01MAA4:Kapitola37: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (podrobnější zdůvodnění korektnosti záměny sumy a integrálu ve větě 36.10) |
m |
||
(Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze od stejného uživatele.) | |||
Řádka 186: | Řádka 186: | ||
\end{split} | \end{split} | ||
\] | \] | ||
− | Ověříme korektnost záměny sumy a integrálu: | + | Ověříme korektnost záměny sumy a integrálu: platí, že |
\[ | \[ | ||
− | \abs{\frac{f(\xi)}{\xi-z_0}\frac{(z-z_0)^n}{(\xi-z_0)^n}}\le | + | \abs{\frac{f(\xi)}{\xi-z_0}\frac{(z-z_0)^n}{(\xi-z_0)^n}}\le Mr^n, |
− | + | \] | |
− | \] | + | kde $M$ je kladná konstanta omezující $\frac{f(\xi)}{\xi-z_0}$ (ta existuje, protože $f$ je spojité a vzdálenost bodů $\phi$ od $z_0$ je nenulová) a |
− | Řada má majorantu, je tedy podle Weierstrassovy věty stejnoměrně konvergentní a záměna je korektní. | + | pro $r\in\R$ platí $\abs{\frac{z-z_0}{\xi-z_0}\leq r<1}$, protože $z\in\intd\phi$. |
+ | Řada má konvergentní číselnou majorantu, je tedy podle Weierstrassovy věty stejnoměrně konvergentní a záměna je korektní. | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
Aktuální verze z 31. 5. 2017, 12:57
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 21:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 08:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 08:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 10:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 21:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 10:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 15:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 10:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 08:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 09:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 20:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 08:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 08:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 10:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 08:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 12:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 00:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 20:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 08:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 08:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 12:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 10:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Holomorfní funkce} \begin{define} Funkci $f \colon \C\to\C$ nazveme {\bf holomorfní v~bodě $x$}, když je diferencovatelná na nějakém jeho okolí. Funkce se nazývá {\bf holomorfní na množině} $M$, jestliže je holomorfní v~každém jejím bodě. \end{define} \begin{remark} Funkce $\sin$, $\cos$, $\exp$ jsou holomorfní na $\C$. Mocninné řady jsou holomorfní uvnitř kruhu konvergence. \end{remark} \begin{theorem} \label{th:realnaholomorfni} Funkce zobrazující do $\R$ a holomorfní na souvislé množině $M \subset \C$ je na této množině konstantní. \end{theorem} \begin{proof} Při použití zavedeného značení můžeme psát $f_2=0$. Z Cauchyho--Riemannových podmínek plyne, že v každém bodě platí $\pd_x f_1 = 0$ a $\pd_y f_1 = 0$. Víme, že funkce $f_1$ je diferencovatelná a její derivací je nulové zobrazení. Proto je na množině $M$ konstantní. \end{proof} V základních výsledcích komplexní analýzy figurují křivkové integrály komplexních funkcí komplexní proměnné. Než budeme pokračovat, musíme tyto integrály definovat. Nejprve se naučíme integrovat reálnou funkci, která