Aktuální verze z 1. 8. 2016, 12:45

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02LIAG}
 
\section{Reprezentace poloprostých Lieových algeber}
 Uvažujme $\g$ nad $\C,\ \g_0$ Caratnova podalgebra, $\alpha \in \Delta,\ T_\alpha \in \g_0,\ [T_\alpha,T_\beta] = 0,\ \rho$ reprezentace $\g$ na komplexním vektorovém prostoru $V,\ \dim V < +\infty$, takže $\rho(g_0) = \{ \rho(H) | H \in \g_0 \}$ je podprostor v $\mathcal{L}(V)$ tvořený komutujícími operátory. Potřebujeme ukázat, že jsou diagonální, abychom mohli napssat $V$ jako $\dot{\bigplus}$ vlastních podprostorů.
 
$\alpha \in \Delta \rimpl \mrm{span}\left\{ X_\alpha,X_{-\alpha},T_\alpha = [X_\alpha,X_{-\alpha}] \right\}$ podalgebra izomorfní $\mfrk{sl}(2,\C) \rimpl \rho(X_\alpha),\ \rho(X_{-\alpha}),\ \rho(T_\alpha)$ reprezentace $\mfrk{sl}(2,\C)$ na $V$, ta je úplně reducibilní, tj. direktní součet ireducibilních reprezentací $\mfrk{sl}(2,\C)$, v každé z nich působí $\rho(T_\alpha)$ diagonálně$\rimpl \rho(T_\alpha)$ na $V$ je diagonalizovatelný operátor$\rimpl \rho(\g_0)$ je množina komutujících diagonalizovatelných operátorů$\rimpl V$ lze rozložit na společné vlastní podprostory $\rho(\g_0)$:
\begin{align*}
	V = \dot{\bigplus_{\lambda\in\g_0^*}}V_\lambda,\qquad V_\lambda = \bigcap_{H\in\g_0}\ker\left( \rho(H) - \lambda(H)\mathbb{1} \right)
	\end{align*}  
\Def{ 
	\begin{itemize}
		\item \textbf{Váhy} reprezentace $\rho$ (na vekt. prostoru $V$) algebry $\h$ nazýváme $\lambda \in \g_0^*$, takové, že $V_\lambda \neq \{0\}$.
		\item Příslušné $V_\lambda$ nazýváme \textbf{váhový podprostor} reprezentace $\rho$ příslušný váze $\lambda$.
		\item \textbf{Váhový diagram} jsou váhy znázorněné v euklidovském $\R^n\ \left(\lambda(T_\alpha) \in \R,\text{ tj. }\lambda \in \h^\#\right)$.
		\item \textbf{Váhová mřížka} je $\mathcal{J} \subset \h^\#,\ \mathcal{J} = \left\{ \lambda \in \h^\# \middle| \lambda(T_\alpha) \in \Z,\ \forall \alpha \in \Delta \right\}$.
	\end{itemize}
	}
\Pzn{
	Pro adjugovanou reprezentaci ($\rho=\ad$) jsou nenulové váhy kořeny a $V_0$ je Cartanova podalgebra.
	}	
\Pzn{
	Mřížka je podgrupou $\h^\#:\ \lambda_1,\lambda_2 \in \mathcal{J},\ m_1,m_2 \in \Z \rimpl m_1\lambda_1 + m_2\lambda_2 \in \mathcal{J}$. Její bázi tvoří $\lambda_j \in \h^\#$, pro které $\lambda_j(T_{\alpha_k})=\delta_{jk},\ \forall \alpha_k \in \Delta^p \rimpl \forall \lambda \in \mathcal{J},\ \exists m_1,\dots,m_l,\ \lambda = \sum m_j\lambda_j$.
