01MAA4:Kapitola33: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (opravení poslední nerovnosti v důkazu věty o derivaci) |
(gama 0 není definovaná, poznámka o platnosti vzorce se sinem pro další hodnoty p.) |
||
(Není zobrazeno 8 mezilehlých verzí od 3 dalších uživatelů.) | |||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{01MAA4} | %\wikiskriptum{01MAA4} | ||
− | \section{ | + | \section{Parametrické integrály} |
Definujme funkci $F:A\mapsto\R$ vztahem | Definujme funkci $F:A\mapsto\R$ vztahem | ||
Řádka 8: | Řádka 8: | ||
$\alpha\leftrightarrow x$. | $\alpha\leftrightarrow x$. | ||
\[F(\alpha)=\sum_{n=1}^\infty f_n(\alpha)=\int_M f(x,\alpha)\,\d x\] | \[F(\alpha)=\sum_{n=1}^\infty f_n(\alpha)=\int_M f(x,\alpha)\,\d x\] | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[o spojitosti] | ||
+ | Buď $M\subset\R^n$, $(P,\rho)$ metrický prostor, $A\subset P$, $f:M\times A\mapsto\R$ | ||
+ | a nechť platí: | ||
+ | \begin{enumerate}[(I)] | ||
+ | \item Pro skoro všechna $x\in M$ | ||
+ | \[f(x,\ ,)\in\c{0}(A)\] | ||
+ | \item $(\forall\alpha\in A) | ||
+ | (f(\ ,\alpha)\text{ je měřitelná na }M)$, | ||
+ | \item $(\exists g\in\LL(M)) | ||
+ | (\text{pro skoro všechna }x\in M)(\forall\alpha\in A) | ||
+ | (\abs{f(x,\alpha)}\le g(x))$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | Potom | ||
+ | \[F(\alpha)=\int_M f(x,\alpha)\in\c{0}(A).\] | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Buď jde o izolované body (které jsou body spojitosti z definice), nebo platí následující věta o limitě, což dokazuje spojitost. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
\begin{theorem}[o limitě] | \begin{theorem}[o limitě] | ||
− | Buď $M\subset\R^n$, $(P,\rho)$ metrický prostor, $A\subset P$, | + | Buď $M\subset\R^n$, $(P,\rho)$ metrický prostor, $A\subset P$, |
− | $\alpha_0\in A'$ a nechť platí: | + | $\alpha_0\in A'$, $f:M\times A\mapsto\R$ a nechť platí: |
\begin{enumerate}[(I)] | \begin{enumerate}[(I)] | ||
\item Pro skoro všechna $x\in M$ | \item Pro skoro všechna $x\in M$ | ||
Řádka 39: | Řádka 58: | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
− | \begin{theorem}[o | + | \begin{theorem}[o derivaci] |
− | Buď $M$ měřitelná množina, $M\subset\R^n | + | Buď $M$ měřitelná množina, $M\subset\R^n$ a nechť $\I=\vn{\I}\subset\R$. Nechť $f:M\times\I\mapsto\R$ je reálná funkce a platí: |
− | + | ||
\begin{enumerate}[(I)] | \begin{enumerate}[(I)] | ||
\item Existuje $\alpha_0\in\I$ takové, že $f(\ ,\alpha_0)\in\LL(M)$, | \item Existuje $\alpha_0\in\I$ takové, že $f(\ ,\alpha_0)\in\LL(M)$, | ||
Řádka 73: | Řádka 91: | ||
\underbrace{\frac{f(x,\alpha+h)-f(x,\alpha)}{h}}_{\psi(x,h)} | \underbrace{\frac{f(x,\alpha+h)-f(x,\alpha)}{h}}_{\psi(x,h)} | ||
\,\d x.\] | \,\d x.\] | ||
− | Použijeme minulou větu, $A=\{h|\alpha+h\in\I\}$, $0\in A'$. Limita | + | Použijeme minulou větu, $A=\{h~|~\alpha+h\in\I\}$, $0\in A'$. Limita |
\[\lim_{\substack{h\to 0\\ h\in A}}\int_M\psi(x,h)\] | \[\lim_{\substack{h\to 0\\ h\in A}}\int_M\psi(x,h)\] | ||
existuje a je záměnná, neboť pro $x\in M\sm N$ platí | existuje a je záměnná, neboť pro $x\in M\sm N$ platí | ||
− | $\abs{\psi(x,h)}=\abs{\frac{\pd f(x,\xi_{x\alpha}{\pd\alpha}}\le g(x)$. | + | $\abs{\psi(x,h)}=\abs{\frac{\pd f(x,\xi_{x\alpha})}{\pd\alpha}}\le g(x)$. |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
