Matematika2:Kapitola3: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 13: | Řádka 13: | ||
\begin{define}[Vzdálenost bodů] | \begin{define}[Vzdálenost bodů] | ||
− | Vzdálenost dvou bodů $A=[ | + | Vzdálenost dvou bodů $A=[x_A, y_A]$ a $B=[x_B, y_B]$: $$\ud(A,B) = \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}.$$ |
\end{define} | \end{define} | ||
Řádka 19: | Řádka 19: | ||
Vzdálenost bodu $A= [x_A, y_A]$ a přímky $p$: | Vzdálenost bodu $A= [x_A, y_A]$ a přímky $p$: | ||
% o rovnici $p: ax+by+c=0$ je definována | % o rovnici $p: ax+by+c=0$ je definována | ||
− | $$\ud(p, A) = \min_{B\in p}\ud(A,B).$$ | + | $$\ud(p, A) = \min_{B\in p}~\ud(A,B).$$ |
\end{define} | \end{define} | ||
Řádka 26: | Řádka 26: | ||
Vzdálenost přímky $p: ax+by+c=0$ od počátku $O=[0,0]$ je dána výrazem | Vzdálenost přímky $p: ax+by+c=0$ od počátku $O=[0,0]$ je dána výrazem | ||
$$ | $$ | ||
− | + | \ud(p,O) = \frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. | |
$$ | $$ | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Řádka 45: | Řádka 45: | ||
Nakonec spočítáme vzdálenost bodu $A$ od počátku $O$ | Nakonec spočítáme vzdálenost bodu $A$ od počátku $O$ | ||
$$ | $$ | ||
− | + | \ud(p,O) = \ud(O,A) = \frac{\sqrt{a^2c^2+b^2c^2}}{\sqrt{a^2+b^2}^2} = \frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. | |
$$ | $$ | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
Řádka 53: | Řádka 53: | ||
Vzdálenost přímky $p: ax+by+c=0$ od bodu $B=[x_B,y_B]$ je dána výrazem | Vzdálenost přímky $p: ax+by+c=0$ od bodu $B=[x_B,y_B]$ je dána výrazem | ||
$$ | $$ | ||
− | + | \ud(p,B) = \frac{|ax_B+by_B+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. | |
$$ | $$ | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Řádka 67: | Řádka 67: | ||
Podle Věty~\ref{thm:vzdalenost} je vzdálenost počátku $O'$ od přímky $p$ (vyjádřené v čárkované soustavě) | Podle Věty~\ref{thm:vzdalenost} je vzdálenost počátku $O'$ od přímky $p$ (vyjádřené v čárkované soustavě) | ||
$$ | $$ | ||
− | + | \ud(O',p) = \frac{|c'|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{|ax_B+by_B+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. | |
$$ | $$ | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
Řádka 78: | Řádka 78: | ||
\end{figure} | \end{figure} | ||
− | \subsection{Kružnice} | + | \subsection{Kružnice a elipsa} |
\begin{define}[Kružnice] | \begin{define}[Kružnice] | ||
Kružnice se středem v bodě $S$ o poloměru $r>0$ | Kružnice se středem v bodě $S$ o poloměru $r>0$ | ||
Řádka 93: | Řádka 93: | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
− | \subsection{Elipsa} | + | %\subsection{Elipsa} |
\begin{define}[Elipsa] | \begin{define}[Elipsa] | ||
Elipsa s ohnisky $F_1$ a $F_2$ a délkou hlavní poloosy $a$ | Elipsa s ohnisky $F_1$ a $F_2$ a délkou hlavní poloosy $a$ |
Aktuální verze z 6. 2. 2022, 15:07
