02TSFsbirka:Kapitola1: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Není zobrazeno 26 mezilehlých verzí od 3 dalších uživatelů.) | |||
Řádka 21: | Řádka 21: | ||
$$\overline{\overline{A}} = A .$$ | $$\overline{\overline{A}} = A .$$ | ||
− | + | Samotná množina $\Omega$ nastane při každém opakování náhodného pokusu, je to tedy jev {\bf jistý}. Opačný jev k $\Omega$ je jev {\bf vyloučený} $\emptyset$. Pro každý jev $A$ platí | |
− | $$ A\cup\overline{A} = | + | $$ A\cup\overline{A} = \Omega,\qquad A\cap\overline{A} = \emptyset. $$ |
Jevy $A$ a $B$ jsou {\bf neslučitelné} (vzájemně se vylučující) právě tehdy když, jejich průnik je jev vyloučený, | Jevy $A$ a $B$ jsou {\bf neslučitelné} (vzájemně se vylučující) právě tehdy když, jejich průnik je jev vyloučený, | ||
Řádka 29: | Řádka 29: | ||
Jev $A$ je tedy elementární, pokud ho nelze zapsat jako sjednocení dvou jiných jevů. Jev $B$ je složený, pokud ho lze zapsat jako sjednocení několika elementárních jevů $\omega_i$, | Jev $A$ je tedy elementární, pokud ho nelze zapsat jako sjednocení dvou jiných jevů. Jev $B$ je složený, pokud ho lze zapsat jako sjednocení několika elementárních jevů $\omega_i$, | ||
$$ B = \bigcup\limits_i \omega_i. $$ | $$ B = \bigcup\limits_i \omega_i. $$ | ||
− | Složený jev $B$ nastane pokud nastane některý z elementárních jevů $\omega_i$ v něm obsažených. $ | + | Složený jev $B$ nastane pokud nastane některý z elementárních jevů $\omega_i$ v něm obsažených. $\Omega$~obsahuje všechny elementární jevy, $\emptyset$ neobsahuje žádný.\\ |
\pr Šestistěnná kostka\\ | \pr Šestistěnná kostka\\ | ||
Náhodný pokus je hod kostkou, elementární jevy $\omega_i$ jsou hodnoty možných výsledků $i = 1,\ldots,6$. Označme $B$ jev, kdy padne sudé číslo. Je to jev složený, | Náhodný pokus je hod kostkou, elementární jevy $\omega_i$ jsou hodnoty možných výsledků $i = 1,\ldots,6$. Označme $B$ jev, kdy padne sudé číslo. Je to jev složený, | ||
− | $$ B = \omega_2 \cup \omega_4 \cup \omega_6.$$ Platí že $\omega_2 \subset B$, čili dvojka může padnout jenom když padne sudé číslo. Jev opačný k jevu $B$ je jev kdy padne liché číslo | + | $$ B = \omega_2 \cup \omega_4 \cup \omega_6.$$ Platí že $\omega_2 \subset B$, čili dvojka může padnout jenom když padne sudé číslo. Jev opačný k jevu $B$ je jev, kdy padne liché číslo |
$$\overline{B} = \omega_1 \cup \omega_3 \cup \omega_5.$$ | $$\overline{B} = \omega_1 \cup \omega_3 \cup \omega_5.$$ | ||
Jevy $B$ a $\omega_1$ se vzájemně vylučují, protože jednička není sudé číslo.\\ | Jevy $B$ a $\omega_1$ se vzájemně vylučují, protože jednička není sudé číslo.\\ | ||
Řádka 39: | Řádka 39: | ||
\subsection{Pravděpodobnostní rozdělení, hustota pravděpodobnosti} | \subsection{Pravděpodobnostní rozdělení, hustota pravděpodobnosti} | ||
− | Nechť $\Omega$ je množina všech jevů náhodného pokusu | + | Nechť $\Omega$ je množina všech jevů náhodného pokusu, $A$ libovolný jev a $B_i,\ i\in I$ jsou vzájemně se vylučující jevy. |
{\bf Pravděpodobnostní rozdělení} náhodných jevů $P$ je zobrazení splňující vlastnosti | {\bf Pravděpodobnostní rozdělení} náhodných jevů $P$ je zobrazení splňující vlastnosti | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
\item $P(A)\geq 0$ -- pravděpodobnost každého jevu je nezáporná, | \item $P(A)\geq 0$ -- pravděpodobnost každého jevu je nezáporná, | ||
− | \item $P( | + | \item $P(\Omega) = 1$ -- jev jistý nastane s pravděpodobností jedna, |
− | \item $P\left(\bigcup\limits_{i\in I} | + | \item $P\left(\bigcup\limits_{i\in I} B_i\right) = \sum\limits_{i\in I} P(B_i)$ -- pravděpodobnost sjednocení vzájemně se vylučujících jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
Z těchto axiomů plynou následující vlastnosti: | Z těchto axiomů plynou následující vlastnosti: | ||
Řádka 53: | Řádka 53: | ||
\item $A\subset B \Longrightarrow P(A)\leq P(B)$. | \item $A\subset B \Longrightarrow P(A)\leq P(B)$. | ||
\end{itemize} | \end{itemize} | ||
− | Mějme jevy $A$ a $B$, $P(B)>0$. {\bf Podmíněná pravděpodobnost} jevu $A$ | + | Mějme jevy $A$ a $B$, $P(B)>0$. {\bf Podmíněná pravděpodobnost} jevu $A$ za předpokladu, že nastal jev $B$, je dána vztahem |
$$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$ | $$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$ | ||
Jevy $A$ a $B$ jsou {\bf nezávislé}, pokud | Jevy $A$ a $B$ jsou {\bf nezávislé}, pokud | ||
Řádka 88: | Řádka 88: | ||
Podobně, pro spojitou náhodnou veličinu $X$, která může nabývat hodnot $x\in \mathcal{X} \subseteq \mathds{R}$ a má hustotu pravděpodobnosti $w(x)$, je střední hodnota $X$ rovna | Podobně, pro spojitou náhodnou veličinu $X$, která může nabývat hodnot $x\in \mathcal{X} \subseteq \mathds{R}$ a má hustotu pravděpodobnosti $w(x)$, je střední hodnota $X$ rovna | ||
$$\langle X\rangle = \int\limits_\mathcal{X} x w(x)dx.$$ | $$\langle X\rangle = \int\limits_\mathcal{X} x w(x)dx.$$ | ||
− | Střední hodnota náhodné veličiny je její průměrná hodnota po mnoha nezávislých | + | Střední hodnota náhodné veličiny je její průměrná hodnota po mnoha nezávislých opakováních pokusu. Nechť $F$ je funkce náhodné veličiny $X$, její střední hodnota je pak dána vztahem |
+ | $$\langle F\rangle = \sum_{i\in I}F(a_i)p_i \quad\left( = \int\limits_\mathcal{X} F(x)w(x)dx \right).$$ | ||
+ | Speciálně, pro $F(x) = x^k$ se označuje $\langle x^k\rangle$ jako {\bf $k$-tý moment rozdělení}. Střední hodnota je lineární v následujícím smyslu: | ||