− | \begin{remark} | + | \begin{remark} Co kdyby meze závisely na $\alpha$? |
− | \[ | + | \[F(\alpha)=\int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)}f(x,\alpha)\] |
$f,\frac{\pd f}{\pd\alpha}\in\c{0}(\I_1,\I_2)$, | $f,\frac{\pd f}{\pd\alpha}\in\c{0}(\I_1,\I_2)$, | ||
$a(\alpha),b(\alpha)\in\c{1}(\I_2)$, $(a(\I_1),b(\I_2))\subset\I_1$, | $a(\alpha),b(\alpha)\in\c{1}(\I_2)$, $(a(\I_1),b(\I_2))\subset\I_1$, | ||
Řádka 91: | Řádka 109: | ||
\right)&= | \right)&= | ||
\frac{\d}{\d\alpha}\left( | \frac{\d}{\d\alpha}\left( | ||
− | \int_{a(\alpha)}^{ | + | \int_{a(\alpha)}^{a(\alpha_0)}+ |
\int_{a(\alpha_0)}^{b(\alpha_0)}+ | \int_{a(\alpha_0)}^{b(\alpha_0)}+ | ||
\int_{b(\alpha_0)}^{b(\alpha)} | \int_{b(\alpha_0)}^{b(\alpha)} | ||
Řádka 116: | Řádka 134: | ||
\int_M\left(\,\int_N f(x,y)\,\d y\right)\d x=\int_N\left(\,\int_Mf(x,y)\,\d x\right)\d y. | \int_M\left(\,\int_N f(x,y)\,\d y\right)\d x=\int_N\left(\,\int_Mf(x,y)\,\d x\right)\d y. | ||
\] | \] | ||
− | + | \begin{proof} | |
− | + | $f\in\M \implies \abs{f}\in\Lambda$. Z Fubiniho je pak též $\abs{f}\in\LL$, což je majoranta $f$ a zbytek plyne z Fubiniho. | |
− | + | \end{proof} | |
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Předcházející věta představuje zobecnění Fubiniovy věty. Povšimněte si, že v předpokladech nemusí platit $f\in\Lambda$, stačí pouze měřitelnost. | ||
+ | \end{remark} | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | Buď $p,q>0$. Potom | + | Buď $p,q>0$. Potom {\bf Eulerův integrál druhého druhu} je integrál ve tvaru |
\[\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\,\d x\] | \[\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\,\d x\] | ||
− | + | a {\bf Eulerův integrál prvního druhu} je integrál ve tvaru | |
− | \[\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,\d x\] | + | \[\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,\d x.\] |
− | + | \\ | |
− | + | {\bf Funkce gama} je Eulerův integrál druhého druhu jako funkce $p$, tj. | |
− | + | \[\gammaf(p)=\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\,\d x.\] | |
− | \[\gammaf(p)=\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\,\d x\] | + | {\bf Funkce beta} je Eulerův integrál prvního druhu jako funkce $p,q$, tj. |
− | + | \[\betaf(p,q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,\d x.\] | |
− | \[\betaf(p,q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,\d x\] | + | |
− | + | ||
\end{define} | \end{define} | ||
− | + | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Dříve se tyto funkce zaváděly jako elementární. S nástupem výpočetní techniky a softwaru to již není třeba. | ||
+ | \item Podmínka $p,q>0$ je proto, aby integrály konvergovaly. Zajímavé je, že na konvergenci je třeba zobecněný Riemannův integrál, ale Lebesgeův integrál pouze obyčejný. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}Funkce beta je symetrická ve svých argumentech, tj. $\betaf(p,q)=\betaf(q,p).$ | ||
+ | \begin{proof} | ||
\[\betaf(p,q)=\int_0^{+\infty}\frac{t^{p-1}}{(1+t)^{p+q}}= | \[\betaf(p,q)=\int_0^{+\infty}\frac{t^{p-1}}{(1+t)^{p+q}}= | ||
\int_0^1+\int_1^{+\infty}= | \int_0^1+\int_1^{+\infty}= | ||
− | \int_0^1\frac{t^{p-1}+t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}} | + | \int_0^1\frac{t^{p-1}+t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}}.\] |
− | + | V 1. kroku se použila substituce $x = t/(t+1)$, ve 2. kroku na druhý integrál $x = 1/t$. | |
