~\qv é \mi ce pracujeme (např.~\qintspace), mají nejvýše spočetnou ortonormální bázi $B=(e_j)_{j=1}^3$. V~takovýchto  
+
Hilbertovy prostory, se kterými v~\qv é \mi ce pracujeme (např.~\qintspace), jsou {\bf separabilní} - mají nejvýše spočetnou ortonormální bázi $B=(e_j)_{j=1}^\infty$. V~takovýchto prostorech platí pro každé $f\in\Hil$
−
prostorech platí pro každé $f\in\Hil$
+
 
\be f=\sum_{j=1}^\infty(e_j,f)e_j, \ll{fourexp} \ee
 
\be f=\sum_{j=1}^\infty(e_j,f)e_j, \ll{fourexp} \ee
 
\be \|f\|^2=\sum_{j=1}^\infty|(e_j,f)|^2. \ll{parseval} \ee
 
\be \|f\|^2=\sum_{j=1}^\infty|(e_j,f)|^2. \ll{parseval} \ee
−
Tyto vztahy se nazývají \emph{Fourierův rozvoj} a \emph{Parsevalova rovnost.}
+
Tyto vztahy se nazývají \emph{Fourierův rozvoj} a \emph{Parsevalova rovnost.}  
  
−
V~kvantové mechanice hrají důležitou roli ortonormální báze, jejichž elementy jsou vlastní funkce nějakých operátorů.
+
V~kvantové mechanice hrají důležitou roli ortonormální báze, jejichž elementy jsou vlastní funkce nějakých operátorů. Příklady ortonormálních bází v~nekonečně rozměrných Hilbertových prostorech ukážeme v~dalších kapitolách.
  
 
\bc
 
\bc
Řádka 214: Řádka 212:
 
\ec
 
\ec
  
−
Příklady ortonormálních bází v~nekonečně rozměrných Hilbertových prostorech ukážeme v~dalších kapitolách.
+
Obecně můžeme shrnout popis možných stavů kvantové částice do následujícího postulátu:
  
 +
\begin{post}
 +
Stavový prostor kvantové částice je separabilní Hilbertův prostor $\mathcal{H}$. Stav kvantové částice je popsán nenulovým vektorem $\psi\in\mathcal{H}$.
 +
\end{post}
  
 +
{Striktně vzato stavu kvantové částice odpovídá paprsek, tj. jednorozměrný podprostor v $\mathcal{H}$ (viz. postulát q1-b v \cite{beh:lokf}). Každý paprsek je ale jednoznačně určen nějakým nenulovým vektorem $\psi$. Vzhledem k pravděpodobnostní intrepretaci stavu v kvantové mechanice budeme (až na vyjímky, kde to explicitně zmíníme) uvažovat normalizované vektory, tj. $\|\psi\|=1$.}
  
 +
Volba Hilbertova prostoru závisí na konkretním problému. Budeme ji provádět "intuitivně", např. pro částici v prostoru je přirozené zvolit $\mathcal{H} = L^2(\R^3,d^3x)$, protože pak můžeme přímo interpretovat vlnové funkce $\psi(\vec{x})\in\mathcal{H}$ jako amplitudy pravděpodobnosti nalezení částice v daném bodě prostoru. Analogicky, pro částici na přímce (např. lineární harmonický oscilátor) volíme $\mathcal{H} = L^2(\R,dx)$. V některých případech bude mít Hilbertův prostor konečnou dimenzi, např. pro spin $\frac{1}{2}$, který má dva jednoznačně rozlišitelné stavy (spin nahoru/dolů do pevně zvoleného směru), je $\mathcal{H} = \C^2$.
  
−
\subsection{Pozorovatelné a jejich spektra}
 
−
\ll{pozorovatelne}
 
  
−
{\small V~klasické mechanice je možno ze znalosti stavu předpovědět výsledek měření okamžité hodnoty libovolné mechanické veličiny (energie,
+
\section{Pozorovatelné a jejich spektra}
−
momentu hybnosti,...).
+
\ll{pozorovatelne}
  
−
Stav systému (např.~jedné či více částic) je určen bodem fázového prostoru (polohou a rychlostí, nebo polohou a hybností, podle toho zda  
+
V~klasické mechanice je možno ze znalosti stavu předpovědět výsledek měření okamžité hodnoty libovolné mechanické veličiny (energie,
−
používáme Newtonovu (Lagrangeovu), či Hamiltonovu formulaci) a fyzikální veličiny --- \emph{pozorovatelné} --- jsou definovány jako reálné  
+
momentu hybnosti,...). Stav systému (např.~jedné či více částic) je určen bodem fázového prostoru (polohou a rychlostí, nebo polohou a hybností, podle toho zda
−
funkce na fázovém prostoru. Hodnotu každé mechanické veličiny pro systém v~daném stavu dostaneme vyhodnocením příslušné funkce v~odpovídajícím  
+
používáme Newtonovu (Lagrangeovu), či Hamiltonovu formulaci) a fyzikální veličiny --- \emph{pozorovatelné} --- jsou definovány jako reálné
−
bodu fázového prostoru. Spektrum hodnot, které pro klasickou \cc i můžeme naměřit je dáno oborem hodnot této funkce. Např.~kinetická energie  
+
funkce na fázovém prostoru. Hodnotu každé mechanické veličiny pro systém v~daném stavu dostaneme vyhodnocením příslušné funkce v~odpovídajícím bodu fázového prostoru. Možné hodnoty, které pro klasickou \cc i můžeme naměřit, jsou dány oborem hodnot této funkce. Např.~kinetická energie
 
stavu $(\vec p,\vec q)$ je
 
stavu $(\vec p,\vec q)$ je
 
\[ E_{\mathrm{kin}}(\vec p,\vec q)=\frac{1}{2M}\sum_{j=1}^3 p_j^2 \]
 
\[ E_{\mathrm{kin}}(\vec p,\vec q)=\frac{1}{2M}\sum_{j=1}^3 p_j^2 \]
−
a její spektrum je $\Rp$.
+
a její obor hodnot je $\Rp$.
  
−
Tento popis je nezávislý na dynamice, tj.~na časovém vývoji systému, a je tak názorný, že se mu v~klasické mechanice nevěnuje téměř žádná  
+
Tento popis je nezávislý na dynamice, tj.~na časovém vývoji systému, a je tak názorný, že se mu v~klasické mechanice nevěnuje téměř žádná
−
pozornost. Uvádíme jej zde proto, aby bylo možné sledovat jak podstatně odlišné matematické struktury se používají pro popis těchže kinematických  
+
pozornost. Uvádíme jej zde proto, aby bylo možné sledovat jak podstatně odlišné matematické struktury se používají pro popis těchže kinematických
−
pojmů v~kvantové mechanice.}%small
+
pojmů v~kvantové mechanice.
  
−
Otázka, na kterou chceme odpovědět v~tomto paragrafu zní: Jaké matematické objekty přiřadíme v~\qv é \mi ce pozorovatelným? Jak bylo konstatováno  
+
Otázka, na kterou chceme odpovědět v~tomto paragrafu zní: Jaké matematické objekty přiřadíme v~\qv é \mi ce pozorovatelným? Jak bylo konstatováno
−
v~minulém paragrafu, stavový prostor kvantové částice je množina kvadraticky integrabilních funkcí tří proměnných. Pokud bychom pozorovatelným  
+
v~minulém paragrafu, stavový prostor kvantové částice je množina kvadraticky integrabilních funkcí tří proměnných. Pokud bychom pozorovatelným
−
přiřazovali funkce na tomto (nekonečně rozměrném) prostoru, dostali bychom klasickou teorii pole, která se pro náš cíl --- popis objektů  
+
přiřazovali funkce na tomto (nekonečně rozměrném) prostoru, dostali bychom klasickou teorii pole, která se pro náš cíl --- popis objektů
−
mikrosvěta --- ukázala neadekvátní. Místo toho \textbf{kvantová teorie přiřazuje pozorovatelným samosdružené lineární operátory na prostoru  
+
mikrosvěta --- ukázala neadekvátní. Místo toho \textbf{kvantová teorie přiřazuje pozorovatelným samosdružené lineární operátory na prostoru
−
stavových funkcí}. Způsob přiřazení operátorů konkrétním fyzikálním veličinám je dán fyzikální intuicí, dlouholetým vývojem a následným  
+
stavových funkcí}. Způsob přiřazení operátorů konkrétním fyzikálním veličinám je dán fyzikální intuicí, dlouholetým vývojem a následným
 
experimentálním ověřováním teorie.
 
experimentálním ověřováním teorie.
  
−
Pro sledování analogií s~klasickou mechanikou jsou samozřejmě důležité operátory polohy a hybnosti. V~kvantové mechanice hmotné částice je  
+
Pro sledování analogií s~klasickou mechanikou jsou samozřejmě důležité operátory polohy a hybnosti. V~kvantové mechanice hmotné částice v $\R^3$ je
 
\textbf{kartézským složkám polohy částice přiřazen operátor násobení nezávislou proměnnou}
 
\textbf{kartézským složkám polohy částice přiřazen operátor násobení nezávislou proměnnou}
 
\be \fbox{\Large $(\hat Q_j \psi)(\vex):=x_j\psi(\vex)$} \ll{xoper} \ee
 
\be \fbox{\Large $(\hat Q_j \psi)(\vex):=x_j\psi(\vex)$} \ll{xoper} \ee
Řádka 251: Řádka 252:
 
Definici operátoru hybnosti už jsme de facto použili při odvozování \sv y \rc e \rf{srvolna} z~\db ovy hypotézy.
 
Definici operátoru hybnosti už jsme de facto použili při odvozování \sv y \rc e \rf{srvolna} z~\db ovy hypotézy.
  
−
Existuje mnoho zdůvodnění přiřazení \rf{xoper}, \rf{poper}. V~každém z~nich je však třeba vyslovit nějaké předpoklady, které jsou více či méně  
+
Existuje mnoho zdůvodnění přiřazení \rf{xoper}, \rf{poper}. V~každém z~nich je však třeba vyslovit nějaké předpoklady, které jsou více či méně
 
ekvivalentní \rf{xoper}, \rf{poper}.
 
ekvivalentní \rf{xoper}, \rf{poper}.
  
−
Operátory odpovídající ostatním fyzikálním veličinám majících klasickou analogii jsou konstruovány podle \emph{principu korespondence},  
+
Operátory odpovídající ostatním fyzikálním veličinám majících klasickou analogii jsou konstruovány podle \emph{principu korespondence},
 
tzn.~jsou formálně stejnými funkcemi operátorů $F(\hat Q_j,\hat P_j)$ jako odpovídající funkce $F(x_j,p_j)$ na fázovém prostoru v~klasickém
 
tzn.~jsou formálně stejnými funkcemi operátorů $F(\hat Q_j,\hat P_j)$ jako odpovídající funkce $F(x_j,p_j)$ na fázovém prostoru v~klasickém
 
případě. Např.~operátor celkové energie částice v~silovém poli potenciálu $V$ je
 
případě. Např.~operátor celkové energie částice v~silovém poli potenciálu $V$ je
−
\[ \hat E := E(\hat Q_j,\hat P_j) =  -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl + V(\vex) = \hat H, \]
+
\[ E(\hat Q_j,\hat P_j) =  -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl + V(\vex) = \hat H, \]
−
kde $\lapl=\sum_{j=1}^3 \frac{\pd^2}{\pd x_j^2}$.
+
kde $\lapl=\sum\limits_{j=1}^3 \frac{\pd^2}{\pd x_j^2}$.
  
 
\bc Napište operátory přiřazené složkám momentu hybnosti. \ec
 
\bc Napište operátory přiřazené složkám momentu hybnosti. \ec
  
−
Vzhledem k~tomu, že \qintspace{} je nekonečně rozměrný prostor, důležitou součástí definice operátorů je i stanovení jejich definičních oborů,  
+
Vzhledem k~tomu, že \qintspace{} je nekonečně rozměrný prostor, důležitou součástí definice operátorů je i stanovení jejich definičních oborů,
−
což je obecně dosti delikátní problém. Je samozřejmě nutné, aby příslušné operace byly na funkcích z~definičního oboru definovány a jejich  
+
což je obecně dosti delikátní problém. Je samozřejmě nutné, aby příslušné operace byly na funkcích z~definičního oboru definovány a jejich
−
výsledek ležel v~\qintspace{} (takže například funkce z~definičního oboru operátorů $\hat P_j$ musí být (skoro všude) derivovatelné a  
+
výsledek ležel v~\qintspace{} (takže například funkce z~definičního oboru operátorů $\hat P_j$ musí být (skoro všude) diferencovatelné a jejich derivace musí být kvadraticky integrabilní). Mimo to je však třeba definiční obory operátorů zvolit tak, aby byl splněn ještě další
−
derivace musí být kvadraticky integrovatelné). Mimo to je však třeba definiční obory operátorů zvolit tak, aby byl splněn ještě další
+
požadavek kvantové \mi ky, totiž, že \textbf{spektrum lineárního operátoru přiřazeného fyzikální veličině musí být shodné s~množinou hodnot,
−
požadavek kvantové \mi ky, totiž, že \textbf{spektrum lineárního operátoru přiřazeného fyzikální veličině musí být shodné s~množinou hodnot,  
+
 
které lze pro danou veličinu naměřit}.
 
které lze pro danou veličinu naměřit}.
  
Řádka 273: Řádka 273:
 
\bc
 
\bc
 
   \ll{nekpoja}
 
   \ll{nekpoja}
−
   Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní \uv{nekonečně hluboké potenciálové jámě},  
+
   Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní \uv{nekonečně hluboké potenciálové jámě},
 
   tj.~v~potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$.
 
   tj.~v~potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$.
 
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$.
 
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$.
 
\ec
 
\ec
 
\bc
 
\bc
−
   Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní potenciálové jámě tj.~v~potenciálu  
+
   Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní potenciálové jámě tj.~v~potenciálu
 
   $V(x)=-V_0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$.
 
   $V(x)=-V_0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$.
 
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $x\in \R$.
 
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $x\in \R$.
Řádka 285: Řádka 285:
  
  
−
\subsubsection{Matematická vsuvka 2: Operátory v~Hilbertově prostoru}
+
\section{Matematická vsuvka 2: Operátory v~Hilbertově prostoru}
−
Teorie operátorů v~Hilbertově prostoru je téma samozřejmě velmi široké a nelze sem vměstnat obsah mnoha knih, které o něm byly napsány.  
+
Teorie operátorů v~Hilbertově prostoru je téma samozřejmě velmi široké a nelze sem vměstnat obsah mnoha knih, které o něm byly napsány.
 
Shrneme zde pouze nejdůležitější fakta, která budeme potřebovat.
 
Shrneme zde pouze nejdůležitější fakta, která budeme potřebovat.
  
 
Pod lineárním operátorem v~Hilbertově prostoru $\Hil$ budeme rozumět lineární zobrazení $\hat T:\df\hat T\to\Hil$, kde $\df\hat T\subset\subset\Hil$. Definiční obor zobrazení $\hat T$ budeme značit $\df\hat T$, obor hodnot $\ran\hat T$. Je-li Hilbertův prostor konečné dimenze, pak je teorie lineárních zobrazení relativně jednoduchá
 
Pod lineárním operátorem v~Hilbertově prostoru $\Hil$ budeme rozumět lineární zobrazení $\hat T:\df\hat T\to\Hil$, kde $\df\hat T\subset\subset\Hil$. Definiční obor zobrazení $\hat T$ budeme značit $\df\hat T$, obor hodnot $\ran\hat T$. Je-li Hilbertův prostor konečné dimenze, pak je teorie lineárních zobrazení relativně jednoduchá
−
a redukuje se na teorii matic. V~\qv é teorii se však vyskytují především nekonečně rozměrné prostory, což přináší mnoho technických  
+
a redukuje se na teorii matic. V~\qv é teorii se však vyskytují především nekonečně rozměrné prostory, což přináší mnoho technických
−
problémů. Některé z~nich lze řešit, pokud budeme používat pouze \emph{hustě definované} operátory, tj.~takové pro které $\overline{\df\hat T}=\Hil$,  
+
problémů. Některé z~nich lze řešit, pokud budeme používat pouze \emph{hustě definované} operátory, tj.~takové pro které $\overline{\df\hat T}=\Hil$,
 
kde pruh značí uzávěr množiny ve smyslu topologie indukované metrikou $\Hil$ plynoucí ze skalárního součinu.
 
kde pruh značí uzávěr množiny ve smyslu topologie indukované metrikou $\Hil$ plynoucí ze skalárního součinu.
  
Řádka 301: Řádka 301:
 
\ed
 
\ed
  
−
Normou $\|g\|$ samozřejmě rozumíme normu indukovanou skalárním součinem $\|g\|:=\sqrt{(g,g)}$. Omezené hustě definované operátory lze  
+
Normou $\|g\|$ samozřejmě rozumíme normu indukovanou skalárním součinem $\|g\|:=\sqrt{(g,g)}$. Omezené hustě definované operátory lze
 
spojitě rozšířit na celé $\Hil$.
 
spojitě rozšířit na celé $\Hil$.
  
 
\bp
 
\bp
−
   Fourierův-Plancherelův operátor\footnote{Tato definice vyhovuje pouze pro $g\in$\qintspace$\,\cap\,L^1(\R^3,\d^3x)$. Pro ostatní funkce  
+
   Fourierův-Plancherelův operátor\footnote{Tato definice vyhovuje pouze pro $g\in$\qintspace$\,\cap\,L^1(\R^3,\d^3x)$. Pro ostatní funkce
 
   je třeba jej spojitě dodefinovat \cite{beh:lokf}.}
 
   je třeba jej spojitě dodefinovat \cite{beh:lokf}.}
 
   \[ \tilde{g}(\vec{p}) \equiv (\hat{F} g)(\vec p) := \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\R^3} e^{-i\vec{p}\cdot\vex}g(\vex)\d^3x \]
 
   \[ \tilde{g}(\vec{p}) \equiv (\hat{F} g)(\vec p) := \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\R^3} e^{-i\vec{p}\cdot\vex}g(\vex)\d^3x \]
Řádka 312: Řádka 312:
  
 
\bd
 
\bd
−
   Nechť $\hat{B}$ je omezený operátor na $\Hil$. Operátor $\hat{B}^\dagger$ nazveme \textbf{sdruženým k}~$\hat{B}$, pokud pro všechna  
+
   Nechť $\hat{B}$ je omezený operátor na $\Hil$. Operátor $\hat{B}^\dagger$ nazveme \textbf{sdruženým k}~$\hat{B}$, pokud pro všechna
 
   $f,g\in\Hil$
 
   $f,g\in\Hil$
 
   \[ (f,\hat{B}g) = (\hat{B}^\dagger f,g) \]
 
   \[ (f,\hat{B}g) = (\hat{B}^\dagger f,g) \]
 
\ed
 
\ed
  
−
Z~Rieszova lemmatu je snadné ukázat, že k~danému omezenému operátoru existuje právě jeden sdružený operátor a platí  
+
Z~Rieszova lemmatu je snadné ukázat, že k~danému omezenému operátoru existuje právě jeden sdružený operátor a platí
 
\be (\hat B^\dagger )^\dagger =\hat B \ll{invol} \ee
 
\be (\hat B^\dagger )^\dagger =\hat B \ll{invol} \ee
 
Omezené operátory na $\Hil$ tvoří komplexní algebru a platí
 
Omezené operátory na $\Hil$ tvoří komplexní algebru a platí
 
\be
 
\be
−
   (a\hat{B} +\hat{C})^\dagger =a^*\hat{B}^\dagger +\hat{C}^\dagger ,\ \ (\hat{B}\hat{C})^\dagger = \hat{C}^\dagger \hat{B}^\dagger .  
+
   (a\hat{B} +\hat{C})^\dagger =a^*\hat{B}^\dagger +\hat{C}^\dagger ,\ \ (\hat{B}\hat{C})^\dagger = \hat{C}^\dagger \hat{B}^\dagger .
 