zobrazuje do $\C$. \begin{define} Buď $f\colon [a,b] \to\C$. Pak definujeme \[ \int_a^b f(t)\,\d t=\int_a^b\Re{f(t)}\,\d t+\im\int_a^b\Im{f(t)}\,\d t, \] pokud oba integrály na pravé straně existují. \end{define} Nyní už můžeme definovat křivkový integrál. I když by bylo možné zavést integrál z velmi obecných funkcí, pro naše účely bude stačit pracovat s funkcemi, které jsou spojité. \begin{define} Buď $\phi \colon [a,b] \to \C$ dráha třídy $\c{1}$, $f \colon \C\to\C$ funkce spojitá na $\la\phi\ra$. Pak klademe \[ \int_\phi f=\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t. \] Jestliže je dráha pouze po částech hladká, definujeme integrál jako součet přes všechny části, kde je hladká. \end{define} \begin{remark} Existuje-li k~$f$ primitivní funkce $F$ na $\la\phi\ra$, tj.~$\forall z \in \la\phi\ra$ platí $f(z)=F'(z)$, pak \[ \int_\phi f(t)\,\d t= \int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t= \int_a^b(F\circ\phi)'(t)\,\d t=F(\phi(b))-F(\phi(a)). \] Integrál přes uzavřenou křivku by tedy byl nutně nulový. \end{remark} \begin{example} Spočítejme hodnotu integrálu, který hraje v komplexní analýze významnou roli. Nechť $\phi$ je jakákoliv kružnice se středem $z_0$ probíhaná v kladném smyslu konstantní rychlostí, tj. $\phi(t) = re^{\im t}+z_0$, $t\in[-\pi,\pi]$. Pak \[ \int_\phi\frac{\d z}{z-z_0} = \int_{-\pi}^\pi\frac{\im}{re^{\im t}}re^{\im t}\,\d t=2\pi\im. \] \end{example} Všimněme si, že funkce $\frac{1}{z}$, kterou jsme integrovali, \uv{skoro} má primitivní funkci -- logaritmus. Přesto integrál přes uzavřenou křivku není nulový. Logaritmus je totiž nespojitý na přímce $P_\pi$. Dokonce není těžké ukázat, že skok mezi hodnotami logaritmu na polorovinách oddělených $P_\pi$ je roven právě $2\pi\im$. \begin{define} Buď $\phi$ po částech hladká uzavřená dráha, nechť $z_0\not\in\la\phi\ra$. {\bf Index bodu $z_0$ vzhledem k~$\phi$} definujeme vztahem \[ \ind_\phi z_0=\frac{1}{2\pi\im}\int_\phi\frac{\d z}{z-z_0}. \] \end{define} Index je tedy definován pro každý bod, který neleží na křivce $\phi$. Nevinně vyhlížející integrál nás překvapí svými vlastnostmi: Jeho hodnota je vždy celé číslo! Jeho význam lze vyjádřit geometricky. Udává, kolikrát křivka $\phi$ oběhla bod $z_0$ v kladném smyslu. Dá se tedy například ukázat, že platí \[ \intd\phi=\{z \in \C\sm\la\phi\ra \mid \ind_\phi z\not=0\}, \quad \extd\phi=\{z \in \C\sm\la\phi\ra \mid \ind_\phi z=0\}. \] Než budeme pokračovat dál, připomeňme definici Jordanovy dráhy -- viz definice \ref{de:Jordanovadraha}. Nyní, když už máme k dispozici definici indexu bodu, jsme schopni definovat kladnou orientaci. Aby ale tato definice měla nějaký smysl, museli bychom ukázat, že znamená právě to, co si pod ní představujeme, tj. procházení dráhy proti směru hodinových ručiček. To dělat nebudeme. Stejně tak nebudeme dokazovat ani korektnost definice, tedy nezávislost na volbě bodu $z_0$. \begin{define} Buď $\phi$ uzavřená Jordanova dráha, nechť $z_0\in\intd\phi$. Říkáme, že dráha $\phi$ je {\bf orientována kladně}, právě když $\ind_\phi z_0>0$. \end{define} Nyní přichází na řadu extrémně silná věta, z níž další výsledky v komplexní analýze vyplývají velmi snadno. Tuto větu ale bohužel dokážeme pouze za značně zesílených předpokladů. \begin{theorem}[Cauchyho integrální] Buď $\phi$ po částech hladká Jordanova dráha a $f$ funkce holomorfní na $\intd\phi$ a spojitá na $\uz{\intd\phi}$. Pak \[ \oint_\phi f=0. \] \end{theorem} \begin{proof} Důkaz provedeme pouze za silnějšího předpokladu $f\in\c{1}$. Později sice ukážeme, že