02LIAG:Kapitola2: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
|||
(Není zobrazeno 17 mezilehlých verzí od stejného uživatele.) | |||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{02LIAG} | %\wikiskriptum{02LIAG} | ||
− | \section{Vztah mezi Lieovou grupou | + | \section{Vztah mezi Lieovou grupou a její algebrou} |
− | + | ||
\Def{ (Homomorfismus Lieových grup $G$ a $H$) | \Def{ (Homomorfismus Lieových grup $G$ a $H$) | ||
\begin{itemize} | \begin{itemize} | ||
− | \item \ | + | \item \textbf{Homomorfismus $G$ a $H$} je libovolné hladké $\phi :G \to H$, $\phi(g\cdot_G h)=\phi(g) \cdot_H \phi(h)$, $\forall g,h \in G$. |
− | \item \ | + | \item \textbf{Izomorfismus $G$ a $H$} je bijektivní homomorfismus s~hladkou inverzí. |
\end{itemize} | \end{itemize} | ||
} | } | ||
\Def{ | \Def{ | ||
− | \ | + | \textbf{Jednoparametrická podgrupa v~$G$} je homomorfismus $\varphi: (\R,+) \to G$. |
} | } | ||
\Dsl{ | \Dsl{ | ||
− | + | Platí $\varphi(s+t)=\varphi(s)\varphi(t)=\varphi(t)\varphi(s)$, tedy nutně $\varphi (0)=e$. | |
} | } | ||
\Prl{ | \Prl{ | ||
− | $G$ Maticová grupa | + | $G$ Maticová grupa: |
+ | \begin{align*} | ||
+ | \dot{g}(t) = g(t)\cdot\underbrace{\dot{g}(0)}_{konst.} &= L_{g(t)*}\left(\dot{g}(0)\right) \\ | ||
+ | &= \dot{g}(0)\cdot g(t) = R_{g(t)*}\left(\dot{g}(0)\right) | ||
+ | \end{align*} | ||
} | } | ||
\Pzn{ | \Pzn{ | ||
− | Obecně: | + | Obecně: |
− | Označíme-li pro $X\in \g$, $\zuz{X}{e}=\dot{g}(0)$, pak $\dot{g}(t)=L_{g(t)*}(\zuz{X}{e})= | + | \begin{align*} |
+ | g(s+t) = g(t)g(s)\equiv L_{g(t)}g(s) \rimpl \underbrace{\dot{g}(t)}_{T_{g(t)}G} = \zuz{\td{}{s}}{0}\left(L_{g(t)}g(s)\right) = L_{g(t)*}\underbrace{\in \dot{g}(0)}_{T_{\e} G} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | Označíme-li pro $X\in \g$, $\zuz{X}{e}=\dot{g}(0)$, pak $\dot{g}(t)=L_{g(t)*}(\zuz{X}{e})=\zuz{X}{g(t)}$. | ||
} | } | ||
\Dsl{ | \Dsl{ | ||
− | + | Jednoparametrické podgrupy jsou integrální křivky levoinvariantních vektorových polí, tj. elementů Lieovy algebry, vycházející z~$e$. | |
} | } | ||
− | \ | + | |
+ | \subsection{Exponenciální zobrazení} | ||
% Jak jsem zmínili ve větě \ref{ztotozneni g a TeG}, odpovídá prostor levoinvariatních vektorových polí Lieově algebře $T_eG$. Pokud chceme z~daného levoinvariantního pole $X$ získat vektor z~$T_eG$ stačí toto pole vyhodnotit v~$e$, tj. získáme $X|_e \in T_eG$. | % Jak jsem zmínili ve větě \ref{ztotozneni g a TeG}, odpovídá prostor levoinvariatních vektorových polí Lieově algebře $T_eG$. Pokud chceme z~daného levoinvariantního pole $X$ získat vektor z~$T_eG$ stačí toto pole vyhodnotit v~$e$, tj. získáme $X|_e \in T_eG$. | ||
Na základě integrálních křivek můžeme definovat zobrazení $\g \to G$, které danému vektoru $X|_e \in \g$ přiřadí nějaký bod na příslušné integrální křivce levoinvariantního vektorového pole $X$, ke kterému je $X|_e$ tečným vektorem. | Na základě integrálních křivek můžeme definovat zobrazení $\g \to G$, které danému vektoru $X|_e \in \g$ přiřadí nějaký bod na příslušné integrální křivce levoinvariantního vektorového pole $X$, ke kterému je $X|_e$ tečným vektorem. | ||
\Def{ | \Def{ | ||
− | $\exp : \g \to G$ definujeme $\exp (X) =\varphi (1)$, kde $\varphi$ je integrální křivka $X \in \g$. | + | $\exp : \g \to G$ definujeme $\exp (tX) =\varphi (t),\ \exp (X) =\varphi (1)$, kde $\varphi$ je jednoparametrická podgrupa generovaná $X \in \g$ (integrální křivka $X \in \g$). |
} | } | ||
\Pzn{ | \Pzn{ | ||
− | $\exp =:\e$ tedy splňuje | + | $\exp =:\e$ tedy splňuje $\varphi(t+s)=\e^{(t+s)X}=\varphi (t) \varphi (s) =\e^{tX}\e^{sX}$. |
} | } | ||
\Prl{ | \Prl{ | ||
Exponenciela $\mfrk{af}(1) \to Af(1)$. | Exponenciela $\mfrk{af}(1) \to Af(1)$. | ||
} | } | ||
− | Hledáme integrální křivky vektorového pole z~příkladu \ref{grupa Af(1)}. Pro libovolné levoinvariantní pole jsou rovnice integrálních křivek $\dot{x}(t)=\alpha x(t)$ a $\dot{y}(t)=\beta x(t)$ s~počátečními podmínkami $(x(0),y(0))=(1,0)$, řešením je $(x(t),y(t))=(\e^{\alpha t}, \frac{\beta}{\alpha}(\e^{\alpha t}-1))$. Exponencielu získáme dosazením $t=1$, tj. $\e^X=\e^{\alpha x \partial_x + \beta x\partial_y}=(\e^{\alpha}, \frac{\beta}{\alpha}(\e^{\alpha}-1))$ (pro $\alpha=0$ vyjde výsledek stejně jako provedením $\lim_{\alpha \to 0}$). | + | Hledáme integrální křivky vektorového pole z~příkladu \ref{grupa Af(1)}. Pro libovolné levoinvariantní pole jsou rovnice integrálních křivek $\dot{x}(t)=\alpha x(t)$ a $\dot{y}(t)=\beta x(t)$ s~počátečními podmínkami $(x(0),y(0))=(1,0)$, řešením je $(x(t),y(t))=\left( \e^{\alpha t}, \frac{\beta}{\alpha}(\e^{\alpha t}-1) \right)$. Exponencielu získáme dosazením $t=1$, tj. $\e^X=\e^{\alpha x \partial_x + \beta x\partial_y}=(\e^{\alpha}, \frac{\beta}{\alpha}(\e^{\alpha}-1))$ (pro $\alpha=0$ vyjde výsledek stejně jako provedením $\lim_{\alpha \to 0}$). |
V~maticovém vyjádření je pole | V~maticovém vyjádření je pole | ||
Řádka 79: | Řádka 87: | ||
Z~maticového zápisu vidíme, že řešením je maticová exponenciela $\gamma(t)=\e^{t X(e)}$, výsledkem je $\e^{X}=\gamma (1)=\e^{X(e)}$. | Z~maticového zápisu vidíme, že řešením je maticová exponenciela $\gamma(t)=\e^{t X(e)}$, výsledkem je $\e^{X}=\gamma (1)=\e^{X(e)}$. | ||
\Vet{ | \Vet{ | ||
− | $A \in \ | + | Pro libovolnou čtvercovou matici $A$ platí: $\in \gl(n,\C)$, potom $\det \e^A=\e^{\Tr A}$. |
} | } | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | Předpokládame, že $\exists B$, tak, že $D=BAB^{-1}$ diagonální (diagonalizovatelné matice jsou husté v množine všech matic a obě strany rovnice jsou spojité $\ | + | Předpokládame, že $\exists B$, tak, že $D=BAB^{-1}$ diagonální (diagonalizovatelné matice jsou husté v množine všech matic a obě strany rovnice jsou spojité$\rimpl$platí obecně). |
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
\Tr D = \Tr BAB^{-1} = \Tr AB^{-1}B = \Tr A | \Tr D = \Tr BAB^{-1} = \Tr AB^{-1}B = \Tr A | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
− | Platí $\e^{BAB^{-1}} = B\e^AB^{-1}$ z definice pomocí řady, proto $\det\,\e^{D} = \det\,B\det\,B^{-1}\det\,\e^A = \det\,\e^{A}$, a protože $D = \mrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n) \ | + | Platí $\e^{BAB^{-1}} = B\e^AB^{-1}$ z definice pomocí řady, proto $\det\,\e^{D} = \det\,B\det\,B^{-1}\det\,\e^A = \det\,\e^{A}$, a protože $D = \mrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n) \rimpl \e^D = \mrm{diag}(\e^{\lambda_1},\dots,\e^{\lambda_n})$, tedy |
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