− | \end{ | + | \end{proof} |
+ | \end{theorem} | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
Řádka 169: | Řádka 198: | ||
\int_0^1\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n(-1)^k x^{\alpha-1+k}= | \int_0^1\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n(-1)^k x^{\alpha-1+k}= | ||
\int_0^1\lim x^{\alpha-1}\frac{1-(-x)^{n+1}}{1+x},\] | \int_0^1\lim x^{\alpha-1}\frac{1-(-x)^{n+1}}{1+x},\] | ||
− | pro $\alpha \in (0,1)$ je $x^{\alpha-1}$ integrabilní majorantou takže integrál konverguje | + | pro $\alpha \in (0,1)$ je $x^{\alpha-1}$ integrabilní majorantou, takže integrál konverguje |
a podle Lebesgueovy věty lze zaměnit. | a podle Lebesgueovy věty lze zaměnit. | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
Řádka 206: | Řádka 235: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
\[\betaf(p,1-p)=\frac{\pi}{\sin p\pi}=\gammaf(p)\gammaf(1-p).\] | \[\betaf(p,1-p)=\frac{\pi}{\sin p\pi}=\gammaf(p)\gammaf(1-p).\] | ||
+ | Po rozšíření pro záporná $p$ (viz poznámky za další větou) platí vzorec pro $p\in\R-\Z$ | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
Řádka 219: | Řádka 249: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item Předchozí věta má obecnější platnost, platí pro $p \in \C$ | + | \item Předchozí věta má obecnější platnost, platí pro $p \in \C$. |
− | \item $\gammaf( | + | \item $\gammaf(1) =1$, pomocí předchozí věty pak $\gammaf(n+1)=n!$ pro $n\in\N$, |
\item $\gammaf(1/2) =\sqrt{\pi}$, | \item $\gammaf(1/2) =\sqrt{\pi}$, | ||
\item $\gammaf(p+n)=(p+n-1)\cdots p\gammaf(p)$, | \item $\gammaf(p+n)=(p+n-1)\cdots p\gammaf(p)$, | ||
− | |||
\item $\gammaf$ je definovaná na $(0,+\infty)$. Lze prodloužit i~na | \item $\gammaf$ je definovaná na $(0,+\infty)$. Lze prodloužit i~na | ||
záporná $p$ indukcí | záporná $p$ indukcí | ||
Řádka 257: | Řádka 286: | ||
\[\gammaf''(p)=\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\ln^2 x\,\d x>0,\] | \[\gammaf''(p)=\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\ln^2 x\,\d x>0,\] | ||
takže $\gammaf$ je konvexní. | takže $\gammaf$ je konvexní. | ||
− | $\gammaf(1)=\gammaf(2)=1$, z~ | + | $\gammaf(1)=\gammaf(2)=1$, z~Rolleovy věty existuje $p_0\in(1,2)$ takové, |
že $\gammaf'(p_0)=0$. Funkce $\gammaf'$ je rostoucí, takže $\gammaf'(p)>0$, | že $\gammaf'(p_0)=0$. Funkce $\gammaf'$ je rostoucí, takže $\gammaf'(p)>0$, | ||
právě když $p>p_0$, tedy $\gammaf$ roste konvexně od $p_0$. Z~Heineovy | právě když $p>p_0$, tedy $\gammaf$ roste konvexně od $p_0$. Z~Heineovy | ||
Řádka 271: | Řádka 300: | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
− | + | \clearpage | |
\begin{theorem}[Legendrův vzorec] | \begin{theorem}[Legendrův vzorec] | ||
\[\gammaf(p)\gammaf(p+\frac12)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2p-1}}\gammaf(2p).\] | \[\gammaf(p)\gammaf(p+\frac12)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2p-1}}\gammaf(2p).\] |
Aktuální verze z 2. 6. 2017, 12:38