tento předpoklad splňuje každá holomorfní funkce (ba co víc, každá holomorfní funkce je dokonce třídy $\c{\infty}$), ale v důkazu použijeme právě Cauchyho integrální větu, takže provedeme důkaz kruhem. Dokázat Cauchyho větu v plném znění dá mnohem víc práce a pan tajemník přiznává, že na to nemá čas. Předpokládáme-li tedy $f\in\c{1}$ a označíme-li $\phi = \phi_1 + \im\phi_2$, pak s užitím Greenovy věty získáme: \[ \begin{split} \oint_\phi f(z)&=\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t= \int_a^b(f_1\phi_1'-f_2\phi_2')\d t+\im\int_a^b(f_1\phi_2'+f_2\phi_1')\d t=\\ &=\int_a^b(f_1,-f_2)(\phi_1',\phi_2')\d t+\im\int_a^b(f_2,f_1)(\phi_1',\phi_2')\d t= \int_\phi\overrightarrow{(f_1,-f_2)}\cdot\d\vec r+ \im\int_\phi\overrightarrow{(f_2,f_1)}\cdot\d\vec r=\\ &=\iint_{\intd\phi}\underbrace{\left(-\frac{\pd f_1}{\pd y}- \frac{\pd f_2}{\pd x}\right)\d x\d y}_{0}+ \im\iint_{\intd\phi}\underbrace{\left(-\frac{\pd f_2}{\pd y}+ \frac{\pd f_1}{\pd x}\right)\d x\d y}_{0}=0. \qedhere \end{split} \] \end{proof} \begin{theorem}[princip deformace dráhy] Buďte $\phi_1$, $\phi_2$ stejně orientované po částech hladké Jordanovy dráhy. Nechť $\la\phi_1\ra \subset \intd\phi_2$. Buď dále $f$ holomorfní na $\intd\phi_2 \sm \uz{\intd\phi_1}$ a spojitá na $\uz{\intd\phi_2}\sm\intd\phi_1$. Pak \[\oint_{\phi_2}f=\oint_{\phi_1}f.\] \end{theorem} \begin{proof} Dráhy $\phi_1$ a $\phi_2$ se spojí pomocí drah $\psi_1$, $\psi_2$ mezi nimi, viz obrázek. (Bylo by potřeba zdůvodnit, proč je vždy možné nalézt takové dráhy, které $\phi_1$ a $\phi_2$ neprotnou, ale pouze spojí; intuitivně je to ale jasné. Argumentovat bychom mohli třeba tím, že $\la\phi_1\ra$ a $\la\phi_2\ra$ jsou kompakty, a proto existují body, v nichž je jejich vzdálenost minimální. Vrána to ale po nás stejně nebude chtít.) \begin{figure} \includegraphics{01MAA4_draha.pdf} \caption{Princip deformace dráhy} \end{figure} Napřed se udělá integrál přes levou část, potom přes pravou. Oba tyto integrály jsou podle Cauchyho integrální věty nulové. Jejich součet je přitom roven rozdílu obou integrálů, které nás zajímají -- křivky $\psi_1$, $\psi_2$ se projdou tam a zpět, takže se jejich příspěvky odečtou, $\phi_1$ byla integrována proti směru, proto vyjde záporně. Proto opravdu platí \[ \oint_{\phi_2}f-\oint_{\phi_1}f = 0. \qedhere \] \end{proof} \begin{theorem}[Cauchyho integrální vzorec] Buď $\varphi$ po částech hladká Jordanova dráha a nechť $f$ je holomorfní na $\intd \phi$ a spojitá na $\uz{\intd \phi}$. Pak pro každé $z\in\intd\phi$ platí \[ f(z)=\frac{\ind_\phi z}{2\pi\im}\oint_\phi\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi. \] \end{theorem} \begin{proof} Nejdříve převedeme uvedený integrál na integrál z téže funkce přes jednodušší křivku -- kladně orientovanou kružnici se středem v $z$. Protože je $\intd\phi$ otevřená množina, existuje takové $r\in\R^+$, že $\psi(t)=z+re^{\im t}$ splňuje $\la\psi\ra \in \intd\phi$. S využitím principu deformace dráhy tedy můžeme psát \[ \int_\phi\frac{f(\xi)}{\xi-z}=\ind_\phi (z)\int_\psi\frac{f(\xi)}{\xi-z}= \ind_\phi (z)\int_\psi\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}\,\d\xi+ \ind_\phi (z)\int_\psi\frac{f(z)}{\xi-z}\,\d\xi. \] Druhý z integrálů převedeme vytknutím konstanty $f(z)$ na integrál, který známe -- dostaneme tedy $f(z)\cdot2\pi\im\cdot\ind_\phi(z)$. Věta by proto byla dokázána, kdybychom mohli zdůvodnit, že je první z~integrálů nulový. Integrand splňuje $\lim_{\xi\to z}\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}=f'(z)$, lze tedy nalézt okolí, na