   \ll{algop}
 
   \ll{algop}
 
\ee
 
\ee
  
 
\bc
 
\bc
−
   Nechť $M_{jk}$ jsou prvky matice odpovídající lineárnímu operátoru $\hat{M}$ na konečně rozměrném prostoru. Jaká matice odpovídá  
+
   Nechť $M_{jk}$ jsou prvky matice odpovídající lineárnímu operátoru $\hat{M}$ na konečně rozměrném prostoru. Jaká matice odpovídá
 
   operátoru $\hat{M}^\dagger$?
 
   operátoru $\hat{M}^\dagger$?
 
\ec
 
\ec
Řádka 341: Řádka 341:
  
 
\bt
 
\bt
−
   Operátor $\hat{E}$ je ortogonální projektor (na $\ran\hat{E}$) právě tehdy, když je hermitovský a splňuje  
+
   Operátor $\hat{E}$ je ortogonální projektor (na $\ran\hat{E}$) právě tehdy, když je hermitovský a splňuje
 
   $\hat{E}^2 = \hat{E}$.
 
   $\hat{E}^2 = \hat{E}$.
 
\et
 
\et
  
−
Rozšíření hermitovských operátorů na množinu neomezených, ale hustě definovaných operátorů představují samosdružené operátory. Jejich  
+
Rozšíření hermitovských operátorů na množinu neomezených, ale hustě definovaných operátorů představují samosdružené operátory. Jejich
 
definice vychází z~následujícího faktu:
 
definice vychází z~následujícího faktu:
  
 
\bt
 
\bt
−
   Je-li $\hat{T}$ hustě definovaný operátor na $\Hil$, pak pro každé $f\in\Hil$ existuje \emph{nejvýše} jedno $h\in\Hil$ takové, že  
+
   Je-li $\hat{T}$ hustě definovaný operátor na $\Hil$, pak pro každé $f\in\Hil$ existuje \emph{nejvýše} jedno $h\in\Hil$ takové, že
 
   pro všechna $g\in\df\hat T$ platí
 
   pro všechna $g\in\df\hat T$ platí
 
   \be (f,\hat{T}g)=(h,g) \ll{sad1} \ee
 
   \be (f,\hat{T}g)=(h,g) \ll{sad1} \ee
Řádka 355: Řádka 355:
 
Odtud plyne, že má smysl zavést následující pojmy:
 
Odtud plyne, že má smysl zavést následující pojmy:
 
\bd
 
\bd
−
   Nechť $\hat{T}$ je hustě definovaný operátor. Definiční obor operátoru $\hat{T}^\dagger $ \textbf{sdruženého k}~$\hat{T}$ je množina  
+
   Nechť $\hat{T}$ je hustě definovaný operátor. Definiční obor operátoru $\hat{T}^\dagger $ \textbf{sdruženého k}~$\hat{T}$ je množina
 
   všech $f\in\Hil$,  pro které existuje $h$ splňující \rf{sad1}, přičemž $\hat{T}^\dagger f:=h$
 
   všech $f\in\Hil$,  pro které existuje $h$ splňující \rf{sad1}, přičemž $\hat{T}^\dagger f:=h$
 
\ed
 
\ed
Řádka 365: Řádka 365:
  
 
\bd
 
\bd
−
   Operátor $\hat{S}$ je \textbf{symetrický}, pokud je hustě definovaný a pro všechna $f,g\in \df\hat S$ platí $(f,\hat{S}g)=(\hat{S}f,g) $,  
+
   Operátor $\hat{S}$ je \textbf{symetrický}, pokud je hustě definovaný a pro všechna $f,g\in \df\hat S$ platí $(f,\hat{S}g)=(\hat{S}f,g) $,
 
   tj.~$\df\hat S \subset \df\hat{S^\dagger}$.
 
   tj.~$\df\hat S \subset \df\hat{S^\dagger}$.
 
\ed
 
\ed
  
 
Je zřejmé, že každý samosdružený operátor je symetrický; opak neplatí.
 
Je zřejmé, že každý samosdružený operátor je symetrický; opak neplatí.
−
\bp
+
 
−
   Operátor $\hat{Q}$ definovaný bodově $(\hat{Q}\psi)(x):=x\psi(x)$ s~definičním oborem $\df\hat Q:=\{\psi\in L^2(\R,\dx):\int_\R x^2|\psi(x)|^2dx<\infty\}$  
+
\noindent \bp
 +
   Operátor $\hat{Q}$ definovaný bodově $(\hat{Q}\psi)(x):=x\psi(x)$ s~definičním oborem $\df\hat Q:=\{\psi\in L^2(\R,\dx):\int_\R x^2|\psi(x)|^2dx<\infty\}$
 
   je samosdružený.
 
   je samosdružený.
 
\ep
 
\ep
  
−
Doplníme-li definici \rf{poper} operátoru $\hat{P}_j$ vhodným vymezením definičního oboru, pak i operátory složek hybnosti jsou samosdružené  
+
Doplníme-li definici \rf{poper} operátoru $\hat{P}_j$ vhodným vymezením definičního oboru, pak i operátory složek hybnosti jsou samosdružené
 
(viz \cite{beh:lokf}, 7.2.7).
 
(viz \cite{beh:lokf}, 7.2.7).
  
−
Hustě definované operátory netvoří algebru, neboť $\df\hat T\neq\Hil$. Vztahy \rf{algop} musí být proto pro neomezené operátory náležitě  
+
Hustě definované operátory netvoří algebru, neboť $\df\hat T\neq\Hil$. Vztahy \rf{algop} musí být proto pro neomezené operátory náležitě
 
modifikovány, stejně jako i \rf{invol}.
 
modifikovány, stejně jako i \rf{invol}.
  
Řádka 393: Řádka 394:
 
\bd
 
\bd
 
   \textbf{Spektrum $\sigma(\hat{T})$ %uzavřeného
 
   \textbf{Spektrum $\sigma(\hat{T})$ %uzavřeného
−
   operátoru} Buď $\unit$ identický operátor. $\hat{T}$ je množina komplexních čísel $\lambda$, pro které operátor $(\hat{T}-\lambda\hat{\unit})$ není bijekcí $\df\hat T\mapsto\Hil$.
+
   operátoru $\hat{T}$} je množina komplexních čísel $\lambda$, pro které operátor $(\hat{T}-\lambda\unit)$ není bijekcí $\df\hat T\mapsto\Hil$.
 
\ed
 
\ed
  
−
Všimněme si především, že do spektra operátoru spadají všechna vlastní čísla, neboť existuje-li nenulový vektor $\psi$ takový, že  
+
Všimněme si především, že do spektra operátoru spadají všechna vlastní čísla, neboť existuje-li nenulový vektor $\psi$ takový, že
−
$\hat{T}\psi = \lambda \psi$, pak operátor $\hat{T}-\lambda\unit$ není injektivní. Množinu $\sigma_p(\hat{T})$ vlastních čísel
+
$\hat{T}\psi = \lambda \psi$, pak operátor $\hat{T}-\lambda\unit$ není injektivní. Množinu vlastních čísel
−
operátoru $\hat{T}$ nazýváme \emph{bodovým spektrem}. Mimo těchto bodů však do spektra patří i komplexní čísla, pro která operátor  
+
operátoru $\hat{T}$ nazýváme \textbf{bodovým spektrem} a značíme $\sigma_p(\hat{T})$. Mimo těchto bodů však do spektra patří i komplexní čísla, pro která operátor
−
$\hat{T} - \lambda\unit$ není surjektivní. Ty tvoří body tzv.~\emph{spojité či reziduální části spektra}.
+
$\hat{T} - \lambda\unit$ není surjektivní. Ty tvoří tzv.~\textbf{spojité spektrum} $\sigma_c(\hat T)$ (obor hodnot operátoru $\hat{T} - \lambda\unit$ je hustý v $\mathcal{H}$) a \textbf{reziduální spektrum} $\sigma_r(\hat T)$ (obor hodnot operátoru $\hat{T} - \lambda\unit$ není hustý v $\mathcal{H}$). Pro samosdružené operátory je reziduální spektrum prázdné.
  
−
\textbf{Důvod, proč v~kvantové teorii požadujeme, aby pozorovatelným byly přiřazeny samosdružené operátory tkví v~tom, že platí
+
\textbf{Důvod, proč v~kvantové teorii požadujeme, aby pozorovatelným byly přiřazeny samosdružené operátory tkví v~tom, že platí:
 
\bt
 
\bt
 
   Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožinou $\R$.
 
   Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožinou $\R$.
Řádka 408: Řádka 409:
 
}
 
}
  
−
Spektrum (čistě spojité) každého z~operátorů \rf{xoper}, \rf{poper} je $\R$ (viz \cite{beh:lokf}), což odpovídá experimentálnímu faktu, že  
+
Popis pozorovatelných v kvantové mechanice můžeme shrnout do následující postulátu:
 +
 
 +
\begin{post}
 +
\label{post:poz}
 +
Pozorovatelným veličinám v kvantové mechanice odpovídají samosdružené operátory na stavovém prostoru $\mathcal{H}$. Možné výsledky měření pozorovatelné tvoří spektrum příslušného operátoru.
 +
\end{post}
 +
 
 +
 
 +
Spektrum (čistě spojité) každého z~operátorů \rf{xoper}, \rf{poper} je $\R$ (viz \cite{beh:lokf}), což odpovídá experimentálnímu faktu, že
 
ani pro \qv ou částici
 
ani pro \qv ou částici
 
%je možno v~principu naměřit libovolnou hodnotu souřadnic polohy a
 
%je možno v~principu naměřit libovolnou hodnotu souřadnic polohy a
 
%hybnosti částice.
 
%hybnosti částice.
−
nebyla zjištěna žádná omezení na množinu hodnot souřadnic a hybností.
+
nebyla zjištěna žádná omezení na množinu hodnot souřadnic a hybností. Na druhé straně jsou pro hodnoty energie harmonického oscilátoru podle Planckovy hypotézy omezení podstatná, a je proto velmi důležité zjistit, jak vypadá spektrum energie kvantové částice v~silovém poli harmonického oscilátoru.
−
 
+
−
Na druhé straně jsou pro hodnoty energie harmonického oscilátoru podle Planckovy hypotézy omezení podstatná, a je proto velmi důležité zjistit,  
+
−
jak vypadá spektrum energie kvantové částice v~silovém poli harmonického oscilátoru.
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
\subsubsection{Energie harmonického oscilátoru}
+
−
\ll{qho}
+
−
 
+
−
Ukážeme, že přiřazení \rf{xoper}, \rf{poper} a princip korespondence vysvětlují Planckův předpoklad o~diskrétnosti spektra energie harmonického
+
−
oscilátoru, což byl vedle výpočtu spektra vodíku (viz~\ref{podkap:coulomb}) jeden z~hlavních argumentů pro správnost takto budované teorie.
+
−
Operátor energie --- hamiltonián \qv é částice pohybující se v~silovém poli harmonického oscilátoru je podle principu korespondence
+
−
\begin{equation} \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl + \frac{M}{2}\omega^2 \vex^2. \ll{lho3} \end{equation}
+
−
Ukážeme, že omezíme-li definiční obor tohoto operátoru na kvadraticky integrovatelné funkce, pak množina vlastních hodnot, tj.~čísel $\lambda$
+
−
pro která existuje funkce $\psi(\vex)$ splňující
+
−
\begin{equation} \hat H\psi = \lambda\psi, \ll{vlfce} \end{equation}
+
−
je diskrétní a odpovídá Planckově hypotéze.
+
−
 
+
−
Operátor \rf{lho3} je součtem tří operátorů
+
−
\[ \hat H=\hat H_1+\hat H_2+\hat H_3, \]
+
−
\[ H_j=-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2}{\dx_j^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x_j}^2 \]
+
−
a můžeme se pokusit hledat vlastní funkce operátoru \rf{lho3} ve faktorizovaném tvaru
+
−
\begin{equation} \psi(\vex)=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\psi_3(x_3). \ll{fpsi} \end{equation}
+
−
Rovnice \rf{vlfce} pak přejde na tvar
+
−
\begin{equation}
+
−
  (\hat{H}_1 \psi_1) \psi_2 \psi_3 + \psi_1(\hat{H}_2\psi_2)\psi_3 +\psi_1\psi_2(\hat{H}_3\psi_3) = \lambda\psi_1\psi_2\psi_3.
+
−
  \ll{rozkladH}
+
−
\end{equation}
+
−
Nalezneme-li vlastní čísla $\lambda_j$ funkce (formálně stejných) operátorů $\hat H_j$
+
−
\[ \hat{H}_j\psi_j=\lambda_j\psi_j, \]
+
−
pak získáme i vlastní čísla operátoru \rf{lho3}
+
−
\begin{equation} \lambda = \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3. \end{equation}
+
−
Později ukážeme, že tímto postupem jsme získali všechna vlastní čísla.
+
−
 
+
−
Zkoumejme tedy napřed jednorozměrný případ, tedy operátor
+
−
\begin{equation} \fbox{\Large$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2}{\dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2 $}\ . \ll{lho1} \end{equation}
+
−
Tento operátor lze považovat za operátor energie \emph{jednorozměrného harmonického oscilátoru} tj.~kvantové \cc e pohybující se pouze v~jednom
+
−
rozměru (na přímce).
+
−
 
+
−
\begin{tvr}
+
−
  \ll{slho}
+
−
  Množina vlastních čísel operátoru \rf{lho1} působícího v~prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí jedné proměnné je tvořena reálnými čísly
+
−
  \fbox {$\hbar \omega(n+\half)$}, kde $n\in {\Z_+}$. Pro každé $n$ existuje až na multiplikativní konstantu právě jedna vlastní funkce
+
−
  \begin{equation} \fbox{$\psi_n(x)=A_ne^{-\frac{\xi^2}{2}}H_n(\xi), \ll{vlfcelho} $} \end{equation}
+
−
  kde $\displaystyle\xi=\sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}x$ a $H_n$ jsou \emph{Hermitovy polynomy}
+
−
  \begin{equation} H_n(z) := \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-)^k(2z)^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!}, \ll{herpoldef} \end{equation}
+
−
  kde $\lfloor r\rfloor$ je dolní celá část reálného čísla $r$.
+
−
 
+
−
  \begin{proof}
+
−
    %Bodové spektrum operátoru \rf{lho1} je tvořeno
+
−
    Napřed je třeba nalézt čísla $\lambda$, pro která existují kvadraticky integrabilní řešení $\psi: \R\to\C$ diferenciální
+
−
    rovnice
+
−
    \begin{equation}
+
−
      -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2\psi}{\dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2\psi = \lambda\psi.
+
−
      \ll{eqlho1}
+
−
    \end{equation}
+
−
    Tato rovnice je lineární ODR 2.~řádu a v~oboru spojitě diferencovatelných funkcí má řešení pro každé $\lambda$. Ukážeme, že podmínka kvadratické
+
−
    integrability je splněna jen pro
+
−
    \begin{equation}
+
−
      \lambda = \hbar \omega \left( n+\half \right).
+
−
      \ll{hokvan}
+
−
    \end{equation}
+
−
    Přechodem k~nové (bezrozměrné) proměnné $\displaystyle\xi :=\sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}x$, $\phi(\xi) := \psi(x)$ dostaneme rovnici ve tvaru
+
−
    \begin{equation}
+
−
      \phi'' - \xi^2 \phi + \Lambda \phi = 0
+
−
      \ll{hobezr}
+
−
    \end{equation}
+
−
    kde $\displaystyle\Lambda := \frac{2\lambda}{\hbar\omega}$.
+
−
 
+
−
    Z~teorie řešení lineárních diferenciálních rovnic plyne, že jediný bod, ve kterém mohou mít řešení rovnice \rf{hobezr} singularitu,
+
−
    je nekonečno. Snadno se lze přesvědčit, že pro $\xi\to\pm\infty$ se řešení této rovnice chová jako
+
−
    \begin{equation}
+
−
      \phi(\xi)=e^{\pm \xi^2/2}.
+
−
      \ll{rozphi}
+
−
    \end{equation}
+
−
    Je zřejmé, že kvadraticky integrabilní řešení může odpovídat pouze rychle ubývající funkci, tedy zápornému znaménku v~exponentě \rf{rozphi}.
+
−
    Zvolíme tedy ansatz
+
−
    \begin{equation}
+
−
      \phi(\xi)=e^{-\xi^2/2}u(\xi)
+
−
      \ll{hoansatz}
+
−
    \end{equation}
+
−
    a budeme se zajímat o~řešení rovnice
+
−
    \begin{equation}
+
−
      u'' = 2\xi u' + (1-\Lambda)u
+
−
      \ll{hermrce}
+
−
    \end{equation}
+
−
    která v~nekonečnu rostou pomaleji než $e^{+\xi^2/2}$.
+
−
 
+
−
    Rozšíříme-li rovnici \rf{hermrce} do komplexní roviny, pak její pravá strana je holomorfní funkcí $\xi$, $u$ a $u'$ a její řešení je holomorfní
+
−
    funkcí $\xi$ v~celé komplexní rovině. Můžeme je tedy hledat ve tvaru řady
+
−
    \begin{equation}
+
−
      u(\xi)=\xi^s\sum_{m=0}^\infty a_m\xi^m, \ a_0\neq 0,\ s\in\Z_+
+
−
      \ll{radau}
+
−
    \end{equation}
+
−
    Jejím dosazením do \rf{hermrce} a porovnáním členů se stejnou mocninou $\xi$, dostaneme podmínky pro $s$ a $a_n$
+
−
    \[
+
−
      s(s-1)=0, \ s(s+1)a_1=0
+
−
    \]
+
−
    \begin{equation}
+
−
      a_{m+2}=\frac{2(m+s)+1-\Lambda}{(m+s+2)(m+s+1)}a_m
+
−
      \ll{rran}
+
−
    \end{equation}
+
−
 
+
−
    Pokud čitatel na pravé straně \rf{rran} je nenulový pro všechna $m$, pak se řada \rf{radau} pro $\xi\rightarrow\infty$ chová jako $\exp(\xi^2)$ a řešení
+
−
    \rc e \rf{hobezr} není kvadraticky integrovatelné. To lze usoudit např.~z porovnání rekurentní formule \rf{rran} pro dosti velká $m$ se stejným vztahem
+
−
    pro koeficienty řady $\exp(\xi^2)$. Kvadraticky integrabilní řešení mohou existovat pouze tehdy, pokud řada \rf{radau} je konečná, tj.~existuje $N$
+
−
    takové, že $a_m=0$ pro $m>N$. To nastane tehdy  a jen tehdy, když
+
−
    \be a_1=0, \quad 2(N+s)+1-\Lambda=0 , \quad N \text{ sudé nezáporné}. \ll{kvantlam} \ee
+
−
    V~tom případě se nekonečná řada stane polynomem stupně $n=N+s$ a funkce \rf{hoansatz} je kvadraticky integrabilní.
+
−
 