	}		
%\Pzn{	Weylova grupa $\Ws$ je generována $S_\alpha (\lambda )=\lambda - \lambda (T_\alpha ) \alpha$, $\alpha \in \Delta$.}	
\Vet{
	Mějme $\rho$ reprezentaci komplexní poloprosté algebry. Nechť $\Lambda_\rho$ je množina všech vah, $\Lambda_\rho = \left\{ \lambda \in \g_0^* \middle| \bigcap_{H \in \g_0} \ker \left( \rho(H) - \lambda(H)\mathbb{1} \right) \neq 0 \right\}$. Pak $\Lambda_\rho \subset \mathcal{J},\ V = \dot{\bigplus}_{\lambda\in\Lambda_\rho}V_\lambda$ a $\Lambda_\rho$ je invariantní vzhledem k Weylově grupě $\Ws_\g$, tj. pokud $S\in \Ws_\g,\ \lambda\in\Lambda_\rho \Rightarrow S(\lambda) \in \Lambda_\rho \ (\forall \alpha\in \Delta,\ S_\alpha : \h^\# \to \h^\# : S_\alpha(\nu) = \nu - \nu(T_\alpha)\alpha)$. \\
	Dále $\forall \lambda \in \Lambda_\rho,\ \varepsilon = \mrm{sgn}\, \lambda(T_\alpha)$, platí $\{ \lambda,\lambda-\varepsilon\alpha,\dots,\underbrace{\lambda-\lambda(T_\alpha)\alpha}_{S_\alpha(\lambda)} \} \subset \Lambda_\rho$ a $\dim V_\lambda = \dim V_{S_\alpha (\lambda)}$.
	}	
\begin{proof}
	Už víme, že $V=\dot{\bigplus}_{\lambda\in\Lambda_\rho},\ \sigma\left(\rho(T_\alpha)\right) \subset \Z$, protože je to $\mfrk{sl}(2,\C) \rimpl \Lambda_\rho \subset \mathcal{J}$. 
 
	Pro $\alpha \in \Delta$ označíme $\mfrk{sl}(2,\C)_\alpha := \mrm{span}\{X_\alpha,X_{-\alpha},T_\alpha\}$, vezmeme $0 \neq v \in V_\lambda,\ \forall H \in \h,\ \rho(H)v = \lambda(H)v,\ \rho(X_{\pm\alpha})v \in V$:
	\begin{align*}
		\rho(H)\left( \rho(X_{\pm\alpha})v \right) = \rho\big( \underbrace{[H,X_{\pm\alpha}]}_{\pm\alpha(H)X_{\pm\alpha}} \big)v + \rho(X_{\pm\alpha})(\lambda(H)v) = \left( \lambda(H) \pm \alpha(H) \right) \left( \rho(X_{\pm\alpha})v \right)
		\end{align*}
	$\Rightarrow\quad$pokud $\rho(X_{\pm\alpha})v \neq 0$, pak $\lambda\pm\alpha \in \Lambda_\rho,\ \rho(X_{\pm\alpha})v \in V_{\lambda+\alpha}$.	
 
	$\lambda \in \Lambda_\rho \rimpl$najdeme ireducibilní reprezentaci $\mfrk{sl}(2,\C)_\alpha$ na $V$ takovou, že $\zuz{\lambda}{\mfrk{sl}(2,\C)_\alpha}$ je vahou této reprezentace$\rimpl \rho(T_\alpha)v = \lambda(T_\alpha)v,\ \lambda(T_\alpha) \in \{ -r,-r+2,\dots,r \}$, tj.:
	\begin{align*}
		\{ \lambda(T_\alpha),\lambda(t_\alpha) - \underbrace{\varepsilon\alpha(T_\alpha)}_{2\varepsilon},\dots,\lambda(T_\alpha) - 2\lambda(T_\alpha) = -\lambda(T_\alpha) \} \subset \{ -r,\dots,r \}
		\end{align*}
	$\Rightarrow\quad \rho(E_{-\varepsilon\alpha})v,\big(\rho(E_{-\varepsilon\alpha})\big)^2v,\dots,\big(\rho(E_{-\varepsilon\alpha})\big)^{|\lambda(T_\alpha)|}v$ jsou díky vlastnostem ireducibilní reprezentace $\mfrk{sl}(2,\C)_\alpha$ nenulové vektory, ale tím pádem $V_{\lambda-\varepsilon\alpha},\dots,V_{\lambda-\lambda(T_\alpha)\alpha}$ jsou nenulové, tj. z jednoznačnosti váhových podprostorů ireducibilní reprezentace $\mfrk{sl}(2,\C)$ vidíme, že pro LN vektory z $V_\lambda$ máme různé ireducibilní reprezentace $\mfrk{sl}(2,\C)_\alpha$, každá zobrazuje jednoznačně $v \leftrightarrow \big( \rho(E_{-\varepsilon\alpha}) \big)^{|\lambda(T_\alpha)|}v \in V_{S_\alpha(\lambda)} \rimpl \dim V_\lambda \leq \dim V_{S_\alpha(\lambda)}.\ S_\alpha^2 = 1 \rimpl$lze obrátit, máme tedy rovnost $\dim V_\lambda = \dim V_{S_\alpha(\lambda)}$.		
