02LIAG:Kapitola1: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m
m
 
(Nejsou zobrazeny 4 mezilehlé verze od stejného uživatele.)
Řádka 3: Řádka 3:
  
 
\Def{
 
\Def{
\emph{Lieova grupa} je diferencovatelná varieta $G$ vybavená navíc zobrazením $\cdot : G \times G \to G$ takovým, že $(G,\cdot )$ je grupa a zobrazení $\cdot$ a $(\cdot )^{(-1)}$ jsou hladká.
+
\textbf{Lieova grupa} je diferencovatelná varieta $G$ vybavená navíc zobrazením $\cdot : G \times G \to G$ takovým, že $(G,\cdot )$ je grupa a zobrazení $\cdot$ a $(\cdot )^{(-1)}$ jsou hladká.
 
}
 
}
 
\Pzn{
 
\Pzn{
Řádka 9: Řádka 9:
 
}
 
}
 
\Prl{
 
\Prl{
$G=GL(n,\R )=\{A \in \R^{n,n} | \det A \neq 0 \}$ je Lieova algebra ($\cdot$ je násobení matic ), $\dim GL(n,\R)=n^2$.
+
$G=GL(n,\R )=\{A \in \R^{n,n} | \det A \neq 0 \}$ je Lieova grupa ($\cdot$ je násobení matic ), $\dim GL(n,\R)=n^2$.
 
}
 
}
 
Zobrazení $\det : \R^{n,n} \to \R$ je $\Cs^{\infty}(\R^{n,n} , \R )$, $G$ je tedy podmnožina $\R^{n,n}$ a varieta protože platí $G=\det^{(-1)}(\R \setminus \{0\})=GL(n,\R)^{\circ}$. Podmínka hladkosti na $\cdot$ a $()^{-1}$ plyne z~$\T{(AB)}{^i_j}=\T{A}{^i_k}\T{B}{^k_j}$ a $A^{-1}=\frac{1}{\det A} A^{\mathrm{adj}}$.   
 
Zobrazení $\det : \R^{n,n} \to \R$ je $\Cs^{\infty}(\R^{n,n} , \R )$, $G$ je tedy podmnožina $\R^{n,n}$ a varieta protože platí $G=\det^{(-1)}(\R \setminus \{0\})=GL(n,\R)^{\circ}$. Podmínka hladkosti na $\cdot$ a $()^{-1}$ plyne z~$\T{(AB)}{^i_j}=\T{A}{^i_k}\T{B}{^k_j}$ a $A^{-1}=\frac{1}{\det A} A^{\mathrm{adj}}$.   
Řádka 16: Řádka 16:
 
}
 
}
 
\Def{
 
\Def{
\emph{Maticové Lieovy grupy} jsou podgrupy $GL(n,\R)$ nebo $GL(n,\C)$.\footnote{
+
\textbf{Maticové Lieovy grupy} jsou podgrupy $GL(n,\R)$ nebo $GL(n,\C)$.\footnote{
 
S~grupami, které nejsou maticové se v~LIAG přímo nesetkáme, ale že tento pojem není prázdný ukazuje existence Lieovy grupy, která není maticová (viz \texttt{http://en.wikipedia.org/wiki/Metaplectic\_group}).
 
S~grupami, které nejsou maticové se v~LIAG přímo nesetkáme, ale že tento pojem není prázdný ukazuje existence Lieovy grupy, která není maticová (viz \texttt{http://en.wikipedia.org/wiki/Metaplectic\_group}).
 
}
 
}
Řádka 25: Řádka 25:
 
Splnění podmínky pro varietu je přímo vidět z~rovnice $\sum_{\pi \in S_n}\mrm{sgn} \pi \prod_{i=1}^n A_{i, \pi (i)}=1$ ($A_{ij}$ značí prvky matice $A$). Pro $n=2$ lze změnou báze převést podmínku dokonce na kvadriku $x_1^2+x_2^2-x_3^2-x_4^2-1=0$ v~$\R^4$. Že se jedná o podgrupu je zřejmé z~$\det (AB^{-1})=\frac{\det A}{\det B}=1$, tj. $AB^{-1}\in SL(n,\R )$.
 
Splnění podmínky pro varietu je přímo vidět z~rovnice $\sum_{\pi \in S_n}\mrm{sgn} \pi \prod_{i=1}^n A_{i, \pi (i)}=1$ ($A_{ij}$ značí prvky matice $A$). Pro $n=2$ lze změnou báze převést podmínku dokonce na kvadriku $x_1^2+x_2^2-x_3^2-x_4^2-1=0$ v~$\R^4$. Že se jedná o podgrupu je zřejmé z~$\det (AB^{-1})=\frac{\det A}{\det B}=1$, tj. $AB^{-1}\in SL(n,\R )$.
 
