02KVANCV:Kapitola11: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02KVANCV} \chapter{Poruchová teorie} \begin{cvi} Lineární harmonický oscilátor je v homogenním gravitačním poli. Určete energie oscilátoru do 2. ...) |
|||
Řádka 2: | Řádka 2: | ||
\chapter{Poruchová teorie} | \chapter{Poruchová teorie} | ||
+ | |||
+ | \begin{cvi} | ||
+ | Uvažujte systém s Hilbertovým prostorem ${\mathcal H} = \mathds{C}^4$. K původnímu hamiltoniánu daného maticí | ||
+ | $$ | ||
+ | H_0 = E_0 \left( | ||
+ | \begin{array}{cccc} | ||
+ | 15 & 0 & 0 & 0 \\ | ||
+ | 0 & 3 & 0 & 0 \\ | ||
+ | 0 & 0 & 3 & 0 \\ | ||
+ | 0 & 0 & 0 & 3 \\ | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right)$$ | ||
+ | přidáme poruchu tvaru | ||
+ | $$ | ||
+ | \quad H' = E_0 \left( | ||
+ | \begin{array}{cccc} | ||
+ | 0 & 0 & 0 & 0 \\ | ||
+ | 0 & 0 & 1 & 0 \\ | ||
+ | 0 & 1 & 0 & 0 \\ | ||
+ | 0 & 0 & 0 & 0 \\ | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right). | ||
+ | $$ | ||
+ | Určete vlastní čísla celkového hamiltoniánu | ||
+ | $$ | ||
+ | \hat H = \hat H_0 + \varepsilon \hat H', | ||
+ | $$ | ||
+ | a porovnejte je s výsledkem poruchového výpočtu do 1. řádu. | ||
+ | \end{cvi} | ||
+ | \navod | ||
+ | Vlastní čísla neporušeného hamiltoniánu jsou | ||
+ | $$ | ||
+ | E_1^{(0)} = 15 E_0,\quad E_2^{(0)} = 3E_0, | ||
+ | $$ | ||
+ | kde $E_1^{(0)}$ je nedegenerovaná, $E_2^{(0)}$ má degeneraci 3. Odpovídající vlastní vektory jsou vektory standardní báze | ||
+ | $$ | ||
+ | |\phi_1\rangle = \left( | ||
+ | \begin{array}{c} | ||
+ | 1 \\ | ||
+ | 0 \\ | ||
+ | 0 \\ | ||
+ | 0 \\ | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right),\quad |\phi_2\rangle = \left( | ||
+ | \begin{array}{c} | ||
+ | 0 \\ | ||
+ | 1 \\ | ||
+ | 0 \\ | ||
+ | 0 \\ | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right), \quad |\phi_3\rangle = \left( | ||
+ | \begin{array}{c} | ||
+ | 0 \\ | ||
+ | 0 \\ | ||
+ | 1 \\ | ||
+ | 0 \\ | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right), \quad |\phi_4\rangle = \left( | ||
+ | \begin{array}{c} | ||
+ | 0 \\ | ||
+ | 0 \\ | ||
+ | 0 \\ | ||
+ | 1 \\ | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right) | ||
+ | $$ | ||
+ | Přesná vlastní čísla celkového hamiltoniánu jsou rovna | ||
+ | $$ | ||
+ | E_1 = 15 E_0,\quad E_2 = 3 E_0, \quad E_3 = (3-\varepsilon)E_0,\quad E_4 = (3+\varepsilon)E_0. | ||
+ | $$ | ||
+ | Pro poruchový výpočet musíme použít zvlášt postup pro prostou vlastní hodnotu $E_1^{(0)}$ a pro degenerovanou hodnotu $E_2^{(0)}$. V případě prosté vlastní hodnoty $E_1^{(0)}$ dostaneme do 1. řádu poruchového rozvoje | ||
+ | $$ | ||
+ | E_1(\varepsilon) = E_1^{(0)} + \varepsilon \langle\phi_1|\hat H'|\phi_1\rangle = 15 E_0. | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Pro degenerovanou hodnotu musíme nejprve určit matici operátoru poruchy v podprostoru odpovídajícím hodnotě $E_2^{(0)}$, | ||
+ | $$ | ||
+ | H'_{E_2^{(0)}} = \left(\langle\phi_i|\hat H'|\phi_j\rangle\right),\quad i,j=2,3,4. | ||
+ | $$ | ||
+ | V tomto případě dostaneme | ||
+ | $$ | ||
+ | H'_{E_2^{(0)}} = \left( | ||
+ | \begin{array}{ccc} | ||
+ | 0 & E_0 & 0 \\ | ||
+ | E_0 & 0 & 0 \\ | ||
+ | 0 & 0 & 0 \\ | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right). | ||
+ | $$ | ||
+ | Vlastní čísla této matice jsou | ||
+ | $$ | ||
+ | \lambda_1 = 0,\quad \lambda_2 = -E_0,\quad \lambda_3 = E_0. | ||
+ | $$ | ||
+ | Odtud dostaneme energie $E_2^{(0)}$ do 1. řádu | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \nonumber E_2(\varepsilon) & = & E_2^{(0)} + \varepsilon \lambda_1 = 3 E_0, \\ | ||