\det\,\e^D =\prod_{k=1}^{n}\e^{\lambda_k} = \e^{\sum_k \lambda_k} = \exp(\Tr D). | \det\,\e^D =\prod_{k=1}^{n}\e^{\lambda_k} = \e^{\sum_k \lambda_k} = \exp(\Tr D). | ||
Řádka 92: | Řádka 100: | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\Vet{ | \Vet{ | ||
− | Buď $G$ Lieova grupa, pak $\exp: \g \to G:X\to \e^{X}$ je lokální difeomorfismus okolí $ | + | Buď $G$ Lieova grupa, pak $\exp: \g \to G:X\to \e^{X}$ je lokální difeomorfismus okolí $0 \in\g$ na okolí $e\in G$. (Toto zobrazení není obecně surjektivní ani injektivní na celé $G$). |
} | } | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | $\g$ jako vektorový prostor lze chápat jako varietu, $T_0\g\cong\g \ | + | $\g$ jako vektorový prostor lze chápat jako varietu, $T_0\g\cong\g \rimpl \exp$ je hladké zobrazení variet. $\left.\exp_*\right|_0:T_0\g\equiv\g \to \g\equiv T_{e} G, \exp (tX)$ je integrálí křivka procházející $e$, s tečným vektorem $X \rimpl \zuz{\exp_*}{0} = \text{identita}\rimpl$podle věty o inverzní funkci je $\exp$ lokální difeomorfismus. |
Detailně: $\exp:X \to \e^X$ | Detailně: $\exp:X \to \e^X$ | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
− | \exp_*(\left.X\right|_0)f = \lim_{t \to 0}\frac{f(\e^{tX+0})-f(\e^0)}{t} = \lim_{t \to 0}\frac{f(\e^{tX})-f( | + | \exp_*(\left.X\right|_0)f = \lim_{t \to 0}\frac{f(\e^{tX+0})-f(\e^0)}{t} = \lim_{t \to 0}\frac{f(\e^{tX})-f(e)}{t} \overset{\mrm{def.}}{=} \left.Xf\right|_e |
− | + | \end{align*} | |
+ | $\Rightarrow\quad \exp_*(\left.X\right|_0) = \left.\exp_*(X)\right|_e = \left.X\right|_e$. | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\Pzn{ | \Pzn{ | ||
− | Pro matice platí: $\exp_*(X)=\left.\td{}{t}(\e^{tX})\right|_{t=0} = \left.\td{}{t}\left(1+tX+O(t^2)\right)\right|_{t=0}$ | + | Pro matice platí: $\exp_*(X)=\left.\td{}{t}(\e^{tX})\right|_{t=0} = \left.\td{}{t}\left(1+tX+O(t^2)\right)\right|_{t=0} = X$. |
} | } | ||
− | + | \Pzn{ | |
− | Je zřejmé, že $\exp$ nemůže být | + | Je zřejmé, že $\exp$ nemůže být surjektivní pro grupy s~více komponentami souvislosti (nelze spojit křivkou body z~různých komponent). $\exp$ není obecně surjektivní ani pro souvislé $G$, pouze v~případě, že je $G$ kompaktní. |
− | + | } | |
− | + | ||
− | \ | + | \subsection{Vyšetřování souvislosti variet} |
\Def{ | \Def{ | ||
− | Buďte $V | + | Buďte $V \subset M$ dif. variety ($V$ podvarieta $M$). $V$ je \textbf{deformační retrakt} $M$ právě tehdy, když $\exists$ $r: \langle 0,1 \rangle \times M \to M$ spojité, takové že |
\begin{itemize} | \begin{itemize} | ||
− | \item $\forall m \in M$, $r(0,m)= | + | \item $\forall m \in M$, $r(0,m)=m$, |
\item $\forall v \in V$, $\forall t \in \langle 0, 1\rangle$: $r(t,v)=v$, | \item $\forall v \in V$, $\forall t \in \langle 0, 1\rangle$: $r(t,v)=v$, | ||
\item $\forall m \in M$, $r(1,m) \in V$. | \item $\forall m \in M$, $r(1,m) \in V$. | ||
\end{itemize} | \end{itemize} | ||
} | } | ||
+ | \Def{ | ||
+ | Souvislá varieta $M$ je jednoduše souvislá právě tehdy, když platí: | ||
+ | \begin{itemize} | ||
+ | \item $\forall \gamma: \langle 0,1 \rangle \to M$, spojité, $\gamma(0) = \gamma(1)$ | ||
+ | \item $\exists \phi: \langle 0,1 \rangle \times \langle 0,1 \rangle \to M$, spojité takové, že $\forall t \in \langle 0,1 \rangle,\ \phi(0,t)=\gamma(t),\ \phi(1,t)=\gamma(0)$ | ||
+ | \end{itemize} | ||
+ | } | ||
\Vet{ | \Vet{ | ||
− | $V | + | $V$ je deformační retrakt $M$, pak |
\begin{itemize} | \begin{itemize} | ||
\item $M$ souvislá $\Leftrightarrow$ $V$ souvislá, | \item $M$ souvislá $\Leftrightarrow$ $V$ souvislá, | ||
Řádka 124: | Řádka 140: | ||
\end{itemize} | \end{itemize} | ||
} | } | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Souvislost zřejmá. Jednoduchá souvislost plyne z toho, že pro křivky platí $\gamma_V(t) = r(1,\gamma_M(t))$. | ||
+ | \end{proof} | ||
\Pzn{ | \Pzn{ | ||
Souhrnné pojednání o souvislosti námi používaných grup je v~\emph{The American Mathematical Monthly} | Souhrnné pojednání o souvislosti námi používaných grup je v~\emph{The American Mathematical Monthly} | ||
Řádka 129: | Řádka 148: | ||
\texttt{http://www.jstor.org/stable/2315278} | \texttt{http://www.jstor.org/stable/2315278} | ||
} | } | ||
− | } | + | } |
+ | \Prl{ | ||
+ | $SL(2,\R) = \left(\begin{smallmatrix} | ||
+ | x & y \\ | ||
+ | z & w | ||
+ | \end{smallmatrix}\right),\ xw-zy=1$ není jednoduše souvislá. | ||
+ | |||
+ | Lze ji zdeformovat na $SO(2)$: Nejprve definujeme $V_1$ tak, aby | ||
+ | \begin{align*}\forall \begin{pmatrix} | ||
+ | \tilde{x} & \tilde{y} \\ | ||
+ | \tilde{z} & \tilde{w} | ||
+ | \end{pmatrix} \in V_1,\ \tilde{x}^2+\tilde{z}^2=1,\ \tilde{x}\tilde{w}-\tilde{z}\tilde{y}=1. | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | Položíme $r_1\left( t,\left(\begin{smallmatrix} | ||
+ | x & y \\ | ||
+ | z & w | ||
+ | \end{smallmatrix}\right) \right) = \left(\begin{smallmatrix} | ||
+ | \alpha(t)x & \frac{1}{\alpha(t)}y \\ | ||
+ | \alpha(t)z & \frac{1}{\alpha(t)}w | ||
+ | \end{smallmatrix}\right)$ , kde $\alpha(0) = 1$ a pro $\alpha(1)$ platí $\alpha^2(1) \left( x^2+z^2 \right) = 1$. Zvolime proto $\alpha(t) = \frac{1}{\left( x^2 + z^2 \right)^{t/2}}$ a $V_1 = \mrm{Im}\, r_1\left( 1,. \right) \subset SL(2,\R)$ už splňuje požadavky. Dále zdeformujeme $V_1$ tak, aby sloupce byly ortonormální vektory: | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | r_2\left( t,\begin{pmatrix} | ||
+ | x & y \\ | ||
+ | z & w | ||
+ | \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} | ||
+ | x & y \\ | ||
+ | z & w | ||
+ | \end{pmatrix} - t\left( xy + zw \right) \begin{pmatrix} | ||
+ | 0 & x \\ | ||
+ | 0 & z | ||
+ | \end{pmatrix} \\ | ||
+ | V_2 = \mrm{Im}\, r_2 (1,.) = \left\{ \begin{pmatrix} | ||
+ | x & y \\ | ||
+ | z & w | ||
+ | \end{pmatrix} \in Sl(2,\R) \middle| x^2 + z^2 = 1,\ xy + zw = 0 \right\} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | xy + zw = 0 \rimpl x = -\frac{zw}{y} \quad \Rightarrow\quad \begin{array}{lllll} xw - zy &= -\frac{zw^2}{y}-zy = 1 &\Rightarrow w^2 + y^2 &= -\frac{y}{z}\\ | ||
+ | x^2 + z^2 &= \frac{z^2w^2}{y^2}+z^2 = 1 &\Rightarrow w^2 + y^2 &= \frac{y^2}{z^2} | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | $\Rightarrow\quad w^2 +y^2 = 1\rimpl V_2 = SO(2)=\left\{ \left(\begin{smallmatrix} | ||
+ | \cos\theta & -\sin\theta \\ | ||
+ | \sin\theta & \cos\theta | ||
+ | \end{smallmatrix}\right)\middle|\theta \in \langle 0,2\pi \rangle \right\}$ souvislá a topologicky eqvivalentní $S^1$. $SL(2,\R)$ je tedy souvislá, ale není jednoduše souvislá. | ||