\Pzn{
 
\Pzn{
Význačné difeomorfismy na $G$ jsou pro $g\in G$ $L_g , R_g : G \to G$ definované $L_g h=gh$, $R_gh=hg$, $\forall h \in G$. Nazývají se \emph{levé} a \emph{pravé translace}.
+
Význačné difeomorfismy na $G$ jsou pro $g\in G$ $L_g , R_g : G \to G$ definované $L_g h=gh$, $R_gh=hg$, $\forall h \in G$. Nazývají se \textbf{levé} a \textbf{pravé translace}.
 
}
 
}
 
\Def{
 
\Def{
\emph{Levoinvariantní} a \emph{pravoinvariatní vektorová pole} $X \in \Xs (G)$ jsou vektorová pole splňující $X=L_{g*}X$, $X=R_{g*}X$.
+
\textbf{Levoinvariantní} a \textbf{pravoinvariatní vektorová pole} $X \in \Xs (G)$ jsou vektorová pole splňující $X=L_{g*}X$, $X=R_{g*}X$.
 
}
 
}
 
\Pzn{
 
\Pzn{
 
Bodově předchozí definice znamená $X|_{gh}=L_{g*}(X|_h)$, resp. $X|_{hg}=R_{g*}(X|_h)$, $\forall g,h \in G$.
 
Bodově předchozí definice znamená $X|_{gh}=L_{g*}(X|_h)$, resp. $X|_{hg}=R_{g*}(X|_h)$, $\forall g,h \in G$.
 
}
 
}
Připomenutí, kotečné zobrazení působí na funkce $(\phi^*f)(p)=(f \circ \phi ) (p)$. Lze tak ekvivalentně definovat tečné zobrazení $(\phi_* X)(f)=X(\phi^*f)$. Pomocí kotečného zobrazení je $\forall h \in G$
 
\begin{align*}
 
(L_{g*}X|_h) f&=X|_h(L_g^* f) \,, \\
 
(L_{g*}X|_h) f&=X|_{gh}f=L_g^*(X|_h f)\,.
 
\end{align*}
 
 
\Pzn{
 
\Pzn{
 
Levoinvariantní vektorové pole je jednoznačne určeno tečnými vektory v libovolném pevně zvoleném bodě $g\in G$ (obvykle se volí $e$), tj. $\zuz{X}{g}=L_{g*}(\zuz{X}{e} )$ protože $L_g\cdot L_h=L_{gh}$, $L_{g*}\cdot L_{h*}=L_{gh*}$.
 
Levoinvariantní vektorové pole je jednoznačne určeno tečnými vektory v libovolném pevně zvoleném bodě $g\in G$ (obvykle se volí $e$), tj. $\zuz{X}{g}=L_{g*}(\zuz{X}{e} )$ protože $L_g\cdot L_h=L_{gh}$, $L_{g*}\cdot L_{h*}=L_{gh*}$.
Řádka 47: Řádka 42:
 
Mějme $\tilde{X}\in T_eG$, pak $X:G\to TG$, $X(g)=L_{g*}(\tilde{X})$, tj. $X_g\in T_gG$. Použitím
 
Mějme $\tilde{X}\in T_eG$, pak $X:G\to TG$, $X(g)=L_{g*}(\tilde{X})$, tj. $X_g\in T_gG$. Použitím
 
\begin{align*}
 
\begin{align*}
\gamma:(a,b)\subset\R\to G, a<0<b,\dot{\gamma}(0)=\tilde{X} \Rightarrow \varphi(g,t)=g\cdot\gamma(t)=L_g(\gamma(t))\in \Cs^{\infty}
+
\gamma:(a,b)\subset\R\to G, a<0<b,\dot{\gamma}(0)=\tilde{X} \rimpl \varphi(g,t)=g\cdot\gamma(t)=L_g(\gamma(t))\in \Cs^{\infty}
 
\end{align*}
 
\end{align*}
 
je díky hladkosti $\varphi$ vidět, že $X(g)=\zuz{\td{}{t}}{t=0}\varphi(g,t)\in T_gG$ závisí na $g$ hladce:
 
je díky hladkosti $\varphi$ vidět, že $X(g)=\zuz{\td{}{t}}{t=0}\varphi(g,t)\in T_gG$ závisí na $g$ hladce:
Řádka 55: Řádka 50:
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
Při výpočtech tak mohou vzniknout nejasnosti ve značení, kdy symbolem $X \in \g$ můžeme značit vektorové pole na $G$ nebo pouze vektor z~$T_eG$. V~příkladech, kde budeme tyto pojmy ilustrovat v~praxi, budeme tyto pojmy rozlišovat. (Obvykle $X$ vektorové pole, $X|_g$ vektor v~bodě $g$, $X(g)$ jeho složky). Jinak budeme za prvky $\g$ považovat vektory z~$T_eG$, protože je s~nimi jednodušší práce než s~vektorovými poli (v~případě maticových grup se výpočty zjednoduší na počítání s maticemi).
 