$$ | $$ | ||
− | \langle | + | \langle a F + b G + c\rangle = a\langle F\rangle + b\langle G\rangle + c, |
$$ | $$ | ||
− | kde $ | + | kde $F,G$ jsou dvě funkce náhodné veličiny a $a,b,c$ jsou reálná čísla. |
− | + | ||
− | + | ||
{\bf Střední kvadratická odchylka} $\Delta X$ náhodné veličiny $X$ je definována vztahem | {\bf Střední kvadratická odchylka} $\Delta X$ náhodné veličiny $X$ je definována vztahem | ||
Řádka 139: | Řádka 140: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | + | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% |
+ | |||
\begin{figure}[h] | \begin{figure}[h] | ||
− | \includegraphics | + | \includegraphics{binomial.pdf} |
\caption{Binomické rozdělení pro $N=10$ a $p=0.3$.} | \caption{Binomické rozdělení pro $N=10$ a $p=0.3$.} | ||
\end{figure} | \end{figure} | ||
− | + | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
Normalizace rozdělení (\ref{binom}) je zřejmá z binomické věty | Normalizace rozdělení (\ref{binom}) je zřejmá z binomické věty | ||
$$\sum_{n=0}^N p_n = \sum_{n=0}^N {N\choose n}p^n(1-p)^{N-n} = (p+1-p)^N = 1.$$ | $$\sum_{n=0}^N p_n = \sum_{n=0}^N {N\choose n}p^n(1-p)^{N-n} = (p+1-p)^N = 1.$$ | ||
− | Střední hodnotu a varianci počtu kladných výsledků lze pro binomické rozdělení rozdělení snadno spočítat z definice | + | Střední hodnotu a varianci počtu kladných výsledků lze pro binomické rozdělení rozdělení snadno spočítat z definice |
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{binom:mean:var} | \label{binom:mean:var} | ||
Řádka 177: | Řádka 180: | ||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
\begin{figure}[h] | \begin{figure}[h] | ||
− | \includegraphics | + | \includegraphics{poisson.pdf} |
\caption{Poissonovo rozdělení s parametrem $\lambda = 5$.} | \caption{Poissonovo rozdělení s parametrem $\lambda = 5$.} | ||
\end{figure} | \end{figure} | ||
Řádka 212: | Řádka 215: | ||
\begin{figure}[h] | \begin{figure}[h] | ||
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{gauss2.pdf} | \includegraphics[width=0.8\textwidth]{gauss2.pdf} | ||
− | \caption{Gaussovo normální rozdělení. Plocha pod grafem funkce v $\sigma$-okolí střední hodnoty je zhruba $0.68$. Pro $2\sigma$-okolí je plocha přibližně 0.95, pro $3\sigma$-okolí je větší | + | \caption{Gaussovo normální rozdělení. Plocha pod grafem funkce v $\sigma$-okolí střední hodnoty je zhruba $0.68$. Pro $2\sigma$-okolí je plocha přibližně 0.95, pro $3\sigma$-okolí je větší než 0.99. } |
\end{figure} | \end{figure} | ||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
Řádka 250: | Řádka 253: | ||
{\bf Eulerova $\Gamma$-funkce} je definována vztahem | {\bf Eulerova $\Gamma$-funkce} je definována vztahem | ||
$$\Gamma(p) = \int\limits_0^{+\infty} x^{p-1} e^{-x}dx, \qquad p>0.$$ | $$\Gamma(p) = \int\limits_0^{+\infty} x^{p-1} e^{-x}dx, \qquad p>0.$$ | ||
− | $\Gamma$-funkce je | + | $\Gamma$-funkce je \uv{zespojitěním} \ faktoriálu, platí totiž |
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{sec1:gamma} | \label{sec1:gamma} | ||
Řádka 279: | Řádka 282: | ||
\begin{eqnarray} | \begin{eqnarray} | ||
\nonumber \int\limits_0^{+\infty} e^{-ax^2}dx & = & \frac{1}{2a^\frac{1}{2}}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}},\qquad \int\limits_0^{+\infty} x^2 e^{-ax^2}dx = \frac{1}{2a^\frac{3}{2}}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{4a}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\\ | \nonumber \int\limits_0^{+\infty} e^{-ax^2}dx & = & \frac{1}{2a^\frac{1}{2}}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}},\qquad \int\limits_0^{+\infty} x^2 e^{-ax^2}dx = \frac{1}{2a^\frac{3}{2}}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{4a}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\\ | ||
− | \nonumber \int\limits_0^{+\infty} x^4 e^{-ax^2}dx & = & \frac{1}{2a^\frac{5}{2}}\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{1}{2a^\frac{5}{2}}\frac{3}{2}\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{8a^2}\sqrt{\frac{\pi}{a}} | + | \nonumber \int\limits_0^{+\infty} x^4 e^{-ax^2}dx & = & \frac{1}{2a^\frac{5}{2}}\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{1}{2a^\frac{5}{2}}\frac{3}{2}\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{8a^2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}. |
\end{eqnarray} | \end{eqnarray} | ||
Řádka 286: | Řádka 289: | ||
\bc | \bc | ||
\label{pr:binom} | \label{pr:binom} | ||
− | + | Mějme ideální plyn $N$ částic v nádobě o objemu $V$. Určete střední počet a relativní fluktuaci počtu částic plynu v nějaké malé části nádoby o objemu $V_0$. | |
\ec | \ec | ||
− | \ | + | \navod |
+ | Ideální plyn je homogenní. Pravděpodobnost $p$, že jedna molekula plynu je v objemu $V_0$ je rovna poměru $V_0/V$. Pravděpodobnost nalezení $n$ molekul plynu v objemu $V_0$ je pak dána binomickým rozdělením | ||
+ | $$ | ||
+ | p_n = {N\choose n}\left(\frac{V_0}{V}\right)^n\left(1-\frac{V_0}{V}\right)^{N-n}. | ||
+ | $$ | ||
+ | Střední počet a variance počtu částic v objemu $V_0$ jsou | ||
+ | $$ | ||
+ | \langle n \rangle = N\frac{V_0}{V},\quad \left(\Delta n\right)^2 = N\frac{V_0}{V}\left(1-\frac{V_0}{V}\right). | ||
+ | $$ | ||
+ | Pro relativní fluktuaci počtu částic v objemu $V_0$ dostaneme | ||
+ | $$ | ||
+ | \frac{\Delta n}{\langle n \rangle} = \frac{1}{\sqrt{N}}\sqrt{\frac{V-V_0}{V_0}}. | ||
+ | $$ | ||
\bc | \bc | ||
\label{pr:Poisson} | \label{pr:Poisson} | ||