+
−
    Z~podmínky \rf{kvantlam} plyne, že \rc e \rf{hermrce} má kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy, pokud $ \Lambda=1+2n$, takže rovnice \rf{eqlho1}
+
−
    má kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy pokud platí \rf{hokvan}.
+
−
 
+
−
    Koeficienty $h^{(n)}_m$ polynomů stupně $n$
+
−
    \be H_n(\xi) = \sum_{m=s}^n h^{(n)}_m \xi^m \ll{herpol} \ee
+
−
    jež řeší rovnici \rf{hermrce} jsou pak určeny rekurentním vztahem
+
−
    \be h^{(n)}_{m+2}=2\frac{m-n}{(m+2)(m+1)} h^{(n)}_m, \ll{rrherpol} \ee
+
−
    přičemž pro sudá či lichá  $n$ (tj.~$s=0$ či $s=1$) jsou nenulové pouze koeficienty se sudým respektive lichým $m$.
+
−
 
+
−
    Zvolíme-li normalizaci polynomu způsobem $h^{(n)}_n=2^n$, pak řešením relace \rf{rrherpol} je
+
−
    \be h^{(n)}_{n-2k}=(-1)^k2^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!},\ k=0,1,\ldots,\lfloor n/2\rfloor, \ll{hercoef}\ee
+
−
  \end{proof}
+
−
\end{tvr}
+
−
 
+
−
\bc
+
−
  Napište explicitní tvar Hermitových polynomů pro $n=1,2,3,4$.
+
−
\ec
+
−
 
+
−
\bc
+
−
  Ukažte, že Hermitovy polynomy lze definovat též způsobem
+
−
  \be H_n(z):=(-1)^ne^{z^2}\frac{\d^n}{\dz^n}e^{-z^2}. \ll{herpol2}\ee
+
−
  Návod: Ukažte že pravá strana \rf{herpol2} splňuje rovnici \rf{hermrce}.
+
−
\ec
+
−
 
+
−
\bc
+
−
  \ll{cvvytvfce}
+
−
  Ukažte, že
+
−
  \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}\xi^n = \exp\{ x^2-(x-\xi)^2 \} \]
+
−
\ec
+
−
 
+
−
Důsledkem tvrzení \ref{slho} je, že energie kvantového jednorozměrného harmonického oscilátoru s~potenciálem
+
−
$V(x)=\frac{M}{2}\omega^2x^2$ může nabývat pouze hodnot z~diskrétní množiny $\{\hbar \omega(n+\half)~|~n\in \Z_+\}$.
+
−
 
+
−
Tento závěr je ve shodě s~Planckovou hypotézou použitou pro odvození spektrální závislosti intenzity záření absolutně černého tělesa až na člen
+
−
$\half\hbar\omega$, představující tzv.~\uv{nulové kmity}. Jeho příspěvek k~energii je možno považovat za aditivní konstantu, kterou (ve shodě
+
−
s~tzv.~renormalizační procedurou kvantové teorie pole) je možno odečíst, což odpovídá stanovení nulové úrovně energie.
+
−
 
+
−
\bc
+
−
  Odhadněte amplitudu nulových kmitů matematického kyvadla délky $1 \, \mathrm{m}$ a hmotnosti $1 \, \mathrm{kg}$.
+
−
\ec
+
−
 
+
−
Nyní se můžeme vrátit k~původnímu problému vlastních hodnot operátoru \rf{lho3}. Z~rozkladu \rf{rozkladH} je zřejmé, že funkce
+
−
\begin{equation} \psi(x_1,x_2,x_3) \equiv \psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2)\psi_{n_3}(x_3), \ll{rozkladvlfci} \end{equation}
+
−
kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{vlfcelho}, jsou vlastními \fc emi \oper u \rf{lho3} s~vlastními čísly
+
−
$\lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=(n_1+n_2+n_3 +\frac{3}{2})\hbar \omega$.
+
−
 
+
−
Je třeba ještě ukázat, že žádná další vlastní čísla neexistují. To plyne z~následujících dvou tvrzení (viz např.~\cite[4.3.4, 4.3.5]{beh:lokf}).
+
−
\bt
+
−
  \ll{tr38}
+
−
  Množina vlastních funkcí operátoru \rf{lho1}
+
−
  \begin{equation}
+
−
    \psi_n(x)=\frac{K}{\sqrt{n!2^n}}e^{-\frac{M\omega}{2\hbar}x^2}H_n\left( \sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}x\right) , \quad K=\left(\frac{M\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}
+
−
    \ll{nvlfcelho}
+
−
  \end{equation}
+
−
  je ortonormální bází v~Hilbertově prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí \qintline.
+
−
\et
+
−
 
+
−
\bt
+
−
  \ll{tr39}
+
−
  Množina funkcí \rf{rozkladvlfci}, kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{nvlfcelho} je ortonormální bází v~Hilbertově prostoru kvadraticky
+
−
  integrovatelných funkcí \qintspace.
+
−
\et
+
−
Pro \fc e \rf{nvlfcelho} a \rf{rozkladvlfci} se často používá ketové značení $\psi_n\equiv \ket{n}$,
+
−
$\psi_{n_1}\psi_{n_2}\psi_{n_3} \equiv \ket{n_1n_2n_3}$.
+
−
 
+
−
Z~tvrzení \ref{tr38} a \ref{tr39} rovněž plyne, že spektra hamiltoniánů \rf{lho1} a \rf{lho3} jsou čistě bodová (\cite[7.3.9]{beh:lokf}).
+
−
Nejsou však stejná. Množina vlastních hodnot hamiltoniánu \rf{lho1} --- operátoru energie jednorozměrného harmonického oscilátoru --- se
+
−
liší od spektra trojrozměrného oscilátoru. Obsahuje navíc hodnotu $\hbar\omega$ (na každou dimenzi připadá $\half\hbar\omega$).
+
−
 
+
−
Není to však jediný rozdíl. Zatímco pro jednorozměrný oscilátor každé vlastní hodnotě odpovídá právě jedna vlastní funkce až na
+
−
multiplikativní konstantu, pro třírozměrný oscilátor závisí dimenze podprostoru vlastních funkcí na hodnotě vlastního čísla. Například
+
−
podprostor vlastních funkcí operátoru \rf{lho3} s~vlastním číslem $\lambda=\frac{7}{2}\hbar\omega$ je tvořen lineárním obalem funkcí
+
−
\rf{rozkladvlfci}, kde trojice $(n_1,n_2,n_3)$ nabývají hodnot $(0,1,1)$, $(1,0,1)$, $(1,1,0)$, $(0,0,2)$, $(0,2,0)$, $(2,0,0)$. Rozměr tohoto
+
−
podprostoru je šest. Jednoduchou kombinatorickou úvahou lze zjistit, že rozměr podprostoru vlastních funkcí operátoru \rf{lho3} s~vlastním
+
−
číslem $\lambda=(n+\frac{3}{2})\hbar\omega$ je $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$.
+
−
 
+
−
Stav s~nejnižší energií se obvykle nazývá \emph{základním stavem}, zatímco ostatní stavy se nazývají \emph{excitované}.
+
−
\bc
+
−
  Jak vypadá základní stav klasického harmonického oscilátoru a jaký je rozdíl mezi množinou kvantových a klasických excitovaných stavů?
+
−
\ec
+
−
 
+
−
\bc
+
−
  Použitím vytvořující \fc e ze cvičení \ref{cvvytvfce} ukažte, že
+
−
  \[ \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}\dx=2^n n!\sqrt\pi\delta_{nm}. \]
+
−
  Ukažte, že odtud plyne ortonormalita \fc í \rf{nvlfcelho}.
+
−
\ec
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
\subsubsection{Složky momentu hybnosti kvantové částice}
+
−
\ll{Slmomhyb}
+
−
 
+
−
Další pozorovatelné jejichž spektrum lze snadno vyšetřit jsou složky momentu hybnosti. Podle principu korespondence jim odpovídají operátory
+
−
\be \hat L_j = \epsilon_{jkl}\hat Q_k \hat P_l = -i\hbar\epsilon_{jkl}x_k \frac{\pd}{\pd x_l}. \ll{momhyb} \ee
+
−
Vyšetřování vlastních hodnot těchto operátorů se zjednoduší přechodem do sférických souřadnic $(r,\theta,\phi)$
+
−
\be x=r\sin \theta \cos\phi, \quad y=r\sin \theta \sin\phi, \quad z=r\cos \theta \ll{sfersource} \ee
+
−
\be \psi(x,y,z)=\Psi(r,\theta,\phi) \ll{fcevess} \ee
+
−
 
+
−
\bc Jak vypadají operátory $\hat Q_j,\ \hat P_j,\ j=1,2,3\equiv x,y,z$ ve sférických souřadnicích? \ec
+
−
 
+
−
Operátory $\hat L_j$ mají ve sférických souřadnicích tvar
+
−
\begin{eqnarray}
+
−
  \hat L_x &=& i\hbar \left( \cos\phi\cot\theta\frac{\pd}{\pd\phi}+\sin\phi\frac{\pd}{\pd\theta} \right), \ll{lx} \\
+
−
  \hat L_y &=& i\hbar \left( \sin\phi\cot\theta\frac{\pd}{\pd\phi}-\cos\phi\frac{\pd}{\pd\theta} \right), \ll{ly} \\
+
−
  \hat L_z &=& -i\hbar \frac{\pd}{\pd\phi}. \ll{lz}
+
−
\end{eqnarray}
+
−
Vzhledem k~tomu, že osy $x,y,z$ jsou zcela rovnocenné musí mít i všechny operátory $\hat L_j$ stejné vlastní hodnoty. Technicky nejjednodušší
+
−
však je hledat spektrum operátoru $\hat L_z$, neboť to znamená řešit jednoduchou diferenciální rovnici
+
−
\be -ih \frac{\pd}{\pd\phi}\Psi(r,\theta,\phi) = \lambda\Psi(r,\theta,\phi). \ee
+
−
Její řešení je
+
−
\be
+
−
  \Psi(r,\theta,\phi)=\chi(r,\theta)e^{\frac{i}{\hbar}\lambda\phi},
+
−
\ee
+
−
kde $\chi$ je libovolná funkce a $\lambda$ je libovolné komplexní číslo. Definiční obor operátoru $\hat L_z$ je tvořen spojitými funkcemi
+
−
v~$\R^3$ (jinak bychom je nemohli derivovat) a $\phi$ je azimutální souřadnice bodu třírozměrného prostoru. Musí tedy platit
+
−
\[ \Psi(r,\theta,\phi=0) = \Psi(r,\theta,\phi=2\pi). \]
+
−
Z~této podmínky plyne, \emph{že vlastní hodnoty složek momentu hybnosti mohou nabývat pouze hodnot}
+
−
\be \lambda =  m\hbar, \qquad \mathrm{kde} \ m\in\Z. \ee
+
−
 
+
−
\bc
+
−
  \uv{Kvantové tuhé těleso} (např.~dvouatomová molekula) s~momemtem setrvačnosti $I_z$ volně rotuje v~rovině. Najděte její možné hodnoty energie.
+
−
\ec
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
\subsection{Stav kvantového systému}
+
−
V~analogii s~klasickou mechanikou by přirozeným postupem při kinematickém popisu \qv é částice, např.~elektronu, bylo zjistit, jakou
+
−
komplexní funkcí popsat stav s~danou polohou a hybností. Ač se to na první pohled bude zdát podivné, nepochopitelné ba protiřečící zdravému
+
−
rozumu (ve skutečnosti však pouze naší makroskopické zkušenosti), takový kvantově mechanický stav neexistuje. Důvod je zhruba řečeno ten, že
+
−
měření hybnosti změní podstatně polohu \qv é částice a měření polohy její hybnost (což odpovídá např.~experimentálně potvrzené difrakci
+
−
elektronů).
+
−
 
+
−
Problém kinematického popisu \qv ých systémů tedy spočívá mimo jiné v~odpovědi na otázku: {Jakými měřeními lze popsat stav \qv é \cc e?}
+
−
Stavem fyzikálního systému pak obecně budeme nazývat soubor hodnot všech měření, která jsme na daném systému v~daném okamžiku schopni provést
+
−
a otázka, kterou chceme zodpovědět v~této podkapitole zní: \textbf{Jakou vlnovou \fc i přiřadit fyzikálnímu systému} (např.~elektronu v~atomu
+
−
vodíku), \textbf{který je v~daném okamžiku v~nějakém stavu?}
+
−
 
+
−
V~příkladu kvantového lineárního harmonického oscilátoru studovaného v~odstavci \ref{qho} se jeví celkem přirozené přiřadit kvantovému
+
−
oscilátoru s~energií $(n+\half)\hbar\omega$ (vlastní) funkci $\psi_n(x)$. To je v~souladu s~následujícím postulátem \qv é \mi ky:
+
−
 
+
−
\textbf{Stav \qv é částice, pro kterou naměříme hodnotu $\alpha$ pozorovatelné $A$, je popsán funkcí $g_\alpha$, která je vlastní funkcí
+
−
operátoru $\hat A$, přiřazeného pozorovatelné $A$}
+
−
\be \hat A g_\alpha = \alpha g_\alpha. \ll{vlfcea} \ee
+
−
 
+
−
\bc
+
−
  Jaká je hustota pravděpodobnosti nalezení \qv ého jednorozměrného oscilátoru s~energií $\hbar\omega(n+\half)$ v~bodě $x$? Spočítejte a
+
−
  nakreslete grafy této hustoty pro $n=0,1,2,\ldots$ a srovnejte je s~hustototu pravděpodobnosti výskytu klasického oscilátoru v~daném místě.
+
−
\ec
+
−
 
+
−
V~případě jednorozměrného harmonického oscilátoru jsou vlnové funkce určeny jednoznačně vlastním číslem (až na multiplikativní konstantu,
+
−
která nemá při jejich interpretaci žádný význam). To znamená, že stavy \qv ého lineárního harmonického oscilátoru jsou jednoznačně určeny svou
+
−
energií.
+
−
 
+
−
\bc
+
−
  Je stav klasické částice na přímce určen energií jednoznačně?
+
−
\ec
+
−
 
+
−
Pro určení stavu \qv é \cc e ve více rozměrech však potřebujeme měřit více fyzikálních veličin. Při jejich výběru je však třeba být opatrnější
+
−
než u~částice klasické. Je představitelné, že i minimální interakce mikroobjektu s~přístroji nutná pro měření, může změnit jeho stav, který byl
+
−
vyhodnocen z~měření předchozích. Výsledky měření tedy mohou záležet na pořadí, v~jakém měření jednotlivých veličin provedeme, což je z~hlediska
+
−
popisu stavu nepřípustné.
+
−
 
+
−
Pro \emph{experimentální popis} stavu \qv ého systému je proto třeba napřed zjistit, měření kterých veličin lze provést, aniž by výsledek jednoho
+
−
znehodnotil platnost měření ostatních. Fyzikální veličiny --- pozorovatelné, pro které je toto splněno, nazýváme \emph{kompatibilní}. Jejich
+
−
výsledky provedené v~jednom časovém okamžiku (či aspoň krátkém sledu časů) lze pak použít k~definici stavu.
+
−
 
+
−
{\small V~klasické mechanice pojem kompatibility měření prakticky neexistuje, předpokládáme, že je vždy možno provést měření veličin nutných
+
−
k~určení stavu, aniž bychom jej narušili. Pro objekty na atomární úrovni a menší tomu tak být nemusí.}
+
−
 
+
−
Při důkladnějším rozboru pojmu kompatibility pomocí podmíněných \pst í (viz \cite{beh:lokf}) lze ukázat, že požadavek kompatibility pozorovatelných
+
−
je ekvivalentní tomu, že \textbf{operátory $\hat A_j$ přiřazené kompatibilním fyzikálním veličinám $(A_1\ldots,A_K)$ vzájemně komutují}
+
−
\be [\hat A_j,\hat A_k] = 0. \ll{komop} \ee
+
−
Pro operátory s~čistě bodovými spektry plyne z~této podmínky existence ortonormální báze, jejíž prvky jsou vlastní vektory operátorů
+
−
$(\hat A_1\ldots,\hat  A_K)$.
+
−
 
+
−
Tento požadavek zpětně klade podmínky na kompatibilitu některých pozorovatelných. Například, pokud hybnostem a polohám částice přiřadíme \oper y
+
−
\rf{xoper} a \rf{poper}, pak docházíme k~závěru (který je třeba experimentálně ověřit), že měření polohy a hybnosti v~jednom směru jsou
+
−
nekompatibilní, neboť
+
−
\be {\fbox{\Large $ [\hat Q_j,\hat P_k] = i\hbar\delta_{jk}. $}} \ll{xpcom} \ee
+
−
To je mimo jiné důvod, proč v~\qv é mechanice neexistuje obdoba klasického stavu částice --- stav s~danou polohou a hybností. Z~relací neurčitosti
+
−
se dozvíme, že každý \qv ý stav zaujímá \uv{fázový objem} alespoň $(2\pi\hbar)^3$.
+
−
 
+
−
\bc
+
−
  Jsou kompatibilní složky polohy v~různých směrech?
+
−
\ec
+
−
 
+
−
\bc
+
−
  Jsou kompatibilní složky momentu hybnosti v~různých směrech?
+
−
\ec
+
−
 
+
−
Pro výsledek měření pozorovatelné $A_1$, tedy jednu vlastní hodnotu operátoru, může existovat více lineárně nezávislých funkcí. Příkladem jsou
+
−
třeba \fc e \rf{rozkladvlfci}, které jsou vlastními funkcemi hamiltoniánu \rf{lho3} pro tutéž hodnotu energie $(n+\frac{3}{2})\hbar\omega, \
+
−
n = n_1 + n_2 + n_3$, ale pro různé hodnoty energie jsou lineárně nezávislé. V~takových případech se dá očekávat, že existují jiné měřitelné
+
−
veličiny $(A_2,\ldots,A_K)$, výsledky jejichž měření mohou rozlišit, kterou funkci (opět až na konstantu) máme přiřadit danému stavu.
+
−
Pozorovatelné $(A_2,\ldots,A_K)$ musí být kompatibilní s~pozorovatelnou $A_1$, jejíž měření už jsme použili k~částečnému určení (k~zúžení
+
−
prostoru kandidátů na) vlnové funkce daného stavu, a zároveň kompatibilní mezi sebou.
+
−
 
+
−
Přiřazení vlnové funkce $g$ fyzikálnímu stavu, tj.~souboru výsledků měření kompatibilních fyzikálních veličin se řídí požadavkem:
+
−
\textbf{Vlnová funkce, která popisuje stav určený hodnotami $(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ měření \emph{kompatibilních} fyzikálních veličin
+
−
$(A_1,\ldots,A_K)$, musí vyhovovat rovnicím
+
−
\be \hat A_i g = \alpha_i  g, \quad i=1,\ldots,K. \ll{spvv} \ee
+
−
Znamená to tedy, že musí být \emph{společnou} vlastní funkcí \emph{komutujících} operátorů $\hat A_i$.}
+
−
 