+ | \nonumber E_3(\varepsilon) & = & E_2^{(0)} + \varepsilon \lambda_2 = (3-\varepsilon)\ E_0, \\ | ||
+ | \nonumber E_4(\varepsilon) & = & E_2^{(0)} + \varepsilon \lambda_3 = (3+\varepsilon)\ E_0. | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 1. řád poruchové teorie zde dává přesné výsledky. | ||
+ | |||
\begin{cvi} | \begin{cvi} |
Aktuální verze z 11. 9. 2017, 13:51
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVANCV
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVANCV | Steffy | 29. 8. 2013 | 14:57 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:50 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Steffy | 29. 8. 2013 | 15:15 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Klasická mechanika a statistická fyzika | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:14 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | de Broglieova vlna | Steffy | 8. 9. 2015 | 15:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Volná částice | Steffy | 13. 9. 2017 | 15:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Pravoúhlá potenciálová jáma | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:22 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Harmonický oscilátor | Steffy | 8. 9. 2017 | 10:17 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Moment hybnosti | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:30 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posunovací operátory | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:15 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Výsledky měření | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:42 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Časový vývoj | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:51 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Spin | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:52 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Poruchová teorie | Steffy | 11. 9. 2017 | 13:51 | kapitola11.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVANCV} \chapter{Poruchová teorie} \begin{cvi} Uvažujte systém s Hilbertovým prostorem ${\mathcal H} = \mathds{C}^4$. K původnímu hamiltoniánu daného maticí $$ H_0 = E_0 \left( \begin{array}{cccc} 15 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ \end{array} \right)$$ přidáme poruchu tvaru $$ \quad H' = E_0 \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right). $$ Určete vlastní čísla celkového hamiltoniánu $$ \hat H = \hat H_0 + \varepsilon \hat H', $$ a porovnejte je s výsledkem poruchového výpočtu do 1. řádu. \end{cvi} \navod Vlastní čísla neporušeného hamiltoniánu jsou $$ E_1^{(0)} = 15 E_0,\quad E_2^{(0)} = 3E_0, $$ kde $E_1^{(0)}$ je nedegenerovaná, $E_2^{(0)}$ má degeneraci 3. Odpovídající vlastní vektory jsou vektory standardní báze $$ |\phi_1\rangle = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right),\quad |\phi_2\rangle = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right), \quad |\phi_3\rangle = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right), \quad |\phi_4\rangle = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) $$ Přesná vlastní čísla celkového hamiltoniánu jsou rovna $$ E_1 = 15 E_0,\quad E_2 = 3 E_0, \quad E_3 = (3-\varepsilon)E_0,\quad E_4 = (3+\varepsilon)E_0. $$ Pro poruchový výpočet musíme použít zvlášt postup pro prostou vlastní hodnotu $E_1^{(0)}$ a pro degenerovanou hodnotu $E_2^{(0)}$. V případě