− | + | \textbf{Makroskopický a mikroskopický model radioaktivního rozpadu:} Mějme $N_0$ atomů radioaktivní látky s rozpadovou konstantou $\alpha$. Určete, kolik atomů se rozpadne za čas $\tau$. Jaká je směrodatná odchylka od této hodnoty? | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \ | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\ec | \ec | ||
\navod | \navod | ||
− | + | Makroskopický (deterministický) model radioaktivního rozpadu se řídí jednoduchou rovnicí | |
$$ | $$ | ||
− | + | \frac{d N}{dt} = -\alpha N. | |
$$ | $$ | ||
− | + | Počet rozpadů za čas $\tau$ je pak dán vztahem | |
+ | \begin{equation} | ||
+ | \label{decay} | ||
+ | N^*(\tau) = N_0 - N(\tau) = N_0 \left(1 - e^{-\alpha \tau}\right). | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Mikroskopický model bere radioaktivní rozpad jako náhodný proces. Pravděpodobnost rozpadu jednoho konkrétního atomu za čas $\tau$ je rovna | ||
$$ | $$ | ||
− | + | p = 1 - e^{-\alpha\tau}. | |
$$ | $$ | ||
− | + | Pravděpodobnost rozpadu $n$ atomů z celkového počtu $N_0$ atomů je určena binomickým rozdělením | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
$$ | $$ | ||
− | + | p_n = {N_0\choose n}\left(1 - e^{-\alpha\tau}\right)^{n} e^{-\alpha\tau(N_0-n)}. | |
$$ | $$ | ||
− | + | Vztah (\ref{decay}) odpovídá střední hodnotě počtu rozpadů za čas $\tau$ | |
− | $$ | + | $$ |
+ | \langle n\rangle = N_0 p = N_0\left(1 - e^{-\alpha \tau}\right). | ||
+ | $$ | ||
+ | Pokud je $\alpha$ malé, je rozpad řídkým jevem a binomické rozdělení můžeme nahradit Poissonovým | ||
+ | $$ | ||
+ | p_n = \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}. | ||
+ | $$ | ||
+ | Parametr $\lambda$ je určen vztahem | ||
+ | $$ | ||
+ | \lambda = \langle n \rangle = N_0\left(1 - e^{-\alpha \tau}\right). | ||
+ | $$ | ||
+ | Z vlastností Poissonova rozdělení snadno zjistíme, že směrodatná odchylka a relativní chyba v určení počtu rozpadů jsou rovny | ||
+ | $$ | ||
+ | \Delta n = \sqrt{\lambda}\sim\sqrt{N_0},\quad \frac{\Delta n}{\langle n\rangle} = \frac{1}{\sqrt{\lambda}} \sim \frac{1}{\sqrt{N_0}}. | ||
+ | $$ | ||
+ | Deterministický model je tedy tím přesnější, čím větší je počet částic $N_0$. | ||
+ | |||
\bc | \bc | ||
− | + | \label{pr:Gauss} | |
+ | Explicitním výpočtem ověřte normalizaci Gaussova rozdělení (\ref{Gauss}) a platnost vztahů (\ref{Gauss:mu:sigma}). | ||
\ec | \ec | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\bc | \bc | ||
Řádka 366: | Řádka 384: | ||
\end{figure} | \end{figure} | ||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | |||
+ | %\bc | ||
+ | %Určete povrch $S_n$ a objem $V_n$ jednotkové n-rozměrné koule $B_n$. | ||
+ | %\ec | ||
+ | %\navod | ||
+ | %Povrch jednotkové koule je roven integrálu z jedničky přes celý prostorový úhel | ||
+ | %$$ | ||
+ | %S_n = \int\limits_{\Omega_n} 1 d\Omega_n. | ||
+ | %$$ | ||
+ | %Ten můžeme vyjádřit např. převedením integrálu z nějaké sféricky symetrické %funkce do sférických souřadnic | ||
+ | %$$ | ||
+ | %\int\limits_{\mathds{R}^n} f(\|\vec{x}\|)d^n x = \int\limits_0^{+\infty} f(r) %r^{n-1} dr \int\limits_{\Omega_n} d\Omega_n, | ||
+ | %$$ | ||
+ | %pokud umíme původní integrál a integrál přes $r$ vyčíslit. Zvolíme-li za funkci %$ f(\|\vec{x}\|) = \exp\left(-\|\vec{x}\|^2\right)$, pak snadno zjistíme | ||
+ | %\begin{eqnarray} | ||
+ | %\nonumber \int\limits_{\mathds{R}^n} e^{-\|\vec{x}\|^2}d^n x & = & %\int\limits_{\mathds{R}} e^{-x_1^2}d x_1\ldots \int\limits_{\mathds{R}} e^{-%x_n^2}d x_n = \pi^{\frac{n}{2}},\\ | ||
+ | %\nonumber \int\limits_0^{+\infty} r^{n-1} e^{-r^2} dr & = & \frac{1}%{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right). | ||
+ | %\end{eqnarray} | ||
+ | %Povrch jednotkové koule v ${\mathds{R}^n}$ je tedy roven | ||
+ | %$$ | ||
+ | %S_n = \frac{\int\limits_{\mathds{R}^n} e^{-\|\vec{x}\|^2}d^n x}%{\int\limits_0^{+\infty} r^{n-1} e^{-r^2} dr} = \frac{2\pi^\frac{n}{2}}%{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}. | ||
+ | %$$ | ||
+ | %Objem $V_n$ se spočítá analogicky převodem integrálu $\int\limits_{B_n} 1d^nx$ %do sférických souřadnic, | ||
+ | %$$V_n = \int\limits_{B_n} 1d^nx = S_n \int\limits_0^1 r^{n-1}dr = \frac{S_n}%{n} = \frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}.$$% | ||
+ | |||
+ | %\bc | ||
+ | %Určete fázový objem $V_{N,E}$ souboru $N$ jednorozměrných harmonických %oscilátorů s hmotností $m$ a vlastní frekvencí $\omega$, je-li celková energie %souboru shora omezená hodnotou $E$. | ||
+ | %\ec | ||
+ | %\navod Fázový objem souboru oscilátorů je dán integrálem | ||
+ | %$$V_{N,E} = \int\limits_{H\leq E} d\Gamma,\qquad H = \sum_i \frac{p_i^2}{2m} + %\frac{1}{2} m\omega^2 q_i^2,\qquad d\Gamma = d^Nqd^Np.$$ | ||
+ | %Přeškálováním obecných souřadnic a hybností | ||
+ | %$$q_i' = q_i \sqrt{\frac{m\omega^2}{2}},\qquad p_i' = \frac{p_i}{\sqrt{2m}},$$ | ||
+ | %převedeme integrál na objem $2N$-rozměrné koule o poloměru $\sqrt{E}$. Výsledek %je | ||
+ | %$$V_{N,E} = \frac{(2\pi)^N E^N}{N!\ \omega^N}.$$ | ||
+ | |||
+ | \bc | ||
+ | Uvažujte náhodnou procházku na p\v{r}ímce s konstantní délkou kroku | ||
+ | a vyváženou mincí. Jaká je pravd\v{e}podobnost, že se chodec vyskytne | ||
+ | po $n$ krocích v po\v{c}átku? Ur\v{c}ete st\v{r}ední hodnotu polohy | ||
+ | chodce $x$. \v{C}emu se rovná $\left(\Delta x\right)^{2}$? | ||
+ | \ec |
Aktuální verze z 22. 2. 2017, 16:57