Při výpočtech tak mohou vzniknout nejasnosti ve značení, kdy symbolem $X \in \g$ můžeme značit vektorové pole na $G$ nebo pouze vektor z~$T_eG$. V~příkladech, kde budeme tyto pojmy ilustrovat v~praxi, budeme tyto pojmy rozlišovat. (Obvykle $X$ vektorové pole, $X|_g$ vektor v~bodě $g$, $X(g)$ jeho složky). Jinak budeme za prvky $\g$ považovat vektory z~$T_eG$, protože je s~nimi jednodušší práce než s~vektorovými poli (v~případě maticových grup se výpočty zjednoduší na počítání s maticemi).
 +
\Pzn{
 +
Připomenutí, kotečné zobrazení působí na funkce $(\phi^*f)(p)=(f \circ \phi ) (p)$. Lze tak ekvivalentně definovat tečné zobrazení $(\phi_* X)(f)=X(\phi^*f)$.
 +
}
 
\Vet{
 
\Vet{
 
Levoinvariantní pole splňuje $L_g^* \circ X = X \circ L_g^*$.
 
Levoinvariantní pole splňuje $L_g^* \circ X = X \circ L_g^*$.
Řádka 65: Řádka 63:
 
Tudíž pro $L_{g*}$, $X\in\g$ platí:
 
Tudíž pro $L_{g*}$, $X\in\g$ platí:
 
\begin{align*}
 
\begin{align*}
L_{g*}(\zuz{X}{h})f=(\zuz{X}{h}\circ L_g^*)f=\left((X\circ L_g^*)f\right)(h)=\zuz{X}{gh}f=(Xf)(gh)=(Xf)(L_gh)=\\
+
L_{g*}(\zuz{X}{h})f &= (\zuz{X}{h}\circ L_g^*)f = \left((X\circ L_g^*)f\right)(h) \\
=\left(L_g^*(X(f))\right)(h)=\left((L_g^*\circ X)f\right)(h)\qquad \Leftrightarrow \qquad X\circ L_g^*=L_g^*\circ X.
+
&= \zuz{X}{gh}f = (Xf)(gh) = (Xf)(L_gh) = \left(L_g^*(X(f))\right)(h) = \left((L_g^*\circ X)f\right)(h)
 
\end{align*}
 
\end{align*}
 +
$\Rightarrow\qquad X\circ L_g^*=L_g^*\circ X$.
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\Dsl{
 
\Dsl{
Řádka 73: Řádka 72:
 
}
 
}
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
$L_g^*\circ [X,Y] = L_g^*\circ X\circ Y - L_g^*\circ Y\circ X = X\circ L_g^*\circ Y - Y\circ L_g^*\circ X = X\circ Y\circ L_g^* - Y\circ X\circ L_g^* = [X,Y]\circ L_g^*$
+
\begin{align*}
 +
L_g^*\circ [X,Y] = L_g^*\circ X\circ Y - L_g^*\circ Y\circ X = X\circ L_g^*\circ Y - Y\circ L_g^*\circ X = X\circ Y\circ L_g^* - Y\circ X\circ L_g^* = [X,Y]\circ L_g^*
 +
\end{align*}
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\Def{
 
\Def{
$\g=\{X\in \Xs (G) | X=L_{g*}X  \}$ a $\g$ nazýváme Lieova algebra Lieovy grupy $G$.
+
$\g=\{X\in \Xs (G) | X=L_{g*}X  \}$ nazýváme \textbf{Lieova algebra Lieovy grupy} $G$.
 
}
 
}
 
\Def{
 
\Def{
\emph{Lieova algebra} $(A,\oplus,\odot, [\cdot , \cdot])$ je vektorový prostor $(A,\oplus,\odot)$ vybavený bilineárním zobrazením $[\cdot , \cdot] :A \times A \to A$ splňujícím:
+
\textbf{Lieova algebra} $(A,\oplus,\odot, [\cdot , \cdot])$ je vektorový prostor $(A,\oplus,\odot)$ vybavený bilineárním zobrazením $[\cdot , \cdot] :A \times A \to A$ splňujícím:
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
 
\item $[X,Y]=-[Y,X]$, $\forall X,Y\in A$,
 
\item $[X,Y]=-[Y,X]$, $\forall X,Y\in A$,
 
\item $\left[[X,Y],Z\right]+\left[[Y,Z],X\right]+\left[[Z,X],Y\right]=0$, $\forall X,Y,Z \in A$ (Jacobiho identita).
 
\item $\left[[X,Y],Z\right]+\left[[Y,Z],X\right]+\left[[Z,X],Y\right]=0$, $\forall X,Y,Z \in A$ (Jacobiho identita).
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
$[\cdot , \cdot]$ se nazývá \emph{Lieova závorka}.
+
$[\cdot , \cdot]$ se nazývá \textbf{Lieova závorka}.
 
