01NUM1:Kapitola9: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
m |
||
(Není zobrazeno 15 mezilehlých verzí od stejného uživatele.) | |||
Řádka 3: | Řádka 3: | ||
\begin{remark*} | \begin{remark*} | ||
− | Přednášeno bez prezentace, ta prý zatím není použitelná (ZS | + | (ZS 2015/16) Přednášeno bez prezentace, ta prý zatím není použitelná. |
− | Prezentace již | + | (ZS 2016/17) Prezentace již je k dispozici. Zatím ponecháno v původním stavu. |
\end{remark*} | \end{remark*} | ||
Řádka 12: | Řádka 12: | ||
\[f'(x) \simeq L'_n (x)\] | \[f'(x) \simeq L'_n (x)\] | ||
tedy \[f'(x) - L'_n (x) = R'_n (x)\] | tedy \[f'(x) - L'_n (x) = R'_n (x)\] | ||
− | + | Z \ref{LagrangeZbytek} víme, že \(R_n (x) = \frac{f^{( n + 1 )} ( \xi )}{( n + 1 )!} \omega_n ( x )\). Aplikací Leibnizova pravidla pro derivování součinu dostaneme: | |
− | \[ | + | \[R_n^{(k)}(x) = \sum_{i = 0}^{k} \binom{k}{i} \frac{f^{(n+1+k-i)}(\xi(x))}{(n+1)!}\omega_n^{(i)}(x)\] |
− | + | Pro napočítání \(k\)-té derivace tedy potřebujeme, aby byla \(f\) alespoň \(n+k+1\)–krát diferencovatelná, navíc neznáme závislost \(\xi\) na \(x\). Ukazuje se navíc, že chyba derivace v uzlech není nulová. Tudy tedy cesta nepovede. | |
− | + | ||
Naším cílem tedy je udělat \(R'_n (x_i)\) libovolně malé \(\forall i \). | Naším cílem tedy je udělat \(R'_n (x_i)\) libovolně malé \(\forall i \). | ||
Mějme funkci \(f \in \mathcal C^2 ( x ) \). Vyjádříme její Lagrangeův polynom stupně 1 na intervalu \(\langle x_0; x_1 \rangle\) | Mějme funkci \(f \in \mathcal C^2 ( x ) \). Vyjádříme její Lagrangeův polynom stupně 1 na intervalu \(\langle x_0; x_1 \rangle\) | ||
Řádka 25: | Řádka 24: | ||
Rozvineme podle Taylora: | Rozvineme podle Taylora: | ||
\[f(x_1) = f(x_0) + f'(x_0)\underbrace{(x_1-x_0)}_{h} + \frac{f''(x_0)}{2!}\underbrace{(x_1-x_0)^2}_{h^2} + \frac{f'''(\xi_1)}{3!}\underbrace{(x_1-x_0)^3}_{h^3}\] | \[f(x_1) = f(x_0) + f'(x_0)\underbrace{(x_1-x_0)}_{h} + \frac{f''(x_0)}{2!}\underbrace{(x_1-x_0)^2}_{h^2} + \frac{f'''(\xi_1)}{3!}\underbrace{(x_1-x_0)^3}_{h^3}\] | ||
− | \[f(x_{-1}) = f(x_0) + f'(x_0)\underbrace{( | + | \[f(x_{-1}) = f(x_0) + f'(x_0)\underbrace{(x_{-1}-x_0)}_{-h} + \frac{f''(x_0)}{2!}\underbrace{(x_{-1}-x_0)^2}_{h^2} + \frac{f'''(\xi_{-1})}{3!}\underbrace{(x_{-1}-x_0)^3}_{-h^3}=\] |
− | Vytvoříme | + | \[= f(x_0) - f'(x_0)h + \frac{f''(x_0)}{2!}h^2 - \frac{f'''(\xi_{-1})}{3!}h^3\] |
+ | Vytvoříme dopředné, resp. zpětné diference prvního řádu: | ||
\[\frac{f(x_1)-f(x_0)}{h} = f'(x_0) + \frac{1}{2} f''(x_0)h + \frac{1}{3!}f'''(\xi_1)h^2 = f'(x_0) + \mathcal{O} (h)\] | \[\frac{f(x_1)-f(x_0)}{h} = f'(x_0) + \frac{1}{2} f''(x_0)h + \frac{1}{3!}f'''(\xi_1)h^2 = f'(x_0) + \mathcal{O} (h)\] | ||
\[\frac{f(x_0)-f(x_{-1})}{h} = f'(x_0) + \mathcal{O} (h)\] | \[\frac{f(x_0)-f(x_{-1})}{h} = f'(x_0) + \mathcal{O} (h)\] | ||
− | Za předpokladu spojité diferencovatelnosti druhého řádu jsme schopni aproximovat první derivaci s~přesností prvního řádu. | + | Za předpokladu spojité diferencovatelnosti druhého řádu jsme tedy schopni aproximovat první derivaci s~přesností prvního řádu. |