	\end{proof}	
\Def{
	Pro $\lambda \in \Lambda_\rho,\ n_\lambda := \dim V_\lambda$ nazýváme \textbf{násobnost váhy} $\lambda$.
	}	
\Def{
	$\lambda\in\Lambda_\rho$ je \textbf{dominantní}$\quad\Leftrightarrow\quad \forall \alpha \in \Delta^+,\ \lambda(T_\alpha) \geq 0$ (tj. $\braket{\lambda,\alpha} \geq 0$).
	}	
\Def{
	$\lambda \in \Lambda_\rho$ je \textbf{nejvyšší}$\quad\Leftrightarrow\quad \forall \alpha \in \Delta^+,\ \lambda + \alpha \notin \Lambda_\rho$.
	}	
\Pzn{
	Evidentně, každá reprezentace má nejvyšší váhu (alespoň jednu).
	}
\Def{
	Pro $\rho: \g \to \gl(V)$ a její nejvyšší váhu $\lambda$ zvolíme $v \in V_\lambda,\ v \neq 0$ a definujeme $R_\lambda := \mrm{span}\{ \rho(X_1)\dots\rho(X_k)v | k \in \N \cup \{0\},\ X_j \in \g \}$, tj. $R_\lambda \subset\subset V,\ \rho(X)R_\lambda \subset R_\lambda,\ \forall X \in \g$.
	}	
\Vet{
	$R_\lambda$ je invariantní podprostor reprezentace $\rho,\ \zuz{\rho}{R_\lambda}: \g \to \gl(R_\lambda)$ je ireducibilní,  $\dim R_\lambda \cap V_\lambda = 1$, tj. $R_\lambda \cap V_\lambda = \mrm{span}\{v\}$.
	}	
\begin{proof}
	V definici $R_\lambda$ stačí uvažovat $X=E_\alpha,\ \alpha \in \Delta$ a $X=H,\ H \in \g_0$. Uvažujme $\alpha,\dots,\omega \in \Delta$:
	\begin{align*}	
		\rho(H)\big( \rho(E_\alpha)\dots\rho(E_\omega)v \big) &= \big( \lambda(H) + \alpha(H) + \dots + \omega(H) \big) \big( \rho(E_\alpha)\dots\rho(E_\omega)v \big) \\
		& \, \uparrow \\
		\rho\big([H,E_\alpha]\big) &= \alpha(H)\rho(E_\alpha)
		\end{align*}
	$\Rightarrow\quad \rho(E_\alpha)\dots\rho(E_\omega)v \in V_{\lambda + \alpha + \dots + \omega}$, tj. působení $\rho(H)$ je jen násobení číslem, stačí tedy uvažovat jen $X=E_\alpha,\ \alpha \in \Delta$. Vezmeme $w \in R_\lambda \cap V_\lambda, w = \sum_{\substack{\alpha_1,\dots,\alpha_k \in \Delta \\ k \in \N \cup \{0\}}}konst.\, \rho(E_{\alpha_1})\dots\rho(E_{\alpha_k})v$, v každém členu má být váhový vektor s vahou $\lambda \rimpl \alpha_1 + \dots + \alpha_k = 0 \rimpl$ některé jsou kladné, některé záporné. Kladné překomutujeme doprava pomocí $[E_\alpha,E_\beta] = N_{\alpha\beta}E_{\alpha+\beta}$, resp. $[E_{\alpha},E_{-\alpha}] = konst.\, H_\alpha$. Nakonec jsou všechny kladné kořeny napravo a protože $\alpha \in \Delta^+$ a z maximality $\lambda$, je $\rho(E_\alpha)v = 0 \rimpl$v sumě jsou jen záporné kořeny, ale stále platí $\alpha_1 + \dots + \alpha_k = 0 \rimpl k=0 \rimpl w=konst.\, v \rimpl \R_\lambda \cap V_\lambda = \mrm{span}\{v\}$.