}
 
}
Uvažujme bázi $(X_i)$ prostoru $A$, $[\cdot , \cdot ]$ je určena působením na bazické vektory, $[X_i , X_j]=\T{c}{_{ij}^k}X_k$. $\T{c}{_{ij}^k}$ se nazývají \emph{strukturní konstanty}, splňují
+
\Def{
 +
Uvažujme bázi $(X_i)$ prostoru $A$, $[\cdot , \cdot ]$ je určena působením na bazické vektory, $[X_i , X_j]=\T{c}{_{ij}^k}X_k$. $\T{c}{_{ij}^k}$ se nazývají \textbf{strukturní konstanty}, splňují
 
\begin{align}
 
\begin{align}
 
\T{c}{_{ij}^k}=-\T{c}{_{ji}^k} \,, &&
 
\T{c}{_{ij}^k}=-\T{c}{_{ji}^k} \,, &&
 
\T{c}{_{il}^m}\T{c}{_{jk}^l}+\T{c}{_{jl}^m}\T{c}{_{ki}^l}+\T{c}{_{kl}^m}\T{c}{_{ij}^l}=0 \,.
 
\T{c}{_{il}^m}\T{c}{_{jk}^l}+\T{c}{_{jl}^m}\T{c}{_{ki}^l}+\T{c}{_{kl}^m}\T{c}{_{ij}^l}=0 \,.
 
\end{align}
 
\end{align}
 +
}
 
\Pzn{
 
\Pzn{
 
Pro maticové Lieovy grupy jsou Lieovy algebry vektorové prostory matic odpovídající dimenze a Lieova závorka je komutátor matic.
 
Pro maticové Lieovy grupy jsou Lieovy algebry vektorové prostory matic odpovídající dimenze a Lieova závorka je komutátor matic.
 +
 +
Tečné vektory z~$\gl$ jsou v~souřadnicovém zápisu $X_i^j \partial^i_j|_e$ (standardní báze v~$GL$). U maticových grup tak máme navíc operaci skládání prvků z~$\gl$ a dokonce můžeme i násobit prvky z $\gl$ a $GL$. Ukáže se, že v~praktických výpočtech si tím usnadníme dost práce oproti obecným Lieovým grupám a algebrám, kde takové operaco vůbec k~dispozici nemáme.
 
}
 
}
Tečné vektory z~$\gl$ jsou v~souřadnicovém zápisu $X_i^j \partial^i_j|_e$ (standardní báze v~$GL$). U maticových grup tak máme navíc operaci skládání prvků z~$\gl$ a dokonce můžeme i \emph{násobit} prvky z $\gl$ a $GL$, ukáže se, že v~praktických výpočtech si tím usnadníme dost práce oproti obecným Lieovým grupám a algebrám, kde takové operaco vůbec k~dispozici nemáme.
 
 
\Prl{ \label{grupa Af(1)}
 
\Prl{ \label{grupa Af(1)}
 
Afinní transformace $Af(1)$ na $\R$. $Af(1)=(\R^+ \times \R, (x,y)(\tilde{x},\tilde{y})=(x\tilde{x},x\tilde{y}+y) )$. Tato struktura lze zapsat maticově (operace násobení matic)  
 
Afinní transformace $Af(1)$ na $\R$. $Af(1)=(\R^+ \times \R, (x,y)(\tilde{x},\tilde{y})=(x\tilde{x},x\tilde{y}+y) )$. Tato struktura lze zapsat maticově (operace násobení matic)  
Řádka 108: Řádka 112:
 
zjistíme, že $X=\alpha x \partial_x+\beta x \partial_y$. Tedy Lieova algebra je $\mathfrak{af}(1)=\mathrm{span}\{ X_1,X_2 \}$, $X_1=x\partial_x$, $X_2=x\partial_y$, protože $[X_1,X_2]=X_2$ je $\mathfrak{af}(1)$ uzavřená a tedy je to skutečně algebra.
 
zjistíme, že $X=\alpha x \partial_x+\beta x \partial_y$. Tedy Lieova algebra je $\mathfrak{af}(1)=\mathrm{span}\{ X_1,X_2 \}$, $X_1=x\partial_x$, $X_2=x\partial_y$, protože $[X_1,X_2]=X_2$ je $\mathfrak{af}(1)$ uzavřená a tedy je to skutečně algebra.
 
 
V~případ matic máme $\mathfrak{af}(1)=T_eAf(1) \ni
+
V~případě matic máme $\mathfrak{af}(1)=T_eAf(1) \ni
 
\left( \begin{smallmatrix}
 
\left( \begin{smallmatrix}
 
\alpha & \beta \\ 0 &0
 
\alpha & \beta \\ 0 &0
Řádka 120: Řádka 124:
 
Maticové grupy.
 