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 21:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 08:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 08:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 10:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 21:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 10:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 15:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 10:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 08:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 09:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 20:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 08:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 08:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 10:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 08:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 12:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 00:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 20:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 08:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 08:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 12:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 10:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Parametrické integrály} Definujme funkci $F:A\mapsto\R$ vztahem \[F(\alpha)=\int_M f(x,\alpha)\,\d x.\] Analogie $F(\alpha)=\int_M f(x,\alpha)\,\d x$ a $F(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$, $x\leftrightarrow n$, $\alpha\leftrightarrow x$. \[F(\alpha)=\sum_{n=1}^\infty f_n(\alpha)=\int_M f(x,\alpha)\,\d x\] \begin{theorem}[o spojitosti] Buď $M\subset\R^n$, $(P,\rho)$ metrický prostor, $A\subset P$, $f:M\times A\mapsto\R$ a nechť platí: \begin{enumerate}[(I)] \item Pro skoro všechna $x\in M$ \[f(x,\ ,)\in\c{0}(A)\] \item $(\forall\alpha\in A) (f(\ ,\alpha)\text{ je měřitelná na }M)$, \item $(\exists g\in\LL(M)) (\text{pro skoro všechna }x\in M)(\forall\alpha\in A) (\abs{f(x,\alpha)}\le g(x))$. \end{enumerate} Potom \[F(\alpha)=\int_M f(x,\alpha)\in\c{0}(A).\] \begin{proof} Buď jde o izolované body (které jsou body spojitosti z definice), nebo platí následující věta o limitě, což dokazuje spojitost. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[o limitě] Buď $M\subset\R^n$, $(P,\rho)$ metrický prostor, $A\subset P$, $\alpha_0\in A'$, $f:M\times A\mapsto\R$ a nechť platí: \begin{enumerate}[(I)] \item Pro skoro všechna $x\in M$ \[\lim_{\substack{\alpha\to\alpha_0\\ \alpha\in A}}f(x,\alpha)=\phi(x),\] \item $(\forall\alpha\in A\sm\{\alpha_0\}) (f(\ ,\alpha)\text{ je měřitelná na }M)$, \item $(\exists g\in\LL(M)) (\text{pro skoro všechna }x\in M)(\forall\alpha\in A\sm{\alpha_0}) (\abs{f(x,\alpha)}\le g(x))$. \end{enumerate} Potom \begin{enumerate}[(i)] \item $\phi\in\LL(M)$, \item \[\int_M\phi=\lim_{\substack{\alpha\to\alpha_0\\ \alpha\in A}} \int_M f(x,\alpha).\] \end{enumerate} \begin{proof} Heineova věta: $\lim\alpha_n=\alpha_0$, $\alpha_n\in A\sm\{\alpha_0\}$, $\phi_n(x)=f(x,\alpha_n)\to\phi(x)$. $\phi_n(x)$ je měřitelná na $M$, z~Lebesgueovy věty plyne, že $\phi\in\LL(M)$. Pro libovolnou posloupnost $\alpha_n$ platí \[\int_M\phi=\lim_{n\to\infty}\int_M f(x,\alpha_n)\,\d x= \lim_{\substack{\alpha\to\alpha_0\\ \alpha\in A}} \int_M f(x,\alpha).\] \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[o derivaci] Buď $M$ měřitelná množina, $M\subset\R^n$ a nechť $\I=\vn{\I}\subset\R$. Nechť $f:M\times\I\mapsto\R$ je reálná funkce a platí: \begin{enumerate}[(I)] \item Existuje $\alpha_0\in\I$ takové, že $f(\ ,\alpha_0)\in\LL(M)$, \item pro každé $\alpha\in\I$ platí, že $f(\ ,\alpha)$ je měřitelná na $M$, \item je-li $N\subset M$, $\mu(N)=0$, pak $f(x,\ )$ je diferencovatelná na $\I$ pro každé $x\in M\sm N$, \item existuje $g\in\LL(M)$ tak, že \[(\forall x\in M\sm N)(\forall\alpha\in\I) \left(\abs{\frac{\pd f(x,\alpha)}{\pd\alpha}}\le g(x)\right).