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02TSFsbirka
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02TSFsbirka | Steffy | 9. 2. 2011 | 15:06 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Steffy | 12. 2. 2012 | 12:21 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Základy teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky | Hoskoant | 22. 2. 2017 | 16:57 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Nejpravděpodobnější rozdělení | Steffy | 12. 2. 2012 | 11:58 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Termodynamické potenciály a identity | Steffy | 12. 2. 2012 | 11:59 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Ideální a neideální plyny | Kubuondr | 10. 4. 2017 | 21:25 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Statistické soubory - Hamiltonovské systémy | Admin | 16. 5. 2024 | 12:48 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Fluktuace | Steffy | 12. 2. 2012 | 12:01 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Statistické soubory - diskrétní hladiny | Steffy | 11. 2. 2013 | 15:05 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Přesné statistiky | Kubuondr | 28. 4. 2017 | 08:40 | kapitola8.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:2part_U.pdf | 2part_U.pdf |
Image:binomial.pdf | binomial.pdf |
Image:blackbody2.pdf | blackbody2.pdf |
Image:gauss2.pdf | gauss2.pdf |
Image:maxwell.pdf | maxwell.pdf |
Image:poisson.pdf | poisson.pdf |
Image:spin_C.pdf | spin_C.pdf |
Image:spin_M.pdf | spin_M.pdf |
Image:spin_S.pdf | spin_S.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TSFsbirka} \chapter{Základy teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky} \section{Základní pojmy} \subsection{Náhodný jev, náhodná veličina} {\bf Elementární náhodný jev} $\omega$ je výsledek nějakého náhodného pokusu. Množinu všech možných elementárních náhodných jevů označíme $\Omega$. Obecný náhodný jev $A$ je nějaká podmnožina $\Omega$. Jev $A$ je {\bf částí} jevu $B$, pokud jev $B$ nastane pokaždé, nastane-li jev $A$. Značíme $$A\subset B.$$ Jev $C$ je {\bf sjednocení} jevů $A$ a $B$, pokud jev $C$ nastane tehdy, nastane-li jev $A$ nebo $B$: $$C = A \cup B.$$ Jev $C$ je {\bf průnik} jevů $A$ a $B$, pokud jev $C$ nastane jen tehdy, nastanou-li jevy $A$ a $B$ současně: $$C = A \cap B.$$ Jev {\bf opačný} k jevu $A$ značíme $\overline{A}$. Nastane vždy, když nenastane jev $A$. Opačný jev k~opačnému jevu je jev původní: $$\overline{\overline{A}} = A .$$ Samotná množina $\Omega$ nastane při každém opakování náhodného pokusu, je to tedy jev {\bf jistý}. Opačný jev k $\Omega$ je jev {\bf vyloučený} $\emptyset$. Pro každý jev $A$ platí $$ A\cup\overline{A} = \Omega,\qquad A\cap\overline{A} = \emptyset. $$ Jevy $A$ a $B$ jsou {\bf neslučitelné} (vzájemně se vylučující) právě tehdy když, jejich průnik je jev vyloučený, $$A\cap B =\emptyset.$$ Jev $A$ je tedy elementární, pokud ho nelze zapsat jako sjednocení dvou jiných jevů. Jev $B$ je složený, pokud ho lze zapsat jako sjednocení několika elementárních jevů $\omega_i$, $$ B = \bigcup\limits_i \omega_i. $$ Složený jev $B$ nastane pokud nastane některý z elementárních jevů $\omega_i$ v něm obsažených. $\Omega$~obsahuje všechny elementární jevy, $\emptyset$ neobsahuje žádný.\\ \pr Šestistěnná kostka\\ Náhodný pokus je hod kostkou, elementární jevy $\omega_i$ jsou hodnoty možných výsledků $i = 1,\ldots,6$. Označme $B$ jev, kdy padne sudé číslo. Je to jev složený, $$ B = \omega_2 \cup \omega_4 \cup \omega_6.$$ Platí že $\omega_2 \subset B$, čili dvojka může padnout jenom když padne sudé číslo. Jev opačný k jevu $B$ je jev, kdy padne liché číslo $$\overline{B} = \omega_1 \cup \omega_3 \cup \omega_5.$$ Jevy $B$ a $\omega_1$ se vzájemně vylučují, protože jednička není sudé číslo.\\ \subsection{Pravděpodobnostní rozdělení, hustota pravděpodobnosti} Nechť $\Omega$ je množina všech jevů náhodného pokusu, $A$ libovolný jev a $B_i,\ i\in I$ jsou vzájemně se vylučující jevy. {\bf Pravděpodobnostní rozdělení} náhodných jevů $P$ je zobrazení splňující vlastnosti \begin{enumerate} \item $P(A)\geq 0$ -- pravděpodobnost každého jevu je nezáporná, \item $P(\Omega) = 1$ -- jev jistý nastane s pravděpodobností jedna, \item $P\left(\bigcup\limits_{i\in I} B_i\right) = \sum\limits_{i\in I} P(B_i)$ -- pravděpodobnost sjednocení vzájemně se vylučujících jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. \end{enumerate} Z těchto axiomů plynou následující vlastnosti: \begin{itemize} \item $\forall A\subset\Omega,\qquad 0\leq P(A) \leq 1, \qquad P(\emptyset) = 0$, \item $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$, \item $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$, \item $A\subset B \Longrightarrow P(A)\leq P(B)$. \end{itemize} Mějme jevy $A$ a $B$, $P(B)>0$. {\bf Podmíněná pravděpodobnost} jevu $A$ za předpokladu, že nastal jev $B$, je dána vztahem $$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$ Jevy $A$ a $B$ jsou {\bf nezávislé}, pokud $$P(A|B) = P(A),\qquad P(B|A) = P(B).$$ Pro nezávislé jevy $A_i, i\in I$, je pravděpodobnost toho, že nastanou současně, dána součinem jejich pravděpodobností $$P\left(\bigcap\limits_{i\in I} A_i\right) = \prod_{i\in I}P(A_i).