02LIAG:Kapitola3: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
m |
||
(Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze od stejného uživatele.) | |||
Řádka 6: | Řádka 6: | ||
} | } | ||
\Pzn{ | \Pzn{ | ||
− | Hladkost z předcházející definice chápeme ve smyslu: $\forall p \in M,\ \exists U=U^\circ,\ X_1,\dots,X_k \in \Xs(U)$ tak, že $\Delta_k(q) = \mrm{span}\left\{\zuz{X_1}{q},\dots,\zuz{X_k}{q}\right\},\ \forall q \in U$. | + | Hladkost z předcházející definice chápeme ve smyslu: $\forall p \in M,\ \exists U=U^\circ,\ p \in U,\ X_1,\dots,X_k \in \Xs(U)$ tak, že $\Delta_k(q) = \mrm{span}\left\{\zuz{X_1}{q},\dots,\zuz{X_k}{q}\right\},\ \forall q \in U$. |
} | } | ||
\Def{ | \Def{ | ||
Řádka 13: | Řádka 13: | ||
%\Pzn{ ??? Tedy například integrální křivky jsou integrální podvariety dimenze 1. } | %\Pzn{ ??? Tedy například integrální křivky jsou integrální podvariety dimenze 1. } | ||
\Def{ | \Def{ | ||
− | Distribuce $\Delta_k$ je (úplně) integrabilní právě tehdy, když $\forall p \in M$ existují na okolí $U$ bodu $p$ souřadnice $\left( x^1,\dots x^k, y^1,\dots,y^{n-k}\right)$ takové, že rovnice $y^j = konst_j,\forall j \in \widehat{n-k}$ definují $k$-rozměrné | + | Distribuce $\Delta_k$ je (úplně) integrabilní právě tehdy, když $\forall p \in M$ existují na okolí $U$ bodu $p$ souřadnice $\left( x^1,\dots x^k, y^1,\dots,y^{n-k}\right)$ takové, že rovnice $y^j = konst_j,\forall j \in \widehat{n-k}$ definují $k$-rozměrné integrální podvariety distribuce $\Delta_k$. Takové $(x,y)$ se nazývá Frobeniova mapa. |
} | } | ||
− | \Vet{(Frobeniova) | + | \Vet{(Frobeniova) |
$\Delta_k$ je úplně integrabilní $\Leftrightarrow$ $[\Delta_k , \Delta_k] \subset \Delta_k$, to znamená \\ | $\Delta_k$ je úplně integrabilní $\Leftrightarrow$ $[\Delta_k , \Delta_k] \subset \Delta_k$, to znamená \\ | ||
− | $ | + | $\forall U=U^\circ \subset M,\ \forall X,Y \in \Xs (U),\ \forall p \in U: X(p), Y(p) \in \Delta_k(p) \rimpl |
− | + | \forall q \in U,\ [X,Y](q) \in \Delta_k(q)$. Bez důkazu. | |
− | + | ||
} | } | ||
\Pzn{ | \Pzn{ | ||
− | $[\Delta_k,\Delta_k](p) = \mrm{span}\left\{ \zuz{[X_1,X_2]}{p} \middle| X_1,X_2 \in \Xs(U), p\in U = U^{\circ},\forall q \in U : \zuz{ | + | Používá se zápisu $[X,Y]\in \Delta_k \quad\Leftrightarrow\quad \forall q \in U,\ [X,Y](q) \in \Delta_k(q)$. |
+ | } | ||
+ | \Pzn{ | ||
+ | $[\Delta_k,\Delta_k](p) = \mrm{span}\left\{ \zuz{[X_1,X_2]}{p} \middle| X_1,X_2 \in \Xs(U), p\in U = U^{\circ},\forall q \in U : \zuz{X_1}{q}, \zuz{X_2}{q} \in \Delta(q)\right\}$ | ||
} | } | ||
\Pzn{ | \Pzn{ | ||
Řádka 28: | Řádka 30: | ||
} | } | ||
\Def{ | \Def{ | ||
− | Sjednocením | + | Sjednocením ntegrrálních podvariet získáme listy distribuce $\Delta_k$. \textbf{Maximální list} je takový, ke kterému už nelze přidat žádnou integrální podvarietu. Maximální listy tvoří tzv. foliaci variety danou integrabilní distribucí. |
} | } | ||
\Pzn{ | \Pzn{ | ||
Řádka 34: | Řádka 36: | ||
} | } | ||
\Vet{(Chevalley) | \Vet{(Chevalley) | ||
− | Maximální listy integrabilní distribuce | + | Maximální listy integrabilní distribuce jsou prostě vnořené podvariety. Bez důkazu. |
} | } | ||
− | |||
\Dsl{ | \Dsl{ | ||