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika2 | Fucikrad | 14. 9. 2011 | 16:01 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 19:27 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:05 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Techniky integrace | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:06 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněný Riemannův integrál | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:06 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Kuželosečky | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Polární souřadnice | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:08 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Křivky dané parametricky | Fucikrad | 25. 4. 2022 | 15:28 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Supremum a infimum | Fucikrad | 13. 3. 2012 | 14:41 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posloupnosti reálných čísel | Fucikrad | 6. 4. 2023 | 08:47 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Řady | Fucikrad | 24. 5. 2022 | 11:01 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Taylorův polynom a Taylorova řada | Fucikrad | 20. 4. 2022 | 10:15 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Mocninné řady | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:10 | kapitola10.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:kuzelky.pdf | kuzelky.pdf |
Image:A.png | A.png |
Image:B.png | B.png |
Image:C.png | C.png |
Image:D.png | D.png |
Image:E1.png | E1.png |
Image:E2.png | E2.png |
Image:E3.png | E3.png |
Image:E4.png | E4.png |
Image:F1.png | F1.png |
Image:F2.png | F2.png |
Image:F3.png | F3.png |
Image:F4.png | F4.png |
Image:J.png | J.png |
Image:K.png | K.png |
Image:L.png | L.png |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2} \section[Kuželosečky]{\fbox{Kuželosečky}} \subsection{Kartézský systém souřadnic v $\R^2$} \begin{remark} Kartézský systém souřadnic $(O,x,y)$. Posunutí (přechod) do systému $(O',x', y')$, kde $O' = [x_0, y_0]$ transformacemi \begin{align*} x &= x_0 + x', \\ y &= y_0 + y'. \end{align*} \end{remark} \begin{define}[Vzdálenost bodů] Vzdálenost dvou bodů $A=[x_A, y_A]$ a $B=[x_B, y_B]$: $$\ud(A,B) = \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}.$$ \end{define} \begin{define}[Vzdálenost bodu a přímky] Vzdálenost bodu $A= [x_A, y_A]$ a přímky $p$: % o rovnici $p: ax+by+c=0$ je definována $$\ud(p, A) = \min_{B\in p}~\ud(A,B).$$ \end{define} \begin{theorem}[Vzdálenost přímky od počátku]\label{thm:vzdalenost} Vzdálenost přímky $p: ax+by+c=0$ od počátku $O=[0,0]$ je dána výrazem $$ \ud(p,O) = \frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. $$ \begin{proof} Vzdálenost počátku $O$ od přímky $p$ se realizuje na kolmici. Sestrojíme proto kolmici $q$ k přímce $p$, která prochází počátkem a změříme vzdálenost bodu $A$ průniku přímek $p$ a $q$ od $O$. Připomeňme, že koeficienty $a$ a $b$ tvoří normálový (kolmý) vektor k přímce $p$. Proto přímku $q$ hledáme ve tvaru $q: bx-ay+d=0$ neb vektor $(b,-a)$ je kolmý na $(a,b)$. Nyní stačí určit koeficient $d$ podle podmínky $O \in q$, odkud $d = 0$. Dalším krokem je nalezení průsečíku $A=[x_A,y_A]$ přímek $p$ a $q$. Řešením rovnic \begin{align*} ax_A+by_A+c&=0 \\ bx_A-ay_A&=0. \end{align*} dostaneme souřadnice průsečíku $$ x_A = -\frac{ac}{a^2+b^2}, \quad y_A = -\frac{bc}{a^2+b^2}. $$ Nakonec spočítáme vzdálenost bodu $A$ od počátku $O$ $$ \ud(p,O) = \ud(O,A) = \frac{\sqrt{a^2c^2+b^2c^2}}{\sqrt{a^2+b^2}^2} = \frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. $$ \end{proof} \end{theorem} \begin{corollary}[Vzdálenost přímky od bodu] Vzdálenost přímky $p: ax+by+c=0$ od bodu $B=[x_B,y_B]$ je dána výrazem $$ \ud(p,B) = \frac{|ax_B+by_B+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. $$ \begin{proof} Použijeme výsledek Věty~\ref{thm:vzdalenost}, pro který posuneme počátek pomocné soustavy souřadné $(O',x',y')$ do bodu $B$, tj. počátek $O'$ má v původní souřadné soustavě souřadnice \mbox{$O'=B=[x_B,y_B]$}. Transformační vztahy posunutí $(O,x,y) \to (O',x',y')$ jsou \begin{align*} x &= x_B + x', \\ y &= y_B + y'. \end{align*} Přímka $p$ má tedy v čárkované soustavě rovnici $p: a(x_B+x') + b(y_B+y')+c=0$, tj. $$ p: ax'+by' + \underbrace{ax_B+by_B+c}_{\hbox{ozn.~}c'} = 0. $$ Podle Věty~\ref{thm:vzdalenost} je vzdálenost počátku $O'$ od přímky $p$ (vyjádřené v čárkované soustavě) $$ \ud(O',p) = \frac{|c'|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{|ax_B+by_B+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. $$ \end{proof} \end{corollary} \begin{figure}[hbt] \centering \includegraphics[width=0.4\textwidth]{kuzelky} \end{figure} \subsection{Kružnice a elipsa} \begin{define}[Kružnice] Kružnice se středem v bodě $S$ o poloměru $r>0$ $$ \mathcal{K} = \left\{ A : \ud(A,S) = r \right\}. $$ \end{define} \begin{remark} Nechť $S=[x_0,y_0]$ a bod $A=[x,y]$. Pak $A\in\mathcal{K}$ když $\ud(A,S)=r$, tj. $$ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2. $$ \end{remark} %\subsection{Elipsa} \begin{define}[Elipsa] Elipsa s ohnisky $F_1$ a $F_2$ a délkou hlavní poloosy $a$ $$ \mathcal{E} = \left\{ A : \ud(A,F_1) + \ud(A,F_2) = 2a \right\}, $$ kde střed $S$ se nachází v polovině úsečky $\overline{F_1F_2}$ a $2a > \ud(F_1,F_2)\geq 0$. \end{define} \begin{remark} Nechť $S=[0,0]$, $F_1=[-e,0]$, $F_2=[e,0]$, tj. hlavní poloosa je ve směru osy $x$. Číslo $e$ nazýváme excentricita (výstřednost). Rovnici všech bodů $A = [x,y]\in\mathcal{E}$ dostaneme z definiční rovnice $$ \ud(A,F_1) + \ud(A,F_2) = 2a $$ pomocí algebraických manipulací ve tvaru $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, $$ kde mezi koeficienty $a$, $b$ a $e$ platí z Pythagorovy věty $$ e^2 + b^2 = a^2. $$ Koeficient $b$ se nazývá vedlejší poloosa ($b<a$).Vrcholy elipsy se nacházejí v bodech $V_{1,2}=[x_0\pm a,y_0]$, $V_{3,4}=[x_0,y_0 \pm b]$. Analogicky lze odvodit rovnici pro elipsu s hlavní poloosou ve směru osy $y$. \end{remark} \begin{theorem}[Rovnice elipsy] Rovnice elipsy se středem v bodě $S=[x_0,y_0]$, excentricitou $e$ a hlavní poloosou $a$ ve směru osy $x$ $$ \frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1. $$ Rovnice elipsy se středem v bodě $S=[x_0,y_0]$, excentricitou $e$ a hlavní poloosou $a$ ve směru osy $y$ $$ \frac{(x-x_0)^2}{b^2} + \frac{(y-y_0)^2}{a^2} = 1. $$ Pro parametry $a$, $b$ a $e$ platí $e^2 + b^2 = a^2$. \begin{proof} Plyne z definice a předchozí poznámky. Vrcholy $V_{1,2}=[x_0\pm a,y_0]$, $V_{3,4}=[x_0,y_0 \pm b]$. V prvním případě, $F_{1,2}=[x_0\pm e,y_0]$. V druhém pak $F_{1,2}=[x_0,y_0\pm e]$. \end{proof} \end{theorem} \subsection{Hyperbola} \begin{define}[Hyperbola] Hyperbola s ohnisky $F_1$ a $F_2$ a délkou reálné poloosy $a>0$ $$ \mathcal{H} = \left\{ A : \Big| \ud(A,F_1) - \ud(A,F_2) \Big| = 2a \right\}, $$ kde střed $S$ se nachází v polovině úsečky $\overline{F_1F_2}$ a $2a < \ud(F_1,F_2)$. \end{define} \begin{remark} Nechť $S=[0,0]$, $F_1=[-e,0]$, $F_2=[e,0]$ ($e$--excentricita), tj. reálná poloosa $a$ je ve směru osy $x$. Rovnici všech bodů $A = [x,y]\in\mathcal{H}$ odvodíme z definiční