+
−
Množině kompatibilních fyzikálních veličin, hodnoty jejichž výsledků jednoznačně určí kvantový stav, říkáme \emph{úplná množina pozorovatelných}
+
−
a jim odpovídající množina operátorů se nazývá \emph{úplný soubor komutujících operátorů}.
+
−
 
+
−
\bt
+
−
  Operátory $(\hat A_1,\ldots,\hat A_K)$ s~čistě bodovými spektry (tj.~takovými, jejichž vlastní vektory tvoří ortonormální bázi) tvoří úplný
+
−
  soubor komutujících operátorů tehdy a jen tehdy, pokud pro každou $K$-tici jejich vlastních čísel $(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ je rozměr
+
−
  podprostoru společných vlastních stavů roven jedné.
+
−
 
+
−
  \begin{proof}
+
−
    Důkaz je proveden v~\cite{beh:lokf}, Věta 14.2.2.
+
−
  \end{proof}
+
−
\et
+
−
 
+
−
Poznamenejme, že úplná množina pozorovatelných pro daný fyzikální systém (například jednu \cc i) a jí odpovídající úplný soubor komutujících
+
−
operátorů nejsou určeny jednoznačně a jejich výběr se řídí typem fyzikálního jevu, který chceme popsat. Důležitý je pak způsob přechodu od
+
−
jedné množiny ke druhé a odpovídající reinterpretace výsledků.
+
−
 
+
−
Pro experimentální účely jsou velmi důležité úplné množiny pozorovatelných obsahujících energii, neboť pro většinu mikrosystémů je to
+
−
relativně snadno měřitelná veličina.
+
−
 
+
−
Důležitým příkladem vhodného výběru úplné množiny pozorovatelných pro popis stavu kvantové \cc e v~poli centrálních sil je energie, kvadrát
+
−
momentu hybnosti a jedna jeho složka.
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
\subsection{Kvantová částice v~centrálně symetrickém potenciálu}
+
−
\ll{ssec:csympot}
+
−
 
+
−
Mnohé důležité fyzikální systémy je možno popsat pomocí centrálních sil, přesněji potenciálu vykazujícím sférickou symetrii. Příkladem je
+
−
částice v~Coulombově poli, či harmonický oscilátor ve třech rozměrech.
+
−
 
+
−
Operátor energie pro kvantovou částici v~centrálně symetrickém potenciálu má obecný tvar
+
−
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M} \lapl + \hat V(r), \ll{sspot} \ee
+
−
kde
+
−
\be [ \hat V(r) \psi ](x,y,z) := V(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\psi(x,y,z). \ll{roper} \ee
+
−
 
+
−
Ukážeme, že pokud hamiltonián \rf{sspot} má čistě bodové spektrum, pak stavy \cc e v~centrálním poli je možno jednoznačně určit hodnotami
+
−
její energie, kvadrátu momentu hybnosti a jednou jeho složkou. Jinými slovy, tyto tři pozorovatelné tvoří úplnou množinu pozorovatelných.
+
−
 
+
−
\bc
+
−
  Spočítejte komutátory
+
−
  \be [\hat L_j,\hat X_k],\ [\hat L_j,\hat P_k],\ [\hat L_j,\hat L_k],\ \ll{loper1} \ee
+
−
  kde
+
−
  \be \hat L_j := \epsilon_{jkl} \hat Q_k \hat P_l. \ll{loper} \ee
+
−
\ec
+
−
 
+
−
\bc
+
−
  Ukažte, že vzájemně komutují operátory \rf{sspot}, $\hat L_3\equiv \hat L_z$ a
+
−
  \be \hat L^2 := \hat L_x^2 + \hat L_y^2 + \hat L_z^2. \ll{lkvad} \ee
+
−
\ec
+
−
 
+
−
Pro kvantově mechanický popis je důležité zjistit, jakých hodnot mohou nabývat výše uvedené veličiny.
+
−
 
+
−
Pro výpočet vlastních hodnot je vhodné přejít do sférických souřadnic. Operátory $\hat L_z,\ \hat L^2$ a $\hat H$ pak mají tvar
+
−
\be \hat L_z = -i \hbar \frac{\pd}{\pd\phi} \ll{lzsfer} \ee
+
−
\be
+
−
  \hat L^2
+
−
    = - \hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2}{\pd\phi^2}
+
−
      + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd}{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd}{\pd\theta} \right) \right]
+
−
  \ll{lkvadsfer}
+
−
\ee
+
−
\be
+
−
  \hat H
+
−
    = - \frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\pd^2}{\pd r^2} + \frac{2}{r}\frac{\pd}{\pd r} \right)
+
−
      + \frac{1}{r^2} \left(\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2}{\pd\phi^2}
+
−
      + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd}{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd}{\pd\theta} \right)\right)\right]
+
−
      + \hat V(r)
+
−
  \ll{hsfer}
+
−
\ee
+
−
 
+
−
\bc
+
−
  S~použitím vzorců \rf{lx}-\rf{lz} ukažte, že operátor $\hat L^2$ má ve sférických souřadnicích tvar \rf{lkvadsfer}.
+
−
\ec
+
−
\bc Dokažte formuli \rf{hsfer}. \ec
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
\subsubsection{Moment hybnosti, kulové funkce}
+
−
\ll{ssmomhyb}
+
−
 
+
−
Ukážeme, že existují \fc e, které jsou řešením rovnice pro vlastní hodnoty
+
−
\be \hat L^2\psi = \lambda\psi \ll{vlfcel2} \ee
+
−
a zároveň vlastními funkcemi operátoru $\hat L_z$. Z~vyjádření operátoru $\hat L^2$ ve tvaru \rf{lkvadsfer} plyne, že řešením \rc e
+
−
\rf{vlfcel2} budou kvadraticky integrovatelné funkce $\Psi(r,\theta,\phi)$, které splňují parciální diferenciální rovnici
+
−
\be
+
−
  \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2\Psi}{\pd\phi^2}
+
−
    + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd }{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd\Psi}{\pd\theta}\right)
+
−
    +  \frac{\lambda}{\hbar^2}\Psi
+
−
  = 0.
+
−
  \ll{pdrl2}
+
−
\ee
+
−
Vzhledem k~tomu, že hledáme řešení \rf{vlfcel2}, která jsou zároveň vlastními funkcemi \oper u $\hat L_z $ a ty jsme v~podkapitole
+
−
\ref{Slmomhyb} našli ve tvaru
+
−
\be \Psi(r,\theta,\phi) = \chi(r,\theta)e^{  i m\phi}, \ m\in\Z, \ll{vlfcelz} \ee
+
−
budeme hledat řešení rovnice \rf{vlfcel2} rovněž v~tomto faktorizovaném tvaru.
+
−
 
+
−
Rovnice \rf{pdrl2} přejde faktorizací \rf{vlfcelz} na obyčejnou diferenciální rovnici
+
−
\be \frac{\d}{\dt}\left[ (1-t^2)\frac{\d F}{\dt} \right] + \left( \frac{\lambda}{\hbar^2}-\frac{m^2}{1-t^2} \right) F = 0, \ll{odrl2} \ee
+
−
kde $t=\cos\theta,\ F(r,t)=\chi(r,\theta)$ a proměnná $r$ v~této rovnici vystupuje pouze jako (např.~předem zvolený) parametr. To je
+
−
důsledkem toho, že oprátor $\hat L^2$ ve sférických souřadnicích nezávisí na $r$. Podmínka integrability \rf{konecnanorma}  pro $F$
+
−
v~tomto případě zní
+
−
\[
+
−
  \int_{\R^3}|\psi(x,y,z)|^2\dx\dy\dz
+
−
    = \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle \times \langle 0,2\pi \rangle}\abs{\Psi(r,\theta,\phi)}^2\dvol=
+
−
\]
+
−
\be
+
−
  = 2 \pi \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle } |\chi(r,\theta)|^2 \sin \theta \dr\d \theta
+
−
  = 2 \pi \int_0^\infty \int_{-1}^1 |F(r,t)|^2 r^2\dr\dt < \infty.
+
−
  \ll{kvadintss}
+
−
\ee
+
−
Definiční obor operátoru $\hat L^2$ však tvoří pouze funkce konečné na jednotkové kouli, takže $F$ pro dané $r$ musí být rovněž konečná
+
−
na $\langle -1,1 \rangle$.
+
−
 
+
−
Řešení rovnice \rf{odrl2} je poměrně pracné (viz např.~\cite{for:ukt}, str.~70--72). Dá se vyjádřit způsobem
+
−
\be F(r,t)=(t^2-1)^{|m|/2}U(r,\frac{t+1}{2}), \ee
+
−
kde $U$ je \fc e na intervalu $\langle 0,1 \rangle$ splňující Gaussovu diferenciální \rc i
+
−
\be x(x-1)\frac{\d^2U}{\dx^2}(r,x) + (a+bx)\frac{\d U}{\dx}(r,x) + cU(r,x) = 0, \ll{gauss} \ee
+
−
kde
+
−
\[ x = (t+1)/2, \ a = -1-|m|, \ b = 2(1+|m|), \ c = |m|+m^2-\frac{\lambda}{\hbar^2}. \]
+
−
Obecné řešení Gaussovy rovnice lze zapsat jako lineární kombinaci
+
−
\be U(r,x) = R_1(r)U_1(x) + R_2(r)U_2(x), \ee
+
−
kde $U_1, U_2$ jsou dvě lineárně nezávislá řešení, jež lze vyjádřit pomocí tzv.~hypergeometrických funkcí. Pro obecné $\lambda$ a $m$ však
+
−
tato řešení nejsou konečná v~okolí koncových bodů intervalu $\langle 0,1 \rangle$. Podmínku konečnosti funkce $F$ lze splnit pouze když $U$
+
−
je polynom v~$x$. Podobným postupem jako pro harmonický oscilátor pak dostaneme podmínky
+
−
\be \lambda = l(l+1)\hbar^2, \ l\in\Z_+, \qquad m\in\Z,\ |m| \leq l. \ee
+
−
Řešení rovnice \rf{odrl2} v~tomto případě má tvar
+
−
\be F(r,t) = R(r)P_l^m(t), \ll{fakf} \ee
+
−
kde $P_l^m$ jsou přidružené Legendrovy funkce definované způsobem
+
−
\be P_l^m(t) := \frac{(1-t^2)^{m/2}}{2^l l!}\frac{\d^{l+m}}{\dt^{l+m}}(t^2-1)^l. \ll{plmt} \ee
+
−
 
+
−
\bc
+
−
  Ukažte, že funkce $f_{lm}(\theta) := P_l^m(\cos\theta)$ jsou polynomy v~$\sin\theta$ a $\cos\theta$.
+
−
\ec
+
−
 
+
−
Funkce
+
−
\be \fbox{$Y_{lm}(\theta,\phi) := C_{lm} P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi} $}\ , \ll{ylm} \ee
+
−
které jsou řešením \rf{pdrl2} a tedy společnými vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními čísly
+
−
$\lambda = l(l+1)\hbar^2,\ \mu = m\hbar$ se nazývají \emph{kulové funkce}. \textbf{Množina  všech kulových funkcí
+
−
\[ \{ Y_{lm}: l\in\Z_+, \ m\in\Z, \ |m| \leq l \},\]
+
−
kde
+
−
\be |C_{lm}|^2 = \frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}, \ll{normconsY} \ee
+
−
tvoří ortonormální bázi v~prostoru funkcí kvadraticky integrovatelných na jednotkové kouli}, přesněji v~$L_2( \langle 0,\pi \rangle \times
+
−
\langle 0,2\pi \rangle, \sin\theta d\theta d\phi)$. Odtud plyne, že \emph{množina
+
−
\be \{l(l+1)\hbar^2: l\in\Z_+\} \ll{spektrl2} \ee
+
−
je spektrem operátoru} $\hat L^2$ a spektrum je čistě bodové.
+
−
 
+
−
Čísla $l$ a $m$ se obvykle nazývají \emph{orbitální} respektive \emph{magnetické kvantové číslo} stavu. Neboť hodnota energie stavu často
+
−
závisí na hodnotě orbitálního kvantového čísla, mají stavy s~daným $l$ ustálené spektroskopické značení $s,p,d,f,g,h,$ $i,k,l,\ldots$ pro
+
−
$l=0,1,2,\ldots$
+
−
 
+
−
Z~kulových funkcí je možno pro částici s~daným momentem hybnosti, charakterizovaným čísly $(l,m)$, předpovědět \textbf{pravděpodobnost
+
−
nalezení částice v~daném prostorovém úhlu} $\Omega$
+
−
\be \d w = w(\theta,\phi) \d\Omega = |Y_{lm}(\theta,\phi)|^2 \d\Omega. \ee
+
−
 
+
−
\bc
+
−
  Odvoďte pravděpodobnosti nalezení částice v~daném prostorovém úhlu pro stavy $s, p, d$.
+
−
\ec
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
\subsubsection{Radiální část vlnové funkce}
+
−
Ze vzorců \rf{vlfcelz}, \rf{fakf}, \rf{ylm} plyne, že vlnová funkce, která je současně vlastní funkcí $\hat L_z$ a $\hat L^2$ má tvar
+
−
\be \Psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi) \ll{fakpsi} \ee
+
−
Tato faktorizace vlnové funkce je užitečná zejména pro výpočet energetického spektra částice v~poli centrálních sil, neboť hamiltonián
+
−
\rf{sspot} má ve sférických souřadnicích tvar \rf{hsfer} a díky \rf{lkvadsfer} jej lze vyjádřit způsobem
+
−
\be
+
−
  \hat H
+
−
    = -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\pd^2}{\pd r^2}
+
−
      + \frac{2}{r}\frac{\pd}{\pd r} \right)
+
−
      - \frac{1}{\hbar^2r^2}\hat L^2\right]
+
−
      + \hat V(r).
+
−
  \ll{hsfer2}
+
−
\ee
+
−
Použijeme-li faktorizaci vlnové funkce \rf{fakpsi}, pak pro výpočet vlastních čísel $E$ a vlastních funkcí hamiltoniánu, které jsou zároveň
+
−
vlastními funkcemi operátorů $\hat L^2$ a $\hat L_z$, dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici
+
−
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ R''(r)+\frac{2}{r}R'(r) \right] + V_{\rm{eff}}(r)R(r)- E R(r)=0, \ll{hsfervfce} \ee
+
−
kde
+
−
\be V_{\rm{eff}}(r) = V(r)+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}. \ll{veff} \ee
+
−
Substitucí $R(r)=\chi(r)/r$  se tato rovnice zjednoduší na
+
−
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \chi''(r) + V_{eff}(r)\chi(r)- E\chi(r)=0, \ll{rcekhi} \ee
+
−
což je rovnice formálně shodná s~rovnicí pro kvantovou \cc i na polopřímce v~poli potenciálu $V_{eff}$. Podmínka integrability funkce $\Psi$
+
−
přejde na podmínku
+
−
\be \int_{\R_+} |\chi(r)|^2 \dr < \infty. \ee
+
−
Vedle této podmínky však naložíme na funkce $\chi$ ještě dodatečnou okrajovou podmínku
+
−
\be \chi(0)=0, \ll{nulchi} \ee
+
−
která plyne např.~z~požadavku konečnosti a jednoznačnosti \fc e $\psi(\vex)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi)$ v~bodě $0$. Tato podmínka rovněž
+
−
zaručuje samosdruženost operátoru \rf{hsfer} (viz \cite{beh:lokf}, Věta 8.6.7).
+
−
 
+
−
Uvědomme si, že v~kartézských souřadnicích by problém nalezení spektra operátorů $\hat H,\ \hat L^2,\ \hat L_z$ byl krajně obtížný.
+
−
Vhodným výběrem souřadnic se nám podařilo převést řešení parciálních diferenciálních rovnic na řešení ODR. Tomuto postupu se říká separace
+
−
proměnných a je možný, pokud původní problém má nějakou symetrii, v~tomto případě sférickou.
+
−
 
+
−
Úplná specifikace rovnice \rf{rcekhi} je možná až tehdy, zadáme-li konkrétní tvar potenciálu $V(r)$.
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
\subsubsection{Matematická vsuvka 3: Degenerovaná hypergeometrická funkce}
+
−
 
+
−
Pro hledání vlastních hodnot operátoru energie budeme potřebovat řešení diferenciální rovnice
+
−
\be xy''(x)+(ax+b)y'(x)+cy(x)=0,\ a\neq 0. \ll{dghgr1} \ee
+
−
Transformací $y(x)=w(-ax)$ lze tuto rovnici převést na tvar
+
−
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghgr2}\ee
+
−
kde $\alpha=c/a, \ \gamma=b$.
+
−
 
+
−
Z~teorie diferenciálních rovnic v~komplexním oboru (shrnutí viz \cite{for:ukt}, dodatek D) plyne, že řešení \rf{dghgr2} lze v~okolí nuly
+
−
zapsat jako řadu
+
−
\be w(z)=z^s\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,\ a_0\neq 0. \ll{resrada} \ee
+
−
Dosazením \rf{resrada} do \rf{dghgr2} a porovnáním koeficientů u~mocnin $z$ dostaneme
+
−
\be s(s-1+\gamma)a_0=0 \ll{sgam} \ee
+
−
\be (n+s+1)(n+s+\gamma)a_{n+1}=(n+s+\alpha)a_n,\ n\geq 0. \ll{anp1} \ee
+
−
Dá se ukázat, že řady s~takto určenými koeficienty konvergují pro všechna $z$ a definují tzv.~\emph{degenerované hypergeometrické \fc e}.
+
−
 
+
−
Pro $s=0$ a $\gamma \neq -n \in \Z_-$ má řada \rf{resrada} tvar $a_0 F(\alpha,\gamma,z)$, kde
+
−
\be F(\alpha,\gamma,z) = 1 + \frac{\alpha}{1!\gamma}z + \frac{\alpha(\alpha+1)}{2!\gamma(\gamma+1)}z^2 + \ldots \ . \ll{dghyfce} \ee
+
−
Pro $s=1-\gamma,\ \gamma-2\neq n\in \Z_+$
+
−
\be w(z)=z^{1-\gamma}F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z). \ee
+
−
Pro necelá $\gamma$ je obecným řešením rovnice \rf{dghgr2}
+
−
\be w(z) = A_1 F(\alpha,\gamma,z) + A_2 z^{1-\gamma} F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z), \ll{obres2} \ee
+
−
takže obecným řešením rovnice \rf{dghgr1} pro necelá $b$ je
+
−
\be y(x) = C_1 F\left( \frac{c}{a},b,-ax\right) + C_2 x^{1-b} F\left( \frac{c}{a}+1-b,2-b,-ax\right) . \ll{obres1} \ee
+
−
 