 
	Ireducibilita sporem: Máme $W\subset\subset R_\lambda,\ W \cap (R_\lambda \cap V_\lambda) = \{0\}$, současně $W$ musí být rozložitelný do váhových podprostorů$\rimpl$má nenulový průnik s nějakým $V_k,\ k \neq \lambda,\ k \in \Lambda_{\zuz{\rho}{R_\lambda}}$, ozn. $W_k = W \cap V_k$, a $W = \dot{\bigplus} W_k$. Z úplné reducibility vyplývá, že z $v \in V_\lambda$ se nelze dostat do $W_k$ a z konstrukce $W_k \subset W \subset R_\lambda \rimpl W = \{0\}$.  
	\end{proof}	
\Dsl{
	Ireducibilní reprezentace $\rho$ poloprosté komplexní algebry na $V$ s nejvyšší vahou $\lambda$, je nutně totožná s příslušným $R_\lambda$, tj. $V = R_\lambda$. 
	} 	
\Vet{
	Buďte $\rho,\widetilde{\rho}$ ireducibilní reprezentace komplexní poloprosté Lieovy algebry $\g$ na $V,\widetilde{V}$ s nejvyšší vahou $\lambda$. Pak jsou reprezentace $\rho,\widetilde{\rho}$ ekvivalentní, tj. $\exists T: V \to \widetilde{V}$ lineární bijekce taková, že $\widetilde{\rho}(X) \circ T = T \circ \rho(X),\ \forall X \in \g$.
	}	
\begin{proof}
	Z ireducibility $V=R_\lambda,\widetilde{V} = \widetilde{R}_\lambda$. Definujeme $\infty$-rozměrný prostor $V^\lambda$ a reprezentaci $\g$ na něm, tzv. Verma modul: $\mrm{span}\left\{ E_\alpha,E_{-\alpha} \middle| \alpha \in \Delta^p \right\}$ generuje pomocí komutátorů celou algebru $\g$, navíc $\forall \alpha,\beta \in \Delta^p,\ [E_\alpha,E_{-\beta}] = \delta_{\alpha\beta}T_\alpha,\ [E_\alpha,E_\beta] = \underbrace{N_{\alpha\beta}}_{\neq 0 }E_{\alpha+\beta}$. Reprezentace je tedy určená působením $E_{\pm\alpha},\ \alpha \in \Delta^p$. Označíme $\Delta^p = \{ \alpha_j \}_{j=1}^l,\ E_{\pm j} := E_{\pm\alpha_j},\ v_0$ abstraktní vektor,
	\begin{align*}
		V^\lambda := \mrm{span}\left\{ E_{-j_1}\dots E_{-j_k}v_0 \middle| j_1,\dots,j_k \in \{1,\dots,l\},\ k \in \N \cup \{0\} \right\},
		\end{align*}
	$T_\alpha(v_0) \overset{!}{=} \lambda(T_\alpha)v_0,\ \forall \alpha \in \Delta;\ E_j(v_0) \overset{!}{=} 0,\ \forall j \in \ \{1,\dots,l\}; E_{-j}\left( E_{-j_1}\dots E_{-j_k}v_0 \right) = E_{-j}E_{-j_1}\dots E_{-j_k}v_0$.