\] \end{enumerate} Potom \begin{enumerate}[(i)] \item $f(\ ,\alpha)\in\LL(M)$ pro každé $\alpha\in\I$, \item $\frac{\pd}{\pd\alpha}f(\ ,\alpha)\, \in\LL(M)$ pro každé $\alpha\in\I$, \item a platí \[\frac{\d}{\d\alpha}\int_M f(x,\alpha)\,\d x=\int_M\frac{\pd}{\pd\alpha}f(x,\alpha)\,\d x.\] \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Buď $x\in M\sm N$, pak \[f(x,\alpha)-f(x,\alpha_0)=\frac{\pd f}{\pd\alpha}(x,\xi)\abs{\alpha-\alpha_0},\] takže \[\abs{f(x,\alpha)}\le \underbrace{\abs{f(x,\alpha_0)}}_{\in\LL(M)} +\underbrace{g(x)(\alpha-\alpha_0)}_{\in\LL(M)},\] kde $\alpha$ je pevné. \item Pro $\alpha\in\I$ \[\frac{F(\alpha+h)-F(\alpha)}{h}= \int_M \underbrace{\frac{f(x,\alpha+h)-f(x,\alpha)}{h}}_{\psi(x,h)} \,\d x.\] Použijeme minulou větu, $A=\{h~|~\alpha+h\in\I\}$, $0\in A'$. Limita \[\lim_{\substack{h\to 0\\ h\in A}}\int_M\psi(x,h)\] existuje a je záměnná, neboť pro $x\in M\sm N$ platí $\abs{\psi(x,h)}=\abs{\frac{\pd f(x,\xi_{x\alpha})}{\pd\alpha}}\le g(x)$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Co kdyby meze závisely na $\alpha$? \[F(\alpha)=\int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)}f(x,\alpha)\] $f,\frac{\pd f}{\pd\alpha}\in\c{0}(\I_1,\I_2)$, $a(\alpha),b(\alpha)\in\c{1}(\I_2)$, $(a(\I_1),b(\I_2))\subset\I_1$, \[ \begin{split} \frac{\d}{\d\alpha}\left( \int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)}f(x,\alpha) \right)&= \frac{\d}{\d\alpha}\left( \int_{a(\alpha)}^{a(\alpha_0)}+ \int_{a(\alpha_0)}^{b(\alpha_0)}+ \int_{b(\alpha_0)}^{b(\alpha)} \right)=\\ &=f(b(\alpha),\alpha)b'(\alpha)-f(a(\alpha),\alpha)a'(\alpha)+ \int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)}\frac{\pd f(x,\alpha)}{\pd\alpha}\,\d x. \end{split} \] Pomůcka pro zapamatování: \[\int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)}f(x,\alpha)=F(a(\alpha),b(\alpha),\alpha),\] $\frac{\pd f}{\pd\alpha}$ podle derivace složené funkce. \end{remark} \begin{theorem}[o integraci] Buď $M\subset\R^n$ měřitelná, $N\subset\R^m$ měřitelná a $f:M\times N\mapsto\R$ měřitelná funkce. Nechť alespoň jeden z integrálů \[ \int_M\left(\,\int_N\abs{f(x,y)}\,\d y\right)\d x \quad\quad \int_N\left(\,\int_M\abs{f(x,y)}\,\d x\right)\d y \] konverguje. Pak \[ \int_M\left(\,\int_N f(x,y)\,\d y\right)\d x=\int_N\left(\,\int_Mf(x,y)\,\d x\right)\d y. \] \begin{proof} $f\in\M \implies \abs{f}\in\Lambda$. Z Fubiniho je pak též $\abs{f}\in\LL$, což je majoranta $f$ a zbytek plyne z Fubiniho. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Předcházející věta představuje zobecnění Fubiniovy věty. Povšimněte si, že v předpokladech nemusí platit $f\in\Lambda$, stačí pouze měřitelnost. \end{remark} \begin{define} Buď $p,q>0$. Potom {\bf Eulerův integrál druhého druhu} je integrál ve tvaru \[\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\,\d x\] a {\bf Eulerův integrál prvního druhu} je integrál ve tvaru \[\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,\d x.\] \\ {\bf Funkce gama} je Eulerův integrál druhého druhu jako funkce $p$, tj. \[\gammaf(p)=\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\,\d x.\] {\bf Funkce beta} je Eulerův integrál prvního druhu jako funkce $p,q$, tj. \[\betaf(p,q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,\d x.