němž je omezen třeba konstantou $2\abs{f'(z)} = M$. BÚNO předpokládejme, že kružnice $\psi$ v tomto okolí leží (v opačném případě bychom použili menší kružnici). Pak platí \[ \abs{\int_\psi\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}}\le M2\pi r. \] Jenže integrál přes všechny kružnice ležící uvnitř $\la\phi\ra$ je stejný. Zmenšováním kružnice proto můžeme ukázat, že je menší než libovolné $\epsilon$, a tedy nulový. \end{proof} \begin{example} Počítejme integrál $\int\limits_\phi\frac{\sin z}{z^2+1}\,\d z$. \begin{enumerate} \item Předpokládejme nejprve $\im,-\im\in\extd\phi$. Pak $\oint\limits_\phi=0$, protože integrujeme holomorfní funkci. \item Nyní zkoumejme případ $\im \in \intd\phi$, $-\im\in\extd\phi$. Potom \[ \oint_\phi = \frac{1}{2\im}\oint_\phi\left(\frac{\sin z}{z-\im}- \frac{\sin z}{z+\im}\right) = \pi\frac{1}{2\pi\im}\oint_\phi \frac{\sin z}{z-\im} - \frac{1}{2\im}\oint_\phi \frac{\sin z}{z+\im} = \pi\sin\im, \] protože první integrál vyjadřuje hodnotu $\sin \im$ pomocí Cauchyho integrálního vzorce a druhý je nulový, neboť integrujeme holomorfní funkci. \item Ostatní případy by šlo vyřešit podobně. \end{enumerate} \end{example} \begin{theorem} Buď funkce $f$ holomorfní na kruhu $B(z_0,R)$. Pak pro každé $z\in B$ platí \[f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n,\] kde \[a_n=\frac{\ind_\phi z_0}{2\pi\im} \oint_\phi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi\] pro libovolnou Jordanovu dráhu $\phi$ takovou, že $\la\phi\ra \subset B$ a $z_0\in\intd\phi$. \end{theorem} \begin{proof} Buď $z\in B(z_0,R)$. Potom existuje $\phi$ kladně orientovaná dráha taková, že $z\in\intd\phi$ a zároveň splňující předpoklady věty ($B(z_0,R)$ je otevřená). S využitím znalosti součtu geometrické řady můžeme psát \[ \begin{split} f(z)&=\frac{1}{2\pi\im}\int_\phi\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi= \frac{1}{2\pi\im}\int_\phi\frac{f(\xi)}{\xi-z_0} \frac{1}{1-\frac{z-z_0}{\xi-z_0}}\,\d\xi= \frac{1}{2\pi\im}\int_\phi\sum_{n=0}^\infty\frac{f(\xi)}{\xi-z_0} \left(\frac{z-z_0}{\xi-z_0}\right)^n\,\d\xi=\\ &=\sum_{n=0}^\infty\left( \frac{1}{2\pi\im}\int_\phi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi \right)(z-z_0)^n. \end{split} \] Ověříme korektnost záměny sumy a integrálu: platí, že \[ \abs{\frac{f(\xi)}{\xi-z_0}\frac{(z-z_0)^n}{(\xi-z_0)^n}}\le Mr^n, \] kde $M$ je kladná konstanta omezující $\frac{f(\xi)}{\xi-z_0}$ (ta existuje, protože $f$ je spojité a vzdálenost bodů $\phi$ od $z_0$ je nenulová) a pro $r\in\R$ platí $\abs{\frac{z-z_0}{\xi-z_0}\leq r<1}$, protože $z\in\intd\phi$. Řada má konvergentní číselnou majorantu, je tedy podle Weierstrassovy věty stejnoměrně konvergentní a záměna je korektní. \end{proof} \begin{theorem} Za splnění předpokladů předchozí věty platí: \[ f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi\im}\ind_\phi(z_0) \oint_\phi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi, \] $n$-tou derivaci holomorfní funkce lze tedy vyjádřit jako křivkový integrál. \end{theorem} \begin{dusl} Funkce, která je na $B(z_0,R)$ holomorfní, je na $B(z_0,R)$ dokonce třídy $\c\infty$. Také je na tomto kruhu \textbf{analytická} -- to znamená, že ji lze na okolí každého bodu vyjádřit jako součet mocninné řady. \end{dusl} Chceme-li určit poloměr konvergence mocninné řady, která na nějakém kruhu konverguje k funkci, již známe, stačí spočítat vzdálenost středu od nejbližšího bodu, ve kterém funkce není holomorfní. Naše dřívější metody, jak poloměr určovat, byly -- podle slov pana tajemníka -- \uv{úplně směšný}.