prosté vlastní hodnoty $E_1^{(0)}$ dostaneme do 1. řádu poruchového rozvoje $$ E_1(\varepsilon) = E_1^{(0)} + \varepsilon \langle\phi_1|\hat H'|\phi_1\rangle = 15 E_0. $$ Pro degenerovanou hodnotu musíme nejprve určit matici operátoru poruchy v podprostoru odpovídajícím hodnotě $E_2^{(0)}$, $$ H'_{E_2^{(0)}} = \left(\langle\phi_i|\hat H'|\phi_j\rangle\right),\quad i,j=2,3,4. $$ V tomto případě dostaneme $$ H'_{E_2^{(0)}} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & E_0 & 0 \\ E_0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right). $$ Vlastní čísla této matice jsou $$ \lambda_1 = 0,\quad \lambda_2 = -E_0,\quad \lambda_3 = E_0. $$ Odtud dostaneme energie $E_2^{(0)}$ do 1. řádu \begin{eqnarray} \nonumber E_2(\varepsilon) & = & E_2^{(0)} + \varepsilon \lambda_1 = 3 E_0, \\ \nonumber E_3(\varepsilon) & = & E_2^{(0)} + \varepsilon \lambda_2 = (3-\varepsilon)\ E_0, \\ \nonumber E_4(\varepsilon) & = & E_2^{(0)} + \varepsilon \lambda_3 = (3+\varepsilon)\ E_0. \end{eqnarray} 1. řád poruchové teorie zde dává přesné výsledky. \begin{cvi} Lineární harmonický oscilátor je v homogenním gravitačním poli. Určete energie oscilátoru do 2. řádu poruchového rozvoje. \end{cvi} \navod Porucha je $\hat{H}' = F\hat{Q}$. Při výpočtu maticových elementů $\langle n|\hat{H}'| m\rangle$ je vhodné rozepsat operátor polohy pomocí posunovacích operátorů. První oprava $n$-té hladiny $E_n^{(1)} = \langle n|\hat{H}' |n\rangle$ je rovna nule. Oprava druhého řádu je pro všechny hladiny stejná $$ E_n^{(2)} = \sum_{j\neq n} \frac{\left|\langle j|\hat{H}'|n\rangle\right|^2}{E_n - E_j} = - \frac{F^2}{2M\omega^2}. $$ Energie oscilátoru v homogenním poli jsou do druhého řádu rovny $$ E_n = \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega - \frac{F^2}{2M\omega^2}. $$ Ve skutečnosti je to přesný výsledek, protože celkový hamiltonián lze upravit na čtverec $$ \hat{H} = \frac{\hat{P}^2}{2M} + \frac{1}{2}M\omega^2\hat{Q}^2 + F\hat{Q} = \frac{\hat{P}^2}{2M} + \frac{1}{2}M\omega^2\left(\hat{Q} + \frac{F}{M\omega^2} \right)^2 - \frac{F^2}{2M\omega^2}. $$ \begin{cvi} Najděte v 1. řádu poruchové teorie energii základního stavu atomu helia. \end{cvi} \navod \\ Neporušený systém $\ldots$ 2 elektrony v poli jádra.\\ Porucha $\ldots$ elektrostatická interakce mezi elektrony $\hat H'={\tilde e}^2/|{\vec x}^{(1) }- {\vec x}^{(2)}|$. \\ Základní stav neporušeného $\hat H_0$ (zdůvodněte a ověřte normalizaci) $$\phi({\vec x}^{(1)},{\vec x}^{(2)}, \xi^{(1)}, \xi^{(2)}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \psi^{(1)}_0({\vec x}^{(1)},\xi^{(1)}) \psi^{(-1)}_0({\vec x}^{(2)},\xi^{(2)}) - \left( ({\vec x}^{(1)},\xi^{(1)}) \leftrightarrow ({\vec x}^{(2)},\xi^{(2)}) \right) \right),$$ kde $$ \psi^{(\alpha)}_0({\vec x},\xi) = \pi^{-1/2} (Z/a)^{3/2} \exp(-Zr/a) \delta_{\xi,\alpha}, \quad \xi=\pm 1. $$ Při výpočtu $E_0^{(1)}=\langle \phi | \hat H' | \phi \rangle$ využijte (viz Formánek: úvod do kvantové teorie) $$ \frac{1}{|{\vec x} - {\vec y}|} = \frac{1}{R} \sum_{l=0}^{\infty} \left(\frac{r}{R}\right)^l P^0_l(\cos \theta), \qquad r<R,\ r=|\vec x|,\ R=|\vec y|, \, {\vec x}\cdot{\vec y}=rR\cos \theta $$ a $$ P^0_l({\vec n}_1\cdot {\vec n}_2) = \frac{4 \pi}{ 2 l +1} \sum_{m=-l}^{l} Y_{lm}^*({\vec n}_1) Y_{lm}({\vec n}_2), \quad |{\vec n}_j|=1 . $$ Integrály pro $m \neq 0$, resp. $l \neq 0$ vymizí (proč?), zbývá provést triviální integraci přes úhly a per partes v $r_1,r_2$. Výsledek: $$E_0^{(1)}= \frac{5 {\tilde e}^2}{4 a}, \quad E_0=E_0^{(0)}+E_0^{(1)}+\ldots \simeq -74,8 {\rm eV}.$$