\[f(x_1) - f(x_{-1}) = 2h f'(x_0) + \underbrace{\left(\frac{1}{2}f''(x_0)h^2 - \frac{1}{2}f''(x_0)h^2\right)}_{=0} + \frac{1}{3!}\left(f'''(\xi_1)h^3+f'''(\xi_{-1})h^3\right)\] | \[f(x_1) - f(x_{-1}) = 2h f'(x_0) + \underbrace{\left(\frac{1}{2}f''(x_0)h^2 - \frac{1}{2}f''(x_0)h^2\right)}_{=0} + \frac{1}{3!}\left(f'''(\xi_1)h^3+f'''(\xi_{-1})h^3\right)\] | ||
− | \[\frac{f(x_1) - f(x_{-1})}{2h} = f'(x_0)\frac{ | + | \[\frac{f(x_1) - f(x_{-1})}{2h} = f'(x_0)+\frac{f'''(\xi_1)+f'''(\xi_{-1})}{3!}h^2 = f'(x_0) + \mathcal{O} (h^2)\] |
+ | za předpokladu spojité diferencovatelnosti do třetího řádu. Tvaru \(\frac{f(x_1) - f(x_{-1})}{2h}\) se říká centrální diference. | ||
Protože \(\xi_1,\xi_{-1} \in \langle x_{-1};x_1\rangle\) a \(f\) je na \(\langle x_{-1};x_1\rangle\) spojitě diferencovatelná do třetího řádu, je \[\lvert \frac{1}{3!}(f'''(\xi_1)+f'''(\xi_{-1}) \rvert \leq C\] na \(\langle x_{-1};x_1\rangle\) tedy je omezená. | Protože \(\xi_1,\xi_{-1} \in \langle x_{-1};x_1\rangle\) a \(f\) je na \(\langle x_{-1};x_1\rangle\) spojitě diferencovatelná do třetího řádu, je \[\lvert \frac{1}{3!}(f'''(\xi_1)+f'''(\xi_{-1}) \rvert \leq C\] na \(\langle x_{-1};x_1\rangle\) tedy je omezená. | ||
Přesuneme se k druhé derivaci. Rozepsání \(f(x_1)\) a \(f(x_{-1})\) tentokrát sečteme a dostaneme: | Přesuneme se k druhé derivaci. Rozepsání \(f(x_1)\) a \(f(x_{-1})\) tentokrát sečteme a dostaneme: | ||
Řádka 48: | Řádka 49: | ||
\[E_0(f) = \int_{a}^{b} f(x) dx - \int_{a}^{b} f(x_0) dx = \int_{a}^{b} \underbrace{(f(x) - \underbrace{f(x_0)}_{L_0(x)}) dx}_{R_0(x)}\] | \[E_0(f) = \int_{a}^{b} f(x) dx - \int_{a}^{b} f(x_0) dx = \int_{a}^{b} \underbrace{(f(x) - \underbrace{f(x_0)}_{L_0(x)}) dx}_{R_0(x)}\] | ||
Rozvineme \(f(x)\) Taylorem: | Rozvineme \(f(x)\) Taylorem: | ||
− | \[\int_{a}^{b} \left(f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) +\frac{1}{2} f''(\xi)(x-x_0)^2 - f(x_0)\right) dx = \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} f'(x_0)t +\frac{1}{2} f''(\xi)t^2 dt | + | \[\int_{a}^{b} \left(f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) +\frac{1}{2} f''(\xi)(x-x_0)^2 - f(x_0)\right) dx = \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} f'(x_0)t +\frac{1}{2} f''(\xi)t^2 dt \leq \] |
+ | Za předpokladu \(f \in \mathcal C^{(2)}\) lze použít větu o střední hodnotě integrálu a odhadnout tak \(\lvert f''(\xi) \rvert \leq c\) (\(\xi\) totiž závisí na \(x\)): | ||
+ | \[ \leq f'(x_0)\bigg[\frac{t^2}{2}\bigg]^\frac{h}{2}_{-\frac{h}{2}} + \frac{1}{2} c \bigg[\frac{t^3}{3}\bigg]^\frac{h}{2}_{-\frac{h}{2}} = \frac{1}{2} c \frac{h^3}{12} = \mathcal{O}(h^3)\] | ||
Tedy odhad máme s přesností \(h^3\). Zkusíme se nyní přesunout k Lagrangeově polynomu vyššího řádu, vezměme \(n = 1\). | Tedy odhad máme s přesností \(h^3\). Zkusíme se nyní přesunout k Lagrangeově polynomu vyššího řádu, vezměme \(n = 1\). | ||
\[L_1(x) = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} (x - x_0)\] | \[L_1(x) = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} (x - x_0)\] | ||