rovnice $$ \Big|\ud(A,F_1) - \ud(A,F_2)\Big| = 2a, $$ kterou je též možné zapsat ve tvaru $$ \ud(A,F_1) - \ud(A,F_2) = \pm2a, $$ který vyjadřuje obě větve hyperboly (pro $x>0$ i $x<0$). Po dosazení za definici vzdálenosti bodů jednu z odmocnin převedeme na druhou stranu rovnice $$ \sqrt{(x+e)^2+y^2} - \sqrt{(x-e)^2+y^2} = \pm 2a $$ a umocníme na druhou $$ (x+e)^2 + y^2 = (x-e)^2 + y^2 \pm 4a\sqrt{(x-e)^2+y^2} + 4a^2. $$ Tuto rovnici upravíme a umocníme na druhou $$ x^2(e^2-a^2) - a^2y^2= a^2(e^2-a^2). $$ Dle předpokladu je $0<2a<\ud(F_1,F_2)=2e$, proto $a<e$ a můžeme zavést parametr $b^2 = e^2-a^2$, který nazveme imaginární poloosou. Celkem rovnici hyperboly zapisujeme ve tvaru $$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. $$ Vrcholy hyperboly se nacházejí v bodech $V_{1,2} = [\pm a,0]$. Analogicky lze odvodit rovnici pro hyperbolu s reálnou poloosou ve směru osy $y$. \end{remark} \begin{theorem}[Rovnice hyperboly] Rovnice hyperboly se středem v bodě $S=[x_0,y_0]$, excentricitou $e$ a reálnou poloosou $a$ ve směru osy $x$ $$ \frac{(x-x_0)^2}{a^2} - \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1. $$ Rovnice hyperboly se středem v bodě $S=[x_0,y_0]$, excentricitou $e$ a reálnou poloosou $a$ ve směru osy $y$ $$ -\frac{(x-x_0)^2}{b^2} + \frac{(y-y_0)^2}{a^2} = 1. $$ Pro parametry $a$, $b$ a $e$ platí $e^2 = a^2 + b^2$. \begin{proof} Plyne z definice a předchozí poznámky. V prvním případě, $F_{1,2}=[x_0\pm e,y_0]$ a $V_{1,2}=[x_0\pm a,y_0]$. V druhém pak $F_{1,2}=[x_0,y_0\pm e]$ a $V_{1,2}=[x_0,y_0 \pm a]$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Asymptoty hyperboly] Hyperbola o rovnici $$ \frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1 $$ má v $\pm \infty$ asymptoty $$ y = y_0\pm \frac{b}{a}(x-x_0). $$ \begin{proof} Z rovnice hyperboly umíme vyjádřit dva funkční předpisy $$ f_{1,2}(x) = y_0\pm \sqrt{\frac{b^2}{a^2}(x-x_0)^2 - b^2}, $$ které popisují horní ($y>y_0$) a spodní ($y<y_0$) část grafu hyperboly. Snadno nahlédneme, že $$ \lim\limits_{x\to\infty} \sqrt{\frac{b^2}{a^2}(x-x_0)^2 - b^2}- \frac{b}{a}(x-x_0) = 0. $$ \end{proof} \end{theorem} \subsection{Parabola} \begin{define}[Parabola] Parabola s ohniskem $F$ a řídící přímkou $p$ $$ \mathcal{P} = \left\{ A : \ud(A,F) = \ud(A,p) \right\}. $$ Vrchol paraboly $V$ se nachází v polovině vzdálenosti $\ud(F,p)$ od ohniska $F$ na normále k řídící přímce procházející ohniskem $F$. \end{define} \begin{remark} Nechť $V=[0,0]$, $F=[0,e]$, $p: y=-e$ a $e>0$, tj. parabola je otevřena v kladném směru osy $y$. Rovnici všech bodů $A = [x,y]\in\mathcal{P}$ dostaneme z definiční rovnice $$ \ud(A,F) = \ud(A,p), $$ tj. $$ \sqrt{x^2+(y-e)^2} = \sqrt{(y+e)^2}, $$ odkud pomocí algebraických manipulací dostaneme rovnici paraboly ve tvaru $$ x^2 = 4ey. $$ Analogicky lze odvodit rovnici pro parabolu otevřenou v kladném směru osy $x$: $y^2=4ex$. Pokud $e<0$, je parabola otevřena v záporném směru os. \end{remark} \begin{theorem}[Rovnice paraboly] Parabola s vrcholem v bodě $V=[x_0, y_0]$ a excentricitou $e$ položená v kladném ($e>0$) nebo záporném ($e<0$) směru osy $x$ má rovnici $$ (y-y_0)^2 = 4e(x-x_0). $$ Parabola s vrcholem v bodě $V=[x_0, y_0]$ a excentricitou $e$ položená v kladném ($e>0$) nebo záporném ($e<0$) směru osy $y$ má rovnici $$ (x-x_0)^2 = 4e(y-y_0). $$ \end{theorem}