Pro Lieovu grupu $G$ a algebru $\g$ a podalgebru $\h \subset \g$, splňující $[\h ,\h] \subset \h$ je podvarieta $H$ z~poznámky~\ref{Veta} maximální list integrabilní distribuce určené $\h$ procházející $e$. $H$ je podgrupa, protože díky levoinvariantnosti $\h$ je $gH$ opět maximální list. Ten je z definice buď totožný s původním nebo s ním má prázdný průnik. Ale pokud $g \in H \rimpl ge = g \in H \rimpl gH = H$. Obdobně $g \in H \rimpl g^{-1}H = H$, protože $g^{-1}g = e \in H \rimpl g^{-1} \in H$. | Pro Lieovu grupu $G$ a algebru $\g$ a podalgebru $\h \subset \g$, splňující $[\h ,\h] \subset \h$ je podvarieta $H$ z~poznámky~\ref{Veta} maximální list integrabilní distribuce určené $\h$ procházející $e$. $H$ je podgrupa, protože díky levoinvariantnosti $\h$ je $gH$ opět maximální list. Ten je z definice buď totožný s původním nebo s ním má prázdný průnik. Ale pokud $g \in H \rimpl ge = g \in H \rimpl gH = H$. Obdobně $g \in H \rimpl g^{-1}H = H$, protože $g^{-1}g = e \in H \rimpl g^{-1} \in H$. | ||
} | } |
Aktuální verze z 30. 7. 2016, 14:10
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02LIAG
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02LIAG | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 20:54 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Hazalmat | 7. 7. 2016 | 06:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Hazalmat | 10. 7. 2016 | 21:12 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvod | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 21:12 | LIAG_Kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Definice Lieovy grupy a Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:02 | LIAG_Kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Vztah mezi Lieovou grupou a její algebrou | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:27 | LIAG_Kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Nástin teorie integrabilních distribucí | Hazalmat | 30. 7. 2016 | 14:10 | LIAG_Kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Akce grupy na varietě | Hazalmat | 17. 7. 2016 | 19:23 | LIAG_Kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Reprezentace Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 17:21 | LIAG_Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Souvislost Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 18:51 | LIAG_Kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 01:06 | LIAG_Kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Cartanova kritéria | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:29 | LIAG_Kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Klasifikace pomocí kořenů | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:34 | LIAG_Kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Kořenové diagramy, Cartanova martice | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 15:32 | LIAG_Kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Dynkinovy diagramy | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:39 | LIAG_Kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Reálné formy komplexních poloprostých algeber | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 23:39 | LIAG_Kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Význam kompaktních Lieových grup | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 23:45 | LIAG_Kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Reprezentace poloprostých Lieových algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 12:45 | LIAG_Kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Spinorové reprezentace | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 20:38 | LIAG_Kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Symetrie v QM | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 21:21 | LIAG_Kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Cvičení | Hazalmat | 6. 8. 2016 | 03:42 | LIAG_Kapitola17.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:liag-1.pdf | liag-1.pdf |