+ | |||
+ | Podíváme se ještě na $\exp: \mfrk{sl}(2,\R) \to SL(2,\R)$. | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \mfrk{sl}(2,\R) = \left\{A = \begin{pmatrix} | ||
+ | x & y \\ | ||
+ | z & -x | ||
+ | \end{pmatrix}\middle| x,y,z \in \R \right\} \Rightarrow A^2 = \begin{pmatrix} | ||
+ | x & y \\ | ||
+ | z & -x | ||
+ | \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} | ||
+ | x^2 + yz & 0 \\ | ||
+ | 0 & zy + x^2 | ||
+ | \end{pmatrix} = -\det A \cdot \mathbb{1} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \e^A = \left\{ \begin{array}{lllllll} | ||
+ | \cos\det A \cdot \mathbb{1} + \frac{1}{\sqrt{\det A}}\sin\sqrt{\det A}\cdot A & & \det A > 0 & & \Rightarrow & & \Tr\, e^A = 2\cos \sqrt{\det A} \in \langle -2,2 \rangle \\ | ||
+ | \cosh \sqrt{|\det A|}\cdot \mathbb{1} + \frac{1}{\sqrt{|\det A|}} \sinh \sqrt{|\det A|}\cdot A & & \det A < 0 & & \Rightarrow & & \Tr\, e^A = 2\cosh \sqrt{|\det A|} \geq 2 \\ | ||
+ | \mathbb{1}+A & & \det A = 0 & & \Rightarrow & & \Tr\, \e^A = 2 | ||
+ | \end{array}\right. | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | $\Rightarrow\quad \Tr\,\e^A \geq -2,\ \forall A \in \mfrk{sl}(2,\R)\rimpl$ např. $\left(\begin{smallmatrix} | ||
+ | -2 & 0 \\ | ||
+ | 0 & -\frac{1}{2} | ||
+ | \end{smallmatrix}\right) \in SL(2,\R) \setminus \exp\big( \mfrk{sl}(2,\R) \big)$. | ||
+ | } | ||
+ | \Dsl{ | ||
+ | $G$ nemusí být celé pokryté exponenciélou, pokud je jen souvislé. Pro $G$ jednoduše souvislé to už platí. Bez důkazu. | ||
+ | } | ||
+ | \Pzn{ | ||
+ | Lze ukázat, že $SL(n,\R)$ není jednoduše souvislá $\forall n \in \N$. | ||
+ | } | ||
+ | %\Vet{$G$ souvislá Lieova grupa, $\varphi: 0\in U=U^\circ \subset \g \to \varphi(U)=(\varphi (U))^\circ \subset G$ ($e \in \varphi (U)$) difeomorfismus. Pak libovolný $g \in G$ lze zapsat vepsat ve tvaru konečného součinu $g=g_1g_2 \cdots g_k$, kde $g_j\in \varphi (U)$. (V~případě $\varphi =\exp$ umí Vysouš ukázat, že $k=2$.)} | ||
\Vet{ | \Vet{ | ||
− | $G$ souvislá Lieova grupa, $ | + | Buď $G$ souvislá Lieova grupa, $g \in G$. Pak existuje $n \in \N,\ X_1,\dots,X_n \in \g$ takové, že $g=\e^{X_1}\e^{X_2}\dots\e^{X_n}$. |
} | } | ||
− | \ | + | \begin{proof} |
− | + | Mějme $e\in U_0 = U_0^\circ \subset G$. Předpokládame $(.)^{-1}: U_0 \to U_0$ (jinak bereme $\tilde{U}_0 = U_0 \cap U_0^{-1}$, kde $U_0^{-1} = \{ g^{-1}| g \in U_0 \}$). Konstruujeme $U_i = \bigcup_{g \in U_{i-1}} gU_0$, zřejmě $U_i \subset U_i+1$ a protože $L_g(U_0) = \left( L_g(U_0)\right)^\circ$, je taky $U_i = U_i^\circ$. Označme $U=\bigcup_{i \in \N_0}U_i$, pak $U = U^\circ$ a pro $V = G \setminus U$ platí $V = \overline{V}$. Chceme ukázat, že $\forall g \in V,\ gU_0 = L_g(U_0) = \left(L_g(U_0)\right)^\circ \subset V$. | |
+ | Sporem: $L_g(U_0) \cap U \neq \emptyset \rimpl \exists u_0 \in U_0,\ gu_0 \in U \rimpl g \in Uu_0^{-1} \subset U$, protože $U_iu_0^{-1} \subset U_iu_0 \subset U_{i+1} \subset U$, spor.$\rimpl V=V^\circ \rimpl U = \overline{U},\ e \in U \rimpl U \neq \emptyset \rimpl U = G$ | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Tok levoinvariantního vektorového pole} | ||
\Vet{ | \Vet{ | ||
− | Tok generovaný levoinvariatním $X$ (tj. $X \in \g | + | Tok generovaný levoinvariatním $X$ (tj. $X \in \g \cong T_eG$) je jednoparametrická grupa pravých translací, tj. |
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
− | \Phi^t_X(g)=g\e^{tX} | + | \Phi^t_X(g)=g\e^{tX} \quad \Leftrightarrow \quad \Phi^t_X=R_{\e^{tX}} \,. |
\end{align*} | \end{align*} | ||
} | } | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Pro $X \in \g$ je $X|_e \in T_eG$ a $\e^{tX}$ je integrální křivka procházející $e$. Ukážeme, že integrální křivka tohoto pole procházející $g$ je $g \e^{t X}$: | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \zuz{ \frac{\dd}{\dd t} }{t=0}g \e^{tX}=L_{g*}\zuz{\frac{\dd}{\dd t}}{t=0} \e^{tX}=L_{g*} \zuz{X}{e} = \zuz{X}{g}, | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | tj. $\dot{\gamma}(t)=X(\gamma(t))$. | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \gamma(0) = e &\rimpl \gamma(t) = \e^{tX} \\ | ||
+ | \gamma(0) = g &\rimpl \gamma(t) = g\e^{tX} = L_g\left( \e^{tX} \right) = R_{\e^{tX}}(g) | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | $\Rightarrow \quad \Phi_X^t = R_{\e^{tX}}$ | ||
+ | \end{proof} | ||
\Dsl{ | \Dsl{ | ||
− | $X \in | + | $X \in \g$, $Y \in \Xs (G)$, $Y \circ R^*_g=R^*_g \circ Y$, potom $[X,Y]=0$. (To znamená, že levoinvariantní a pravoinvariantní pole komutují.) |
} | } | ||
− | + | \begin{proof} | |
+ | \begin{align*} | ||
+ | [ X,Y ] f = X(Yf) - Y(Xf) = \lim_{t \to 0^+}\frac{1}{t}\big( (Yf) \circ R_{\e^{tX}} - Yf - Y(f \circ R_{\e^{tX}}) + Yf \big) = \\ | ||
+ | = \lim_{t \to 0^+}\frac{1}{t}\big( (R_{\e^{tX}}^* \circ Y)f - (Y \circ R_{\e^{tX}}^*)f \big) = 0 | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \end{proof} | ||
\Vet{ | \Vet{ | ||
− | $M$ dif. varieta, $X,Y \in \Xs (M)$, $\Phi_t$, $\ | + | $M$ dif. varieta, $X,Y \in \Xs (M)$, $\Phi_t^X$, $\Phi_t^Y$ jejich toky, $p\in M$. Potom |
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
− | + | ([X,Y]f)(p) = \lim_{t \to 0}\frac{f(\sigma (t))-f(p)}{t^2}\,, | |
\end{align*} | \end{align*} | ||
− | $\sigma(t)=(\ | + | kde $\sigma(t)=(\Phi_{-t}^Y \circ \Phi_{-t}^X \circ \Phi_t^Y \circ \Phi_t^X \ )(p)$, tedy $\sigma(0) = p$. |
} | } | ||
− | + | \begin{proof} | |
+ | Pro jednoduchost zavedeme následující značení: | ||
+ | \begin{figure}[!h] | ||
+ | \centering | ||
+ | \includegraphics[pdf]{liag-1.pdf} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | f(4) - f(0) = \big( f(4) - f(3) \big) + \big( f(3) - f(2) \big) + \big( f(2) -f(1) \big) + \big( f(1) - f(0) \big) | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | f(1) - f(0) &= tXf(0) + \frac{t^2}{2}X(Xf)(0) + O(t^3) \\ | ||
+ | f(2) - f(1) &= tYf(1) + \frac{t^2}{2}Y(Yf)(1) + O(t^3) \\ | ||
+ | f(3) - f(2) &= -tXf(2) + \frac{t^2}{2}X(Xf)(2) + O(t^3) \\ | ||
+ | f(4) - f(3) &= -tYf(3) + \frac{t^2}{2}Y(Yf)(3) + O(t^3) | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | Xf(0) - Xf(2) &= Xf(0) - Xf(1) + Xf(1) - Xf(2) = -tX(Xf)(0) - tY(Xf)(1) + O(t^2) =\\ | ||
+ | &= -tX(Xf)(0) - tY(Xf)(0) +O(t^2) \\ | ||
+ | Yf(1) - Yf(3) &= Yf(1) - Yf(2) +Yf(2) - Yf(3) = -tY(Yf)(1) + tX(Yf)(2) + O(t^2) = \\ | ||
+ | &= -tY(Yf)(0) + tX(Yf)(0) + O(t^2) | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | f(4) - f(0) = -t^2X(Xf)(0) - t^2Y(Xf)(0) - t^2Y(Yf)(0) + t^2 X(Yf)(0) +\\ | ||