Maticové grupy.
 
}
 
}
Uvažme maticovou grupu $G \ni g$ (za souřadnice považujeme složky matice $g^i_j$). Podobně jako v~minulém příkladě najdeme jak vypadá obecné levoinvariantní vektorové pole $X$, které je určeno hodnotou v~$e$, tj. $X|_e= \alpha^i_j \partial^j_i|_e$. V~obecném bodě $X|_g=X^i_j(g)\partial^j_i|_g$. Buď $f\in \Cs^{\infty}(G)$, $f=f(x^i_j)$. Podmínka levoinvariance:
+
Uvažme maticovou grupu $G \ni g$ (za souřadnice považujeme složky matice $g^i_j$). Podobně jako v~minulém příkladě najdeme jak vypadá obecné levoinvariantní vektorové pole $X$, které je určeno hodnotou v~$e$, tj. $X|_e= \alpha^i_j \partial^j_i|_e$, v~obecném bodě $X|_g=X^i_j(g)\partial^j_i|_g$. Buď $f\in \Cs^{\infty}(G)$, $f=f(x^i_j)$. Podmínka levoinvariance:
\begin{multline}
+
\begin{align*}
X^i_j(g)\partial^j_i|_g f =
+
X^i_j(g)\partial^j_i|_g f &= X|_g f =(L_{g*}X|_e) f = X|_e(f \circ L_g) = \alpha^m_l \partial^l_m f(g^i_k x^k_j)= \\
X|_g f =(L_{g*}X|_e)|_g  f=
+
&= \alpha^m_l \left.\pd{f}{x^o_p}\right|_g \pd{(g^o_k x^k_p)}{x^m_l} = \alpha^m_l g^o_k \left.\pd{f}{x^o_p}\right|_g \delta^k_m \delta^l_p = \alpha^k_j g^i_k \left.\pd{f}{x^i_j}\right|_g = g^i_k \alpha^k_j \partial^j_i|_g f.
X|_e(f \circ L_g)=  
+
\end{align*}
\alpha^m_l \partial^l_m f(g^i_k x^k_j)=
+
\alpha^m_l \left.\pd{f}{x^o_p}\right|_g \pd{(g^o_k x^k_p)}{x^m_l} = \\ =
+
\alpha^m_l g^o_k \left.\pd{f}{x^o_p}\right|_g \delta^k_m \delta^l_p =
+
\alpha^k_j g^i_k \left.\pd{f}{x^i_j}\right|_g =
+
g^i_k \alpha^k_j \partial^j_i|_g f \,.
+
\end{multline}
+
 
Takže $X^i_j(g)=g^i_k \alpha^k_j$.
 
Takže $X^i_j(g)=g^i_k \alpha^k_j$.

Aktuální verze z 5. 8. 2016, 17:02

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02LIAG

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02LIAGHazalmat 3. 8. 201620:54
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůHazalmat 7. 7. 201606:04
Header editovatHlavičkový souborHazalmat 10. 7. 201621:12 header.tex
Kapitola0 editovatÚvodHazalmat 3. 8. 201621:12 LIAG_Kapitola0.tex
Kapitola1 editovatDefinice Lieovy grupy a Lieovy algebryHazalmat 5. 8. 201617:02 LIAG_Kapitola1.tex
Kapitola2 editovatVztah mezi Lieovou grupou a její algebrouHazalmat 5. 8. 201617:27 LIAG_Kapitola2.tex
Kapitola3 editovatNástin teorie integrabilních distribucíHazalmat 30. 7. 201614:10 LIAG_Kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAkce grupy na varietěHazalmat 17. 7. 201619:23 LIAG_Kapitola4.tex
Kapitola5 editovatReprezentace Lieových grup a algeberHazalmat 4. 8. 201617:21 LIAG_Kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSouvislost Lieových grup a algeberHazalmat 4. 8. 201618:51 LIAG_Kapitola6.tex
Kapitola7 editovatLieovy algebryHazalmat 5. 8. 201601:06 LIAG_Kapitola7.tex
Kapitola8 editovatCartanova kritériaHazalmat 5. 8. 201617:29 LIAG_Kapitola8.tex
Kapitola9 editovatKlasifikace pomocí kořenůHazalmat 5. 8. 201617:34 LIAG_Kapitola9.tex
Kapitola10 editovatKořenové diagramy, Cartanova marticeHazalmat 31. 7. 201615:32 LIAG_Kapitola10.tex
Kapitola11 editovatDynkinovy diagramyHazalmat 5. 8. 201617:39 LIAG_Kapitola11.tex
Kapitola12 editovatReálné formy komplexních poloprostých algeberHazalmat 31. 7. 201623:39 LIAG_Kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVýznam kompaktních Lieových grupHazalmat 31. 7. 201623:45 LIAG_Kapitola13.tex
Kapitola14 editovatReprezentace poloprostých Lieových algeberHazalmat 1. 8. 201612:45 LIAG_Kapitola14.tex
Kapitola15 editovatSpinorové reprezentaceHazalmat 27. 7. 201620:38 LIAG_Kapitola15.tex
Kapitola16 editovatSymetrie v QMHazalmat 27. 7. 201621:21 LIAG_Kapitola16.tex
Kapitola17 editovatCvičeníHazalmat 6. 8. 201603:42 LIAG_Kapitola17.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:liag-1.pdf liag-1.pdf
Image:su3_1.pdf su3_1.pdf
Image:su3_2.pdf su3_2.pdf
Image:su3_3.pdf su3_3.pdf
Image:su3_4.pdf su3_4.pdf
Image:su3_5.pdf su3_5.pdf
Image:su3_6.pdf su3_6.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Definice Lieovy grupy a Lieovy algebry}
 