Image:su3_1.pdf | su3_1.pdf |
Image:su3_2.pdf | su3_2.pdf |
Image:su3_3.pdf | su3_3.pdf |
Image:su3_4.pdf | su3_4.pdf |
Image:su3_5.pdf | su3_5.pdf |
Image:su3_6.pdf | su3_6.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Nástin teorie integrabilních distribucí} \Def{ $k$-rozměrná distribuce na varietě $M$, $\dim M =n \ge k$, je hladké zobrazení, které každému $p \in M$ přiřazuje $k$-rozměrný podprostor v~$T_pM$. Značíme $\Delta_k (p) \subset T_pM$, $\dim \Delta_k(p)=k$. } \Pzn{ Hladkost z předcházející definice chápeme ve smyslu: $\forall p \in M,\ \exists U=U^\circ,\ p \in U,\ X_1,\dots,X_k \in \Xs(U)$ tak, že $\Delta_k(q) = \mrm{span}\left\{\zuz{X_1}{q},\dots,\zuz{X_k}{q}\right\},\ \forall q \in U$. } \Def{ Integrální podvarieta dimenze $l$ distribuce $\Delta_k$ je vložená podvarieta $N$ dimenze $l$ taková, že $\forall p \in N$ je $T_pN \subset \Delta_k (p)$. } %\Pzn{ ??? Tedy například integrální křivky jsou integrální podvariety dimenze 1. } \Def{ Distribuce $\Delta_k$ je (úplně) integrabilní právě tehdy, když $\forall p \in M$ existují na okolí $U$ bodu $p$ souřadnice $\left( x^1,\dots x^k, y^1,\dots,y^{n-k}\right)$ takové, že rovnice $y^j = konst_j,\forall j \in \widehat{n-k}$ definují $k$-rozměrné integrální podvariety distribuce $\Delta_k$. Takové $(x,y)$ se nazývá Frobeniova mapa. } \Vet{(Frobeniova) $\Delta_k$ je úplně integrabilní $\Leftrightarrow$ $[\Delta_k , \Delta_k] \subset \Delta_k$, to znamená \\ $\forall U=U^\circ \subset M,\ \forall X,Y \in \Xs (U),\ \forall p \in U: X(p), Y(p) \in \Delta_k(p) \rimpl \forall q \in U,\ [X,Y](q) \in \Delta_k(q)$. Bez důkazu. } \Pzn{ Používá se zápisu $[X,Y]\in \Delta_k \quad\Leftrightarrow\quad \forall q \in U,\ [X,Y](q) \in \Delta_k(q)$. } \Pzn{ $[\Delta_k,\Delta_k](p) = \mrm{span}\left\{ \zuz{[X_1,X_2]}{p} \middle| X_1,X_2 \in \Xs(U), p\in U = U^{\circ},\forall q \in U : \zuz{X_1}{q}, \zuz{X_2}{q} \in \Delta(q)\right\}$ } \Pzn{ Integrabilní podvariety $M$, $N$, pro které $M \cap N \neq \emptyset$ lze navazovat, tj. vytvářet podvariety postupem $O=M \cup N$. } \Def{ Sjednocením ntegrrálních podvariet získáme listy distribuce $\Delta_k$. \textbf{Maximální list} je takový, ke kterému už nelze přidat žádnou integrální podvarietu. Maximální listy tvoří tzv. foliaci variety danou integrabilní distribucí. } \Pzn{ Nejedná se obecně o vložení, protože se vloženost může narušit nekonečným sjednocením (viz příklad s~$T^2$). } \Vet{(Chevalley) Maximální listy integrabilní distribuce jsou prostě vnořené podvariety. Bez důkazu. } \Dsl{ Pro Lieovu grupu $G$ a algebru $\g$ a podalgebru $\h \subset \g$, splňující $[\h ,\h] \subset \h$ je podvarieta $H$ z~poznámky~\ref{Veta} maximální list integrabilní distribuce určené $\h$ procházející $e$. $H$ je podgrupa, protože díky levoinvariantnosti $\h$ je $gH$ opět maximální list. Ten je z definice buď totožný s původním nebo s ním má prázdný průnik. Ale pokud $g \in H \rimpl ge = g \in H \rimpl gH = H$. Obdobně $g \in H \rimpl g^{-1}H = H$, protože $g^{-1}g = e \in H \rimpl g^{-1} \in H$. }