02KVANCV:Kapitola10: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Není zobrazeno 7 mezilehlých verzí od 3 dalších uživatelů.) | |||
Řádka 71: | Řádka 71: | ||
\sigma_i\sigma_j = \frac{1}{2}\left(\frac{}{}[\sigma_i,\sigma_j] + \{\sigma_i,\sigma_j\}\right) = \delta_{ij} \mathds{1} + i \varepsilon_{ijk}\sigma_k. | \sigma_i\sigma_j = \frac{1}{2}\left(\frac{}{}[\sigma_i,\sigma_j] + \{\sigma_i,\sigma_j\}\right) = \delta_{ij} \mathds{1} + i \varepsilon_{ijk}\sigma_k. | ||
$$ | $$ | ||
− | Porovnání s $\hat L^2$ - odpovídající $l$ pro spin je $\frac{1}{2}$, tj. spin elektronu je | + | Porovnání s $\hat L^2$ - odpovídající $l$ pro spin je $\frac{1}{2}$, tj. spin elektronu je poločíselný. |
\begin{cvi} | \begin{cvi} | ||
− | Napište vlnovou \fc i $\ | + | Napište vlnovou \fc i $\Psi(\vex,)$ základního stavu elektronu ve vodíku s hodnotou z--ové, resp. x--ové, resp. y--ové složky spinu rovné $\hbar/2$. |
\end{cvi} | \end{cvi} | ||
\navod | \navod | ||
− | Bez spinu je základní stav popsán vlnovou funkcí $\psi_1(r) = C e^{-\frac{r}{a}}$. Protože $\hat H$ je ve spinovém prostoru diagonální, bude mít základní stav stejnou energii, jako když spin neuvažujeme, a odpovídající vlastní vektor má tvar $\ | + | Bez spinu je základní stav popsán vlnovou funkcí $\psi_1(r) = C e^{-\frac{r}{a}}$. Protože $\hat H$ je ve spinovém prostoru diagonální, bude mít základní stav stejnou energii, jako když spin neuvažujeme, a odpovídající vlastní vektor má tvar $\Psi_{1,i}(r) = C e^{-\frac{r}{a}} \left( a, b\right)^T$. Koeficienty $a, b$ určíme tak, aby to byl současně vlastní vektor odpovídající složky spinu $\hat{S}_i$. Výsledek: |
$$ | $$ | ||
− | \ | + | \Psi_{1,z+}(r) = C e^{-\frac{r}{a}}\left( |
\begin{array}{c} | \begin{array}{c} | ||
1 \\ | 1 \\ | ||
0 \\ | 0 \\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
− | \right), \quad \ | + | \right), \quad \Psi_{1,x+}(r) = \frac{C}{\sqrt{2}} e^{-\frac{r}{a}}\left( |
\begin{array}{c} | \begin{array}{c} | ||
1 \\ | 1 \\ | ||
1 \\ | 1 \\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
− | \right), \quad \ | + | \right), \quad \Psi_{1,y+}(r) = \frac{C}{\sqrt{2}} e^{-\frac{r}{a}}\left( |
\begin{array}{c} | \begin{array}{c} | ||
1 \\ | 1 \\ | ||
Řádka 98: | Řádka 98: | ||
\begin{cvi} | \begin{cvi} | ||
− | Jakým vektorem z $\mathds{C}^2$ můžeme popsat spin elektronu, jestliže víme, že má kladnou (zápornou) projekci spinu do směru $\vec{n}=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$? | + | Jakým vektorem z $\mathcal{H} = \mathds{C}^2$ můžeme popsat spin elektronu, jestliže víme, že má kladnou (zápornou) projekci spinu do směru $\vec{n}=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$? |
\end{cvi} | \end{cvi} | ||
\navod | \navod | ||
Řádka 139: | Řádka 139: | ||
Hamiltonián částice je roven | Hamiltonián částice je roven | ||
$$ | $$ | ||
− | \hat H = | + | \hat H = \mu_0 \vec{B}\cdot\vec{\sigma} = \mu_0 B\sigma_3.$$ |
− | Jeho vlastní čísla jsou $\ | + | Jeho vlastní čísla jsou $\pm \mu_0 B$, příslušné vlastní vektory $\psi_{z\pm}$. |
Stav v čase $t>0$ je dán jako řešení Schr\"odingerovy rovnice | Stav v čase $t>0$ je dán jako řešení Schr\"odingerovy rovnice | ||
Řádka 157: | Řádka 157: | ||