	\begin{align*}
		T_\beta \left( E_{-j_1}\dots E_{-j_k}v_0 \right) &= \left( \lambda(T_\beta) - \alpha_{j_1}(T_\beta) - \dots - \alpha_{-j_k}(T_\beta) \right) E_{-j_1} \dots E_{-j_k}v_0, \\
		E_j \left( E_{-j_1}\dots E_{-j_k}v_0 \right) &= \delta_{jj_1} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{T_{\alpha_j} \left( E_{-j_2}\dots E_{-j_k}v_0 \right)}_{\left( \lambda \left(T_{\alpha_j} \right) - \alpha_{j_2} \left( T_{\alpha_j} \right) - \dots - \alpha_{-j_k} \left( T_{\alpha_j} \right) \right) E_{-j_2} \dots E_{-j_k}v_0}
		\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! + \\
		&\qquad+ \delta_{jj_2}E_{-j_1}\left( \lambda \left( T_{\alpha_j} \right) - \alpha_{j_3} \left( T_{\alpha_j} \right) - \dots - \alpha_{-j_k} \left(  T_{\alpha_j} \right) \right) E_{-j_3} \dots E_{-j_k}v_0 + \\
		&\qquad + \dots + \delta_{jj_k} \lambda\left(T_{\alpha_j}\right) E_{-j_1} \dots E_{-j_k}v_0.
		\end{align*}	
	Lze ukázat, že tímto spůsobem máme definováno na $V_\lambda$ působení $\mrm{span}\{ E_\alpha,E_{-\alpha} | \alpha \in \Delta^p \}$ indukující konzistentním spůsobem reprezentaci $\g$ na $V^\lambda$	.
 
	Nyní definujeme $\pi : V^\lambda \to R_\lambda,\ \widetilde{\pi}: V^\lambda \to \widetilde{R}_\lambda$:
	\begin{align*}
		\pi \left( E_{-j_1} \dots E_{-j_k}v_0 \right) = \rho\left(E_{-j_1}\right) \dots \rho\left(E_{-j_k}\right)v, \\
		 \widetilde{\pi} \left( E_{-j_1} \dots E_{-j_k}v_0 \right) = \widetilde{\rho}\left(E_{-j_1}\right) \dots \widetilde{\rho}\left(E_{-j_k}\right)\widetilde{v}.
		\end{align*}
	Z konstrukce $V^\lambda$ je $\forall X \in \g,\ \rho(X) \circ \pi = \pi \circ X,\ \widetilde{\rho}(X)\circ\widetilde{\pi} = \widetilde{\pi}\circ X \rimpl X\ker\pi = \ker\pi,\ \forall X \in \g$, podobně $\widetilde{\pi}$, tj. $\ker\pi,\ \ker\widetilde{\pi}$ jsou invariantní podporostory $V^\lambda$ a $\pi,\ \widetilde{\pi}$ zobrazují váhové podporstory na váhové podprostory.
	\begin{align*}
		\widetilde{\pi}(\ker\pi) &= \mrm{span}\left\{ \widetilde{\pi}(V) \middle| V \in \ker\pi \text{, tj. }\pi(V) = 0 \right\} \\
		\widetilde{\rho}(X)\left( \widetilde{\pi}(\ker\pi) \right) &= \widetilde{\pi}(X \ker\pi) \subset \widetilde{\pi}(\ker\pi),\qquad \forall X \in \g
		\end{align*}
	$\Rightarrow\quad \widetilde{\pi}(\ker\pi)$ je invariantní podporstor reprezentace $\widetilde{\rho}$, analogicky $\pi(\ker\widetilde{\pi})$ je invariantni podprostor reprezentace $\rho$. $\pi\left( \mrm{span}\{v_0\} \right) = \mrm{span}\{v\},\ \left(V^\lambda\right)_\lambda = \mrm{span}\{v_0\} \rimpl \zuz{\pi}{\left(V^\lambda\right)_\lambda} \to V_\lambda$ je bijekce$\rimpl \left(V^\lambda\right)_\lambda \nsubset \ker\pi,\ \widetilde{V}_\lambda \nsubset \widetilde{\pi}(\ker\pi) \rimpl \widetilde{\pi}(\ker\pi) \neq \widetilde{V} = \widetilde{R}_\lambda \rimpl \widetilde{\pi}(\ker\pi) = \{0\}$, analogicky $\pi(\ker\widetilde{\pi}) = \{0\}$. Vidíme tedy, že $\pi\left(V^\lambda\right) = R_\lambda,\ \widetilde{\pi}\left( V^\lambda \right) = \widetilde{R}_\lambda$.