$$ \pr Vyvážená šestistěnná kostka\\ Pravděpodobnosti všech hodů jsou stejné, $P(\omega_i) = \frac{1}{6},\ i=1,\ldots,6$. Pravděpodobnost toho, že padne sudé číslo, je $$P(B) = P(\omega_2 \cup \omega_4 \cup \omega_6) = P(\omega_2) + P(\omega_4) + P(\omega_6) = \frac{1}{2},$$ protože jevy $\omega_i$ se vzájemně vylučují. Podmíněná pravděpodobnost toho, že padne šestka, za předpokladu, že padlo sudé číslo, je rovna $$P(\omega_6|B) = \frac{P(\omega_6\cap B)}{P(B)} = \frac{P(\omega_6)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}.$$\\ {\bf Náhodná veličina} je libovolná reálná funkce definovaná na množině elementárních jevů. Obor hodnot může být jak spočetný ({\bf diskrétní náhodná veličina}), tak nespočetný ({\bf spojitá náhodná veličina}). Náhodný jev můžeme chápat jako náhodnou veličinu, která může nabývat pouze dvou hodnot -- 1 (jev nastal) nebo 0 (jev nenastal). Pravděpodobnostní rozdělení diskrétní náhodné veličiny $A$, která může nabývat hodnot $A = a_i, i\in I$, je funkce $P$, která splňuje vlastnosti \begin{enumerate} \item $0 \leq P(A = a_i) = p_i \leq 1$, \item $\sum\limits_{i\in I} p_i = 1$. \end{enumerate} {\bf Hustota pravděpodobnosti} spojité náhodné veličiny $X$, která může nabývat hodnot $X = x\in\mathcal{X}$, je nezáporná funkce $w(x)$, splňující vlastnost $$\forall A\subset\mathcal{X},\quad P(X\in A) = \int\limits_A w(x)dx.$$ Uvažujme nyní vektor náhodných veličin $\vec{x} = \left(x_1,\ldots,x_n\right)$, $x_i\in\mathcal{X}_i$, s pravděpodobnostním rozdělením $w(\vec{x})$. {\bf Marginální rozdělení} složky vektoru $x_i$ je dáno vyintegrováním rozdělení $w(\vec{x})$ přes složky $x_j,\ j\neq i$ $$ w_m(x_i) = \int\limits_{\mathcal{X}_1}dx_1\ldots \int\limits_{\mathcal{X}_{i-1}}dx_{i-1} \int\limits_{\mathcal{X}_{i+1}}dx_{i+1}\ldots \int\limits_{\mathcal{X}_n}dx_n w(\vec{x}). $$ \subsection{Střední hodnoty, fluktuace, kovariance} {\bf Střední hodnota} diskrétní náhodné veličiny $A$, která může nabývat hodnot $A = a_i,\ i\in I$ s pravděpodobností $P(A = a_i) = p_i$, je dána vztahem $$\langle A\rangle = \sum_{i\in I} a_i p_i.$$ Podobně, pro spojitou náhodnou veličinu $X$, která může nabývat hodnot $x\in \mathcal{X} \subseteq \mathds{R}$ a má hustotu pravděpodobnosti $w(x)$, je střední hodnota $X$ rovna $$\langle X\rangle = \int\limits_\mathcal{X} x w(x)dx.$$ Střední hodnota náhodné veličiny je její průměrná hodnota po mnoha nezávislých opakováních pokusu. Nechť $F$ je funkce náhodné veličiny $X$, její střední hodnota je pak dána vztahem $$\langle F\rangle = \sum_{i\in I}F(a_i)p_i \quad\left( = \int\limits_\mathcal{X} F(x)w(x)dx \right).$$ Speciálně, pro $F(x) = x^k$ se označuje $\langle x^k\rangle$ jako {\bf $k$-tý moment rozdělení}. Střední hodnota je lineární v následujícím smyslu: $$ \langle a F + b G + c\rangle = a\langle F\rangle + b\langle G\rangle + c, $$ kde $F,G$ jsou dvě funkce náhodné veličiny a $a,b,c$ jsou reálná čísla. {\bf Střední kvadratická odchylka} $\Delta X$ náhodné veličiny $X$ je definována vztahem $$\left(\Delta X\right) = \sqrt{\langle \left(X - \langle X\rangle\right)^2\rangle}.$$ {\bf Variance} se definuje jako kvadrát střední kvadratické odchylky. Snadno zjistíme, že platí \begin{eqnarray} \nonumber \left(\Delta X\right)^2 & = & \langle \left(X - \langle X\rangle\right)^2\rangle = \langle X^2 -2X\langle X\rangle + \langle X\rangle^2\rangle\\ \nonumber & = & \langle X^2\rangle -2\langle X\rangle \langle X\rangle + \langle X\rangle^2 \\ \nonumber & = & \langle X^2\rangle-\langle X\rangle^2. \end{eqnarray} {\bf Relativní fluktuací} náhodné veličiny $X$ se myslí střední kvadratická odchylka vztažená ke střední hodnotě, čili zlomek $\frac{\Delta X}{\langle X\rangle}$. {\bf Kovariance} dvou náhodných veličin $X_1, X_2$ je definována vztahem $$\left(\Delta X_1\Delta X_2\right) = \langle X_1 X_2\rangle - \langle X_1\rangle\langle X_2\rangle.$$ Kovariance indikuje závislost náhodných veličin. Jsou-li $X_1$ a $X_2$ nezávislé, je jejich rozdělení rovno $w(x_1,x_2) = w_1(x_1)\cdot w_2(x_2)$, takže platí $ \langle X_1 X_2\rangle = \langle X_1\rangle \cdot \langle X_2\rangle$ a jejich kovariance je rovna nule. Nechť jsou $X_i,i=1,\ldots, n$ nezávislé náhodné veličiny, každá s oborem hodnot $\mathcal{X}_i$ a hustotou pravděpodobnosti $w_i(x_i)$. Vektor $$\vec X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$$ je potom náhodná veličina s oborem hodnot $$\mathcal{X} = \mathcal{X}_1\times\mathcal{X}_2\times\ldots\times\mathcal{X}_n$$ a hustotu pravděpodobnosti $$w(\vec x) = w_1(x_1)\cdot w_2(x_2)\cdot\ldots\cdot w_n(x_n).$$ Pro střední hodnotu {\bf součtu} nezávislých náhodných veličin $$S = \sum_{i=1}^n X_i$$ pak platí \begin{eqnarray} \label{ind:mean} \nonumber \langle S\rangle & = & \int\limits_\mathcal{X} \sum_{i=1}^n x_i w(\vec x) dx = \int\limits_\mathcal{X} (x_1+\ldots + x_n)w_1(x_1)\ldots w_n(x_n) dx_1\ldots dx_n\\ & = & \sum_{i=1}^n \left( \underbrace{\int\limits_{\mathcal{X}_i} x_i w_i(x_i)dx_i}_{\langle X_i\rangle} \prod_{j\neq i} \ \underbrace{\int\limits_{\mathcal{X}_j} w_j(x_j)dx_j}_1\right) = \sum_{i=1}^n \langle X_i\rangle. \end{eqnarray} Pro vyšší momenty podobné tvrzení neplatí. Nicméně, vztah analogický (\ref{ind:mean}) platí pro varianci \begin{eqnarray} \label{ind:var} \nonumber \left(\Delta S\right)^2 & = & \langle S^2\rangle - \langle S\rangle^2 = \sum_{i=1}^n \langle X_i^2\rangle + \sum_{i\neq j} \langle X_i\rangle\langle X_j\rangle - \left(\sum_{i=1}^n \langle X_i\rangle\right)\left(\sum_{j=1}^n \langle X_j\rangle\right)\\ & = & \sum_{i=1}^n \left(\langle X_i^2\rangle - \langle X_i\rangle^2\right) = \sum_{i=1}^n \left(\Delta X_i\right)^2. \end{eqnarray} \section{Binomické rozdělení} Uvažujme náhodný pokus, který má dva možné výsledky -- ano/ne experiment. Kladný výsledek nastane s pravděpodobností $p$, záporný s pravděpodobností $1-p$. Pokus $N$-krát opakujeme, jednotlivá opakování jsou na sobě nezávislá. Pravděpodobnost, že z celkového počtu $N$ opakování bude $n$ pokusů úspěšných, je dána {\bf binomickým rozdělením}: \begin{equation} \label{binom} p_n = {N\choose n}p^n(1-p)^{N-n},\qquad {N\choose n} = \frac{N!