+
−
Vzhledem k~tomu, že $\frac{a_n}{a_{n-1}}\to \frac 1 n$, chovají se degenerované hypergeometrické \fc e pro $z\to \infty$ jako $e^z$, přesněji (viz
+
−
\cite{baterd})
+
−
\be
+
−
  \ll{rtoplusinf}
+
−
  F(\alpha,\gamma,z \rightarrow +\infty) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)} \, e^z z^{\alpha-\gamma} [1+O(|z|^{-1})].
+
−
\ee
+
−
Pro $z\to -\infty\ $
+
−
\be
+
−
  \ll{rtominusinf}
+
−
  F(\alpha,\gamma, z \rightarrow -\infty) =  \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma-\alpha)} (-z)^{-\alpha} [1+O(|z|^{-1})].
+
−
\ee
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
\subsubsection{Isotropní harmonický oscilátor}
+
−
V~kapitole \ref{qho} jsme řešili problém spektra energie třírozměrného harmonického oscilátoru a zjistili jsme, že podprostory vlastních
+
−
stavů  energie jsou vícerozměrné, což znamená, že (na rozdíl od jednorozměrného harmonického oscilátoru) jeho stavy nejsou určeny energií
+
−
jednoznačně. Díky sférické symetrii potenciálu harmonického oscilátoru
+
−
\be V(r)=\half M\omega^2 r^2 \ll{potho3} \ee
+
−
lze jeho stavy jednoznačně popsat úplnou množinou pozorovatelných tvořenou energií, kvadrátem momentu hybnosti a jeho průmětem do libovolného
+
−
směru (směr osy $z$ není ničím určen).
+
−
 
+
−
Zavedeme-li v~rovnici \rf{rcekhi} stejně jako u~lineárního harmonického oscilátoru bezrozměrnou proměnou $\xi=\frac r a$, kde
+
−
$a=\sqrt{\frac{\hbar}{M\omega}}$, dostaneme pro $\Phi(\xi)=\chi(r)$ diferenciální rovnici
+
−
\be \Phi''(\xi) - \left( \xi^2 + \frac{l(l+1)}{\xi^2} \right) \Phi(\xi) + \frac{2E}{\hbar\omega} \Phi(\xi) = 0. \ll{rcepsi} \ee
+
−
Řešení této rovnice se v~nekonečnu chová stejně jako řešení pro lineární harmonický oscilátor $\Phi(\xi)=e^{\pm\xi^2/2}
+
−
[\konst+O(\frac{1}{\xi})]$, zatímco v~nule je $\Phi(\xi)=\xi^{l+1}[\konst+O({\xi})]$ nebo $\Phi(\xi)=\xi^{-l}[\konst+O({\xi})]$.  Zvolíme
+
−
ansatz
+
−
\be \Phi(\xi)=\xi^{l+1}e^{-\xi^2/2}w(\xi^2), \ll{ansatzphi} \ee
+
−
a dostaneme rovnici pro $w(z),\ z=\xi^2$ ve tvaru \rf{dghgr2}
+
−
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghyrce} \ee
+
−
kde $\alpha=l/2+3/4-\frac{E}{2\hbar\omega}$, $\gamma=l+3/2$. Zajímají nás kvadraticky integrabilní řešení této rovnice splňující podmínku
+
−
\rf{nulchi}. Obecné řešení rovnice \rf{dghyrce} pro necelá $\gamma$ má tvar \rf{obres2}, takže řešení, které vyhovuje podmínce
+
−
\rf{nulchi} je dáno degenerovanou hypergeometrickou \fc í $F(\alpha,\gamma,z)$. V~nekonečnu se tato funkce chová jako $e^z$ a $\Phi(\xi)$ není
+
−
\qint{} s~výjimkou případů, kdy $\alpha=-n\in \Z_-$. V~těchto případech přejde degenerovaná hypergeometrická \fc e na tzv.~\emph{zobecněné
+
−
Laguerrovy polynomy}
+
−
\be L_n^{\gamma -1}(z) = \left( \begin{array}{c}{n+\gamma-1}\\{n}\end{array} \right) F(-n,\gamma,z), \ee
+
−
definované též způsobem
+
−
\be L_n^{\beta}(z) := \frac{1}{n!}e^z z^{-\beta}\frac{\d^n}{\dz^n}(e^{-z} z^{n+\beta}). \ll{laguer} \ee
+
−
 
+
−
Zjistili jsme tedy, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie harmonického oscilátoru jsou $\left(2n+l+\frac 3 2\right)\hbar\omega$ a vlastní funkce, které
+
−
jsou navíc vlastními \fc emi \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2$ a $\ m\hbar$, kde $n,l\in \Z_+,\
+
−
m\in\{-l,\ldots,l\}$ mají tvar}
+
−
\be
+
−
  \Psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi) = C_{nlm} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\phi},
+
−
  \ll{resiho}
+
−
\ee
+
−
kde $C_{nlm}$ je (normalizační) konstanta, $\xi=r\sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}$, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou
+
−
přidružené Legendrovy \fc e. Obvykle se tyto funkce zapisují jako
+
−
\be
+
−
  \Psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi) = K_{nl} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) Y_{lm}(\theta,\phi),
+
−
  \ll{resiho2}
+
−
\ee
+
−
a zvolíme-li
+
−
\be
+
−
  |K_{nl}| = \frac{2}{\pi^{1/4}} \left( {\frac{M\omega}{\hbar}} \right)^{3/4} \left( \frac{2^{n+l}n!}{(2n+2l+1)!!} \right)^{1/2}
+
−
\ee
+
−
a $Y_{lm}$ jsou normalizovány k~jedné (viz \rf{normconsY}), pak tyto funkce jsou rovněž normalizovány k~jedné.
+
−
 
+
−
\bc
+
−
  Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $3/2\hbar\omega$, $5/2\hbar\omega$ a $7/2\hbar\omega$, které jsou zároveň vlastními
+
−
  \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$.
+
−
\ec
+
−
 
+
−
Kvantové číslo $n$ se obvykle nazývá \emph{radiální kvantové číslo} (udává příspěvek k~energii od radiálního pohybu částice) a číslo
+
−
$N:=2n+l$ se nazývá \emph{hlavní kvantové číslo}.
+
−
 
+
−
Z~faktu, že k~danému $l$ existuje $(2l+1)$ různých stavů, jednouchou kombinatorickou úvahou odvodíme, že \emph{degenerace hladiny energie}
+
−
harmonického oscilátoru $(N+3/2)\hbar\omega$, to jest počet stavů se stejnou energií, je $\half(N+1)(N+2)$. Tento výsledek jsme již dostali
+
−
v~paragrafu \ref{qho}, kde $N=n_1+n_2+n_3$.
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
\subsubsection{Coulombův potenciál}
+
−
\ll{podkap:coulomb}
+
−
 
+
−
Další velmi důležitý problém je spektrum energie pro potenciál
+
−
\be V(r)=-\frac{Q}{r},\ \ \ Q>0, \ll{coul} \ee
+
−
neboť jej lze použít k~popisu hladin energií elektronu v~obalu atomu vodíku. Uvážíme-li totiž, že proton je víc než 1800-krát těžší než elektron,
+
−
je přirozené očekávat, že vnitřní energie (to jest odhlédneme-li od pohybu atomu jako celku) celého systému se bude jen málo lišit od energie
+
−
elektronu v~elektrostatickém poli \rf{coul}, kde $Q=q_e^2/(4\pi\epsilon)$, kde $q_e$ je náboj elektronu a $\epsilon$ je permitivita vakua.
+
−
Dosadíme-li \rf{coul} do \rf{veff}, pak \rc e \rf{rcekhi} přejde na tvar
+
−
\be
+
−
  -\frac{\hbar^2}{2M}\chi''(r) + \left[-\frac{Q}{r}+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}\right] \chi(r)= E\chi(r).
+
−
  \ll{rcekhicp}
+
−
\ee
+
−
Substitucí
+
−
\be \chi(r)=r^{l+1}w(r)e^{\kappa r}, \ll{chiw} \ee
+
−
kde
+
−
\be \kappa^2=-\frac{2ME}{\hbar^2} \ll{kap} \ee
+
−
převedeme tuto rovnici na tvar
+
−
\be rw''(r) + 2(l+1+\kappa r)w'(r)+ 2 \left[ (l+1)\kappa + \frac{MQ}{\hbar^2} \right] w(r) = 0, \ee
+
−
což je opět rovnice pro degenerované hypergeometrické funkce \rf{dghgr1}. Řešení splňující podmínku \rf{nulchi} je podle \rf{obres1}
+
−
\be w(r)=C_1\,F\left(l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa},2l+2,-2\kappa r\right). \ll{dghgcoul} \ee
+
−
Podmínka kvadratické integrability pak zní
+
−
\be \kappa<0,\ l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa} = -n\in \Z_- ,\ll{pintcoul} \ee
+
−
odkud díky \rf{kap} plyne, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli \rf{coul} jsou}
+
−
\be
+
−
  \fbox{$E = E_{n,l} = -\frac{MQ^2}{2\hbar^2(n+l+1)^2} = -\frac{R}{N^2}, \ N,n,l \in \Z_+$}\ .
+
−
  \ll{ecoul}
+
−
\ee
+
−
Číslo $n$ se opět nazývá radiální kvantové číslo. Hlavní kvantové číslo určující hodnotu energie je $N:=n+l+1$. Konstanta
+
−
$R=\frac{MQ^2}{2\hbar^2}$ se nazývá \emph{Rydbergova energie} a hraje velkou roli v~optické a rentgenovské spektroskopii. Její hodnota pro
+
−
atom vodíku, kde $Q=\frac{e^2}{4\pi\epsilon}$ a $M$ je hmota elektronu, je $R=2,184 \times 10^{-18} \mathrm{J} = 13,6 \ \mathrm{eV}$.
+
−
Degenerovaná hypergeometrická funkce \rf{dghgcoul} pro \rf{pintcoul} opět přejde na Laguerrův polynom, takže \textbf{vlastní \fc e
+
−
operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli, odpovídající vlastní hodnotě $-\frac{R}{N^2}$, která je navíc vlastní \fc í
+
−
\oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2,\ m\hbar$
+
−
\be l\in \{0,\ldots, N-1\},\ m\in\{-l,\ldots,l\} \ll{setlm}\ee
+
−
má tvar}
+
−
\be
+
−
  \Psi_{N,l,m}(r,\theta,\phi) = C_{Nlm} r^{l} e^{-r/Na} L_{N-l-1}^{2l+1} \left(\frac{2r}{Na}\right) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\phi},
+
−
  \ll{nlmcoul}
+
−
\ee
+
−
kde $a=\frac{\hbar^2}{|Q|M}$, $C_{Nlm}$ je (normalizační) konstanta, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou
+
−
přidružené Legendrovy \fc e. Normalizované funkce $\Psi_{N,l,m}$ se opět často značí jako kety
+
−
\be
+
−
  \ket{Nlm} = K_{Nl} \, \left(\frac{2r}{Na}\right)^{l} e^{-r/Na} L_{N-l-1}^{2l+1}\left( \frac{2r}{Na}\right)  Y_{lm}(\theta,\phi),
+
−
  \ll{nlmcoul1}
+
−
\ee
+
−
kde
+
−
\[ |K_{Nl}| = \frac{2}{N^2}\left( \frac{(N-l-1)!}{a^3(N+l)!}\right)^{1/2} \]
+
−
a $Y_{lm}$ jsou normalizované kulové funkce. Konstanta $a$, mající rozměr délky, se nazývá \emph{Bohrův poloměr}. Pro vodík je
+
−
$a=0,53\times10^{-8}$ cm.
+
−
 
+
−
\bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $-R, \ -R/4, -R/9$. \ec
+
−
 
+
−
\bc Porovnejte základní stav klasické a kvantové \cc e v~Coulombově poli. \ec
+
−
 
+
−
Z~výrazu \rf{ecoul} je zřejmé, že všechny stavy \rf{nlmcoul}, pro které $(l,m)$ leží v~množině \rf{setlm} mají tutéž energii.
+
−
Degenerace hladiny energie s~daným $N$, neboli počet stavů s~energií $-R/N^2$, je
+
−
\be D_N=\sum_{l=0}^{N-1} (2l+1)=N^2. \ll{degn} \ee
+
−
 
+
−
Hodnoty energie \rf{ecoul} částice v~coulombickém poli předpovězené kvantovou mechanikou lze snadno ověřit experimentálně, neboť jak už
+
−
bylo řečeno v~úvodu této kapitoly, je možno tímto systémem popsat vodíkový atom. Jeho záření má (v~rozporu s~klasickou teorií) čárové spektrum
+
−
a empiricky bylo zjištěno, že frekvence záření splňují tzv.~Rydberg-Ritzův kombinační princip
+
−
\be \nu = \konst \left( \frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2} \right) \ll{rrprinc} \ee
+
−
objevený ještě před vznikem kvantové mechaniky. V~rámci kvantové mechaniky je snadné tuto formuli vysvětlit předpokladem, že frekvence fotonů
+
−
emitovaných elektrony v~obalu atomů je dána rozdílem hladin energií elektronu. Pro vodík pak dostáváme
+
−
\be \nu=\frac{(E_{N_2}-E_{N_1})}{2\pi \hbar} = \frac{MQ^2}{4\pi\hbar^3} \left( \frac{1}{N_1^2}-\frac{1}{N_2^2} \right), \ll{spekh} \ee
+
−
kde $Q=q_e^2/4\pi\epsilon$. Numerická hodnota \emph{Rydbergovy frekvence} $\nu_R=MQ^2/ (4\pi\hbar^3)$ je v~tomto případě
+
−
$3.3 \times 10^{15} \ \mathrm{s}^{-1}$ a pro $N_1=1,2,\ldots$, pak dostáváme frekvence, jež jsou v~dobré shodě s~naměřenými hodnotami Lymanovy
+
−
($N_1=1$), Balmerovy ($N_1=2$), $\ldots$ serie.
+
−
 
+
−
\textbf{Množina vlastních \fc í \rf{nlmcoul} je ortogonální, ale netvoří bázi Hilbertova prostoru} $L_2(\R_+\times(0,\pi)\times(0,2\pi),
+
−
r^2\sin\theta dr d\theta d\phi).$ Důvod je v~tom, že operátor energie pro částici v~Coulombově poli má vedle bodové i spojitou část spektra
+
−
$\sigma_c(\hat H) = \langle 0,\infty )$. Přiřazení vlnových \fc í této části spektra se věnuje podkapitola \ref{zobvlf}.
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
\subsection{Posunovací operátory a bra-ketový formalismus}
+
−
\ll{posunovacioperatory}
+
−
 
+
−
Posunovací operátory jsou důležitým prostředkem pro studium spekter a vlastních funkcí. Operátor $\hat A$ nazveme \emph{posunovacím operátorem
+
−
k~operátoru $\hat B$ s~posunutím} $\triangle\in\C$ pokud
+
−
\be [\hat B,\hat A] = \triangle \hat A. \ll{posop} \ee
+
−
Důvod pro tento název spočívá v~tom, že pokud $\lambda$ je vlastní hodnota operátoru $\hat B$ a $\psi_\lambda$ příslušná vlastní funkce, pak
+
−
ze \rf{posop} ihned plyne
+
−
\be \hat B \hat A \psi_\lambda = (\lambda+\triangle) \hat A \psi_\lambda, \ll{posunl} \ee
+
−
což znamená, že $\hat A \psi_\lambda$ je buď nula nebo vlastní \fc e operátoru $\hat B$ s~vlastní hodnotou $\lambda+\triangle$.
+
−
 
+
−
Ze vztahu \rf{posop} rovněž ihned plyne, že pokud operátor $\hat A$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B$ s~posunutím $\triangle$,
+
−
pak $\hat A^\dagger$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B^\dagger$ s~posunutím $-\triangle^*$. Pokud navíc $\hat B$ je samosdružený
+
−
(tzn.~má pouze reálné vlastní hodnoty) a existuje alespoň jedna vlastní funkce $\psi_\lambda$ operátoru $\hat B$ taková, že
+
−
$\hat A \psi_\lambda \neq 0$ pak $\Delta\in\R$.
+
−
 
+
−
Je zřejmé, že posunovací operátory budou mít význam, zejména pro operátory které mají ekvidistantní spektrum. Uvedeme dva typické příklady.
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
\subsubsection{Jednorozměrný harmonický oscilátor.}
+
−
Budeme se zajímat o~posunovací operátory pro operátor energie
+
−
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2}{\dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2 \ee
+
−
Z~komutačních relací mezi $\hat H$ a operátorem souřadnice a hybnosti lze odvodit, že posunovací operátory pro $\hat H$ jsou
+
−
\be \hat a_\pm := \sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}(\hat Q \mp \frac{i}{M\omega} \hat P), \ll{kreanop} \ee
+
−
neboť
+
−
\be [\hat H,\hat a_\pm] = \pm\hbar \omega \hat a_\pm. \ll{hcoma} \ee
+
−
Navíc platí
+
−
\be \hat a _-^\dagger = \hat a_+, \ [\hat a _-,\hat a_+] = \unit. \ll{acoma} \ee
+
−
 
+
−
Ze \rf{posunl} a vlastností spektra energie harmonického oscilátoru plyne pro jeho vlastní \fc e $\psi_n$ \rf{vlfcelho}
+
−
\be \hat a_\pm\psi_n=\alpha^\pm_n\psi_{n\pm 1} \ll{akopnavlfci} \ee
+
−
Operátor $\hat a_+$ tedy \uv{zvyšuje energii stavu} o~$\hbar\omega$ a nazývá se obvykle \emph{kreační} operátor, zatímco operátor $\hat a_-$ se
+
−
z~podobného důvodu nazývá \emph{anihilační}.
+
−
 
+
−
Operátory $\hat a_\pm$ jsou normalizovány tak, že vedle relací \rf{hcoma}, \rf{acoma} platí
+
−
\be
+
−
  \hat H = \frac{\hbar\omega}{2}(\hat a_-\hat a_+ + \hat a_+\hat a_-) = {\hbar\omega}(\hat a_+\hat a_- +\half).
+
−
\ee
+
−
Důsledkem tohoto vztahu je, že operátor $\hat a_+\hat a_-$ se někdy nazývá \uv{operátorem počtu energetických kvant}.
+
−
 
+
−
Snadno lze ukázat, že spektrum energie harmonického oscilátoru je zdola omezené a využitím kreačních a anihilačních operátorů můžeme spočítat jeho
+
−
vlastní čísla i vlastní \fc e. Pro stav s~nejnižší energií $\psi_0$ totiž musí platit
+
−
\be \hat a_-\psi_0 = 0 \ll{anih0} \ee
+
−
a dosadíme-li do \rf{kreanop} vyjádření operátorů $\hat Q$, $\hat P$ \rf{xoper}, \rf{poper}, rovnice \rf{anih0} přejde na tvar
+
−
\be \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\xi+\frac{\d}{\d\xi}\right)\psi_0 = 0, \ee
+
−
kde $\xi=\sqrt{\frac{M\omega}{h}}x$. Tuto diferenciální rovnici 1.~řádu se separovanými proměnnými snadno vyřešíme
+
−
\be \psi_0(\xi) = C e^{-\xi^2/2}. \ee
+
−
Porovnáním této \fc e s~\rf{vlfcelho} zjistíme, že se skutečně jedná o~vlastní \fc i energie jednorozměrného harmonického oscilátoru s~vlastním
+
−
číslem $\half \hbar\omega$. Stavy s~energiemi $\hbar\omega(n+\half)$ dostaneme aplikací kreačního operátoru na stav s~nejnižší energií
+
−
\be
+
−
  \psi_n(\xi)
+
−
    = K_n \hat a_+^n\psi_0(\xi)
+
−
    = \frac{K_n}{\sqrt{2^n}}\left(\xi-\frac{d}{d\xi}\right)^ne^{-\xi^2/2},\ \ \
+
−
  K_n^{-1}
+
−
    =\left(\frac{\hbar\pi}{M\omega}\right)^{1/4}\prod_{k=0}^{n-1}\alpha^+_k.
+
−
  \ll{ntylho}
+
−
\ee
+
−
Volba fáze normalizačních konstant \rf{nvlfcelho} vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru určuje i fázi koeficientů
+
−
$\alpha^{\pm}_n$. Volba fáze $\alpha^{\pm}_n>0$ je ve shodě s~přijatou fázovou konvencí \rf{nvlfcelho}, kde všechny normalizační koeficienty jsou
+
−
kladné.
+
−
 