 
	Definujeme $T : R_\lambda \to \widetilde{R}_\lambda$ následovně: $T(w) \overset{!}{=} \widetilde{\pi}(W),\ \forall w = \pi(W) \in R_\lambda$, kde $W \in V^\lambda$ (tj. $w$ je libovolný prvek $R_\lambda$). Ověríme konzistenci: $W_0 \in \ker\pi,\ W' = W + W_0 \rimpl w = \pi(W')$
	\begin{align*}
		T(w) = \widetilde{\pi}(W') = \widetilde{\pi}(W+W_0) = \widetilde{\pi}(W) + \underbrace{\widetilde{\pi}(W_0)}_{=0} = \widetilde{\pi}(W).
		\end{align*} 
	Evidentně k $T$ existuje inverzní zobrazení záměnou $\pi$ a $\widetilde{\pi}$ v definici$\rimpl T$ je bijekce.
	\begin{align*}
		T\big(\rho(X)w\big) = T\big(\rho(X)\pi(W)\big) = T\big(\pi(XW)\big) = \widetilde{\pi}(XW) = \widetilde{\rho}(X)\widetilde{\pi}(W) = \widetilde{\rho}(X)T(w),\qquad \forall X \in \g 
		\end{align*}	
	$\Rightarrow\quad T\circ\rho(X) = \widetilde{\rho}(X)\circ T,\ \forall X \in \g$.	
	\end{proof}		
\Dsl{
	Ireducibilní reprezentace $\rho$ je určena svou nejvyšší vahou $\lambda$.
	}
\Def{
	Mějme $\g,\ \g_0,\ \Delta \supset \Delta^+ \supset \Delta^p = \{ \alpha_j \}_{j=1}^l$. Definujeme $\lambda_j \in \Js \subset \h^\#: \lambda_j\left(T_{\alpha_k}\right) = \delta_{jk}$. Takové $\lambda_j$ nazýváme \textbf{fundamentální váhy} Lieovy algebry $\g$, jim příslušející reprezentace nazýváme \textbf{fundamentální reprezentace}.
	}	
\Pzn{
	To, že $\lambda_j \in \Js$ a že existují příslušné reprezentace je třeba ukázat.
	}	
\Pzn{
	Fundamentální váhy lze určit z~Cartanovy matice vztahem $\lambda_j=\mathbb{M}_{jk}\alpha_k$, kde $\mathbb{M}_{jk} = (a_{jk})^{-1}$ inverze Cartanovy matice, neboť $\alpha_j = a_{jk}\lambda_k$:
	\begin{align*}
		a_{ik} = \alpha_i\left(T_{\alpha_k}\right) = a_{ij}\lambda_j\left(T_{\alpha_k}\right) = a_{ij}\delta_{jk} = a_{ik}.
		\end{align*}
	}
\Vet{
	Ke každé $l$-tici nezáporných celých čísel $m_1,\dots,m_l$ existuje právě jedna ireducibilní reprezentace poloprosté Lieovy algebry $\g$, jejíž nejvyšší váha je $\lambda = \sum_{j=1}^l m_j\lambda_j$.
	}
\begin{proof}
	To že je nejvýše jedna už víme, existenci ukážeme konstrukcí na příkladech.
	\end{proof}		
 
\subsection{Konstrukce reprezentací}
Mějme $\g,\ V,\ \widetilde{V},\ \rho : \g \to \gl(V),\ \widetilde{\rho} : \g \to \gl\left(\widetilde{V}\right)$. Na $V \otimes \widetilde{V}$ definujeme $\rho \otimes \widetilde{\rho} : \g \to \gl\left( V\otimes\widetilde{V} \right)$ takto:
	\begin{align*}
		\left( \rho \otimes \widetilde{\rho} \right) (X) = \rho(X) \otimes \zuz{\mathbb{1}}{\widetilde{V}} + \zuz{\mathbb{1}}{V} \otimes \widetilde{\rho}(X),\qquad \forall X \in \g.