+ | + \frac{t^2}{2}X(Xf)(0) + \frac{t^2}{2}Y(Yf)(0) + \frac{t^2}{2}X(Xf)(0) + \frac{t^2}{2}Y(Yf)(0) + O(t^3)= \\ | ||
+ | = t^2\big( X(Yf) - Y(Xf) \big)(0) + O(t^3) | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \Rightarrow \quad \lim_{t \to 0^+}\frac{1}{t^2}\big( f(\sigma(t)) - f(p) \big) = \left[ X(Yf) - Y(Xf) \right](p) | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \Dsl{ | ||
+ | $X,Y \in \g \rimpl [X,Y]f(p) = \lim_{t \to 0^+}\frac{1}{t^2}\Big(f\big( R_{\e^{-tY}}R_{\e^{-tX}}R_{\e^{tY}}R_{\e^{tX}}(p) \big) - f(p) \Big)$ | ||
+ | } | ||
\Dsl{ | \Dsl{ | ||
− | Pro maticové grupy tak platí $[X,Y] | + | Pro maticové grupy tak platí $\zuz{[X,Y]}{e} = XY-YX,\ \forall X,Y \in \g$. |
} | } | ||
− | + | \begin{proof} | |
− | \ | + | $e = \mathbb{1},\ R_{\e^{-tY}}R_{\e^{-tX}}R_{\e^{tY}}R_{\e^{tX}}(\mathbb{1}) = \e^{tX}\e^{tY}\e^{-tX}\e^{-tY}$ |
+ | \begin{align*} | ||
+ | [X,Y]f(e) = \lim_{t \to 0^+}\frac{1}{t^2}\Big(f\left( \e^{tX}\e^{tY}\e^{-tX}\e^{-tY} \right) - f(\mathbb{1}) \Big) = \lim_{t \to 0^+}\frac{1}{t}\Big(f\left( \e^{\sqrt{t}X}\e^{\sqrt{t}Y}\e^{-\sqrt{t}X}\e^{-\sqrt{t}Y} \right) - f(\mathbb{1}) \Big) | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \zuz{\td{}{t}}{t=0}\left( \e^{\sqrt{t}X}\e^{\sqrt{t}Y}\e^{-\sqrt{t}X}\e^{-\sqrt{t}Y} \right) = \zuz{\td{}{t}}{t=0}\left( \left( \mathbb{1} + \sqrt{t}X \right) + \frac{t}{2}X^2 \right)\left( \left( \mathbb{1} + \sqrt{t}Y \right) + \frac{t}{2}Y^2 \right) \times \\ | ||
+ | \times \left( \left( \mathbb{1} - \sqrt{t}X \right) + \frac{t}{2}X^2 \right)\left( \left( \mathbb{1} - \sqrt{t}Y \right) + \frac{t}{2}Y^2 \right) = \zuz{\td{}{t}}{t=0}\left( \mathbb{1} + t\left( XY - YX \right) +O(\sqrt{t}^3) \right) = XY - YX | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \Rightarrow \quad [X,Y]f(\mathbb{1}) = \underbrace{(XY - YX)}_{\text{maticové násobení}}f(\mathbb{1}) \rimpl \zuz{[X,Y]}{\mathbb{1}} = \zuz{X}{\mathbb{1}}\zuz{Y}{\mathbb{1}} - \zuz{Y}{\mathbb{1}}\zuz{X}{\mathbb{1}} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \Pzn{ \label{Veta} | ||
$G$ Lieova grupa, $\g$ Lieova algebra, $\h$ podalgebra $\g$. Potom existuje vnořená podvarieta $H \subset G$, taková, že $H$ je podgrupa $G$ a její Lieova algebra je přirozeně izomorfní $\h$. | $G$ Lieova grupa, $\g$ Lieova algebra, $\h$ podalgebra $\g$. Potom existuje vnořená podvarieta $H \subset G$, taková, že $H$ je podgrupa $G$ a její Lieova algebra je přirozeně izomorfní $\h$. | ||
} | } | ||
\Pzn{ | \Pzn{ | ||
− | Obecně se nejedná o vložení. Uvažujme například $T^2=S^1[\varphi] \times S^1[\vartheta]$. Vektorové pole $X=a\partial_\varphi + b \partial_\vartheta \in \mathfrak{t}^2$, $\h =\mathrm{span} \{ X \}$ a $\frac{a}{b}\not \in \mathbb{Q}$. | + | Obecně se nejedná o vložení. Uvažujme například $T^2=S^1[\varphi] \times S^1[\vartheta],\ (\varphi_1,\theta_1)(\varphi_2,\theta_2) = (\varphi_1 + \varphi_ 2, \theta_1 +\theta_2),\ e=(0,0)$. Vektorové pole $X=a\partial_\varphi + b \partial_\vartheta \in \mathfrak{t}^2$, $\h =\mathrm{span} \{ X \}$, $\dot{\varphi} = a,\ \dot{\theta} = b \rimpl H = \{at, bt | t \in \R\}$. Protože $[X,X]=0$ je $\h$ jednorozměrná podalgebra. Pro $\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}$ je křivka na toru uzavřená a jedná se o vložení, pro $\frac{a}{b}\not \in \mathbb{Q}$ ale v~topologii $T^2$ je $\overline{H}=T^2$, tj. nejedná se o vložení. |
} | } | ||
− | + | ||
+ | \subsection{Vlastnosti homomrfismů (cvičení)} | ||
+ | \begin{lmma} | ||
+ | Nechť $G, \widetilde{G}$ jsou Lieovy grupy, $\phi: G \to \widetilde{G}$ hladký homomorfismus, tj. $\forall g,h \in G,\ \phi(gh) = \phi(g)\phi(h)$, pak platí: | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \phi_*\circ L_{g*} = L_{\phi(g)*} \circ \phi_*, \qquad \qquad \phi_*X \in \zuz{\widetilde{\g}}{\phi(g)},\ \forall X \in \g. | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \end{lmma} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Z definice platí $\forall g,h \in G,\ \forall X \in \g$: | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \left.\begin{array}{l} | ||
+ | L_{g*}\zuz{X}{h} = \zuz{X}{gh} \\ | ||
+ | \phi(L_g h) = L_{\phi(g)} h \quad\Leftrightarrow\quad \phi \circ L_g = L_{\phi(g)} \circ \phi | ||
+ | \end{array} \right\} \rimpl \phi_* \circ L_{g*} = L_{\phi(g)*} \circ \phi_* | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | $\Rightarrow\quad \phi_*\zuz{X}{gh} = \phi_* L_{g*} \left( \zuz{X}{h} \right) = L_{\phi(g)*} \phi_* \zuz{X}{h}$. Dále nechť $\phi(g) = \widetilde{g}, \phi(h) = \widetilde{h}$, pak: | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | L_{\widetilde{g}*} \zuz{\left( \phi_* X \right)}{\widetilde{h}} &= L_{\phi(g)*} \zuz{\left( \phi_* X \right)}{\phi(h)} = L_{\phi(g)*} \circ \phi_* \left( \zuz{X}{h} \right) = \phi_* \circ L_{g*} \left( \zuz{X}{h} \right) = \\ | ||
+ | &= \phi_* \left( \zuz{X}{gh} \right) = \zuz{\left( \phi_* X \right)}{\phi(gh)} = \zuz{\left( \phi_* X \right)}{\widetilde{g}\widetilde{h}} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | $\Rightarrow\quad L_{\widetilde{g}*}\zuz{ \left( \phi_* X \right) }{\widetilde{h}} = \zuz{ \left( \phi_* X \right) }{\widetilde{g}\widetilde{h}} \rimpl \phi_* X \in \zuz{\widetilde{\g}}{\phi(g)},\ \forall X \in \g$. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \begin{lmma} | ||
+ | $\phi\left( \e^{tX} \right) = \e^{t\phi_* X}$ | ||
+ | \end{lmma} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Obě strany rovnice jsou díky $\phi(gh) = \phi(g)\phi(h)$ $1$-parametrické podgrupy$\rimpl$stačí ukázat, že tečné vektory v $e$ jsou stejné. | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \zuz{\td{}{t}}{t=0} \phi\left( \e^{tX} \right) = \phi_* \zuz{\td{}{t}}{t=0} \e^{tX} = \zuz{\left( \phi_* X \right)}{\widetilde{e}} = \zuz{\td{}{t}}{t=0} \e^{t\phi_* X} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | Díky grupovosti tedy platí: | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \td{}{t}\phi \left( \e^{tX} \right) &= \zuz{\td{}{s}}{s=0} \phi \left( \e^{(t+s)X} \right) = \zuz{\td{}{s}}{s=0} \phi \left( \e^{tX} \right) \phi \left( \e^{sX} \right) = L_{\phi \left( \e^{tX} \right)*} \zuz{\left( \phi_* X \right) }{\widetilde{e} } = \zuz{\left( \phi_*X \right)}{\phi\left( \e^{tX} \right)} \\ | ||
+ | \td{}{t} \e^{t\phi_* X} &= \zuz{ \left( \phi_*X \right) }{\e^{t\phi_* X}} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | $\Rightarrow\quad$obě strany lemmatu jsou řešení stejné ODR se stejnou počáteční podmínkou $\zuz{\phi \left( \e^{tX} \right)}{t=0} = \widetilde{e} =\zuz{\e^{t\phi_* X}}{t=0}$. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \begin{lmma} | ||