+
−
\bc Ukažte, že platí \[ \hat a_+\hat a_-\psi_n=n\ \psi_n. \] \ec
+
−
 
+
−
\bc Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_n$ v~\rf{akopnavlfci}. \ec
+
−
 
+
−
Poznamenejme ještě nakonec, že  stav s~nejnižší energií je zvláštním případem koherentního stavu. \emph{Koherentní stavy} $\rho_\lambda$ jsou
+
−
definovány jako vlastní stavy anihilačního operátoru
+
−
\be \hat a_- \rho_\lambda = \lambda\rho_\lambda. \ee
+
−
Řešením této jednoduché diferenciální rovnice dostaneme
+
−
\be \rho_\lambda(\xi) = C_\lambda e^{-\frac{(\sqrt{2}\lambda-\xi)^2}{2}}. \ll{kohstav} \ee
+
−
Tyto stavy hrají významnou roli zejména v~kvantové optice.
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
\subsubsection{Moment hybnosti}
+
−
Nejjednodušší posunovací operátor pro $\hat L_3$ je $A=e^{i\phi}$. Jeho nevýhodou je, že při působení na kulové funkce posunuje nejen $m$,
+
−
ale i $l$. Alternativou jsou posunovací operátory
+
−
\be \hat L_\pm := \hat L_1 \pm i \hat L_2 \ll{pm}. \ee
+
−
Pro ně lze snadno dokázat komutační relace
+
−
\be [\hat L_3,\hat L_\pm] = \pm \hbar \hat L_\pm, \quad [\hat L^2,\hat L_\pm] = 0 \ee
+
−
a přechodem do sférických souřadnic
+
−
\be \hat L_\pm Y_{l,m} = \alpha^\pm_{lm} Y_{l,m\pm 1}, \ll{posalpha} \ee
+
−
\be \hat L_+ Y_{l,l} = 0,\quad  \hat L_- Y_{l,-l}=0, \ll{yll0} \ee
+
−
kde $\alpha^\pm_{lm}\in \C$ a $Y_{l,m}$ jsou kulové \fc e definované v~podkapitole \ref{ssmomhyb}. Na druhé straně je možno rovnice \rf{posalpha}
+
−
a \rf{yll0} použít pro výpočet kulových funkcí.
+
−
 
+
−
\bc Ověřte komutační relaci \be [\hat L_+,\hat L_-] = 2 \hbar \hat L_3. \ee \ec
+
−
 
+
−
\bc Napište operátor $\hat L^2$ vyjádřený pomocí posunovacích operátorů  $\hat L_\pm$ a $\hat L_3$. \ec
+
−
 
+
−
Koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$ jsou určeny relací \rf{posalpha} až na fázi. Přijmeme-li tzv.~Condon-Shortleyovu konvenci, že $\alpha^\pm_{lm}$
+
−
jsou reálné kladné a rovněž tak normalizační konstanta pro $Y_{l,0}$ je reálná kladná, pak je určena i fáze všech normalizačních konstant
+
−
$C_{lm}$ \rf{normconsY} pro $Y_{l,m}$ jako $(-1)^m$.
+
−
 
+
−
\bc \ll{alplm} Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$. \ec
+
−
 
+
−
\bc Spočítejte \uv{maticové elementy} $(Y_{l,m},\hat L_k Y_{l',m'})$. \ec
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
\subsubsection{Bra-ketový formalismus}
+
−
Na tomto místě je vhodné předvést příklady tzv.~\uv{ketů} $\ket{\cdot}$ a \uv{bra} $\bra{\cdot}$, což obecně není nic jiného než označení prvků
+
−
Hilbertova prostoru a funkcionálů na něm. Označíme-li normovaný vlastní stav energie jednorozměrného harmonického oscilátoru $\psi_n=\ket{n}$,
+
−
pak ketové vyjádření vztahu \rf{ntylho} je
+
−
\[ \ket{n} = K_n \hat a_+^n \ket{0}. \]
+
−
Zavedeme-li nyní alternativní označení skalárního součinu pro libovolné $f\in $\qintline
+
−
\[ (\psi_n,f) \equiv (\ket{n},\ket{f}) = \braket{n}{f} \]
+
−
(skalární součin = závorka = bracket = $\braket{\mathrm{bra}}{\mathrm{ket}}$), pak relace úplnosti neboli Parsevalova rovnost pro bázi
+
−
vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru, má v~bra-ketovém formalismu velice jednoduchý tvar
+
−
\be f \equiv \ket{f} = \sum_{n=0}^{\infty} \ket{n}\braket{n}{f}, \ll{relupl} \ee
+
−
což se často zapisuje jako $\sum_{n=0}^{\infty}\ket{n}\bra{n} = \unit$.
+
−
 
+
−
Z~komutačních vlastností kreačních a anihilačních operátorů dostaneme vztahy
+
−
\be
+
−
  \hat a_-^m\hat a_+^n \ket{0} = 0 \ \for \ n<m
+
−
  \qquad \mathrm{a} \qquad
+
−
  \hat a_-^m\hat a_+^n \ket{0} = n!\,\hat a_+^{n-m} \ket{0} \ \for \ n\geq m,
+
−
\ee
+
−
ze kterých lze snadno odvodit ortonormalitu stavů
+
−
\[ \ket{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}} \hat a_+^n \ket{0}, \]
+
−
která má v~bra-ketovém vyjádření jednoduchý tvar
+
−
\be \braket{m}{n} = \delta_{mn}. \ee
+
−
 
+
−
Operátory $\hat O$ v~\qintline \, lze zapsat v~tzv.~energetické reprezentaci pomocí maticových elementů $\braketA{n}{\hat O}{m}$ způsobem
+
−
\be
+
−
  \hat O f \equiv \hat O |f\rangle
+
−
    = \sum_{n=0}^\infty \ket{n} \braketA{n}{\hat O}{f}
+
−
    = \sum_{n,m=0}^\infty \ket{n} \braketA{n}{\hat O}{m} \braket{m}{f},
+
−
\ee
+
−
kde
+
−
\be \braketA{n}{\hat O}{m} := (\psi_n,\hat{O}\psi_m). \ee
+
−
 
+
−
\bc Napište energetickou reprezentaci operátorů hybnosti a polohy v~jednorozměrném případě. \ec
+
−
 
+
−
Podobným způsobem je možno zapsat kulové funkce a vztahy mezi nimi pomocí ketů  $\ket{lm}$ nebo vlastní funkce isotropního harmonického
+
−
oscilátoru pomocí ketů $\ket{Nlm}$.
+
−
 
+
−
 
+
−
\subsection{Zobecněné vlastní funkce}
+
−
\ll{zobvlf}
+
−
 
+
−
Příkladem zobecněných vlastních \fc í jsou vlastní funkce souřadnice a hybnosti. Problém vlastních funkcí hybnosti se zdá na první pohled
+
−
jednoduchý. Podmínka
+
−
\be \hat P_j\phi=p_j\phi \ \ j=1,2,3 \ee
+
−
dává diferenciální rovnice
+
−
\be -i\hbar\frac{\pd\phi}{\pd x_j}=p_j\phi  \ \ j=1,2,3, \ee
+
−
které mají řešení
+
−
\be \phi_{\vec{p}}(\vex)=Ae^{\frac{i\vec{p}\cdot\vex}{\hbar}}, \ll{zvfoh} \ee
+
−
jež se někdy nazývají vlastní funkcí operátoru hybnosti. Problém je v~tom, že tyto \fc e nejsou kvadraticky integrabilní pro žádné
+
−
$\vec{p}\in\C^3$. To znamená, že složky operátoru hybnosti v~Hilbertově prostoru stavových funkcí \qintspace{} žádné vlastní funkce nemají.
+
−
Neznamená to však, že jejich spektrum je prázdné. Naopak, při náležitém určení definičního oboru je tvoří všechna reálná čísla. Patří
+
−
však do spojité, nikoliv bodové, části spektra.
+
−
 
+
−
Přiřazení vlnových funkcí hodnotám fyzikálních veličin způsobem \rf{spvv} je možno provést pouze pro hodnoty z~bodové části spektra
+
−
odpovídajícího operátoru. Hodnotám $\alpha$ ze spojité části spektra lze přiřadit pouze tzv.~\emph{zobecněné vlastní \fc e} $\phi_\alpha$,
+
−
které nejsou kvadraticky integrovatelné, avšak lze pro ně definovat skalární součiny $(\phi_\alpha,\psi)$ a $(\psi,\phi_\alpha)$ s~\fc emi
+
−
ležícími v~husté podmnožině kvadraticky integrovatelných funkcí.
+
−
 
+
−
Příkladem takové husté podmnožiny je \textbf{Schwartzův prostor}  $\mathscr S(\R^3)$ obsahující tzv. \emph{rychle ubývající funkce} $f$, pro něž platí: $f\in$ \qintspace{}
+
−
a
+
−
\be
+
−
  \norm{f}_{\vec j,\vec k}=\sup \left|x_1^{j_1}x_2^{j_2}x_3^{j_3} \frac{\pd^{k_1}}{\pd x_1^{k_1}} \frac{\pd^{k_2}}{\pd x_2^{k_2}} \frac{\pd^{k_3}}{\pd x_3^{k_3}} f \right| < \infty
+
−
  \ll{prryubfci}
+
−
\ee
+
−
pro všechna $(\vec{j},\vec{k})\in\Z_+^6$. Důležitá vlastnost \fc í z~$\mathscr{S}(\R^3)$  je, že Fourierova transformace
+
−
\be \tilde f(\vec{k}) \equiv (\mathcal{F}f)(\vec{k}):=({2\pi})^{-3/2}\int_{\R^3} e^{-i\vec{k} \vex} f(\vex)\d^3x \ll{Fourier}\ee
+
−
je bijekcí $\mathscr S(\R^3)$ na $\mathscr S(\R^3)$ (viz~\cite{beh:lokf}). Příslušné inverzní zobrazení má tvar
+
−
\be (\mathcal{F}^{-1}\tilde{f})(\vex):=({2\pi})^{-3/2}\int_{\R^3} e^{i\vec{k} \vex} \tilde f(\vec k)\d^3k=({\cal F}\tilde f)(-\vex), \ll{invFourier}\ee
+
−
odkud snadno dostaneme, že
+
−
\begin{equation}
+
−
  \label{FfFg}
+
−
  (\mathcal{F}f,\mathcal{F}g)=(f,g)
+
−
\end{equation}
+
−
 
+
−
Pro $f\in\mathscr S(\R^3)$ můžeme definovat \uv{skalární součiny} $(\phi_{\vec{p}},f)$ a $(f,\phi_{\vec{p}})$ (přesněji lineární funkcionály na
+
−
$\mathscr S(\R^3)$) stejně jako kdyby $\phi_{\vec{p}}$ ležely v~\qintspace{}.
+
−
\be
+
−
  \ll{psip}
+
−
  \Phi_{\vec{p}}(f)\equiv(\phi_{\vec{p}},f) :=\int_{\R^3} A^*e^{-i\vec{p} \vex/\hbar}f(\vex)\d^3x=A^*({2\pi})^{3/2}(\mathcal{F}f)(\frac{\vec{p}}{\hbar}),
+
−
\ee
+
−
\be
+
−
  \ll{invft}
+
−
  (f,\phi_{\vec{p}}):=(\phi_{\vec{p}},f)^*=A({2\pi})^{3/2}(\mathcal{F}f^*)\left(-\frac{\vec{p}}{\hbar}\right),
+
−
\ee
+
−
neboť tyto integrály jsou (inverzní) Fourierovou transformací \fc e $f,\ f^*$, která je definována pro všechny \fc e z~$\mathscr S(\R^3)$. Rovnice pro
+
−
funkcionály $\Phi_{\vec{p}}$ má tvar
+
−
\be
+
−
  (\hat{P}_j\Phi_{\vec{p}})(f)=(\hat{P}_j \phi_{\vec{p}},f)=(\phi_{\vec{p}},\hat{P}_j f)=p_j(\phi_{\vec{p}},f)=p_j\Phi_{\vec{p}}(f),\quad \forall f\in\mathscr S(\R^3)
+
−
  \ll{rceprophip}
+
−
\ee
+
−
a funkce \rf{zvfoh} nazýváme \textbf{zobecněné vlastní \fc e hybnosti.} Tyto funkce lze na druhé straně libovolně přesně aproximovat \fc emi z~\qintspace.
+
−
To je také důvod proč je s~úspěchem můžeme použít k~popisu tzv.~rozptylových stavů (viz kap.~\ref{potrozptyl}), jež jsou určeny počáteční a konečnou
+
−
hybností.
+
−
 
+
−
\bc
+
−
  Nechť
+
−
  \[
+
−
    \phi_{p,\epsilon}(x):=\frac{A}{2\epsilon}\int_{p-\epsilon}^{p+\epsilon} dp'e^{i p' x/\hbar}=Ae^{i px/\hbar}\frac{\hbar}{\epsilon x}\sin\frac{\epsilon x}{\hbar}.
+
−
  \]
+
−
  Ukažte, že $(\phi_{p,\epsilon},\phi_{p,\epsilon})=\frac{\pi\hbar}{\epsilon}|A|^2.$
+
−
\ec
+
−
 
+
−
 
+
−
Ještě výraznější je \uv{zobecněnost} vlastních funkcí operátoru polohy \cc e. Rovnice
+
−
\[
+
−
  \hat{Q}_j\psi=\lambda_j\psi,\ j=1,2,3
+
−
\]
+
−
má za řešení \fc e, které jsou nenulové pouze pro $x_j=\lambda_j$. Takové \fc e jsou však v~\qintspace{} ekvivalentní nulové \fc i takže pro řešení
+
−
problému konstrukce zobecněných vlastních \fc í operátoru polohy je třeba použít jiné matematické objekty než \fc e na $\R^3$. K~jejich konstrukci lze
+
−
použít tzv.~centrovaná $\delta$--funkce $\delta_{\lambda}$ mající formálně následující vlastnosti:
+
−
\be \delta_\lambda(x)\equiv\delta(\lambda-x)=\delta(x-\lambda)=0,\for x\neq\lambda \ll{dcond1}\ee
+
−
\be \int_\R \delta_\lambda(x)f(x)dx=f(\lambda). \ll{dcond2}\ee
+
−
 
+
−
Je zřejmé, že žádná funkce nemůže současně splnit obě podmínky \rf{dcond1}, \rf{dcond2}, nicméně lze definovat jiné matematické objekty, pro které lze
+
−
obě podmínky splnit.
+
−
\bp
+
−
  Nejjednodušší způsob je pohlížet na $\delta$--funkce jako na limity posloupnosti řádných funkcí. Nechť
+
−
  \[
+
−
    f_{a,\lambda}(x) := \begin{cases} 0 & \text{ pro $|x-\lambda|>a$} \\ \dfrac{1}{2a} & \text{ pro $|x-\lambda|\leq a$} \end{cases}
+
−
  \]
+
−
Pak podmínky \rf{dcond1}, \rf{dcond2} jsou splněny pro $a\rightarrow 0$.\\
+
−
Z~tohoto příkladu je snadno vidět, že i zobecněné vlastní funkce operátoru polohy \rf{zvfop} lze aproximovat funkcemi z~prostoru \qintspace{} podobně
+
−
jako zobecněné vlastní funkce operátoru hybnosti \rf{zvfoh}.
+
−
\ep
+
−
 
+
−
Přesnější definici pojmu $\delta$--\fc e je možno podat v~rámci teorie temperovaných distribucí, což jsou spojité lineární funkcionály na $\mathscr S(\R^N)$.
+
−
Uvedeme pouze, že v~této teorii je jednorozměrná $\delta$--\fc e prvkem prostoru $\mathscr S'(\R)$, jedná se tedy o \fc ionál $(\delta_\lambda,\cdot)$ na $\mathscr S(\R)$ definovaný ve
+
−
shodě s~\rf{dcond2} způsobem
+
−
\be
+
−
  \int_\R\delta_\lambda(x)f(x) dx \equiv (\delta_\lambda,f):=f(\lambda).
+
−
\ee
+
−
Rovnost
+
−
\[
+
−
  x\delta_\lambda(x)=\lambda\delta_\lambda(x)
+
−
\]
+
−
pak znamená
+
−
\be
+
−
  (\hat{Q} \delta_\lambda,f)=(\delta_\lambda,\hat{Q} f)=\lambda(\delta_\lambda,f),\ \forall f\in\mathscr S(\R^3),
+
−
\ee
+
−
(což je vztah analogický k~\rf{rceprophip}) a v~tomto smyslu je
+
−
\be
+
−
  \delta_{\vec{a}}(\vex)\equiv\delta(\vec{a}-\vex):=\delta_{a_1}(x_1) \delta_{a_2}(x_2)\delta_{a_3}(x_3)
+
−
  \ll{zvfop}
+
−
\ee
+
−
zobecněnou vlastní funkcí polohy s~vlastní hodnotou $\vec{a}$.
+
−
 
+
−
Z~definice Fourierovy transformace \rf{Fourier} a její inverze lze jednoduchým výpočtem  ukázat, že
+
−
\be
+
−
  \int_{\R^3}e^{i{\vec{z}}\cdot(\vex-\vec{y})} \d^3z=(2\pi)^3\delta(\vex-\vec{y}),
+
−
\ee
+
−
tj.
+
−
\be
+
−
  \mathcal{F}[\phi_{\vec{p}}]={A}{(2\pi)^{3/2}}\delta _{\vec{p}/\hbar}
+
−
  \ll{fourfip}
+
−
\ee
+
−
Odtud plyne důležitá vlastnost \fc í \rf{zvfoh}, totiž že je lze \emph{\uv{normalizovat k~$\delta$--\fc i}}, neboť pro $A=(2\pi\hbar)^{-3/2}$
+
−
\be
+
−
  (\phi_{\vec{p}\,'},\phi_{\vec{p}}) \equiv \int_{\R^3}\phi_{\vec{p}}(\vex)\phi_{\vec{p}\,'}^*(\vex) \d^3x=\delta(\vec{p}-\vec{p}\,').
+
−
  \ll{dnormp}
+
−
\ee
+
−
Podobně i pro \rf{zvfop} platí
+
−
\be
+
−
  (\delta_{\vec{a}'},\delta_{\vec{a}}) \equiv \int_{\R^3}\delta_{\vec{a}}(\vex)\delta_{\vec{a}'}(\vex) \d^3x=\delta(\vec{a}-\vec{a}').
+
−
  \ll{dnormx}
+
−
\ee
+
−
Tyto identity je třeba chápat jako rovnosti na prostoru lineárních funkcionálů na $\mathscr S(\R^N)$ a zápis pomocí integrálů je poněkud formální.
+
−
 