		\end{align*}
	Ověříme homomorfismus:
	\begin{gather*}
		\left[ \left( \rho \otimes \widetilde{\rho} \right) (X), \left( \rho \otimes \widetilde{\rho} \right) (Y) \right](v\otimes\widetilde{v}) = \left( \rho \otimes \widetilde{\rho} \right) (X) \big( \rho(Y)v \otimes \widetilde{v} + v \otimes \widetilde{\rho}(Y)\widetilde{v} \big) +\\
		- \left( \rho \otimes \widetilde{\rho} \right) (Y) \big( \rho(X)v \otimes \widetilde{v} + v \otimes \widetilde{\rho}(X)\widetilde{v} \big) = \rho(X)\rho(Y)v\otimes\widetilde{v} + \bcancel{\rho(Y)v\otimes\widetilde{\rho}(X)\widetilde{v}} + \cancel{\rho(X)v\otimes\widetilde{\rho}(Y)\widetilde{v}} + \\
		+ v\otimes\widetilde{\rho}(X)\widetilde{\rho}(Y)\widetilde{v} - \rho(Y)\rho(X)v\otimes\widetilde{v} - \cancel{\rho(X)v\otimes\widetilde{\rho}(Y)\widetilde{v}} - \bcancel{\rho(Y)v\otimes\widetilde{\rho}(X)\widetilde{v}} - v\otimes\widetilde{\rho}(Y)\widetilde{\rho}(X)\widetilde{v} = \\
		= \rho\big( [X,Y] \big)v\otimes\widetilde{v} + v\otimes\widetilde{\rho}\big([X,Y]\big)\widetilde{v} = (\rho\otimes\widetilde{\rho})\big([X,Y]\big)v\otimes\widetilde{v}
		\end{gather*}
	$\g$ komplexní poloprostá, $\Lambda_\rho,\ \Lambda_{\widetilde{\rho}},\ \lambda \in \Lambda_\rho,\ v \in V_\lambda,\ \mu \in \Lambda_{\widetilde{\rho}},\ \widetilde{v} \in \widetilde{V}_\mu$, pro $H \in \g_0$ máme:
	\begin{align*}
		(\rho\otimes\widetilde{\rho})(H)v\otimes\widetilde{v} = \underbrace{\rho(H)v}_{\lambda(H)v}\otimes\widetilde{v} + v\otimes\underbrace{\widetilde{\rho}(H)\widetilde{v}}_{\mu(H)\widetilde{v}} = (\lambda + \mu)(H)v\otimes\widetilde{v}
		\end{align*}	
	$\Rightarrow\quad \lambda+\mu \in \Lambda_{\rho\otimes\widetilde{\rho}}$, speciálně pokud $\lambda,\mu$ jsou nejvyšší váhy, pak $\lambda + \mu$ je nejvyšší.	
\Prl{
	$D^j\ \dots\ (2j+1)$-rozměrná reprezentace $\mfrk{so}(3)$, tj. $j \in \frac{1}{2}\N_0$.
	\begin{align*}
		D^j \otimes D^k = D^{j+k}\oplus\dots\oplus D^{|j-k|}\ \dots\ \text{Clebsh-Gordonův rozklad}
		\end{align*}	
	}
 
\textbf{Symetrická, antysymetrická reprezentace:} Mějme $\rho$ na $V$ algebru $\g,\ \rho\otimes\rho$ na $V\otimes V = V^{\otimes 2},\ S_{12}:V \otimes V \to V \otimes V : S_{12}(u \otimes v) = v \otimes u \rimpl S_{12}^2 = \mathbb{1} \rimpl \sigma(S_{12}) = \{\pm1\} $.