\Def{
	\textbf{Lieova grupa} je diferencovatelná varieta $G$ vybavená navíc zobrazením $\cdot : G \times G \to G$ takovým, že $(G,\cdot )$ je grupa a zobrazení $\cdot$ a $(\cdot )^{(-1)}$ jsou hladká.
	}
\Pzn{
	Podle V. Hilbertova problěmu postačuje $\cdot$ a $(.)^{-1}$ spojité, $G$ topologický prostor lokálně homomorfní $\R^n$, z toho už plyne hladkost. Bez důkazu.
	}
\Prl{
	$G=GL(n,\R )=\{A \in \R^{n,n} | \det A \neq 0 \}$ je Lieova grupa ($\cdot$ je násobení matic ), $\dim GL(n,\R)=n^2$.
	}
	Zobrazení $\det : \R^{n,n} \to \R$ je $\Cs^{\infty}(\R^{n,n} , \R )$, $G$ je tedy podmnožina $\R^{n,n}$ a varieta protože platí $G=\det^{(-1)}(\R \setminus \{0\})=GL(n,\R)^{\circ}$. Podmínka hladkosti na $\cdot$ a $()^{-1}$ plyne z~$\T{(AB)}{^i_j}=\T{A}{^i_k}\T{B}{^k_j}$ a $A^{-1}=\frac{1}{\det A} A^{\mathrm{adj}}$.  
\Pzn{
	$GL(n,\C)\subset \C^{n,n}=\C^{n\cdot n}=\R^{2n\cdot n}, \dim GL(n,\C)=2n^2$ 
	}
\Def{
	\textbf{Maticové Lieovy grupy} jsou podgrupy $GL(n,\R)$ nebo $GL(n,\C)$.\footnote{
		S~grupami, které nejsou maticové se v~LIAG přímo nesetkáme, ale že tento pojem není prázdný ukazuje existence Lieovy grupy, která není maticová (viz \texttt{http://en.wikipedia.org/wiki/Metaplectic\_group}).	
		}
	}
\Prl{
	$SL(n,\R)=\{A \in GL(n,\R) | \det A=1 \}$ je maticová Lieova grupa. 
	}
	Splnění podmínky pro varietu je přímo vidět z~rovnice $\sum_{\pi \in S_n}\mrm{sgn} \pi \prod_{i=1}^n A_{i, \pi (i)}=1$ ($A_{ij}$ značí prvky matice $A$). Pro $n=2$ lze změnou báze převést podmínku dokonce na kvadriku $x_1^2+x_2^2-x_3^2-x_4^2-1=0$ v~$\R^4$. Že se jedná o podgrupu je zřejmé z~$\det (AB^{-1})=\frac{\det A}{\det B}=1$, tj. $AB^{-1}\in SL(n,\R )$.	
\Pzn{
	Význačné difeomorfismy na $G$ jsou pro $g\in G$ $L_g , R_g : G \to G$ definované $L_g h=gh$, $R_gh=hg$, $\forall h \in G$.	Nazývají se \textbf{levé} a \textbf{pravé translace}.
	}
\Def{
	\textbf{Levoinvariantní} a \textbf{pravoinvariatní vektorová pole} $X \in \Xs (G)$ jsou vektorová pole splňující $X=L_{g*}X$, $X=R_{g*}X$.		
	}
\Pzn{
	Bodově předchozí definice znamená $X|_{gh}=L_{g*}(X|_h)$, resp. $X|_{hg}=R_{g*}(X|_h)$, $\forall g,h \in G$.	
	}
\Pzn{
	Levoinvariantní vektorové pole je jednoznačne určeno tečnými vektory v libovolném pevně zvoleném bodě $g\in G$ (obvykle se volí $e$), tj. $\zuz{X}{g}=L_{g*}(\zuz{X}{e} )$ protože $L_g\cdot L_h=L_{gh}$, $L_{g*}\cdot L_{h*}=L_{gh*}$.
	}
\Vet{
	Vektorový prostor levoinvariantních vektorových polí $\g \subset\subset \Xs(G)$ je izomorfní $T_eG$, tj. $\g\simeq T_eG$.
	}
\begin{proof}
	Mějme $\tilde{X}\in T_eG$, pak $X:G\to TG$, $X(g)=L_{g*}(\tilde{X})$, tj. $X_g\in T_gG$. Použitím
	\begin{align*}
		\gamma:(a,b)\subset\R\to G, a<0<b,\dot{\gamma}(0)=\tilde{X} \rimpl \varphi(g,t)=g\cdot\gamma(t)=L_g(\gamma(t))\in \Cs^{\infty}
		\end{align*}
	je díky hladkosti $\varphi$ vidět, že $X(g)=\zuz{\td{}{t}}{t=0}\varphi(g,t)\in T_gG$ závisí na $g$ hladce:
	\begin{align*}
		\zuz{\td{}{t}}{t=0}\varphi(g,t)=\zuz{\td{}{t}}{t=0}L_g(\gamma(t))=L_{g*}\zuz{\td{}{t}}{t=0}\gamma(t)=L_{g*}(\tilde{X})
			\end{align*}
	\end{proof}
Při výpočtech tak mohou vzniknout nejasnosti ve značení, kdy symbolem $X \in \g$ můžeme značit vektorové pole na $G$ nebo pouze vektor z~$T_eG$. V~příkladech, kde budeme tyto pojmy ilustrovat v~praxi, budeme tyto pojmy rozlišovat. (Obvykle $X$ vektorové pole, $X|_g$ vektor v~bodě $g$, $X(g)$ jeho složky). Jinak budeme za prvky $\g$ považovat vektory z~$T_eG$, protože je s~nimi jednodušší práce než s~vektorovými poli (v~případě maticových grup se výpočty zjednoduší na počítání s maticemi).
\Pzn{
	Připomenutí, kotečné zobrazení působí na funkce $(\phi^*f)(p)=(f \circ \phi ) (p)$. Lze tak ekvivalentně definovat tečné zobrazení $(\phi_* X)(f)=X(\phi^*f)$. 	
	}
\Vet{
	Levoinvariantní pole splňuje $L_g^* \circ X = X \circ L_g^*$.	
	}
\begin{proof}
	Pro $\psi:M\to N$, $p\in M$, $X\in T_pM$, $f\in C^{\infty}(N)$ platí: 
	\begin{align*}
		\psi_*(X)f=X(f\circ\psi)=X(\psi^*(f))=(X\circ\psi^*)f.
		\end{align*}
	Tudíž pro $L_{g*}$, $X\in\g$ platí:
	\begin{align*}
		L_{g*}(\zuz{X}{h})f &= (\zuz{X}{h}\circ L_g^*)f = \left((X\circ L_g^*)f\right)(h) \\
		&= \zuz{X}{gh}f = (Xf)(gh) = (Xf)(L_gh) = \left(L_g^*(X(f))\right)(h) = \left((L_g^*\circ X)f\right)(h)
		\end{align*}
	$\Rightarrow\qquad X\circ L_g^*=L_g^*\circ X$.
	\end{proof}
\Dsl{
	$L_g^*\circ [X,Y]=[X,Y] \circ L_g^*$.
	}
\begin{proof}
	\begin{align*}
		L_g^*\circ [X,Y] = L_g^*\circ X\circ Y - L_g^*\circ Y\circ X = X\circ L_g^*\circ Y - Y\circ L_g^*\circ X = X\circ Y\circ L_g^* - Y\circ X\circ L_g^* = [X,Y]\circ L_g^*
		\end{align*}
	\end{proof}
\Def{
	$\g=\{X\in \Xs (G) | X=L_{g*}X  \}$ nazýváme \textbf{Lieova algebra Lieovy grupy} $G$.
	}	
\Def{
	\textbf{Lieova algebra} $(A,\oplus,\odot, [\cdot , \cdot])$ je vektorový prostor $(A,\oplus,\odot)$ vybavený bilineárním zobrazením $[\cdot , \cdot] :A \times A \to A$ splňujícím:
	\begin{enumerate}
		\item $[X,Y]=-[Y,X]$, $\forall X,Y\in A$,
		\item $\left[[X,Y],Z\right]+\left[[Y,Z],X\right]+\left[[Z,X],Y\right]=0$, $\forall X,Y,Z \in A$ (Jacobiho identita).
		\end{enumerate}
	$[\cdot , \cdot]$ se nazývá \textbf{Lieova závorka}.	
	}
\Def{
	Uvažujme bázi $(X_i)$ prostoru $A$, $[\cdot , \cdot ]$ je určena působením na bazické vektory, $[X_i , X_j]=\T{c}{_{ij}^k}X_k$. $\T{c}{_{ij}^k}$ se nazývají \textbf{strukturní konstanty}, splňují
	\begin{align}
	\T{c}{_{ij}^k}=-\T{c}{_{ji}^k} \,, &&
	\T{c}{_{il}^m}\T{c}{_{jk}^l}+\T{c}{_{jl}^m}\T{c}{_{ki}^l}+\T{c}{_{kl}^m}\T{c}{_{ij}^l}=0 \,.
	\end{align}
	}
\Pzn{
	Pro maticové Lieovy grupy jsou Lieovy algebry vektorové prostory matic odpovídající dimenze a Lieova závorka je komutátor matic.
 