− | \[\int_{a}^{b} L_1(x) dx = \frac{1}{2} h (f(a) + | + | \[\int_{a}^{b} L_1(x) dx = \frac{1}{2} h (f(a) + f(b))\] |
\[E_1(f) = \int_{a}^{b} f(x) - f(x_0) - \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} (x - x_0) dx \] | \[E_1(f) = \int_{a}^{b} f(x) - f(x_0) - \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} (x - x_0) dx \] | ||
− | \[E_1(f) = \int_{a}^{b} R_1(x) dx = \int_{a}^{b} \frac{f''(\xi)}{2} (x-x_0)(x-x_1)dx = \frac{ | + | \[E_1(f) = \int_{a}^{b} R_1(x) dx = \int_{a}^{b} \frac{f''(\xi)}{2} (x-x_0)(x-x_1)dx = \frac{c}{2} \int_{0}^{h} t (t-h) dt = \frac{c}{2} \bigg[\frac{t^3}{3} - h \frac{t^2}{2} \bigg]^h_0 = \frac{c}{2} (\frac{h^3}{3} - h \frac{h^2}{2}) = \mathcal{O}(h^3)\] |
− | + | Znovu jsme použili větu o střední hodnotě integrálu a odhad \(\lvert f''(\xi) \rvert \leq c\). | |
Přednášku z ne úplně zjevného důvodu zakončila Cavalieri-Simpsonova formule: | Přednášku z ne úplně zjevného důvodu zakončila Cavalieri-Simpsonova formule: | ||
\[I_2(f) = \frac{a-b}{6}\left(f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)\right)\] | \[I_2(f) = \frac{a-b}{6}\left(f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)\right)\] |
Aktuální verze z 31. 1. 2017, 17:33
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01NUM1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01NUM1 | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 19:49 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 19:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Dedicma2 | 17. 1. 2016 | 16:20 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Dedicma2 | 23. 5. 2017 | 21:32 | znaceni.tex | |
Kapitola2 | editovat | Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 15:41 | prezentace2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Úvod do numerické matematiky | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 15:51 | prezentace3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Přímé metody pro lineární soustavy | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 16:47 | prezentace4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Iterativní metody | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 16:59 | prezentace5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Vlastní čísla a vektory matic | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 17:07 | prezentace6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Nelineární rovnice | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 14:27 | prezentace7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Interpolace | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 15:43 | prezentace8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Derivace a integrace | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 17:33 | prezentace9.