+
−
Někdy se i zobecněným normalizovaným \fc ím přiřazují kety $\delta_{\vec{a}} \equiv \ket{\vec{a}},\ \phi_{\vec{p}} \equiv \ket{\vec{p}}$. Vztahy \rf{zvfoh},
+
−
\rf{dnormx}, \rf{dnormp}, \rf{dcond2} a \rf{invft} pak lze zapsat jako
+
−
\[
+
−
  \braket{\vex}{\vec{p}} = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}e^{i\vec{p} \cdot \vex/\hbar}, \quad
+
−
  \braket{\vex}{\vex'} = \delta (\vex-\vex'), \quad
+
−
  \braket{\vec{p}}{\vec{p}\,'} = \delta(\vec{p}-\vec{p}\,'),
+
−
\]
+
−
\[
+
−
  \braket{\vex}{\psi} = \psi(\vex),\quad
+
−
  \braket{\vec{p}}{\psi} =\hbar^{-3/2} \tilde{\psi}\left(\frac{\vec{p}}{\hbar}\right)
+
−
\]
+
−
a je možno psát analog relace úplnosti \rf{relupl}
+
−
\[
+
−
  \ket{\psi} = \int_{\R^3}\d^3x\,\ket{\vex}\braket{\vex}{\psi} = \int_{\R^3}\d^3p\,\ket{\vec{p}}\braket{\vec{p}}{\psi}.
+
−
\]
+
−
 
+
−
Zobecněné vlastní \fc e lze přiřadit i hodnotám ze spojité části spektra jiných operátorů. Například vedle vlastních hodnot energie částice
+
−
v~coulombickém poli spočítaných v~předchozím paragrafu leží ve spojité části spektra operátoru energie všechna kladná čísla. Stavům částice
+
−
v~Coulombově potenciálu s~kladnou energií (tzv.~rozptylové stavy) lze přiřadit zobecněné vlastní \fc e
+
−
\be
+
−
  \psi_{klm}=R_{kl}Y_{lm},
+
−
\ee
+
−
kde $k=\pm\frac{\sqrt{2ME}}{\hbar}$, $Y_{lm}$ jsou kulové funkce \rf{ylm} a
+
−
\be
+
−
  R_{kl}(r,\theta,\phi)=C_{kl}r^le^{ikr} F\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr\right)
+
−
  \ll{zovlfcecoul}.
+
−
\ee
+
−
Lze ukázat, že tyto \fc e jsou při vhodném výběru konstant $C_{kl}$ normalizovány k~$\delta$--\fc i, neboť platí
+
−
\[
+
−
  \int_0^\infty r^{2l}e^{i(k'-k)r} F^*\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr\right) \ F\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k'},2l+2,-2ik'r\right)r^2dr
+
−
\]
+
−
\be=K_{kl}\delta(k-k'),\ee
+
−
kde $K_{kl}$ je konstanta.
+
−
 
+
−
Z~výše uvedených faktů je zřejmé, že matematický popis rozptylových stavů je mnohem složitější, než popis stavů odpovídající vlastním hodnotám.
+
−
Na druhé straně se mu však nemůžeme vyhnout, neboť rozptylové experimenty představují důležitý zdroj informací o~chování objektů mikrosvěta.
+
−
 
+
−
Rigoróznější avšak matematicky náročnější popis stavů ze spojité části spektra pozorovatelných je možno provést pomocí projektorů \cite{beh:lokf}.
+

Aktuální verze z 18. 9. 2018, 13:48

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVANStefamar 18. 9. 201813:38
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůStefamar 18. 9. 201814:04
Header editovatHlavičkový souborStefamar 18. 9. 201813:39 header.tex
Kapitola0 editovatPoznámkaStefamar 18. 9. 201813:40 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatCharakteristické rysy kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:41 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZrod kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:42 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStavy a pozorovatelné v kvantové mechaniceStefamar 18. 9. 201813:48 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatJednoduché kvantové systémyStefamar 18. 9. 201813:49 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPříprava stavu kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:09 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKvantová částice v centrálně symetrickém potenciáluStefamar 18. 9. 201813:57 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatZobecněné vlastní funkceStefamar 18. 9. 201813:58 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatBra-ketový formalismus a posunovací operátoryStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPředpovědi výsledků měřeníStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatČasový vývoj kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:01 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatČástice v elektromagnetickém poli. SpinStefamar 18. 9. 201814:02 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatSystémy více částicStefamar 18. 9. 201814:03 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatPřibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoruStefamar 18. 9. 201814:36 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatPotenciálový rozptyl, tunelový jevStefamar 18. 9. 201814:05 kapitola14.tex
KapitolaA editovatLiteraturaStefamar 18. 9. 201814:06 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:blackbody.pdf blackbody.pdf
Image:s1s2.png s1s2.png
Image:s1full.png s1full.png
Image:s2full.png s2full.png
Image:wavefull.png wavefull.png
Image:ballfull.png ballfull.png
Image:roz1.pdf roz1.pdf
Image:roz2.pdf roz2.pdf
Image:fine_structure.pdf fine_structure.pdf
Image:zeeman_FS.pdf zeeman_FS.pdf
Image:tunel_prob.pdf tunel_prob.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\chapter{Stavy a pozorovatelné v \qv é mechanice}
\ll{Popisstavu}
 
\sv a \rc e  má v~\qv é mechanice stejnou roli jako Newtonova rovnice v~mechanice klasické, \textbf{popisuje časový vývoj fyzikálního
systému}. Matematicky jsou však typy obou rovnic odlišné. Zatímco Newtonovy \rc e jsou soustavou obyčejných diferenciálních rovnic,
\sv a \rc e je parciální diferenciální rovnicí. Z~tohoto rozdílu plyne i odlišný způsob popisu stavu v~daném okamžiku v~klasické a
\qv é mechanice.
 
 
 
 
\section{Stavový prostor}
\ll{stavprost}
 
{\small Stav klasického systému v~daném okamžiku je určen hodnotou všech poloh a rychlostí či poloh a hybností jednotlivých hmotných
bodů. Znalost okamžitých hodnot pak jednoznačně určuje řešení pohybových rovnic. Přirozená otázka je, jak popsat stav \qv é \cc e.}
 
\sv a \rc e je parciální lineární diferenciální rovnicí 1.~řádu v~čase a její řešení je (při daných okrajových podmínkách) určeno
volbou počáteční podmínky $\psi (\vex,t=t_0)= g(\vex)$, tj.~funkcí $g$. Přijmeme-li předpoklad, že \sv a \rc e \rf{sr} popisuje
časový vývoj kvantové částice, pak docházíme k~závěru, že \textbf{okamžitý stav kvantové částice v $\R^3$ je určen komplexní funkcí tří
proměnných} (Jak zvláštní!). Této funkci se obvykle říká \emph{vlnová funkce částice}.
 
Bornova interpretace řešení \sv y \rc e  klade na vlnové funkce jistá omezení. Podmínka \rf{konecnanorma} platí pro libovolný čas
$t$ a musíme proto požadovat, aby každá funkce $g(\vex)$ popisující stav kvantové částice splňovala podmínku ($\vex\equiv (x,y,z)^T$)
\be \int_{\R^3} |g(\vex)|^2 \d^3x <\infty. \ll{konecnanormag} \ee
Tyto funkce nazýváme \emph{kvadraticky integrovatelné} (na $\R^3$ s~mírou $\d^3 x$) a značíme $g\in\mathscr L^2(\R^3,\d^3x)$. Mimo to funkce $g$ a $\alpha g$, kde $\alpha\in\C$ je libovolné nenulové komplexní číslo dávají stejnou pravděpodobnostní interpretaci a popisují tedy tentýž stav kvantové \cc e.
 
\bc
  Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu vodíkového obalu ve vzdálenosti $(r,r+\dr)$ od jádra, je-li popsán (v~čase $t_0$) funkcí
  \be g(x,y,z)=Ae^{-\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{a_0}}, \ll{zsv} \ee
  kde $a_0 = 0,53 \times 10^{-8}$ cm je tzv.~Bohrův poloměr vodíku? Viz \cite{kv:qm}.
  \ll{ex:pstvodat}
\ec
 
Díky Minkowského nerovnosti
\[
  \left( \int_{\R^3}|f+g|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2}
    \leq \left( \int_{\R^3}|f|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2} + \left( \int_{\R^3}|g|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2},
\]
jež platí pro funkce splňující \rf{konecnanormag}, tvoří kvadraticky integrovatelné funkce lineární prostor. Odtud plyne tzv.~\textbf{
princip lineární superpozice stavů \qv é mechaniky jedné částice}: \emph{Může-li se \cc e nacházet ve stavech popsaných \fc emi $\psi_1$,
$\psi_2$, pak existuje stav popsaný \fc í $a \psi_1 + b \psi_2$, kde $a,b$ jsou libovolná nenulová komplexní čísla.}
 
\bc
  Leží minimalizující vlnový balík ve výše uvedeném prostoru? Přesněji, je funkce $g$ ze cvičení \rf{ex:vlnbal} kvadraticky integrovatelná?
  \ll{ex:hilbspvb}
\ec
 
\bc
  Leží \db ova vlna \rf{dbvlna} ve výše uvedeném prostoru?
\ec
 
Na lineárním vektorovém prostoru vlnových funkcí splňujících podmínku \rf{konecnanorma} je možno zavést ještě bohatší matematickou
strukturu, která má pro konstrukci kvantové mechaniky zásadní význam. Ukážeme totiž, že tento prostor (po jisté faktorizaci) je Hilbertův,
což pak použijeme k~předpovědi výsledku měření fyzikálních veličin provedených na \qv ém sytému v~daném stavu.
 
 
 
 
\section{Matematická vsuvka 1: Hilbertovy prostory}
Více či méně zevrubné poučení o~Hilbertových prostorech je možno najít v~mnoha učebnicích (viz např.~\cite{beh:lokf} a citace tam uvedené).
Zde uvedeme jen základní definice a fakta, která budeme používat v~této přednášce.
{\small
\bd
  \textbf{Sesquilineární formou} na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ (ne nutně konečně rozměrném) nazveme zobrazení
  $F:V\times V\rightarrow \C$ splňující
  \[
    F(f+g,h)=F(f,h)+F(g,h),\
    F(f,g+h)=F(f,g)+F(f,h),
  \]
  \[
    F(\alpha f,g)=\alpha^*F(f,g),\ F(f,\alpha g)=\alpha F(f,g),
  \]
  kde $\alpha\in\C$ $f,g,h\in V$ a hvězdička značí komplexní sdružení.
\ed
 
\noindent \bp
 Na lineárním prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí na $\R^N$ lze zavést sesquilineární formu předpisem
 \be F(g_1,g_2) \equiv (g_1,g_2) := \int_{\R^N} g_1^*(\vex)g_2(\vex)\d^Nx. \ll{ss} \ee
\ep
 
\bd
  Zobrazení $F:V \times V \rightarrow \C$ nazveme \textbf{symetrickou formou} pokud pro všechna $f,g\in V$ platí
  \be F(g,f)=[F(f,g)]^*\overset{ozn.}{=}F^*(f,g)  \ll{ss2} \ee
\ed
 
\bc
  Ukažte, že sesquilineární forma je symetrická tehdy a jen tehdy, když $F(f,f)\in\R$.
  \ll{symfor}
\ec
 
\bd
  Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \C$ nazveme \textbf{pozitivní formou} pokud pro všechna $f\in V$ platí
  \be F(f,f) \geq 0. \ee
  Pokud navíc
  \be F(f,f)=0 \Leftrightarrow f=0, \ee
  pak tuto formu nazveme \textbf{pozitivně definitní}, resp. striktně pozitivní.
\ed
 
\bp Sesquilineární forma \rf{ss} je pozitivní (a tedy i symetrická). \ep
 
\bt
  Pozitivní sesquilineární forma splňuje pro každé $f,g\in V$ \emph{Schwarzovu nerovnost}
  \be |F(f,g)|^2 \leq F(f,f)F(g,g). \ll{schwarz} \ee
  Přitom rovnost nastává, právě když existuje $\alpha\in\C$ tak, že
  \be F(f+\alpha g,f+\alpha g)=0 \ \mathrm{ nebo } \ F(\alpha f+g,\alpha f+g)=0. \ll{schwrovn} \ee
 
  \begin{proof}
    Nechť $f,g\in V$. Pak z~pozitivity a sesquilinearity dostaneme pro každé $\beta\in\C$
    \be 0\leq F(f+\beta g,f+\beta g)=F(f,f)+\beta F(f,g)+\beta^* F(f,g)^*+|\beta|^2F(g,g) \ll{possesq} \ee
    Pokud $F(f,f)=F(g,g)=0$ pak volbou $\beta=-F^*(f,g)$ dostaneme \rf{schwarz}. Ze striktní pozitivity absolutní hodnoty komplexního
    čísla plyne  $F(f,g)=0$ a snadno dokážeme i druhou část tvrzení ($\alpha=0$).
 
    Bez újmy na obecnosti můžeme nadále předpokládat, že např.~$F(g,g)\neq 0$. Volbou $\beta=-\frac{F(g,f)}{F(g,g)}$ v~\rf{possesq}, pak
    dostaneme nerovnost \rf{schwarz}. Druhou část tvrzení dokážeme takto: Nechť platí první rovnost v~\rf{schwrovn}. Z~nerovnosti
    \[ 0\leq|\alpha^* F(g,g)+F(f,g)|^2 \]
    pak plyne $|F(f,g)|^2\geq F(f,f)F(g,g)$, což spolu s~\rf{schwarz} dává $|F(f,g)|^2 = F(f,f)F(g,g)$. Pokud naopak tato rovnost
    platí, pak pro $\alpha=-\frac{F(g,f)}{F(g,g)}$ je splněna první rovnost v~\rf{schwrovn}.
  \end{proof}
\et
} %konec prostředí \small
 
\bd
  Sesquilineární pozitivně definitní forma na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ se nazývá \textbf{skalární součin}. Lineární
  vektorový prostor vybavený skalárním součinem se nazývá \textbf{unitární} nebo též \textbf{pre-hilbertův}.
\ed
 
\bp
  Na prostoru $\C^N$ lze zavést skalární součin způsobem
  \be F(x,y)\equiv(x,y):=\sum_{j=1}^N x_j^*y_j \ll{sscn} \ee
\ep
 
Ze cvičení \rf{symfor} plyne, že skalární součin je symetrický a použitím Schwarzovy nerovnosti je snadné ukázat, že indukuje na prostoru
$V$ normu $\|f\|:=\sqrt{(f,f)}$ a metriku $\rho(f,g):=\|f-g\|$
 
\bd
  Unitární prostor, který je (v indukované metrice $\rho$) úplný se nazývá \textbf{Hilbertův}.
\ed
 
\bp Prostor $\C^N$ se skalárním součinem \rf{sscn} je Hilbertův. \ep
 
{\small
Sesquilineární forma \rf{ss} na prostoru kvadraticky integrabilních funkcí není striktně pozitivní. Považujeme-li však funkce lišící se na
množině míry nula za \uv{stejné}, tzn.~provedeme-li jistou faktorizaci (viz \cite{beh:lokf}), dostaneme opět lineární prostor označovaný obvykle
\qintrn, na kterém pak \rf{ss} definuje skalární součin. V~normě určené tímto skalárním součinem je navíc tento prostor úplný, a tedy Hilbertův. Je třeba rozlišovat $\mathscr L^2(\R^N,\d^Nx)$ (obsahuje funkce) a \qintrn{} (obsahuje třídy ekvivalence).
}%small
 
\bp
Prostor tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)\subset\R$, kde $a$ i $b$ mohou být i $\pm\infty$, tj. $L^2((a,b),\dx)\overset{ozn.}{=}L^2(a,b)$ se skalárním součinem
\[ (f,g) := \int_a^b f^*(x)g(x)\dx \]
je Hilbertův.
\ep
 
V~dalším textu obvykle nebudeme rozlišovat mezi kvadraticky integrabilními funkcemi a jim odpovídajícími třídami funkcí lišícími se na množině míry
nula. Můžeme tedy shrnout, že  \textbf{funkce \rf{konecnanormag} popisující stavy kvantové částice v $\R^3$ tvoří nekonečně rozměrný Hilbertův prostor $\mathcal{H} = L^2(\R^3,\d^3x)$}.
 
\bt [Rieszovo lemma]
  Nechť $\Phi$ je spojitý lineární funkcionál na $\Hil$. Pak existuje právě jeden vektor $g_\Phi\in\Hil$ takový, že pro všechna $f\in\Hil$ platí
  \[ \Phi(f)=(g_\Phi,f). \]
\et
Toto tvrzení znamená že prostor lineárních funkcionálů na $\Hil$ je izomorfní $\Hil$, přesněji, existuje kanonická antilineární bijekce %Jinými slovy, Hilbertovy prostory jsou samoduální:
$\Hil^*\leftrightarrow\Hil$, tj. $\Hil^*\cong\Hil$. Tento fakt je základem tzv.~\uv{bra-ketového formalismu}, který je v~\qv é \mi ce často používán, a se kterým se podrobněji seznámíme v kapitole \ref{kets}.
 
\vskip 1cm
 
Důležitým pojmem v~teorii Hilbertových prostorů, který mnohokrát využijeme, je tzv.~ortonormální báze.
{\small
\bd
  Vektory $x,y$ v~Hilbertově prostoru $\Hil$ nazveme \textbf{ortogonální} pokud $(x,y)=0$. Množinu $M\subset\Hil$ nenulových vektorů nazveme
  \textbf{ortogonální množinou} pokud každé dva její různé prvky jsou ortogonální. Pokud navíc pro každý prvek z~množiny $M$ platí $\|x\|=1$ nazveme
  ji \textbf{ortonormální}.
\ed
\bd
  Vektor $x\in \Hil$ nazveme \textbf{ortogonální k~množině} $M\subset \Hil$, pokud $(x,y)=0$ pro každé $y\in M$. Množinu všech takových vektorů
  nazýváme \textbf{ortogonálním doplňkem množiny $M$} a značíme ji $M^\perp$.
\ed
Je snadné ukázat, že ortogonální doplněk libovolné podmnožiny $\Hil$ je lineární podprostor $\Hil$, tj. $M^\perp\!\subset\subset\Hil$.
\bt
  Je-li $\mathcal{G}$ uzavřený podprostor $\Hil$, pak pro každé $x\in\Hil$ existuje právě jedno $y\in\mathcal{G}$ a $z\in \mathcal{G}^\perp$ tak, že
  $x=y+z$, tzn.~$\Hil=\mathcal{G}\oplus\mathcal{G}^\perp$ (direktní součet).
\et
Důsledkem tohoto tvrzení je existence lineárního operátoru $E_\mathcal{G}: x \mapsto y$, který se nazývá \emph{ortogonální projektor} na $\mathcal{G}$.
}%small
\bd
  \textbf{Ortonormální bází} nazveme ortonormální množinu $B$, jejíž ortogonální doplněk je nulový prostor, tj.~$B^\perp=\{\vec 0\}\subset\Hil$.
\ed
Pozor! Poznamenejme, že ortonormální báze není bází v~obvyklém smyslu, totiž že libovolný prvek prostoru je možno zapsat jako \emph{konečnou}(!) lineární
kombinaci prvků báze. Jak uvidíme, obecný prvek budeme většinou schopni zapsat pouze jako \uv{nekonečnou lineární kombinaci} prvků ortonormální
báze, která je definována pomocí konvergence ve smyslu normy $ \|f\|:=(f,f)$.
 