+ | $\left[ \phi_* X, \phi_* Y \right] = \phi_* \big( [X,Y] \big)$ | ||
+ | \end{lmma} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Mějme $f \in C^\infty(\widetilde{G})$: | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \left( \phi_* Y \right) \zuz{f}{\phi(g)} = Y\zuz{(f\circ \phi)}{g} = \zuz{\td{}{t}}{t=0} f\left( \phi\left( g\e^{tY} \right) \right) = \zuz{\td{}{t}}{t=0} f\left( \phi(g) \phi\left( \e^{tX} \right) \right) = \zuz{ \td{}{t} }{t=0} \zuz{\left( f \circ R_{\phi\left( \e^{tX} \right)} \right) }{\phi(g)} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \left[ \phi_*X, \phi_*Y \right] \zuz{f}{\phi(p)} &= \zuz{ \td{}{s} }{s=0} \zuz{ \td{}{t} }{t=0} \left[ f \left( \phi(p) \phi \left( \e^{sX} \right) \phi \left( \e^{tY} \right) \right) - f \left( \phi(p) \phi \left( \e^{tY} \right) \phi \left( \e^{sX} \right) \right) \right] = \\ | ||
+ | &= \zuz{ \td{}{s}\td{}{t} }{s,t = 0} \left[ f \left( \phi \left( p\e^{sX}\e^{tY} \right) \right) - f \left( \phi \left( p\e^{tY}\e^{sX} \right) \right) \right] = \\ | ||
+ | &= \zuz{ \td{}{s}\td{}{t} }{s,t = 0} \left[ (f \circ \phi) \left( p\e^{sX}\e^{tY} \right) - (f \circ \phi) \left( p\e^{tY}\e^{sX} \right) \right] = \\ | ||
+ | &= [X,Y] \zuz{(f \circ \phi)}{p} = [X,Y]\zuz{(f \circ \phi)}{p} = \big( \phi_* [X,Y] \big) \zuz{f}{\phi(p)} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | $\Rightarrow\quad \left[ \phi_*X, \phi_* Y \right] = \phi_* \big( [X,Y] \big)$. | ||
+ | \end{proof} |
Aktuální verze z 5. 8. 2016, 17:27
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02LIAG
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02LIAG | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 20:54 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Hazalmat | 7. 7. 2016 | 06:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Hazalmat | 10. 7. 2016 | 21:12 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvod | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 21:12 | LIAG_Kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Definice Lieovy grupy a Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:02 | LIAG_Kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Vztah mezi Lieovou grupou a její algebrou | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:27 | LIAG_Kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Nástin teorie integrabilních distribucí | Hazalmat | 30. 7. 2016 | 14:10 | LIAG_Kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Akce grupy na varietě | Hazalmat | 17. 7. 2016 | 19:23 | LIAG_Kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Reprezentace Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 17:21 | LIAG_Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Souvislost Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 18:51 | LIAG_Kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 01:06 | LIAG_Kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Cartanova kritéria | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:29 | LIAG_Kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Klasifikace pomocí kořenů | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:34 | LIAG_Kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Kořenové diagramy, Cartanova martice | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 15:32 | LIAG_Kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Dynkinovy diagramy | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 17:39 | LIAG_Kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Reálné formy komplexních poloprostých algeber | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 23:39 | LIAG_Kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Význam kompaktních Lieových grup | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 23:45 | LIAG_Kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Reprezentace poloprostých Lieových algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 12:45 | LIAG_Kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Spinorové reprezentace | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 20:38 | LIAG_Kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Symetrie v QM | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 21:21 | LIAG_Kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Cvičení | Hazalmat | 6. 8. 2016 | 03:42 | LIAG_Kapitola17.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:liag-1.pdf | liag-1.pdf |
Image:su3_1.pdf | su3_1.pdf |
Image:su3_2.pdf | su3_2.pdf |
Image:su3_3.pdf | su3_3.pdf |
Image:su3_4.pdf | su3_4.pdf |
Image:su3_5.pdf | su3_5.pdf |
Image:su3_6.pdf | su3_6.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Vztah mezi Lieovou grupou a její algebrou} \Def{ (Homomorfismus Lieových grup $G$ a $H$) \begin{itemize} \item \textbf{Homomorfismus $G$ a $H$} je libovolné hladké $\phi :G \to H$, $\phi(g\cdot_G h)=\phi(g) \cdot_H \phi(h)$, $\forall g,h \in G$. \item \textbf{Izomorfismus $G$ a $H$} je bijektivní homomorfismus s~hladkou inverzí. \end{itemize} } \Def{ \textbf{Jednoparametrická podgrupa v~$G$} je homomorfismus $\varphi: (\R,+) \to G$. } \Dsl{ Platí $\varphi(s+t)=\varphi(s)\varphi(t)=\varphi(t)\varphi(s)$, tedy nutně $\varphi (0)=e$. } \Prl{ $G$ Maticová grupa: \begin{align*} \dot{g}(t) = g(t)\cdot\underbrace{\dot{g}(0)}_{konst.} &= L_{g(t)*}\left(\dot{g}(0)\right) \\ &= \dot{g}(0)\cdot g(t) = R_{g(t)*}\left(\dot{g}(0)\right) \end{align*} } \Pzn{ Obecně: \begin{align*} g(s+t) = g(t)g(s)\equiv L_{g(t)}g(s) \rimpl \underbrace{\dot{g}(t)}_{T_{g(t)}G} = \zuz{\td{}{s}}{0}\left(L_{g(t)}g(s)\right) = L_{g(t)*}\underbrace{\in \dot{g}(0)}_{T_{\e} G} \end{align*} Označíme-li pro $X\in \g$, $\zuz{X}{e}=\dot{g}(0)$, pak $\dot{g}(t)=L_{g(t)*}(\zuz{X}{e})=\zuz{X}{g(t)}$. } \Dsl{ Jednoparametrické podgrupy jsou integrální křivky levoinvariantních vektorových polí, tj. elementů Lieovy algebry, vycházející z~$e$. } \subsection{Exponenciální zobrazení} % Jak jsem zmínili ve větě \ref{ztotozneni g a TeG}, odpovídá prostor levoinvariatních vektorových polí Lieově algebře $T_eG$. Pokud chceme z~daného levoinvariantního pole $X$ získat vektor z~$T_eG$ stačí toto pole vyhodnotit v~$e$, tj. získáme $X|_e \in T_eG$. Na základě integrálních křivek můžeme definovat zobrazení $\g \to G$, které danému vektoru $X|_e \in \g$ přiřadí nějaký bod na příslušné integrální křivce levoinvariantního vektorového pole $X$, ke