01DIFRcviceni:Kapitola6: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (Doplnění "=" a změna z malého "c" na velké "C") |
m |
||
Řádka 178: | Řádka 178: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | y = \big( \frac{1}{x} + A \big) sin x \longrightarrow y = \frac{ \sin x }{x} + k \cdot \sin x | + | y = \big( \frac{1}{x} + A \big) \sin x \longrightarrow y = \frac{ \sin x }{x} + k \cdot \sin x |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Aktuální verze z 16. 4. 2017, 10:31
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01DIFRcviceni
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01DIFRcviceni | Admin | 13. 2. 2011 | 20:47 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:45 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Admin | 1. 8. 2010 | 02:34 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:33 | kapitola1.tex | ||
Kapitola2 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:35 | kapitola2.tex | ||
Kapitola3 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:37 | kapitola3.tex | ||
Kapitola4 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:37 | kapitola4.tex | ||
Kapitola5 | editovat | Kubuondr | 16. 4. 2017 | 10:39 | kapitola5.tex | ||
Kapitola6 | editovat | Kubuondr | 16. 4. 2017 | 10:31 | kapitola6.tex | ||
Kapitola7 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:39 | kapitola7.tex | ||
Kapitola8 | editovat | Kubuondr | 16. 4. 2017 | 10:16 | kapitola8.tex | ||
Kapitola9 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:45 | kapitola9.tex | ||
Kapitola10 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:43 | kapitola10.tex | ||
Kapitola11 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:41 | kapitola11.tex | ||
Kapitola12 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:41 | kapitola12.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFRcviceni} \section{Lineární diferenciální rovnice 1.řádu} \subsection*{Zamyslete se:} Jaký mají tvar LDR? \\ Na jaké dva kroky se rozpadá řešení takovýchto rovnic? \\ Jak je to s jednoznačností řešení LDR? \begin{displaymath} tvar: y^\prime + q \big( x \big) \cdot y = q \big( x \big) \end{displaymath} \subsection*{Příklad č.1} Řešte: \begin{displaymath} y^\prime + 2xy = x \cdot e^{-x^2} \end{displaymath} Z přednášky víme, že takovéto řešení se tento typ diferenciálních rovnic rozpadá na 2 etapy, v první řešíme rovnici \uv{bez pravé strany} a v druhé řešíme pomocí metody variace konstant celkové řešení. \subsubsection*{ 1.etapa \ldots \uv{bez pravé strany} } \begin{displaymath} y^\prime + 2xy = 0 \end{displaymath} Vidíme, že se jedná o rovnici separovatelnou, pro jistotu spočtu sám: \begin{displaymath} \frac{ y^\prime }{y} + 2x = 0 \end{displaymath} kde $y=0$ je rovněž řešením. \begin{center} \begin{math} \int \frac{dy}{y} + 2 \int x dx = 0 \ldots y \neq 0 \end{math} \begin{math} \ln |y| = - x^2 + C \end{math} \begin{math} |y| = A \cdot e^{-x^2} \ldots A>0 \end{math} \begin{math} y = A \cdot e^{-x^2} \end{math} \end{center} kde A může být libovolné. Máme tedy obecné řešení rovnice bez pravé strany. \subsubsection*{2.etapa \ldots metoda variace konstant} Předpokládejme tedy, že konstanta A závisí nějak na parametru X, tedy $A = A \big( x \big) $, pak tedy: \begin{center} \begin{math} y = A \big( x \big) \cdot e^{-x^2} \end{math} \begin{math} A^\prime \big( x \big) \cdot e^{-x^2} + A \big( x \big) \cdot \big( -2x \big) \cdot e^{-x^2} + 2x \cdot A \big( x \big) \cdot e^{-x^2} = x \cdot e^{-x^2} \end{math} \begin{math} A^\prime \big( x \big) \cdot e^{-x^2} = x \cdot e^{-x^2} \end{math} \begin{math} A^\prime \big( x \big) = x \end{math} \begin{math} A \big( x \big) = \frac{1}{2} x^2 + C \end{math} \end{center} a tedy obecné řešení na intervalu $ \big( - \infty , + \infty \big) $ původní rovnice je: \begin{displaymath} y = \big( \frac{1}{2} x^2 + C \big) \cdot e^{-x^2} \end{displaymath} Pokud bychom chtěli nějaké konkrétní řešení, ke kterému bychom měli zadané nějaké počáteční podmínky, museli bychom je dosadit do zadání. Ukažme si jeden konkrétní případ: \begin{displaymath} y \big( 1 \big) = \frac{1}{e} \end{displaymath} nechť je podmínka. Dosaďme tedy: \begin{displaymath} \frac{1}{e} = \big( \frac{1}{2} \cdot 1 + C \big) \cdot e^{-1} \Longrightarrow C = \frac{1}{2} \end{displaymath} Máme tedy jedno konkrétní řešení: \begin{displaymath} y = \big( \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2} \big) \cdot e^{-x^2} \end{displaymath} \subsection*{Příklad č.2} Následující zadání bude trochu zajímavější. Řešte: \begin{displaymath} y^\prime \cdot \sin x - y \cdot \cos x = - \frac{ \sin ^2 x }{x^2} \end{displaymath} pokud požadujeme, aby při $x \to \infty $ bylo splněno: $y \big ( x \big) = 0$. Opět se řešení rozpadá na dva případy. \subsubsection*{ 1.etapa \ldots \uv{bez pravé strany} } \begin{displaymath} y^\prime \cdot \sin x - y \cdot \cos x = 0 \end{displaymath} kde vidíme, že $y = 0$ je rovněž řešením. Proto můžeme do dalších výpočtů brát $y \neq 0$. \begin{center} \begin{math} \frac{ y^\prime }{y} = \frac{ \cos x }{ \sin x } \end{math} \begin{math} \int \frac{ dy }{y} = \int \frac{ \cos x }{ \sin x } dx \end{math} \begin{math} \ln |y| = \ln | \sin x | + \ln C \end{math} \begin{math} |y| = c | \sin x | \end{math} \begin{math} y = C \cdot \sin x ; \ldots C \in R \end{math} \end{center} \subsubsection*{2.etapa \ldots metoda variace konstant} \begin{center} \begin{math} C = C \big( x \big) \end{math} \begin{math} y = C \big( x \big) \cdot \sin x \end{math} \begin{math} C^\prime \big( x \big) \cdot \sin ^2 x + C \big( x \big) \cos x \cdot \sin x - C \big( x \big) \cos x \cdot \sin x = - \frac{ \sin ^2 x}{x^2} \end{math} \begin{math} C^\prime \big( x \big) \cdot \sin ^2 x = - \frac{ \sin ^2 x }{x^2} \end{math} \begin{math} C \big( x \big) \frac{1}{x} + A \end{math} \end{center} Obecným řešením tedy je: \begin{displaymath} y = \big( \frac{1}{x} + A \big) \sin x \longrightarrow y = \frac{ \sin x }{x} + k \cdot \sin x \end{displaymath} Naložíme-li na toto řešení podmínku, že $x \to \infty ;y \big ( x \big) = 0$, vidíme na první pohled, že $A = 0$, aby byla podmínka splněna. \subsection*{Příklad č.3} Řešte: \begin{displaymath} y^\prime + \tan y = \frac{x}{ \cos y} \end{displaymath} Nejdříve tedy tuto rovnici převedeme na LDR. \begin{displaymath} y^\prime \cdot \cos y + \sin y = x \end{displaymath} kde můžeme použít substituci a zjednodušit si řešení: \begin{center} \begin{math} z = \sin y \end{math} \begin{math} z^\prime = \cos y \cdot y^\prime \end{math} \end{center} Dostávám tedy tuto jednoduchou diferenciální rovnici: \begin{displaymath} z^\prime + z = x \end{displaymath} a dále už budu postupovat stejně jako v předchozím případě. 1.etapa: \begin{center} \begin{math} z^\prime + z = 0 \end{math} \begin{math} \frac{z^\prime}{z} = -1 \end{math} \begin{math} \ln |z| = -x + C \end{math} \begin{math} z = A \cdot e^{-x} \end{math} \end{center} čímž jsme dostali obecné řešení bez pravé strany. V druhé etapě tedy budu postupovat: \begin{center} \begin{math} z^\prime = A^\prime \big( x \big) \cdot e^{ -x} - A \big( x \big) \cdot e^{-x} \end{math} \begin{math} A^\prime \big( x \big) \cdot e^{-x} = x \end{math} \begin{math} A^\prime \big( x \big) = x \cdot e^x \end{math} \begin{math} A = x \cdot e^x - e^x + C \end{math} \end{center} tím dostávám: \begin{displaymath} z = \big( x \cdot e^x - e^x + C \big) \cdot e^{-x} \end{displaymath} tedy konečné řešení je: \begin{displaymath} y = \arcsin \big( x - 1 + C \cdot e^{-x} \big) \end{displaymath}