\bp
  Nechť $(a,b)$ je omezený interval v~$\R$, $c:=b-a$, $m\in\Z$. Funkce $f_m(x):= {c}^{-1/2}e^{2\pi imx/ c}$ jsou ortonormální bází prostoru $L^2(a,b)$.
\ep
 
\bd
  Nechť $B$ je ortonormální báze v~Hilbertově prostoru $\Hil$. \textbf{Fourierovými koeficienty vektoru} $f\in\Hil$ \textbf{pro bázi $B$} nazveme
  skalární součiny $(b,f)$, kde $b\in B$.
\ed
 
Hilbertovy prostory, se kterými v~\qv é \mi ce pracujeme (např.~\qintspace), jsou {\bf separabilní} - mají nejvýše spočetnou ortonormální bázi $B=(e_j)_{j=1}^\infty$. V~takovýchto prostorech platí pro každé $f\in\Hil$
\be f=\sum_{j=1}^\infty(e_j,f)e_j, \ll{fourexp} \ee
\be \|f\|^2=\sum_{j=1}^\infty|(e_j,f)|^2. \ll{parseval} \ee
Tyto vztahy se nazývají \emph{Fourierův rozvoj} a \emph{Parsevalova rovnost.} 
 
V~kvantové mechanice hrají důležitou roli ortonormální báze, jejichž elementy jsou vlastní funkce nějakých operátorů. Příklady ortonormálních bází v~nekonečně rozměrných Hilbertových prostorech ukážeme v~dalších kapitolách.
 
\bc
  Najděte ortonormální bázi  v~$\C^2$, jejíž prvky jsou vlastními vektory matice
  \[ \sigma_1:=\left( \begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right) \]
\ec
 
Obecně můžeme shrnout popis možných stavů kvantové částice do následujícího postulátu:
 
\begin{post}
Stavový prostor kvantové částice je separabilní Hilbertův prostor $\mathcal{H}$. Stav kvantové částice je popsán nenulovým vektorem $\psi\in\mathcal{H}$.
\end{post}
 
{Striktně vzato stavu kvantové částice odpovídá paprsek, tj. jednorozměrný podprostor v $\mathcal{H}$ (viz. postulát q1-b v \cite{beh:lokf}). Každý paprsek je ale jednoznačně určen nějakým nenulovým vektorem $\psi$. Vzhledem k pravděpodobnostní intrepretaci stavu v kvantové mechanice budeme (až na vyjímky, kde to explicitně zmíníme) uvažovat normalizované vektory, tj. $\|\psi\|=1$.}
 
Volba Hilbertova prostoru závisí na konkretním problému. Budeme ji provádět "intuitivně", např. pro částici v prostoru je přirozené zvolit $\mathcal{H} = L^2(\R^3,d^3x)$, protože pak můžeme přímo interpretovat vlnové funkce $\psi(\vec{x})\in\mathcal{H}$ jako amplitudy pravděpodobnosti nalezení částice v daném bodě prostoru. Analogicky, pro částici na přímce (např. lineární harmonický oscilátor) volíme $\mathcal{H} = L^2(\R,dx)$. V některých případech bude mít Hilbertův prostor konečnou dimenzi, např. pro spin $\frac{1}{2}$, který má dva jednoznačně rozlišitelné stavy (spin nahoru/dolů do pevně zvoleného směru), je $\mathcal{H} = \C^2$.
 
 
\section{Pozorovatelné a jejich spektra}
\ll{pozorovatelne}
 
V~klasické mechanice je možno ze znalosti stavu předpovědět výsledek měření okamžité hodnoty libovolné mechanické veličiny (energie,
momentu hybnosti,...). Stav systému (např.~jedné či více částic) je určen bodem fázového prostoru (polohou a rychlostí, nebo polohou a hybností, podle toho zda
používáme Newtonovu (Lagrangeovu), či Hamiltonovu formulaci) a fyzikální veličiny --- \emph{pozorovatelné} --- jsou definovány jako reálné
funkce na fázovém prostoru. Hodnotu každé mechanické veličiny pro systém v~daném stavu dostaneme vyhodnocením příslušné funkce v~odpovídajícím bodu fázového prostoru. Možné hodnoty, které pro klasickou \cc i můžeme naměřit, jsou dány oborem hodnot této funkce. Např.~kinetická energie
stavu $(\vec p,\vec q)$ je
\[ E_{\mathrm{kin}}(\vec p,\vec q)=\frac{1}{2M}\sum_{j=1}^3 p_j^2 \]
a její obor hodnot je $\Rp$.
 
Tento popis je nezávislý na dynamice, tj.~na časovém vývoji systému, a je tak názorný, že se mu v~klasické mechanice nevěnuje téměř žádná
pozornost. Uvádíme jej zde proto, aby bylo možné sledovat jak podstatně odlišné matematické struktury se používají pro popis těchže kinematických
pojmů v~kvantové mechanice.
 
Otázka, na kterou chceme odpovědět v~tomto paragrafu zní: Jaké matematické objekty přiřadíme v~\qv é \mi ce pozorovatelným? Jak bylo konstatováno
v~minulém paragrafu, stavový prostor kvantové částice je množina kvadraticky integrabilních funkcí tří proměnných. Pokud bychom pozorovatelným
přiřazovali funkce na tomto (nekonečně rozměrném) prostoru, dostali bychom klasickou teorii pole, která se pro náš cíl --- popis objektů
mikrosvěta --- ukázala neadekvátní. Místo toho \textbf{kvantová teorie přiřazuje pozorovatelným samosdružené lineární operátory na prostoru
stavových funkcí}. Způsob přiřazení operátorů konkrétním fyzikálním veličinám je dán fyzikální intuicí, dlouholetým vývojem a následným
experimentálním ověřováním teorie.
 
Pro sledování analogií s~klasickou mechanikou jsou samozřejmě důležité operátory polohy a hybnosti. V~kvantové mechanice hmotné částice v $\R^3$ je
\textbf{kartézským složkám polohy částice přiřazen operátor násobení nezávislou proměnnou}
\be \fbox{\Large $(\hat Q_j \psi)(\vex):=x_j\psi(\vex)$} \ll{xoper} \ee
a \textbf{kartézským složkám hybnosti částice je přiřazen operátor parciální derivace}
\be \fbox{\Large $(\hat P_j \psi)(\vex):=-i\hbar\dfrac{\pd\psi}{\pd x_j}(\vex)$} \ll{poper} \ee
Definici operátoru hybnosti už jsme de facto použili při odvozování \sv y \rc e \rf{srvolna} z~\db ovy hypotézy.
 
Existuje mnoho zdůvodnění přiřazení \rf{xoper}, \rf{poper}. V~každém z~nich je však třeba vyslovit nějaké předpoklady, které jsou více či méně
ekvivalentní \rf{xoper}, \rf{poper}.
 
Operátory odpovídající ostatním fyzikálním veličinám majících klasickou analogii jsou konstruovány podle \emph{principu korespondence},
tzn.~jsou formálně stejnými funkcemi operátorů $F(\hat Q_j,\hat P_j)$ jako odpovídající funkce $F(x_j,p_j)$ na fázovém prostoru v~klasickém
případě. Např.~operátor celkové energie částice v~silovém poli potenciálu $V$ je
\[ E(\hat Q_j,\hat P_j) =  -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl + V(\vex) = \hat H, \]
kde $\lapl=\sum\limits_{j=1}^3 \frac{\pd^2}{\pd x_j^2}$.
 
\bc Napište operátory přiřazené složkám momentu hybnosti. \ec
 
Vzhledem k~tomu, že \qintspace{} je nekonečně rozměrný prostor, důležitou součástí definice operátorů je i stanovení jejich definičních oborů,
což je obecně dosti delikátní problém. Je samozřejmě nutné, aby příslušné operace byly na funkcích z~definičního oboru definovány a jejich
výsledek ležel v~\qintspace{} (takže například funkce z~definičního oboru operátorů $\hat P_j$ musí být (skoro všude) diferencovatelné a jejich derivace musí být kvadraticky integrabilní). Mimo to je však třeba definiční obory operátorů zvolit tak, aby byl splněn ještě další
požadavek kvantové \mi ky, totiž, že \textbf{spektrum lineárního operátoru přiřazeného fyzikální veličině musí být shodné s~množinou hodnot,
které lze pro danou veličinu naměřit}.
 
Problémů s~definičními obory operátorů se v~tomto textu dotkneme jen občas a nesystematicky. Nejnutnější základy jsou shrnuty v~následující vsuvce.
Matematicky založenější čtenáře opět odkazujeme např.~na \cite{beh:lokf}.
\bc
  \ll{nekpoja}
  Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní \uv{nekonečně hluboké potenciálové jámě},
  tj.~v~potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$.
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$.
\ec
\bc
  Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní potenciálové jámě tj.~v~potenciálu
  $V(x)=-V_0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$.
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $x\in \R$.
\ec
 
 
 
\section{Matematická vsuvka 2: Operátory v~Hilbertově prostoru}
Teorie operátorů v~Hilbertově prostoru je téma samozřejmě velmi široké a nelze sem vměstnat obsah mnoha knih, které o něm byly napsány.
Shrneme zde pouze nejdůležitější fakta, která budeme potřebovat.
 
Pod lineárním operátorem v~Hilbertově prostoru $\Hil$ budeme rozumět lineární zobrazení $\hat T:\df\hat T\to\Hil$, kde $\df\hat T\subset\subset\Hil$. Definiční obor zobrazení $\hat T$ budeme značit $\df\hat T$, obor hodnot $\ran\hat T$. Je-li Hilbertův prostor konečné dimenze, pak je teorie lineárních zobrazení relativně jednoduchá
a redukuje se na teorii matic. V~\qv é teorii se však vyskytují především nekonečně rozměrné prostory, což přináší mnoho technických
problémů. Některé z~nich lze řešit, pokud budeme používat pouze \emph{hustě definované} operátory, tj.~takové pro které $\overline{\df\hat T}=\Hil$,
kde pruh značí uzávěr množiny ve smyslu topologie indukované metrikou $\Hil$ plynoucí ze skalárního součinu.
 
Třídou operátorů, která má mnoho podobných vlastností jako operátory na konečně rozměrném prostoru, jsou omezené operátory.
 
\bd
  Lineární operátor $\hat B:\df\hat B\to\Hil$ je \textbf{omezený}, pokud existuje $c>0$ tak, že pro všechna $g\in\df\hat B$ platí
  \[ \|\hat B g\|\leq c\|g\| \]
\ed
 
Normou $\|g\|$ samozřejmě rozumíme normu indukovanou skalárním součinem $\|g\|:=\sqrt{(g,g)}$. Omezené hustě definované operátory lze
spojitě rozšířit na celé $\Hil$.
 
\bp
  Fourierův-Plancherelův operátor\footnote{Tato definice vyhovuje pouze pro $g\in$\qintspace$\,\cap\,L^1(\R^3,\d^3x)$. Pro ostatní funkce
  je třeba jej spojitě dodefinovat \cite{beh:lokf}.}
  \[ \tilde{g}(\vec{p}) \equiv (\hat{F} g)(\vec p) := \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\R^3} e^{-i\vec{p}\cdot\vex}g(\vex)\d^3x \]
  je omezený operátor na \qintspace. Navíc je bijekcí.
\ep
 
\bd
  Nechť $\hat{B}$ je omezený operátor na $\Hil$. Operátor $\hat{B}^\dagger$ nazveme \textbf{sdruženým k}~$\hat{B}$, pokud pro všechna
  $f,g\in\Hil$
  \[ (f,\hat{B}g) = (\hat{B}^\dagger f,g) \]
\ed
 
Z~Rieszova lemmatu je snadné ukázat, že k~danému omezenému operátoru existuje právě jeden sdružený operátor a platí
\be (\hat B^\dagger )^\dagger =\hat B \ll{invol} \ee
Omezené operátory na $\Hil$ tvoří komplexní algebru a platí
\be
  (a\hat{B} +\hat{C})^\dagger =a^*\hat{B}^\dagger +\hat{C}^\dagger ,\ \ (\hat{B}\hat{C})^\dagger = \hat{C}^\dagger \hat{B}^\dagger .
  \ll{algop}
\ee
 
\bc
  Nechť $M_{jk}$ jsou prvky matice odpovídající lineárnímu operátoru $\hat{M}$ na konečně rozměrném prostoru. Jaká matice odpovídá
  operátoru $\hat{M}^\dagger$?
\ec
 
\bd
  Operátor $\hat{B}$ na $\Hil$ nazýváme \textbf{hermitovský}, pokud je omezený a platí $\hat{B}^\dagger =\hat{B}$.
\ed
 
\bp
  Operátor $\hat{Q}$ na prostoru $L^2(a,b)$, kde $b-a<\infty$, definovaný
  \[ (\hat{Q} f)(x):=xf(x) \]
  je hermitovský. (Pro nekonečný interval $\hat{Q}$ není omezený.)
\ep
 
\bt
  Operátor $\hat{E}$ je ortogonální projektor (na $\ran\hat{E}$) právě tehdy, když je hermitovský a splňuje
  $\hat{E}^2 = \hat{E}$.
\et
 
Rozšíření hermitovských operátorů na množinu neomezených, ale hustě definovaných operátorů představují samosdružené operátory. Jejich
definice vychází z~následujícího faktu:
 
\bt
  Je-li $\hat{T}$ hustě definovaný operátor na $\Hil$, pak pro každé $f\in\Hil$ existuje \emph{nejvýše} jedno $h\in\Hil$ takové, že
  pro všechna $g\in\df\hat T$ platí
  \be (f,\hat{T}g)=(h,g) \ll{sad1} \ee
\et
Odtud plyne, že má smysl zavést následující pojmy:
\bd
  Nechť $\hat{T}$ je hustě definovaný operátor. Definiční obor operátoru $\hat{T}^\dagger $ \textbf{sdruženého k}~$\hat{T}$ je množina
  všech $f\in\Hil$,  pro které existuje $h$ splňující \rf{sad1}, přičemž $\hat{T}^\dagger f:=h$
\ed
\bd
  Operátor $\hat{T}$ je \textbf{samosdružený}, pokud je hustě definovaný a $\hat{T} = \hat{T}^\dagger $.
\ed
 
Je důležité odlišovat samosdružené operátory od symetrických.
 
\bd
  Operátor $\hat{S}$ je \textbf{symetrický}, pokud je hustě definovaný a pro všechna $f,g\in \df\hat S$ platí $(f,\hat{S}g)=(\hat{S}f,g) $,
  tj.~$\df\hat S \subset \df\hat{S^\dagger}$.
\ed
 
Je zřejmé, že každý samosdružený operátor je symetrický; opak neplatí.
 
\noindent \bp
  Operátor $\hat{Q}$ definovaný bodově $(\hat{Q}\psi)(x):=x\psi(x)$ s~definičním oborem $\df\hat Q:=\{\psi\in L^2(\R,\dx):\int_\R x^2|\psi(x)|^2dx<\infty\}$
  je samosdružený.
\ep
 
Doplníme-li definici \rf{poper} operátoru $\hat{P}_j$ vhodným vymezením definičního oboru, pak i operátory složek hybnosti jsou samosdružené
(viz \cite{beh:lokf}, 7.2.7).
 
Hustě definované operátory netvoří algebru, neboť $\df\hat T\neq\Hil$. Vztahy \rf{algop} musí být proto pro neomezené operátory náležitě
modifikovány, stejně jako i \rf{invol}.
 
Důležitý pojem, který jsme již zmínili, je spektrum operátoru, což je rozšíření pojmu vlastních hodnot matice.
%Tento pojem má smysl %lze přirozeně
%definovat pouze pro tzv.~uzavřené operátory.
%\bd \emph{Grafem operátoru} $\hat T$ nazveme množinu dvojic
%\[ \Gamma(T):=\{[x,\hat Tx]\in\Hil\times\Hil; x\in D_T\} \]
%Operátor $\hat T$ je \emph{uzavřený},
%pokud jeho graf je uzavřená množina v~$\Hil\times\Hil$.
%\ed
%Lze ukázat, že spektrum operátorů, které nejsou uzavřené tvoří
%celá komplexní rovina.
\bd
  \textbf{Spektrum $\sigma(\hat{T})$ %uzavřeného
  operátoru $\hat{T}$} je množina komplexních čísel $\lambda$, pro které operátor $(\hat{T}-\lambda\unit)$ není bijekcí $\df\hat T\mapsto\Hil$.
\ed
 
Všimněme si především, že do spektra operátoru spadají všechna vlastní čísla, neboť existuje-li nenulový vektor $\psi$ takový, že
$\hat{T}\psi = \lambda \psi$, pak operátor $\hat{T}-\lambda\unit$ není injektivní. Množinu vlastních čísel
operátoru $\hat{T}$ nazýváme \textbf{bodovým spektrem} a značíme $\sigma_p(\hat{T})$. Mimo těchto bodů však do spektra patří i komplexní čísla, pro která operátor
$\hat{T} - \lambda\unit$ není surjektivní. Ty tvoří tzv.~\textbf{spojité spektrum} $\sigma_c(\hat T)$ (obor hodnot operátoru $\hat{T} - \lambda\unit$ je hustý v $\mathcal{H}$) a \textbf{reziduální spektrum} $\sigma_r(\hat T)$ (obor hodnot operátoru $\hat{T} - \lambda\unit$ není hustý v $\mathcal{H}$). Pro samosdružené operátory je reziduální spektrum prázdné.
 
\textbf{Důvod, proč v~kvantové teorii požadujeme, aby pozorovatelným byly přiřazeny samosdružené operátory tkví v~tom, že platí:
\bt
  Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožinou $\R$.
\et
To odpovídá tomu, že můžeme naměřit jen reálné hodnoty pozorovatelných.
}
 
Popis pozorovatelných v kvantové mechanice můžeme shrnout do následující postulátu:
 
\begin{post}
\label{post:poz}
 Pozorovatelným veličinám v kvantové mechanice odpovídají samosdružené operátory na stavovém prostoru $\mathcal{H}$. Možné výsledky měření pozorovatelné tvoří spektrum příslušného operátoru.
\end{post}
 
 
Spektrum (čistě spojité) každého z~operátorů \rf{xoper}, \rf{poper} je $\R$ (viz \cite{beh:lokf}), což odpovídá experimentálnímu faktu, že
ani pro \qv ou částici
%je možno v~principu naměřit libovolnou hodnotu souřadnic polohy a
%hybnosti částice.
nebyla zjištěna žádná omezení na množinu hodnot souřadnic a hybností. Na druhé straně jsou pro hodnoty energie harmonického oscilátoru podle Planckovy hypotézy omezení podstatná, a je proto velmi důležité zjistit, jak vypadá spektrum energie kvantové částice v~silovém poli harmonického oscilátoru.

Citováno z „https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola3&oldid=8087“