kterému je $X|_e$ tečným vektorem. \Def{ $\exp : \g \to G$ definujeme $\exp (tX) =\varphi (t),\ \exp (X) =\varphi (1)$, kde $\varphi$ je jednoparametrická podgrupa generovaná $X \in \g$ (integrální křivka $X \in \g$). } \Pzn{ $\exp =:\e$ tedy splňuje $\varphi(t+s)=\e^{(t+s)X}=\varphi (t) \varphi (s) =\e^{tX}\e^{sX}$. } \Prl{ Exponenciela $\mfrk{af}(1) \to Af(1)$. } Hledáme integrální křivky vektorového pole z~příkladu \ref{grupa Af(1)}. Pro libovolné levoinvariantní pole jsou rovnice integrálních křivek $\dot{x}(t)=\alpha x(t)$ a $\dot{y}(t)=\beta x(t)$ s~počátečními podmínkami $(x(0),y(0))=(1,0)$, řešením je $(x(t),y(t))=\left( \e^{\alpha t}, \frac{\beta}{\alpha}(\e^{\alpha t}-1) \right)$. Exponencielu získáme dosazením $t=1$, tj. $\e^X=\e^{\alpha x \partial_x + \beta x\partial_y}=(\e^{\alpha}, \frac{\beta}{\alpha}(\e^{\alpha}-1))$ (pro $\alpha=0$ vyjde výsledek stejně jako provedením $\lim_{\alpha \to 0}$). V~maticovém vyjádření je pole $\left( \begin{smallmatrix} \alpha & \beta \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)$, platí $\left( \begin{smallmatrix} \alpha & \beta \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)^2 = \left( \begin{smallmatrix} \alpha^2 & \alpha \beta \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)$, \dots , $\left( \begin{smallmatrix} \alpha & \beta \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)^k = \left( \begin{smallmatrix} \alpha^k & \alpha^{k-1} \beta \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)$, takže získáme $\exp \left( \begin{smallmatrix} \alpha & \beta \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}\left( \begin{smallmatrix} \alpha & \beta \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)^n= \left( \begin{smallmatrix} \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\alpha^n}{n!}, & \frac{\beta}{\alpha}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\alpha^n}{n!} \\ 0, &1 \end{smallmatrix} \right)= \left( \begin{smallmatrix} \e^\alpha, & \frac{\beta}{\alpha}(\e^\alpha -1) \\ 0, &1 \end{smallmatrix} \right)$. \Prl{ Exponenciela maticových grup $G$. } Hledáme integrální křivku $\gamma (t)$ levoinvariantního vektorového pole, určenou $X \in \g$. Jak toto pole vypadá víme z~příkladu \ref{Maticove grupy} (značení převezmeme z~tohoto příkladu, tj. $X^i_j(e)=\alpha^i_j$). Máme tak pro složky pole $X^i_j(\gamma (t))=\gamma^i_k(t)X^k_j(e)$. Rovnice pro integrální křivky tohoto pole je \begin{align} \dot{\gamma}^i_j(t)=\gamma^i_k(t)X^k_j(e), \quad \gamma^i_j(0)=\delta^i_j \,, && \Leftrightarrow && \dot{\gamma}(t)= \gamma (t) X(e), \quad \gamma (0)=\mathbb{1} \,. \end{align} Z~maticového zápisu vidíme, že řešením je maticová exponenciela $\gamma(t)=\e^{t X(e)}$, výsledkem je $\e^{X}=\gamma (1)=\e^{X(e)}$. \Vet{ Pro libovolnou čtvercovou matici $A$ platí: $\in \gl(n,\C)$, potom $\det \e^A=\e^{\Tr A}$. } \begin{proof} Předpokládame, že $\exists B$, tak, že $D=BAB^{-1}$ diagonální (diagonalizovatelné matice jsou husté v množine všech matic a obě strany rovnice jsou spojité$\rimpl$platí obecně). \begin{align*} \Tr D = \Tr BAB^{-1} = \Tr AB^{-1}B = \Tr A \end{align*} Platí $\e^{BAB^{-1}} = B\e^AB^{-1}$ z definice pomocí řady, proto $\det\,\e^{D} = \det\,B\det\,B^{-1}\det\,\e^A = \det\,\e^{A}$, a protože $D = \mrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n) \rimpl \e^D = \mrm{diag}(\e^{\lambda_1},\dots,\e^{\lambda_n})$, tedy \begin{align*} \det\,\e^D =\prod_{k=1}^{n}\e^{\lambda_k} = \e^{\sum_k \lambda_k} = \exp(\Tr D). \end{align*} \end{proof} \Vet{ Buď $G$ Lieova grupa, pak $\exp: \g \to G:X\to \e^{X}$ je lokální difeomorfismus okolí $0 \in\g$ na okolí $e\in G$. (Toto zobrazení není obecně surjektivní ani injektivní na celé $G$). } \begin{proof} $\g$ jako vektorový prostor lze chápat jako varietu, $T_0\g\cong\g \rimpl \exp$ je hladké zobrazení variet. $\left.\exp_*\right|_0:T_0\g\equiv\g \to \g\equiv T_{e} G, \exp (tX)$ je integrálí křivka procházející $e$, s tečným vektorem $X \rimpl \zuz{\exp_*}{0} = \text{identita}\rimpl$podle věty o inverzní funkci je $\exp$ lokální difeomorfismus. Detailně: $\exp:X \to \e^X$ \begin{align*} \exp_*(\left.X\right|_0)f = \lim_{t \to 0}\frac{f(\e^{tX+0})-f(\e^0)}{t} = \lim_{t \to 0}\frac{f(\e^{tX})-f(e)}{t} \overset{\mrm{def.}}{=} \left.Xf\right|_e \end{align*} $\Rightarrow\quad \exp_*(\left.X\right|_0) = \left.\exp_*(X)\right|_e = \left.X\right|_e$. \end{proof} \Pzn{ Pro matice platí: $\exp_*(X)=\left.\td{}{t}(\e^{tX})\right|_{t=0} = \left.\td{}{t}\left(1+tX+O(t^2)\right)\right|_{t=0} = X$. } \Pzn{ Je zřejmé, že $\exp$ nemůže být surjektivní pro grupy s~více komponentami souvislosti (nelze spojit křivkou body z~různých komponent). $\exp$ není obecně surjektivní ani pro souvislé $G$, pouze v~případě, že je $G$ kompaktní. } \subsection{Vyšetřování souvislosti variet} \Def{ Buďte $V \subset M$ dif. variety ($V$ podvarieta $M$). $V$ je \textbf{deformační retrakt} $M$ právě tehdy, když $\exists$ $r: \langle 0,1 \rangle \times M \to M$ spojité, takové že \begin{itemize} \item $\forall m \in M$, $r(0,m)=m$, \item $\forall v \in V$, $\forall t \in \langle 0, 1\rangle$: $r(t,v)=v$, \item $\forall m \in M$, $r(1,m) \in V$. \end{itemize} } \Def{ Souvislá varieta $M$ je jednoduše souvislá právě tehdy, když platí: \begin{itemize} \item $\forall \gamma: \langle 0,1 \rangle \to M$, spojité, $\gamma(0) = \gamma(1)$ \item $\exists \phi: \langle 0,1 \rangle \times \langle 0,1 \rangle \to M$, spojité takové, že $\forall t \in \langle 0,1 \rangle,\ \phi(0,t)=\gamma(t),\ \phi(1,t)=\gamma(0)$ \end{itemize} } \Vet{ $V$ je deformační retrakt $M$, pak \begin{itemize} \item $M$ souvislá $\Leftrightarrow$ $V$ souvislá, \item $M$ jednoduše souvislá $\Leftrightarrow$ $V$ jednoduše souvislá. \end{itemize} } \begin{proof} Souvislost zřejmá. Jednoduchá souvislost plyne z toho, že pro křivky platí $\gamma_V(t) = r(1,\gamma_M(t))$. \end{proof} \Pzn{ Souhrnné pojednání o souvislosti námi používaných grup je v~\emph{The American Mathematical Monthly} Vol. 74, No. 8 (Oct., 1967), pp. 964-966.