	Tečné vektory z~$\gl$ jsou v~souřadnicovém zápisu $X_i^j \partial^i_j|_e$ (standardní báze v~$GL$). U maticových grup tak máme navíc operaci skládání prvků z~$\gl$ a dokonce můžeme i násobit prvky z $\gl$ a $GL$. Ukáže se, že v~praktických výpočtech si tím usnadníme dost práce oproti obecným Lieovým grupám a algebrám, kde takové operaco vůbec k~dispozici nemáme.
	}
\Prl{ \label{grupa Af(1)}
	Afinní transformace $Af(1)$ na $\R$. $Af(1)=(\R^+ \times \R, (x,y)(\tilde{x},\tilde{y})=(x\tilde{x},x\tilde{y}+y) )$. Tato struktura lze zapsat maticově (operace násobení matic) 
	$ Af(1)= \left\lbrace
	\left(\begin{smallmatrix} x & y \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right), x \in \R_+ ,y \in \R  \right\rbrace
	$.
	}
	Lieova algebra se určí z~požadavku na levoinvariantnost obecného vektorového pole v~$e=(1,0)$, tj. uvažujeme pole ve tvaru $X|_e=\alpha \partial_x|_e +\beta \partial_y|_e$.
Aplikováním tohoto požadavku
	\begin{align*}
		\zuz{X}{(a,b)}f=L_{(a,b)*}\zuz{X}{(1,0)}f=\left(\alpha\pd{}{x}+\beta\pd{}{y}\right)\zuz{f(ax,ay+b)}{(x,y)=(1,0)}=a\left(\alpha\pd{}{x}\zuz{f(x,y)}{(a,b)}+\beta\pd{}{y}\zuz{f(x,y)}{(a,b)}\right)
		\end{align*},
zjistíme, že $X=\alpha x \partial_x+\beta x \partial_y$. Tedy Lieova algebra je $\mathfrak{af}(1)=\mathrm{span}\{ X_1,X_2 \}$, $X_1=x\partial_x$, $X_2=x\partial_y$, protože $[X_1,X_2]=X_2$ je $\mathfrak{af}(1)$ uzavřená a tedy je to skutečně algebra.
 