V našem případě tak dostaneme (označíme $\omega = \frac{\mu_0 B}{\hbar}$) | V našem případě tak dostaneme (označíme $\omega = \frac{\mu_0 B}{\hbar}$) | ||
$$ | $$ | ||
− | \psi(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{i\omega t}\psi_{z+} + e^{ | + | \psi(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{-i\omega t}\psi_{z+} + e^{i\omega t}\psi_{z-}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{c} e^{-i\omega t} \\ e^{i\omega t} \\ \end{array} \right). |
$$ | $$ | ||
Pravděpodobnosti naměření kladné (záporné) projekce spinu do osy $x$ v čase $t$ jsou rovny | Pravděpodobnosti naměření kladné (záporné) projekce spinu do osy $x$ v čase $t$ jsou rovny | ||
Řádka 200: | Řádka 200: | ||
V čase $t>0$ má řešení Pauliho rovnice v homogenním magnetickém poli tvar | V čase $t>0$ má řešení Pauliho rovnice v homogenním magnetickém poli tvar | ||
$$ | $$ | ||
− | \psi(t) = \exp\left(\frac{i}{\hbar}\mu_0\vec{\sigma}\cdot\vec{B}t\right)\psi(0). | + | \psi(t) = \exp\left(-\frac{i}{\hbar}\mu_0\vec{\sigma}\cdot\vec{B}t\right)\psi(0). |
$$ | $$ | ||
V našem případě dostaneme (označíme $\omega = \frac{\mu_0}{\hbar}B$) | V našem případě dostaneme (označíme $\omega = \frac{\mu_0}{\hbar}B$) | ||
$$ | $$ | ||
− | \psi(t) = \left(\cos(\omega t) \mathds{1} | + | \psi(t) = \left(\cos(\omega t) \mathds{1} - i \sin(\omega t)\sigma_1\right)\psi(0) = \left( |
\begin{array}{c} | \begin{array}{c} | ||
\cos(\omega t) \\ | \cos(\omega t) \\ | ||
− | i\sin(\omega t) \\ | + | -i\sin(\omega t) \\ |
\end{array} | \end{array} | ||
\right). | \right). | ||
$$ | $$ | ||
Amplituda pravděpodobnosti naměření kladné projekce spinu do osy $y$ v čase $t$ je dána skalárním součinem $\psi(t)$ a $\psi_{y+}$. Výsledná pravděpodobnost je rovna | Amplituda pravděpodobnosti naměření kladné projekce spinu do osy $y$ v čase $t$ je dána skalárním součinem $\psi(t)$ a $\psi_{y+}$. Výsledná pravděpodobnost je rovna | ||
− | $$P_{S_y=\frac{\hbar}{2}} = \frac{1}{2} \left(1 | + | $$P_{S_y=\frac{\hbar}{2}} = \frac{1}{2} \left(1 - \sin\left(2\omega t\right) \right) .$$ |
Střední hodnota projekce spinu do osy $z$ v čase $t$ je | Střední hodnota projekce spinu do osy $z$ v čase $t$ je | ||
$$ | $$ | ||
Řádka 236: | Řádka 236: | ||
\end{itemize} | \end{itemize} | ||
\end{itemize} | \end{itemize} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− |
Aktuální verze z 11. 9. 2019, 08:52
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVANCV
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVANCV | Steffy | 29. 8. 2013 | 13:57 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:50 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Steffy | 29. 8. 2013 | 14:15 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Klasická mechanika a statistická fyzika | Steffy | 11. 9. 2017 | 11:14 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | de Broglieova vlna | Steffy | 8. 9. 2015 | 14:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Volná částice | Steffy | 13. 9. 2017 | 14:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Pravoúhlá potenciálová jáma | Steffy | 11. 9. 2017 | 11:22 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Harmonický oscilátor | Steffy | 8. 9. 2017 | 09:17 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Moment hybnosti | Stefamar | 11. 