\footnote{ \texttt{http://www.jstor.org/stable/2315278} } } \Prl{ $SL(2,\R) = \left(\begin{smallmatrix} x & y \\ z & w \end{smallmatrix}\right),\ xw-zy=1$ není jednoduše souvislá. Lze ji zdeformovat na $SO(2)$: Nejprve definujeme $V_1$ tak, aby \begin{align*}\forall \begin{pmatrix} \tilde{x} & \tilde{y} \\ \tilde{z} & \tilde{w} \end{pmatrix} \in V_1,\ \tilde{x}^2+\tilde{z}^2=1,\ \tilde{x}\tilde{w}-\tilde{z}\tilde{y}=1. \end{align*} Položíme $r_1\left( t,\left(\begin{smallmatrix} x & y \\ z & w \end{smallmatrix}\right) \right) = \left(\begin{smallmatrix} \alpha(t)x & \frac{1}{\alpha(t)}y \\ \alpha(t)z & \frac{1}{\alpha(t)}w \end{smallmatrix}\right)$ , kde $\alpha(0) = 1$ a pro $\alpha(1)$ platí $\alpha^2(1) \left( x^2+z^2 \right) = 1$. Zvolime proto $\alpha(t) = \frac{1}{\left( x^2 + z^2 \right)^{t/2}}$ a $V_1 = \mrm{Im}\, r_1\left( 1,. \right) \subset SL(2,\R)$ už splňuje požadavky. Dále zdeformujeme $V_1$ tak, aby sloupce byly ortonormální vektory: \begin{align*} r_2\left( t,\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} - t\left( xy + zw \right) \begin{pmatrix} 0 & x \\ 0 & z \end{pmatrix} \\ V_2 = \mrm{Im}\, r_2 (1,.) = \left\{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \in Sl(2,\R) \middle| x^2 + z^2 = 1,\ xy + zw = 0 \right\} \end{align*} \begin{align*} xy + zw = 0 \rimpl x = -\frac{zw}{y} \quad \Rightarrow\quad \begin{array}{lllll} xw - zy &= -\frac{zw^2}{y}-zy = 1 &\Rightarrow w^2 + y^2 &= -\frac{y}{z}\\ x^2 + z^2 &= \frac{z^2w^2}{y^2}+z^2 = 1 &\Rightarrow w^2 + y^2 &= \frac{y^2}{z^2} \end{array} \end{align*} $\Rightarrow\quad w^2 +y^2 = 1\rimpl V_2 = SO(2)=\left\{ \left(\begin{smallmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{smallmatrix}\right)\middle|\theta \in \langle 0,2\pi \rangle \right\}$ souvislá a topologicky eqvivalentní $S^1$. $SL(2,\R)$ je tedy souvislá, ale není jednoduše souvislá. Podíváme se ještě na $\exp: \mfrk{sl}(2,\R) \to SL(2,\R)$. \begin{align*} \mfrk{sl}(2,\R) = \left\{A = \begin{pmatrix} x & y \\ z & -x \end{pmatrix}\middle| x,y,z \in \R \right\} \Rightarrow A^2 = \begin{pmatrix} x & y \\ z & -x \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} x^2 + yz & 0 \\ 0 & zy + x^2 \end{pmatrix} = -\det A \cdot \mathbb{1} \end{align*} \begin{align*} \e^A = \left\{ \begin{array}{lllllll} \cos\det A \cdot \mathbb{1} + \frac{1}{\sqrt{\det A}}\sin\sqrt{\det A}\cdot A & & \det A > 0 & & \Rightarrow & & \Tr\, e^A = 2\cos \sqrt{\det A} \in \langle -2,2 \rangle \\ \cosh \sqrt{|\det A|}\cdot \mathbb{1} + \frac{1}{\sqrt{|\det A|}} \sinh \sqrt{|\det A|}\cdot A & & \det A < 0 & & \Rightarrow & & \Tr\, e^A = 2\cosh \sqrt{|\det A|} \geq 2 \\ \mathbb{1}+A & & \det A = 0 & & \Rightarrow & & \Tr\, \e^A = 2 \end{array}\right. \end{align*} $\Rightarrow\quad \Tr\,\e^A \geq -2,\ \forall A \in \mfrk{sl}(2,\R)\rimpl$ např. $\left(\begin{smallmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} \end{smallmatrix}\right) \in SL(2,\R) \setminus \exp\big( \mfrk{sl}(2,\R) \big)$. } \Dsl{ $G$ nemusí být celé pokryté exponenciélou, pokud je jen souvislé. Pro $G$ jednoduše souvislé to už platí. Bez důkazu. } \Pzn{ Lze ukázat, že $SL(n,\R)$ není jednoduše souvislá $\forall n \in \N$. } %\Vet{$G$ souvislá Lieova grupa, $\varphi: 0\in U=U^\circ \subset \g \to \varphi(U)=(\varphi (U))^\circ \subset G$ ($e \in \varphi (U)$) difeomorfismus. Pak libovolný $g \in G$ lze zapsat vepsat ve tvaru konečného součinu $g=g_1g_2 \cdots g_k$, kde $g_j\in \varphi (U)$. (V~případě $\varphi =\exp$ umí Vysouš ukázat, že $k=2$.)} \Vet{ Buď $G$ souvislá Lieova grupa, $g \in G$. Pak existuje $n \in \N,\ X_1,\dots,X_n \in \g$ takové, že $g=\e^{X_1}\e^{X_2}\dots\e^{X_n}$. } \begin{proof} Mějme $e\in U_0 = U_0^\circ \subset G$. Předpokládame $(.)^{-1}: U_0 \to U_0$ (jinak bereme $\tilde{U}_0 = U_0 \cap U_0^{-1}$, kde $U_0^{-1} = \{ g^{-1}| g \in U_0 \}$). Konstruujeme $U_i = \bigcup_{g \in U_{i-1}} gU_0$, zřejmě $U_i \subset U_i+1$ a protože $L_g(U_0) = \left( L_g(U_0)\right)^\circ$, je taky $U_i = U_i^\circ$. Označme $U=\bigcup_{i \in \N_0}U_i$, pak $U = U^\circ$ a pro $V = G \setminus U$ platí $V = \overline{V}$. Chceme ukázat, že $\forall g \in V,\ gU_0 = L_g(U_0) = \left(L_g(U_0)\right)^\circ \subset V$. Sporem: $L_g(U_0) \cap U \neq \emptyset \rimpl \exists u_0 \in U_0,\ gu_0 \in U \rimpl g \in Uu_0^{-1} \subset U$, protože $U_iu_0^{-1} \subset U_iu_0 \subset U_{i+1} \subset U$, spor.$\rimpl V=V^\circ \rimpl U = \overline{U},\ e \in U \rimpl U \neq \emptyset \rimpl U = G$ \end{proof} \subsection{Tok levoinvariantního vektorového pole} \Vet{ Tok generovaný levoinvariatním $X$ (tj. $X \in \g \cong T_eG$) je jednoparametrická grupa pravých translací, tj. \begin{align*} \Phi^t_X(g)=g\e^{tX} \quad \Leftrightarrow \quad \Phi^t_X=R_{\e^{tX}} \,. \end{align*} } \begin{proof} Pro $X \in \g$ je $X|_e \in T_eG$ a $\e^{tX}$ je integrální křivka procházející $e$. Ukážeme, že integrální křivka tohoto pole procházející $g$ je $g \e^{t X}$: \begin{align*} \zuz{ \frac{\dd}{\dd t} }{t=0}g \e^{tX}=L_{g*}\zuz{\frac{\dd}{\dd t}}{t=0} \e^{tX}=L_{g*} \zuz{X}{e} = \zuz{X}{g}, \end{align*} tj. $\dot{\gamma}(t)=X(\gamma(t))$. \begin{align*} \gamma(0) = e &\rimpl \gamma(t) = \e^{tX} \\ \gamma(0) = g &\rimpl \gamma(t) = g\e^{tX} = L_g\left( \e^{tX} \right) = R_{\e^{tX}}(g) \end{align*} $\Rightarrow \quad \Phi_X^t = R_{\e^{tX}}$ \end{proof} \Dsl{ $X \in \g$, $Y \in \Xs (G)$, $Y \circ R^*_g=R^*_g \circ Y$, potom $[X,Y]=0$. (To znamená, že levoinvariantní a pravoinvariantní pole komutují.) } \begin{proof} \begin{align*} [ X,Y ] f = X(Yf) - Y(Xf) = \lim_{t \to 0^+}\frac{1}{t}\big( (Yf) \circ R_{\e^{tX}} - Yf - Y(f \circ R_{\e^{tX}}) + Yf \big) = \\ = \lim_{t \to 0^+}\frac{1}{t}\big( (R_{\e^{tX}}^* \circ Y)f - (Y \circ R_{\e^{tX}}^*)f \big) = 0 \end{align*} \end{proof} \Vet{ $M$ dif. varieta, $X,Y \in \Xs (M)$, $\Phi_t^X$, $\Phi_t^Y$ jejich toky, $p\in M$. Potom \begin{align*} ([X,Y]f)(p) = \lim_{t \to 0}\frac{f(\sigma (t))-f(p)}{t^2}\,, \end{align*} kde $\sigma(t)=(\Phi_{-t}^Y \circ \Phi_{-t}^X \circ \Phi_t^Y \circ \Phi_t^X \ )(p)$, tedy $\sigma(0) = p$. } \begin{proof} Pro jednoduchost zavedeme následující značení: \begin{figure}[!h] \centering \includegraphics[pdf]{liag-1.pdf} \end{figure} \begin{align*} f(4) - f(0) = \big( f(4) - f(3) \big) + \big( f(3) - f(2) \big) + \big( f(2) -f(1) \big) + \big( f(1) - f(0) \big) \end{align*} \begin{align*} f(1) - f(0) &= tXf(0) + \frac{t^2}{2}X(Xf)(0) + O(t^3) \\ f(2) - f(1) &= tYf(1) + \frac{t^2}{2}Y(Yf)(1) + O(t^3) \\ f(3) - f(2) &= -tXf(2) + \frac{t^2}{2}X(Xf)(2) + O(t^3) \\ f(4) - f(3) &= -tYf(3) + \frac{t^2}{2}Y(Yf)(3) + O(t^3) \end{align*} \begin{align*} Xf(0) - Xf(2) &= Xf(0) - Xf(1) + Xf(1) - Xf(2) = -tX(Xf)(0) - tY(Xf)(1) + O(t^2) =\\ &= -tX(Xf)(0) - tY(Xf)(0) +O(t^2) \\ Yf(1) - Yf(3) &= Yf(1) - Yf(2) +Yf(2) - Yf(3) = -tY(Yf)(1) + tX(Yf)(2) + O(t^2) = \\ &= -tY(Yf)(0) + tX(Yf)(0) + O(t^2) \end{align*} \begin{align*} f(4) - f(0) = -t^2X(Xf)(0) - t^2Y(Xf)(0) - t^2Y(Yf)(0) + t^2 