	\begin{align*}
		[S_{12},(\rho\otimes\rho)(X)](u \otimes v) &= S_{12}\big( \rho(X)u \otimes v + u \otimes \rho(X)v \big) - (\rho\otimes\rho)(X)(v \otimes u) = \\
		&= v \otimes \rho(X)u + \rho(X)v \otimes u - \rho(X)v \otimes u -v \otimes \rho(X)u = 0, &&\forall X \in \g
		\end{align*} 
	$\Rightarrow\quad [S_{12},(\rho\otimes\rho)(X)] = [S_{12},\rho(X)\otimes\mathbb{1} + \mathbb{1}\otimes\rho(X)] = 0,\ \forall X \in \g \rimpl (\rho\otimes\rho)$ lze zúžit na vlastní podprostory $S_{12}$:
	\begin{align*}
		V \otimes_S V &= \mrm{span}\{ u \otimes v + v \otimes u | u,v \in V \} \ \dots\ \zuz{S_{12}}{V\otimes_SV} = \mathbb{1} \\
		V \land V &= \mrm{span}\{ u \otimes v - v \otimes u | u,v \in V \}\ \dots\ \zuz{S_{12}}{V\land V} = -\mathbb{1} 
		\end{align*}
	Necť $\lambda$ je nejvyšší a $\mu$ 2. nejvyšší váha ireducibilní reprezentace $\rho$ na $V$, pak máme:
	\begin{align*}
		\begin{array}{lcl}
			\text{reprezentace:} && \text{nejvyšší váha:} \\\hline
			\rho\otimes_S\rho\text{ na }V\otimes_SV && 2\lambda \\
			\rho\land\rho\text{ na }V\land V && \lambda+\mu
			\end{array}
		\end{align*}
\Prl{				
	$\underset{\text{váhy:}}{D^1 \otimes D^1} = \underset{5}{D^2} \oplus \underset{3}{D^1} \oplus \underset{1}{D^0} = \underbrace{\underset{6}{D^1 \otimes_S D^1}}_{D^5 \oplus D^1} \oplus \underbrace{\underset{3}{D^1 \land D^1}}_{D^1}$	
	}		
 
\textbf{Zobecnění:} $\rho\otimes\rho\otimes\dots\otimes\rho$ na $V \otimes V \otimes \dots \otimes V = V^{\otimes k}$	
\begin{gather*}	
	S_{ij}(u_1 \otimes \dots \otimes u_i \otimes \dots \otimes u_j \otimes \dots \otimes u_k) = u_1 \otimes \dots \otimes u_j \otimes \dots \otimes u_i \otimes \dots \otimes u_k \\
	(\rho\otimes\dots\otimes\rho)(X) = \rho(X)\otimes\mathbb{1}\otimes\dots\otimes\mathbb{1} + \mathbb{1}\otimes\rho(X)\otimes\mathbb{1}\otimes\dots\otimes\mathbb{1} + \dots + \mathbb{1}\otimes\dots\otimes\mathbb{1}\otimes\rho(X) \\
	[S_{ij},(\rho\otimes\dots\otimes\rho)(X)] = 0
	\end{gather*}	
Neexistuje rozklad do $V^{\otimes k},\ k > 2$ do společných vlastních podprostorů $S_{ij}$, ale $2$ spoločné vlastní podprostory vždy existují:
\begin{align*}
	V\otimes_S\dots\otimes_SV &= V^{\otimes_S k}\ \dots\ \zuz{S_{ij}}{V^{\otimes_S k}} = \mathbb{1} \\
	V\land\dots\land V &= V^{\land k} \ \dots\ \zuz{S_{ij}}{V^{\land k}} = -\mathbb{1}
	\end{align*}	
Příslušné reprezentace jsou $\rho^{\otimes_S k},\ \rho^{\land k}$	. Pokud $\rho$ je ireducibilní s vahami $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k$, přičemž $\lambda_1(H_0) > \lambda_2(H_0)\geq\dots\geq\lambda_k(H_0)$, pak:
\begin{align*}
	\begin{array}{lcl}
		\text{reprezentace:} && \text{nejvyšší váha:} \\\hline
		\rho^{\otimes_S k} && k\lambda_1 \\
		\rho^{\land k} && \lambda_1 + \dots +\lambda_k \text{ (po zohlednění násobností)}
		\end{array}
	\end{align*}
\Pzn{
	Mějme $\g$, fundamentální váhy $\lambda_1,\dots,\lambda_l$, příslušlné fundamentální reprezentace $\rho_j$ na $V_j,\ \lambda = \sum_j m_j\lambda_j,\ m_j \in \N_0$. Příslušnou ireducibilní reprezentaci najdeme v $(\rho_1)^{\otimes_S m_1}\otimes(\rho_2)^{\otimes_S m_2}\otimes\dots\otimes(\rho_l)^{\otimes_S m_l}$. Nalezený $R_\lambda$, příslušející nejvyšší váze $\lambda$, je jednoznačně (až na násobek) určen tenzorovým součinem $R_{\lambda_j}$ příslušných nejvyšším vahám $\lambda_1,\dots,\lambda_l$ v $V_1,\dots,V_l$.
	}