9. 2019 | 08:30 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posunovací operátory | Stefamar | 11. 9. 2019 | 08:15 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Výsledky měření | Stefamar | 11. 9. 2019 | 08:42 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Časový vývoj | Stefamar | 11. 9. 2019 | 08:51 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Spin | Stefamar | 11. 9. 2019 | 08:52 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Poruchová teorie | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:51 | kapitola11.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVANCV} \chapter{Spin} \begin{cvi} Určete tvar matic operátorů projekce spinu do osy $x,y,z$ v bázi společných vlastních vektorů $\hat S_z$ a $\hat S^2$ pro spin $\frac{1}{2}$. \end{cvi} \navod Spin je moment hybnosti. Společné vlastní vektory $\hat S_z$ a $\hat S^2$ jsou $|\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle$ a $|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle$ splňující \begin{eqnarray} \nonumber \hat S_z |\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}\rangle & = & \pm\frac{\hbar}{2}|\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}\rangle,\\ \nonumber \hat S^2 |\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}\rangle & = & \frac{3}{4}\hbar^2 |\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}\rangle. \end{eqnarray} $\hat S_z$ je v bázi svých vlastních vektorů reprezentováno diagonální maticí $$ S_z = \frac{\hbar}{2} \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right). $$ Matice $S_x$ a $S_y$ určíme pomocí posunovacích operátorů $$ \hat S_\pm = \hat S_x \pm i \hat S_y, $$ jejichž působení na kety $|\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}\rangle$ známe (viz. příklad \ref{cvi:alpha}). Matice posunovacích operátorů mají tvar $$ S_+ = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right),\quad S_- = S_+^\dagger = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right). $$ Odtud už snadno získáme matice operátorů $\hat S_x$ a $\hat S_y$. Výsledek lze zapsat ve tvaru $$ S_j = \frac{\hbar}{2}\sigma_j, $$ kde $\sigma_j$ jsou Pauliho matice $$ \sigma_1 = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right),\quad \left( \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{array} \right),\quad \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right). $$ \begin{cvi} Ukažte explicitně, že $S^2=\frac{3}{4}\hbar^2\mathds{1}$. Porovnejte tento výsledek s $\hat L^2$. \end{cvi} \navod Pro výpočet je vhodné použít komutační a antikomutační relace pro Pauliho matice $$ [\sigma_i,\sigma_j] = 2i \varepsilon_{ijk}\sigma_k,\qquad \{\sigma_i,\sigma_j\} = 2\delta_{ij} \mathds{1}, $$ ze kterých plyne vztah $$ \sigma_i\sigma_j = \frac{1}{2}\left(\frac{}{}[\sigma_i,\sigma_j] + \{\sigma_i,\sigma_j\}\right) = \delta_{ij} \mathds{1} + i \varepsilon_{ijk}\sigma_k. $$ Porovnání s $\hat L^2$ - odpovídající $l$ pro spin je $\frac{1}{2}$, tj. spin elektronu je poločíselný. \begin{cvi} Napište vlnovou \fc i $\Psi(\vex,)$ základního stavu elektronu ve vodíku s hodnotou z--ové, resp. x--ové, resp. y--ové složky spinu rovné $\hbar/2$. \end{cvi} \navod Bez spinu je základní stav popsán vlnovou funkcí $\psi_1(r) = C e^{-\frac{r}{a}}$. Protože $\hat H$ je ve spinovém prostoru diagonální, bude mít základní stav stejnou energii, jako když spin neuvažujeme, a odpovídající vlastní vektor má tvar $\Psi_{1,i}(r) = C e^{-\frac{r}{a}} \left( a, b\right)^T$. Koeficienty $a, b$ určíme tak, aby to byl současně vlastní vektor odpovídající složky spinu $\hat{S}_i$. Výsledek: $$ \Psi_{1,z+}(r) = C e^{-\frac{r}{a}}\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right), \quad \Psi_{1,x+}(r) = \frac{C}{\sqrt{2}} e^{-\frac{r}{a}}\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right), \quad \Psi_{1,y+}(r) = \frac{C}{\sqrt{2}} e^{-\frac{r}{a}}\left( \begin{array}{c} 1 \\ i \\ \end{array} \right) $$ \begin{cvi} Jakým vektorem z $\mathcal{H} = \mathds{C}^2$ můžeme popsat spin elektronu, jestliže víme, že má kladnou (zápornou) projekci spinu do směru $\vec{n}=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$? \end{cvi} \navod Hledáme vlastní vektory operátoru $$\vec{n}\cdot\vec{\sigma} = \left( \begin{array}{cc} \cos\theta & \sin\theta e^{-i\varphi} \\ \sin\theta e^{i\varphi} & -\cos\theta \\ \end{array} \right)$$ s vlastními čísly $\pm 1$. Řešení je (včetně normalizace) $$\psi_{\vec{n}+} = \left( \begin{array}{c} e^{-i\frac{\varphi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}} \\ e^{i\frac{\varphi}{2}}\sin{\frac{\theta}{2}} \\ \end{array} \right),\quad \psi_{\vec{n}-} = \left( \begin{array}{c} e^{-i\frac{\varphi}{2}}\sin{\frac{\theta}{2}} \\ - e^{i\frac{\varphi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}} \\ \end{array} \right).$$ \begin{cvi} Nechť pro volnou \cc i se spinem $1/2$ je naměřena hodnota z--ové složky spinu $s_z$=$\hbar/2$. Jestliže vzápětí měříme hodnotu spinu do směru $\vec{n}$ daného prostorovými úhly $\theta,\varphi$, jaké můžeme naměřit hodnoty a s jakou pravděpodobností? Jaká je střední hodnota projekce spinu do směru $\vec{n}$? \end{cvi} \navod Stav spinu po měření do osy $z$ je dán vektorem $\psi_{z+} = (1,0)^T$. Amplituda pravděpodobnosti naměření kladné (záporné) hodnoty projekce spinu do směru $\vec{n}$ je dána skalárním součinem $\psi_{z+}$ s příslušným vlastním vektorem (viz. předchozí příklad). Pravděpodobnosti jsou nezávislé na úhlu $\varphi$, výsledek je $$P_+=\frac{1}{2}(1 + \cos \theta),\qquad P_-=\frac{1}{2}(1 - \cos \theta).$$ Střední hodnota je rovna $$ \langle\vec{n}\cdot\hat{\vec{S}}\rangle_{z+} = \frac{\hbar}{2}\cos\theta. $$ \begin{cvi} Částice se spinem $1/2$ je umístěna v konstantním magnetickém poli $\vec{B}=(0,0,B)$. V čase $t=0$ byla naměřena hodnota x-ové složka spinu částice $+\hbar/2$. Jakým vektorem bude popsán stav částice v čase $t>0$? S jakou \pst í nalezneme v libovolném dalším čase hodnotu její x-ové složky spinu $+\hbar/2$ (resp. $-\hbar/2$)? Jak se s časem mění střední hodnota projekce spinu do osy $x$? \end{cvi} \navod Hamiltonián částice je roven $$ \hat H = \mu_0 \vec{B}\cdot\vec{\sigma} = \mu_0 B\sigma_3.