X(Yf)(0) +\\ + \frac{t^2}{2}X(Xf)(0) + \frac{t^2}{2}Y(Yf)(0) + \frac{t^2}{2}X(Xf)(0) + \frac{t^2}{2}Y(Yf)(0) + O(t^3)= \\ = t^2\big( X(Yf) - Y(Xf) \big)(0) + O(t^3) \end{align*} \begin{align*} \Rightarrow \quad \lim_{t \to 0^+}\frac{1}{t^2}\big( f(\sigma(t)) - f(p) \big) = \left[ X(Yf) - Y(Xf) \right](p) \end{align*} \end{proof} \Dsl{ $X,Y \in \g \rimpl [X,Y]f(p) = \lim_{t \to 0^+}\frac{1}{t^2}\Big(f\big( R_{\e^{-tY}}R_{\e^{-tX}}R_{\e^{tY}}R_{\e^{tX}}(p) \big) - f(p) \Big)$ } \Dsl{ Pro maticové grupy tak platí $\zuz{[X,Y]}{e} = XY-YX,\ \forall X,Y \in \g$. } \begin{proof} $e = \mathbb{1},\ R_{\e^{-tY}}R_{\e^{-tX}}R_{\e^{tY}}R_{\e^{tX}}(\mathbb{1}) = \e^{tX}\e^{tY}\e^{-tX}\e^{-tY}$ \begin{align*} [X,Y]f(e) = \lim_{t \to 0^+}\frac{1}{t^2}\Big(f\left( \e^{tX}\e^{tY}\e^{-tX}\e^{-tY} \right) - f(\mathbb{1}) \Big) = \lim_{t \to 0^+}\frac{1}{t}\Big(f\left( \e^{\sqrt{t}X}\e^{\sqrt{t}Y}\e^{-\sqrt{t}X}\e^{-\sqrt{t}Y} \right) - f(\mathbb{1}) \Big) \end{align*} \begin{align*} \zuz{\td{}{t}}{t=0}\left( \e^{\sqrt{t}X}\e^{\sqrt{t}Y}\e^{-\sqrt{t}X}\e^{-\sqrt{t}Y} \right) = \zuz{\td{}{t}}{t=0}\left( \left( \mathbb{1} + \sqrt{t}X \right) + \frac{t}{2}X^2 \right)\left( \left( \mathbb{1} + \sqrt{t}Y \right) + \frac{t}{2}Y^2 \right) \times \\ \times \left( \left( \mathbb{1} - \sqrt{t}X \right) + \frac{t}{2}X^2 \right)\left( \left( \mathbb{1} - \sqrt{t}Y \right) + \frac{t}{2}Y^2 \right) = \zuz{\td{}{t}}{t=0}\left( \mathbb{1} + t\left( XY - YX \right) +O(\sqrt{t}^3) \right) = XY - YX \end{align*} \begin{align*} \Rightarrow \quad [X,Y]f(\mathbb{1}) = \underbrace{(XY - YX)}_{\text{maticové násobení}}f(\mathbb{1}) \rimpl \zuz{[X,Y]}{\mathbb{1}} = \zuz{X}{\mathbb{1}}\zuz{Y}{\mathbb{1}} - \zuz{Y}{\mathbb{1}}\zuz{X}{\mathbb{1}} \end{align*} \end{proof} \Pzn{ \label{Veta} $G$ Lieova grupa, $\g$ Lieova algebra, $\h$ podalgebra $\g$. Potom existuje vnořená podvarieta $H \subset G$, taková, že $H$ je podgrupa $G$ a její Lieova algebra je přirozeně izomorfní $\h$. } \Pzn{ Obecně se nejedná o vložení. Uvažujme například $T^2=S^1[\varphi] \times S^1[\vartheta],\ (\varphi_1,\theta_1)(\varphi_2,\theta_2) = (\varphi_1 + \varphi_ 2, \theta_1 +\theta_2),\ e=(0,0)$. Vektorové pole $X=a\partial_\varphi + b \partial_\vartheta \in \mathfrak{t}^2$, $\h =\mathrm{span} \{ X \}$, $\dot{\varphi} = a,\ \dot{\theta} = b \rimpl H = \{at, bt | t \in \R\}$. Protože $[X,X]=0$ je $\h$ jednorozměrná podalgebra. Pro $\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}$ je křivka na toru uzavřená a jedná se o vložení, pro $\frac{a}{b}\not \in \mathbb{Q}$ ale v~topologii $T^2$ je $\overline{H}=T^2$, tj. nejedná se o vložení. } \subsection{Vlastnosti homomrfismů (cvičení)} \begin{lmma} Nechť $G, \widetilde{G}$ jsou Lieovy grupy, $\phi: G \to \widetilde{G}$ hladký homomorfismus, tj. $\forall g,h \in G,\ \phi(gh) = \phi(g)\phi(h)$, pak platí: \begin{align*} \phi_*\circ L_{g*} = L_{\phi(g)*} \circ \phi_*, \qquad \qquad \phi_*X \in \zuz{\widetilde{\g}}{\phi(g)},\ \forall X \in \g. \end{align*} \end{lmma} \begin{proof} Z definice platí $\forall g,h \in G,\ \forall X \in \g$: \begin{align*} \left.\begin{array}{l} L_{g*}\zuz{X}{h} = \zuz{X}{gh} \\ \phi(L_g h) = L_{\phi(g)} h \quad\Leftrightarrow\quad \phi \circ L_g = L_{\phi(g)} \circ \phi \end{array} \right\} \rimpl \phi_* \circ L_{g*} = L_{\phi(g)*} \circ \phi_* \end{align*} $\Rightarrow\quad \phi_*\zuz{X}{gh} = \phi_* L_{g*} \left( \zuz{X}{h} \right) = L_{\phi(g)*} \phi_* \zuz{X}{h}$. Dále nechť $\phi(g) = \widetilde{g}, \phi(h) = \widetilde{h}$, pak: \begin{align*} L_{\widetilde{g}*} \zuz{\left( \phi_* X \right)}{\widetilde{h}} &= L_{\phi(g)*} \zuz{\left( \phi_* X \right)}{\phi(h)} = L_{\phi(g)*} \circ \phi_* \left( \zuz{X}{h} \right) = \phi_* \circ L_{g*} \left( \zuz{X}{h} \right) = \\ &= \phi_* \left( \zuz{X}{gh} \right) = \zuz{\left( \phi_* X \right)}{\phi(gh)} = \zuz{\left( \phi_* X \right)}{\widetilde{g}\widetilde{h}} \end{align*} $\Rightarrow\quad L_{\widetilde{g}*}\zuz{ \left( \phi_* X \right) }{\widetilde{h}} = \zuz{ \left( \phi_* X \right) }{\widetilde{g}\widetilde{h}} \rimpl \phi_* X \in \zuz{\widetilde{\g}}{\phi(g)},\ \forall X \in \g$. \end{proof} \begin{lmma} $\phi\left( \e^{tX} \right) = \e^{t\phi_* X}$ \end{lmma} \begin{proof} Obě strany rovnice jsou díky $\phi(gh) = \phi(g)\phi(h)$ $1$-parametrické podgrupy$\rimpl$stačí ukázat, že tečné vektory v $e$ jsou stejné. \begin{align*} \zuz{\td{}{t}}{t=0} \phi\left( \e^{tX} \right) = \phi_* \zuz{\td{}{t}}{t=0} \e^{tX} = \zuz{\left( \phi_* X \right)}{\widetilde{e}} = \zuz{\td{}{t}}{t=0} \e^{t\phi_* X} \end{align*} Díky grupovosti tedy platí: \begin{align*} \td{}{t}\phi \left( \e^{tX} \right) &= \zuz{\td{}{s}}{s=0} \phi \left( \e^{(t+s)X} \right) = \zuz{\td{}{s}}{s=0} \phi \left( \e^{tX} \right) \phi \left( \e^{sX} \right) = L_{\phi \left( \e^{tX} \right)*} \zuz{\left( \phi_* X \right) }{\widetilde{e} } = \zuz{\left( \phi_*X \right)}{\phi\left( \e^{tX} \right)} \\ \td{}{t} \e^{t\phi_* X} &= \zuz{ \left( \phi_*X \right) }{\e^{t\phi_* X}} \end{align*} $\Rightarrow\quad$obě strany lemmatu jsou řešení stejné ODR se stejnou počáteční podmínkou $\zuz{\phi \left( \e^{tX} \right)}{t=0} = \widetilde{e} =\zuz{\e^{t\phi_* X}}{t=0}$. \end{proof} \begin{lmma} $\left[ \phi_* X, \phi_* Y \right] = \phi_* \big( [X,Y] \big)$ \end{lmma} \begin{proof} Mějme $f \in C^\infty(\widetilde{G})$: \begin{align*} \left( \phi_* Y \right) \zuz{f}{\phi(g)} = Y\zuz{(f\circ \phi)}{g} = \zuz{\td{}{t}}{t=0} f\left( \phi\left( g\e^{tY} \right) \right) = \zuz{\td{}{t}}{t=0} f\left( \phi(g) \phi\left( \e^{tX} \right) \right) = \zuz{ \td{}{t} }{t=0} \zuz{\left( f \circ R_{\phi\left( \e^{tX} \right)} \right) }{\phi(g)} \end{align*} \begin{align*} \left[ \phi_*X, \phi_*Y \right] \zuz{f}{\phi(p)} &= \zuz{ \td{}{s} }{s=0} \zuz{ \td{}{t} }{t=0} \left[ f \left( \phi(p) \phi \left( \e^{sX} \right) \phi \left( \e^{tY} \right) \right) - f \left( \phi(p) \phi \left( \e^{tY} \right) \phi \left( \e^{sX} \right) \right) \right] = \\ &= \zuz{ \td{}{s}\td{}{t} }{s,t = 0} \left[ f \left( \phi \left( p\e^{sX}\e^{tY} \right) \right) - f \left( \phi \left( p\e^{tY}\e^{sX} \right) \right) \right] = \\ &= \zuz{ \td{}{s}\td{}{t} }{s,t = 0} \left[ (f \circ \phi) \left( p\e^{sX}\e^{tY} \right) - (f \circ \phi) \left( p\e^{tY}\e^{sX} \right) \right] = \\ &= [X,Y] \zuz{(f \circ \phi)}{p} = [X,Y]\zuz{(f \circ \phi)}{p} = \big( \phi_* [X,Y] \big) \zuz{f}{\phi(p)} \end{align*} $\Rightarrow\quad \left[ \phi_*X, \phi_* Y \right] = \phi_* \big( [X,Y] \big)$. \end{proof}