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01NUM1} \section{Derivace a integrace} \begin{remark*} (ZS 2015/16) Přednášeno bez prezentace, ta prý zatím není použitelná. (ZS 2016/17) Prezentace již je k dispozici. Zatím ponecháno v původním stavu. \end{remark*} \todo{Spáchala Hanele ze svých výpisků. Chtělo by to přepsat podle prezentace, ale už se mi to ve zkouškovém dělat nechce.} \subsection{Numerická derivace} Chceme-li derivovat funkci, známe-li pouze její funkční hodnoty, dostáváme se do problémů. Můžeme funkci zkusit aproximovat jejím Lagrangeovým polynomem a získat představu: \[f'(x) \simeq L'_n (x)\] tedy \[f'(x) - L'_n (x) = R'_n (x)\] Z \ref{LagrangeZbytek} víme, že \(R_n (x) = \frac{f^{( n + 1 )} ( \xi )}{( n + 1 )!} \omega_n ( x )\). Aplikací Leibnizova pravidla pro derivování součinu dostaneme: \[R_n^{(k)}(x) = \sum_{i = 0}^{k} \binom{k}{i} \frac{f^{(n+1+k-i)}(\xi(x))}{(n+1)!}\omega_n^{(i)}(x)\] Pro napočítání \(k\)-té derivace tedy potřebujeme, aby byla \(f\) alespoň \(n+k+1\)–krát diferencovatelná, navíc neznáme závislost \(\xi\) na \(x\). Ukazuje se navíc, že chyba derivace v uzlech není nulová. Tudy tedy cesta nepovede. Naším cílem tedy je udělat \(R'_n (x_i)\) libovolně malé \(\forall i \). Mějme funkci \(f \in \mathcal C^2 ( x ) \). Vyjádříme její Lagrangeův polynom stupně 1 na intervalu \(\langle x_0; x_1 \rangle\) \[L_1(x) = f(x_0) + f [ \, x_0; x_1] \,(x-x_0) = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} (x-x_0)\] \[L'_1(x) = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = f'(\xi)\] kde poslední rovnost plyne z Lagrangeovy věty o přírůstku funkce (\(\exists \xi \in \langle x_0; x_1 \rangle\) \( f(x_1) - f(x_0) =f'(\xi)(x_1 - x_0 \))). Mějme tedy \(h = x_1 - x_0\). Bude nás zajímat chyba aproximace v závislosti na~zmenšujícím se $h$. K tomu budeme potřebovat konečné diference. Předpokládejme nyní ekvidistantní rozdělení uzlů tak, že bude platit: \(x_i=x_0 + ih,\: \forall i \in \mathbb N\) Rozvineme podle Taylora: \[f(x_1) = f(x_0) + f'(x_0)\underbrace{(x_1-x_0)}_{h} + \frac{f''(x_0)}{2!}\underbrace{(x_1-x_0)^2}_{h^2} + \frac{f'''(\xi_1)}{3!}\underbrace{(x_1-x_0)^3}_{h^3}\] \[f(x_{-1}) = f(x_0) + f'(x_0)\underbrace{(x_{-1}-x_0)}_{-h} + \frac{f''(x_0)}{2!}\underbrace{(x_{-1}-x_0)^2}_{h^2} + \frac{f'''(\xi_{-1})}{3!}\underbrace{(x_{-1}-x_0)^3}_{-h^3}=\] \[= f(x_0) - f'(x_0)h + \frac{f''(x_0)}{2!}h^2 - \frac{f'''(\xi_{-1})}{3!}h^3\] Vytvoříme dopředné, resp. zpětné diference prvního řádu: \[\frac{f(x_1)-f(x_0)}{h} = f'(x_0) + \frac{1}{2} f''(x_0)h + \frac{1}{3!}f'''(\xi_1)h^2 = f'(x_0) + \mathcal{O} (h)\] \[\frac{f(x_0)-f(x_{-1})}{h} = f'(x_0) + \mathcal{O} (h)\] Za předpokladu spojité diferencovatelnosti druhého řádu jsme tedy schopni aproximovat první derivaci s~přesností prvního řádu. \[f(x_1) - f(x_{-1}) = 2h f'(x_0) + \underbrace{\left(\frac{1}{2}f''(x_0)h^2 - \frac{1}{2}f''(x_0)h^2\right)}_{=0} + \frac{1}{3!}\left(f'''(\xi_1)h^3+f'''(\xi_{-1})h^3\right)\] \[\frac{f(x_1) - f(x_{-1})}{2h} = f'(x_0)+\frac{f'''(\xi_1)+f'''(\xi_{-1})}{3!}h^2 = f'(x_0) + \mathcal{O} (h^2)\] za předpokladu spojité diferencovatelnosti do třetího řádu. Tvaru \(\frac{f(x_1) - f(x_{-1})}{2h}\) se říká centrální diference. Protože \(\xi_1,\xi_{-1} \in \langle x_{-1};x_1\rangle\) a \(f\) je na \(\langle x_{-1};x_1\rangle\) spojitě diferencovatelná do třetího řádu, je \[\lvert \frac{1}{3!