}{n!(N-n)!}. \end{equation} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{figure}[h] \includegraphics{binomial.pdf} \caption{Binomické rozdělení pro $N=10$ a $p=0.3$.} \end{figure} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Normalizace rozdělení (\ref{binom}) je zřejmá z binomické věty $$\sum_{n=0}^N p_n = \sum_{n=0}^N {N\choose n}p^n(1-p)^{N-n} = (p+1-p)^N = 1.$$ Střední hodnotu a varianci počtu kladných výsledků lze pro binomické rozdělení rozdělení snadno spočítat z definice \begin{equation} \label{binom:mean:var} \langle n\rangle = N p,\qquad \left(\Delta n\right)^2 = Np(1-p). \end{equation} Alternativně lze využít nezávislosti opakování pokusu. $j$-tému pokusu přiřadíme náhodnou veličinu $x_j$, která má dvě hodnoty: 1 pro kladný výsledek s pravděpodobností $p$, 0 pro záporný výsledek s pravděpodobností $1-p$. Střední hodnota a variance každé z náhodných veličin $x_i, i=1,\ldots, N$ jsou rovny $$\langle x_i\rangle = p,\qquad \left(\Delta x_i\right)^2 = p(1-p).$$ Protože počet kladných výsledků $n$ můžeme napsat jako $$ n = x_1 + x_2 + \ldots + x_N,$$ dostaneme s použitím tvrzení (\ref{ind:mean}) a (\ref{ind:var}) pro střední hodnotu a varianci součtu nezávislých veličin výsledek (\ref{binom:mean:var}). \section{Poissonovo rozdělení, Stirlingova formule} {\bf Poissonovo rozdělení} je limitní případ binomického rozdělení, kdy $p\rightarrow 0$, $N\rightarrow +\infty$, ale $p N =\lambda = \mathrm{konst}$. Vyjádříme-li $p = \frac{\lambda}{N}$, dostaneme binomické rozdělení ve tvaru \begin{equation} \label{binom:poisson} p_n = {N\choose n}\left(\frac{\lambda}{N}\right)^n \left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{N-n}. \end{equation} Provedením limity $N\rightarrow +\infty$ získáme Poissonovo rozdělení \begin{eqnarray} \label{Poisson} \nonumber p_n & = & \lim\limits_{N\rightarrow +\infty} \frac{N!}{n!(N-n)!} \left(\frac{\lambda}{N}\right)^n \left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{N-n}\\ \nonumber & = & \frac{\lambda^n}{n!}\lim\limits_{N\rightarrow +\infty} \left(\frac{N}{N}\right)\left(\frac{N-1}{N}\right)\ldots\left(\frac{N-n+1}{N}\right)\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{N-n}\\ & = & \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}. \end{eqnarray} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{figure}[h] \includegraphics{poisson.pdf} \caption{Poissonovo rozdělení s parametrem $\lambda = 5$.} \end{figure} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Normalizace rozdělení (\ref{Poisson}) je zřejmá z Taylorova rozvoje exponenciely $$\sum_{n=0}^{+\infty} p_n = e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\lambda^n}{n!} = e^{-\lambda}e^{\lambda} = 1.$$ Jiné odvození Poissonova rozdělení získáme odhadem faktoriálu v binomickém rozdělení pomocí {\bf Stirlingovy formule}. Pro $N\rightarrow +\infty$ můžeme aproximovat $$\ln N! = \sum_{k=1}^N \ln k \simeq \int\limits_1^N \ln kdk = N(\ln N-1) + 1 \simeq N\ln\frac{N}{e},$$ takže $N!$ se chová přibližně jako $$N! \simeq \left(\frac{N}{e}\right)^N.$$ Dosazením do binomického rozdělení (\ref{binom:poisson}) a provedením limity $N\rightarrow +\infty$ dostaneme stejný výsledek jako (\ref{Poisson}). Parametr $\lambda$ určuje střední hodnotu i varianci (viz Příklad~\ref{pr:Poisson}): $$\langle n\rangle = \left(\Delta n\right)^2 = \lambda.$$ \section{Gaussovo rozdělení, Gaussovy integrály} \subsection{Gaussovo normální rozdělení} {\bf Gaussovo normální rozdělení} spojité náhodné veličiny $X\in\mathds{R}$ má tvar \begin{equation} \label{Gauss} w(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),\quad \mu\in\mathds{R},\quad \sigma>0. \end{equation} Parametry rozdělení $\mu,\sigma$ mají jednoduchý význam -- bod $x = \mu$ je maximum rozdělení, body $x = \mu\pm\sigma$ jsou jeho inflexní body. Navíc platí, že $\mu$ je střední hodnota náhodné veličiny $X$, $\sigma$ je její střední kvadratická odchylka (viz Příklad~\ref{pr:Gauss}) \begin{equation} \label{Gauss:mu:sigma} \langle X\rangle = \mu,\qquad \Delta X = \sigma. \end{equation} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{figure}[h] \includegraphics[width=0.8\textwidth]{gauss2.pdf} \caption{Gaussovo normální rozdělení. Plocha pod grafem funkce v $\sigma$-okolí střední hodnoty je zhruba $0.68$. Pro $2\sigma$-okolí je plocha přibližně 0.95, pro $3\sigma$-okolí je větší než 0.99. } \end{figure} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Gaussovy integrály} Odvodíme vzorec pro integrál $$I_n(a) = \int\limits_\mathds{R} x^n e^{-a x^2} dx, \quad a>0,\quad n = 0,1,2,\ldots$$ \begin{enumerate} \item Integrál $I_0(1)$ spočítáme přechodem do polárních souřadnic \begin{eqnarray} \nonumber I^2_0(1) & = & \int\limits_{\mathds{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}dxdy =\left\{\begin{array}{c} x = r\cos\varphi,\ y = r\sin\varphi \\ dxdy = r drd\varphi \end{array}\right\} = \int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{+\infty} r dr e^{-r^2}\\ \nonumber & = & \left\{\begin{array}{c} r^2 = t \\ 2r dr = dt \end{array}\right\} = 2\pi\frac{1}{2}\int\limits_0^{+\infty} e^{-t} dt = \pi,\\ I_0(1) & = & \int\limits_\mathds{R} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}. \end{eqnarray} \item Integrál $I_0(a)$ se převede substitucí $\sqrt{a}x = y$ na $I_0(1)$: $$I_0(a) = \int\limits_\mathds{R} e^{-ax^2}dx = \frac{I_0(1)}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{\pi}{a}}.