	V~případě matic máme $\mathfrak{af}(1)=T_eAf(1) \ni
	\left( \begin{smallmatrix}
	\alpha & \beta \\ 0 &0
	\end{smallmatrix} \right)$, takže $X_1=\left( \begin{smallmatrix}
	1 & 0 \\ 0 &0
	\end{smallmatrix} \right)$ a $X_2=\left( \begin{smallmatrix}
	0 & 1 \\ 0 &0
	\end{smallmatrix} \right)$.
 
\Prl{ \label{Maticove grupy}
	Maticové grupy.
	}
	Uvažme maticovou grupu $G \ni g$ (za souřadnice považujeme složky matice $g^i_j$). Podobně jako v~minulém příkladě najdeme jak vypadá obecné levoinvariantní vektorové pole $X$, které je určeno hodnotou v~$e$, tj. $X|_e= \alpha^i_j \partial^j_i|_e$, v~obecném bodě $X|_g=X^i_j(g)\partial^j_i|_g$. Buď $f\in \Cs^{\infty}(G)$, $f=f(x^i_j)$. Podmínka levoinvariance:
	\begin{align*}
	X^i_j(g)\partial^j_i|_g f &= X|_g f =(L_{g*}X|_e) f = X|_e(f \circ L_g) = \alpha^m_l \partial^l_m f(g^i_k x^k_j)= \\
	&= \alpha^m_l \left.\pd{f}{x^o_p}\right|_g \pd{(g^o_k x^k_p)}{x^m_l} = \alpha^m_l g^o_k \left.\pd{f}{x^o_p}\right|_g \delta^k_m \delta^l_p = \alpha^k_j g^i_k \left.\pd{f}{x^i_j}\right|_g =	g^i_k \alpha^k_j \partial^j_i|_g f.
	\end{align*}
	Takže $X^i_j(g)=g^i_k \alpha^k_j$.