}(f'''(\xi_1)+f'''(\xi_{-1}) \rvert \leq C\] na \(\langle x_{-1};x_1\rangle\) tedy je omezená. Přesuneme se k druhé derivaci. Rozepsání \(f(x_1)\) a \(f(x_{-1})\) tentokrát sečteme a dostaneme: \[f(x_1) + f(x_{-1}) = 2f(x_0) +f''(x_0)h^2 + \frac{f'''(\xi_1) - f'''(\xi_{-1})}{3!}h^3\] \[\frac{f(x_1) - 2f(x_0) + f(x_{-1})}{h^2} = f''(x_0) + \frac{f'''(\xi_1) - f'''(\xi_{-1})}{3!}h\] Za předpokladu spojité diferencovatelnosti 3. řádu získáme odhad s~přesností $h$. Máme-li však spojitou diferencovatelnost čtvrtého řádu, je odhad s~přesností \(h^2\) (opět dokážeme přes Lagrange, vyskočí tam čtvrtá derivace). \subsection{Numerická integrace} Vzorce pro \(I(f)\) se nazývají vzorce pro numerickou integraci, resp. kvadraturní vzorce. Mějme reálnou funkci reálné proměnné. Interval, na kterém chceme integrovat, stejně jako u derivace, rozdělíme ekvidistantně na menší intervaly: \(x_i=x_0 + ih,\: \forall i \in \hat n\) a posčítáme příspěvky od jednotlivých částí. Použijeme interpolaci \(f(x)\) takovou, aby se dobře integrovalo. Pro \(x\) blízké \(x_0\) bude přibližně platit: \[\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x_0) dx = (b-a)f(x_0) = f(x_0)h\] Zajímá nás chyba, které se při této aproximaci dopustíme. \[E_0(f) = \int_{a}^{b} f(x) dx - \int_{a}^{b} f(x_0) dx = \int_{a}^{b} \underbrace{(f(x) - \underbrace{f(x_0)}_{L_0(x)}) dx}_{R_0(x)}\] Rozvineme \(f(x)\) Taylorem: \[\int_{a}^{b} \left(f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) +\frac{1}{2} f''(\xi)(x-x_0)^2 - f(x_0)\right) dx = \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} f'(x_0)t +\frac{1}{2} f''(\xi)t^2 dt \leq \] Za předpokladu \(f \in \mathcal C^{(2)}\) lze použít větu o střední hodnotě integrálu a odhadnout tak \(\lvert f''(\xi) \rvert \leq c\) (\(\xi\) totiž závisí na \(x\)): \[ \leq f'(x_0)\bigg[\frac{t^2}{2}\bigg]^\frac{h}{2}_{-\frac{h}{2}} + \frac{1}{2} c \bigg[\frac{t^3}{3}\bigg]^\frac{h}{2}_{-\frac{h}{2}} = \frac{1}{2} c \frac{h^3}{12} = \mathcal{O}(h^3)\] Tedy odhad máme s přesností \(h^3\). Zkusíme se nyní přesunout k Lagrangeově polynomu vyššího řádu, vezměme \(n = 1\). \[L_1(x) = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} (x - x_0)\] \[\int_{a}^{b} L_1(x) dx = \frac{1}{2} h (f(a) + f(b))\] \[E_1(f) = \int_{a}^{b} f(x) - f(x_0) - \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} (x - x_0) dx \] \[E_1(f) = \int_{a}^{b} R_1(x) dx = \int_{a}^{b} \frac{f''(\xi)}{2} (x-x_0)(x-x_1)dx = \frac{c}{2} \int_{0}^{h} t (t-h) dt = \frac{c}{2} \bigg[\frac{t^3}{3} - h \frac{t^2}{2} \bigg]^h_0 = \frac{c}{2} (\frac{h^3}{3} - h \frac{h^2}{2}) = \mathcal{O}(h^3)\] Znovu jsme použili větu o střední hodnotě integrálu a odhad \(\lvert f''(\xi) \rvert \leq c\). Přednášku z ne úplně zjevného důvodu zakončila Cavalieri-Simpsonova formule: \[I_2(f) = \frac{a-b}{6}\left(f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)\right)\]