$$ \item Integrál $I_{2k}(a)$ se vyjádří derivací $I_0(a)$ podle parametru $a$ \begin{eqnarray} \nonumber \frac{d^k}{da^k} \int\limits_\mathds{R} e^{-ax^2}dx & = & \int\limits_\mathds{R} \frac{\partial^k}{\partial a^k} e^{-ax^2}dx = (-1)^k \int\limits_\mathds{R} x^{2k} e^{-ax^2}dx\\ I_{2k}(a) & = & (-1)^n \frac{d^k}{da^k} I_0(a) = \sqrt{\frac{\pi}{a}}(2k-1)!! \left(\frac{1}{2a}\right)^k, \end{eqnarray} speciálně pro $k= 1,2$ dostaneme $$I_2(a) = \int\limits_\mathds{R} x^{2} e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \frac{1}{2a},\qquad I_4(a) = \int\limits_\mathds{R} x^{4} e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\frac{3}{4a^2}.$$ Integrál $I_{2k+1}(a)$ je roven nule, protože integrand je lichá funkce. \end{enumerate} \subsection{Eulerova gama funkce} {\bf Eulerova $\Gamma$-funkce} je definována vztahem $$\Gamma(p) = \int\limits_0^{+\infty} x^{p-1} e^{-x}dx, \qquad p>0.$$ $\Gamma$-funkce je \uv{zespojitěním} \ faktoriálu, platí totiž \begin{equation} \label{sec1:gamma} \Gamma(p+1) = p\Gamma(p). \end{equation} Speciálně pro $p=n\in\mathds{N}$ snadno dostaneme $$\Gamma(n) = (n-1) \Gamma(n-1) = \ldots (n-1)! \Gamma(1) = (n-1)!.$$ Eulerovu $\Gamma$-funkci můžeme využít pro vyjádření Gaussových integrálů v mezích $(0,+\infty)$ \begin{equation} \label{sec1:gauss:0} \int\limits_0^{+\infty} x^n e^{-ax^2}dx = \left\{ \begin{array}{c} ax^2 = y, x = \sqrt{\frac{y}{a}}\\ dx = \frac{dy}{2\sqrt{ay}}\\ \end{array} \right\} = \frac{1}{2a^\frac{n+1}{2}}\int\limits_0^{+\infty} y^\frac{n-1}{2}e^{-y}dy = \frac{1}{2a^\frac{n+1}{2}}\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right). \end{equation} Pro liché $n$ je argument $\Gamma$-funkce přirozené číslo a výsledek je dán faktoriálem. Speciálně pro $n=1,3,5$ dostaneme \begin{eqnarray} \nonumber \int\limits_0^{+\infty} x e^{-ax^2}dx & = & \frac{1}{2a}\Gamma(1) = \frac{1}{2a},\qquad \int\limits_0^{+\infty} x^3 e^{-ax^2}dx = \frac{1}{2a^2}\Gamma(2) = \frac{1}{2a^2} ,\\ \nonumber \int\limits_0^{+\infty} x^5 e^{-ax^2}dx & = & \frac{1}{2a^3}\Gamma(3) = \frac{1}{2a^3} 2!= \frac{1}{a^3}. \end{eqnarray} Pro sudé $n$ je argument polocelé číslo. Hodnotu $\Gamma$-funkce ale snadno vyjádříme, navíc díky vztahu (\ref{sec1:gamma}) stačí určit $\Gamma(\frac{1}{2})$. Ze vzorce (\ref{sec1:gauss:0}) pro $n=0$ a $a=1$ dostaneme $$ \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2}dx = \frac{1}{2} \int\limits_\mathds{R} e^{-x^2}dx = \frac{1}{2}\sqrt{\pi}. $$ Platí tedy $\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$. Vztah (\ref{sec1:gauss:0}) pak můžeme přepsat pro $n=0,2,4$ do tvaru \begin{eqnarray} \nonumber \int\limits_0^{+\infty} e^{-ax^2}dx & = & \frac{1}{2a^\frac{1}{2}}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}},\qquad \int\limits_0^{+\infty} x^2 e^{-ax^2}dx = \frac{1}{2a^\frac{3}{2}}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{4a}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\\ \nonumber \int\limits_0^{+\infty} x^4 e^{-ax^2}dx & = & \frac{1}{2a^\frac{5}{2}}\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{1}{2a^\frac{5}{2}}\frac{3}{2}\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{8a^2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}. \end{eqnarray} \section{Příklady} \bc \label{pr:binom} Mějme ideální plyn $N$ částic v nádobě o objemu $V$. Určete střední počet a relativní fluktuaci počtu částic plynu v nějaké malé části nádoby o objemu $V_0$. \ec \navod Ideální plyn je homogenní. Pravděpodobnost $p$, že jedna molekula plynu je v objemu $V_0$ je rovna poměru $V_0/V$. Pravděpodobnost nalezení $n$ molekul plynu v objemu $V_0$ je pak dána binomickým rozdělením $$ p_n = {N\choose n}\left(\frac{V_0}{V}\right)^n\left(1-\frac{V_0}{V}\right)^{N-n}. $$ Střední počet a variance počtu částic v objemu $V_0$ jsou $$ \langle n \rangle = N\frac{V_0}{V},\quad \left(\Delta n\right)^2 = N\frac{V_0}{V}\left(1-\frac{V_0}{V}\right). $$ Pro relativní fluktuaci počtu částic v objemu $V_0$ dostaneme $$ \frac{\Delta n}{\langle n \rangle} = \frac{1}{\sqrt{N}}\sqrt{\frac{V-V_0}{V_0}}. $$ \bc \label{pr:Poisson} \textbf{Makroskopický a mikroskopický model radioaktivního rozpadu:} Mějme $N_0$ atomů radioaktivní látky s rozpadovou konstantou $\alpha$. Určete, kolik atomů se rozpadne za čas $\tau$. Jaká je směrodatná odchylka od této hodnoty? \ec \navod Makroskopický (deterministický) model radioaktivního rozpadu se řídí jednoduchou rovnicí $$ \frac{d N}{dt} = -\alpha N. $$ Počet rozpadů za čas $\tau$ je pak dán vztahem \begin{equation} \label{decay} N^*(\tau) = N_0 - N(\tau) = N_0 \left(1 - e^{-\alpha \tau}\right). \end{equation} Mikroskopický model bere radioaktivní rozpad jako náhodný proces. Pravděpodobnost rozpadu jednoho konkrétního atomu za čas $\tau$ je rovna $$ p = 1 - e^{-\alpha\tau}. $$ Pravděpodobnost rozpadu $n$ atomů z celkového počtu $N_0$ atomů je určena binomickým rozdělením $$ p_n = {N_0\choose n}\left(1 - e^{-\alpha\tau}\right)^{n} e^{-\alpha\tau(N_0-n)}. $$ Vztah (\ref{decay}) odpovídá střední hodnotě počtu rozpadů za čas $\tau$ $$ \langle n\rangle = N_0 p = N_0\left(1 - e^{-\alpha \tau}\right). $$ Pokud je $\alpha$ malé, je rozpad řídkým jevem a binomické rozdělení můžeme nahradit Poissonovým $$ p_n = \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}. $$ Parametr $\lambda$ je určen vztahem $$ \lambda = \langle n \rangle = N_0\left(1 - e^{-\alpha \tau}\right). $$ Z vlastností Poissonova rozdělení snadno zjistíme, že směrodatná odchylka a relativní chyba v určení počtu rozpadů jsou rovny $$ \Delta n = \sqrt{\lambda}\sim\sqrt{N_0},\quad \frac{\Delta n}{\langle n\rangle} = \frac{1}{\sqrt{\lambda}} \sim \frac{1}{\sqrt{N_0}}. $$ Deterministický model je tedy tím přesnější, čím větší je počet částic $N_0$. \bc \label{pr:Gauss} Explicitním výpočtem ověřte normalizaci Gaussova rozdělení (\ref{Gauss}) a platnost vztahů (\ref{Gauss:mu:sigma}). \ec \bc Maxwellovo rozdělení rychlostí atomů plynu při teplotě $T$ má tvar $$ w(\vec{v}) = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^\frac{3}{2} \exp\left(-\frac{m v^2}{2kT}\right),\quad \vec{v}\in\mathds{R}^3. $$ Jaká je střední hodnota vektoru rychlosti? Určete rozdělení velikosti rychlosti $v$. Čemu je rovna střední hodnota velikosti rychlosti a kvadrátu velikosti rychlosti? \ec \navod Střední hodnota vektoru je nulová. K určení marginálního rozdělení velikosti rychlosti $v$ musíme nejprve hustotu pravděpodobnosti $w(\vec{v})$ převést do sférických souřadnic a pak vyintegrovat přes úhly $\theta,\varphi$. Nesmíme zapomenout na jakobián transformace do sférických souřadnic. Rozdělení velikosti rychlosti je pak rovno $$ w(v) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^\frac{3}{2} v^2 \exp\left(-\frac{m v^2}{2kT}\right). $$ Pro určení středních hodnot $v$ a $v^2$ využijeme Eulerovu $\Gamma$-funkci \begin{eqnarray} \nonumber \langle v\rangle & = & 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^\frac{3}{2}\int\limits_0^{+\infty} v^3 \exp\left(-\frac{m v^2}{2kT}\right) = \left\{ \begin{array}{c} \frac{m v^2}{2kT} = x \\ \ \\ dv = \sqrt{\frac{kT}{2m}} x^{-\frac{1}{2}} dx\\ \end{array} \right\} \\ \nonumber & = & \sqrt{\frac{8kT}{m\pi}}\int\limits_0^{+\infty}x e^{-x}dx =\sqrt{\frac{8kT}{m\pi}}\Gamma(2) = \sqrt{\frac{8kT}{m\pi}}, \\ \nonumber \langle v^2\rangle & = & \frac{4}{\sqrt{\pi}}\frac{kT}{m} \int\limits_0^{+\infty}x^\frac{3}{2} e^{-x}dx = \frac{4}{\sqrt{\pi}}\frac{kT}{m}\Gamma\left(\frac{5}{2} \right) = \frac{4}{\sqrt{\pi}}\frac{kT}{m} \frac{3}{2}\frac{1}{2}\sqrt{\pi} = \frac{3kT}{m} \end{eqnarray} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{figure}[h] \includegraphics[width=0.8\textwidth]{maxwell.pdf} \caption{Maxwellovo rozdělení velikostí rychlostí pro různé teploty plynu. S rostoucí teplotou se posouvá poloha maxima a střední hodnota jako $\sim\sqrt{T}$. Stejně se zvětšuje i šířka rozdělení.} \end{figure} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\bc %Určete povrch $S_n$ a objem $V_n$ jednotkové n-rozměrné koule $B_n$. %\ec %\navod %Povrch jednotkové koule je roven integrálu z jedničky přes celý prostorový úhel %$$ %S_n = \int\limits_{\Omega_n} 1 d\Omega_n. %$$ %Ten můžeme vyjádřit např. převedením integrálu z nějaké sféricky symetrické %funkce do sférických souřadnic %$$ %\int\limits_{\mathds{R}^n} f(\|\vec{x}\|)d^n x = \int\limits_0^{+\infty} f(r) %r^{n-1} dr \int\limits_{\Omega_n} d\Omega_n, %$$ %pokud umíme původní integrál a integrál přes $r$ vyčíslit. Zvolíme-li za funkci %$ f(\|\vec{x}\|) = \exp\left(-\|\vec{x}\|^2\right)$, pak snadno zjistíme %\begin{eqnarray} %\nonumber \int\limits_{\mathds{R}^n} e^{-\|\vec{x}\|^2}d^n x & = & %\int\limits_{\mathds{R}} e^{-x_1^2}d x_1\ldots \int\limits_{\mathds{R}} e^{-%x_n^2}d x_n = \pi^{\frac{n}{2}},\\ %\nonumber \int\limits_0^{+\infty} r^{n-1} e^{-r^2} dr & = & \frac{1}%{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right). %\end{eqnarray} %Povrch jednotkové koule v ${\mathds{R}^n}$ je tedy roven %$$ %S_n = \frac{\int\limits_{\mathds{R}^n} e^{-\|\vec{x}\|^2}d^n x}%{\int\limits_0^{+\infty} r^{n-1} e^{-r^2} dr} = \frac{2\pi^\frac{n}{2}}%{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}. %$$ %Objem $V_n$ se spočítá analogicky převodem integrálu $\int\limits_{B_n} 1d^nx$ %do sférických souřadnic, %$$V_n = \int\limits_{B_n} 1d^nx = S_n \int\limits_0^1 r^{n-1}dr = \frac{S_n}%{n} = \frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}.$$% %\bc %Určete fázový objem $V_{N,E}$ souboru $N$ jednorozměrných harmonických %oscilátorů s hmotností $m$ a vlastní frekvencí $\omega$, je-li celková energie %souboru shora omezená hodnotou $E$. %\ec %\navod Fázový objem souboru oscilátorů je dán integrálem %$$V_{N,E} = \int\limits_{H\leq E} d\Gamma,\qquad H = \sum_i \frac{p_i^2}{2m} + %\frac{1}{2} m\omega^2 q_i^2,\qquad d\Gamma = d^Nqd^Np.$$ %Přeškálováním obecných souřadnic a hybností %$$q_i' = q_i \sqrt{\frac{m\omega^2}{2}},\qquad p_i' = \frac{p_i}{\sqrt{2m}},$$ %převedeme integrál na objem $2N$-rozměrné koule o poloměru $\sqrt{E}$. Výsledek %je %$$V_{N,E} = \frac{(2\pi)^N E^N}{N!\ \omega^N}.$$ \bc Uvažujte náhodnou procházku na p\v{r}ímce s konstantní délkou kroku a vyváženou mincí. Jaká je pravd\v{e}podobnost, že se chodec vyskytne po $n$ krocích v po\v{c}átku? Ur\v{c}ete st\v{r}ední hodnotu polohy chodce $x$. \v{C}emu se rovná $\left(\Delta x\right)^{2}$? \ec