$$ Jeho vlastní čísla jsou $\pm \mu_0 B$, příslušné vlastní vektory $\psi_{z\pm}$. Stav v čase $t>0$ je dán jako řešení Schr\"odingerovy rovnice $$ \hat H \psi = i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}, $$ s počáteční podmínkou $$ \psi(t=0) = \psi_{x+} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_{z+} + \psi_{z-}). $$ V našem případě tak dostaneme (označíme $\omega = \frac{\mu_0 B}{\hbar}$) $$ \psi(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{-i\omega t}\psi_{z+} + e^{i\omega t}\psi_{z-}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{c} e^{-i\omega t} \\ e^{i\omega t} \\ \end{array} \right). $$ Pravděpodobnosti naměření kladné (záporné) projekce spinu do osy $x$ v čase $t$ jsou rovny \begin{eqnarray} \nonumber P_+ & = & |(\psi_{x+},\psi(t))|^2 = \frac{1}{2} \left(1 + \cos\left(2\omega t\right) \right), \\ \nonumber P_- & = & |(\psi_{x-},\psi(t))|^2 = \frac{1}{2} \left(1 - \cos\left(2\omega t\right) \right). \end{eqnarray} Střední hodnota projekce spinu do osy $x$ v čase $t$ je $$ \langle\hat{S}_x\rangle(t) = \frac{\hbar}{2} (P_+ - P_-) = \frac{\hbar}{2}\cos(2\omega t). $$ \begin{cvi} Ukažte, že pokud výraz $\exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]$ definujeme pomocí řady $$ \exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]:=\sum_{n=0}^\infty\frac{(i\vec a\cdot\vec\sigma)^n}{n!}, $$ pak platí $$ \exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]=\cos (|\vec a|)\mathds{1} +i\frac{\vec a\cdot\vec\sigma}{|\vec a|}\sin(|\vec a|). $$ \end{cvi} \navod Spočtěte nejprve $(\vec a\cdot\vec\sigma)^2$ a povšimněte si, že je to násobek jednotkové matice, pak sumu rozdělte na součet přes sudé a liché indexy. \begin{cvi} Částice se spinem $1/2$ je umístěna v konstantním magnetickém poli \\ $\vec{B}=(B,0,0)$. V čase $t=0$ byla naměřena hodnota její z-ové složky spinu $+\hbar/2$. S jakou \pst í nalezneme v libovolném dalším čase hodnotu její y-ové složky spinu $+\hbar/2$? Jak se s časem mění střední hodnota projekce spinu do osy $z$? \end{cvi} \navod Počáteční stav spinu je popsán vektorem $$ \psi(t=0) = \psi_{z+} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right). $$ V čase $t>0$ má řešení Pauliho rovnice v homogenním magnetickém poli tvar $$ \psi(t) = \exp\left(-\frac{i}{\hbar}\mu_0\vec{\sigma}\cdot\vec{B}t\right)\psi(0). $$ V našem případě dostaneme (označíme $\omega = \frac{\mu_0}{\hbar}B$) $$ \psi(t) = \left(\cos(\omega t) \mathds{1} - i \sin(\omega t)\sigma_1\right)\psi(0) = \left( \begin{array}{c} \cos(\omega t) \\ -i\sin(\omega t) \\ \end{array} \right). $$ Amplituda pravděpodobnosti naměření kladné projekce spinu do osy $y$ v čase $t$ je dána skalárním součinem $\psi(t)$ a $\psi_{y+}$. Výsledná pravděpodobnost je rovna $$P_{S_y=\frac{\hbar}{2}} = \frac{1}{2} \left(1 - \sin\left(2\omega t\right) \right) .$$ Střední hodnota projekce spinu do osy $z$ v čase $t$ je $$ \langle\hat{S}_z\rangle(t) = \frac{\hbar}{2}\psi^\dagger(t)\sigma_z\psi(t) = \frac{\hbar}{2}\cos(2\omega t). $$ \begin{cvi} Najděte energie a vlnové funkce základního a prvního excitovaného stavu dvou nerozlišitelných částic se spinem 0, respektive 1/2, v poli isotropního harmonického oscilátoru. \end{cvi} \navod \begin{itemize} \item Spin 0: \begin{itemize} \item základní stav - $E=3\hbar\omega$, nedegenerovaný \item 1. excitovaný stav - $E=4\hbar\omega$, degenerace 3 \end{itemize} \item Spin 1/2: \begin{itemize} \item základní stav - $E=3\hbar\omega$, nedegenerovaný \item 1. excitovaný stav - $E=4\hbar\omega$, degenerace 12 \end{itemize} \end{itemize}