\] \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Dříve se tyto funkce zaváděly jako elementární. S nástupem výpočetní techniky a softwaru to již není třeba. \item Podmínka $p,q>0$ je proto, aby integrály konvergovaly. Zajímavé je, že na konvergenci je třeba zobecněný Riemannův integrál, ale Lebesgeův integrál pouze obyčejný. \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem}Funkce beta je symetrická ve svých argumentech, tj. $\betaf(p,q)=\betaf(q,p).$ \begin{proof} \[\betaf(p,q)=\int_0^{+\infty}\frac{t^{p-1}}{(1+t)^{p+q}}= \int_0^1+\int_1^{+\infty}= \int_0^1\frac{t^{p-1}+t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}}.\] V 1. kroku se použila substituce $x = t/(t+1)$, ve 2. kroku na druhý integrál $x = 1/t$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \[\betaf(p,1-p)=\frac{\pi}{\sin p\pi}.\] pro $p \in (0,1)$ \begin{proof} \[ \begin{split} \betaf(p,1-p)&=\int_0^1\frac{x^{p-1}}{1+x}+ \int_0^1\frac{x^{(1-p)-1}}{1+x}= \int_0^1\left( \sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{p+n-1}+ \sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{n-p} \right)\d x=\\ &=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{p+n}+ \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{n-p+1}= \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{p+n}+ \sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{1}{n-p}=\\ &=\left[ \frac{1}{\pi p}+\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left( \frac{1}{\pi p+\pi n}+\frac{1}{\pi p-\pi n} \right) \right]\pi=\frac{\pi}{\sin p\pi}. \end{split} \] Korektnost postupu: Na záměnu nemůžu použít Leviovu větu kvůli $(-1)^n$. Pro $x \in (0,1)$ platí \[\int_0^1\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{\alpha-1+n}= \int_0^1\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n(-1)^k x^{\alpha-1+k}= \int_0^1\lim x^{\alpha-1}\frac{1-(-x)^{n+1}}{1+x},\] pro $\alpha \in (0,1)$ je $x^{\alpha-1}$ integrabilní majorantou, takže integrál konverguje a podle Lebesgueovy věty lze zaměnit. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \[\betaf(p,q)=\frac{\gammaf(p)\gammaf(q)}{\gammaf(p+q)}.\] \begin{proof} \[\gammaf(\beta)=\int_0^{+\infty}x^{\beta-1}e^{-x}\,\d x= \alpha^\beta\int_0^{+\infty}t^{\beta-1}e^{-\alpha t}\,\d t.\] Položím $\beta=p+q$, $\alpha=1+y$. Pak \[\gammaf(p+q)=(1+y)^{p+q} \left. \int_0^{+\infty}t^{p+q-1}e^{-(1+y)t}\,\d t\right.\] vynásobí se to $\cdot\frac{y^{p-1}}{(1+y)^{p+q}}$ a zintegruje přes $y$ od 0 do $\infty$ \[ \begin{split} \betaf(p,q)\gammaf(p+q)&= \underbrace{ \int_0^{+\infty}\Biggl( y^{p-1}\int_0^{+\infty}t^{p+q-1}e^{-(1+y)t}\,\d t \Biggr)\d y }_{\text{integrál konverguje a je $\ge 0$, lze zaměnit}}= \int_0^{+\infty}\Biggl(t^{p+q-1}e^{-t} \underbrace{ \int_0^{+\infty}y^{p-1}e^{-yt}\,\d y }_{\frac{1}{t^p}\gammaf(p)} \Biggl)\d t=\\ &=\gammaf(q)\gammaf(p), \end{split} \] za použití vzorce $\gammaf(\beta)$. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \[\betaf(p,1-p)=\frac{\pi}{\sin p\pi}=\gammaf(p)\gammaf(1-p).\] Po rozšíření pro záporná $p$ (viz poznámky za další větou) platí vzorec pro $p\in\R-\Z$ \end{remark} \begin{theorem} Buď $p>0$. Pak $\gammaf(p+1)=p\gammaf(p)$. \begin{proof} \[\gammaf(p)=\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}= \left[\frac{x^p}{p} e^{-x}\right]_0^{+\infty}+ \frac1p\int_0^{+\infty}x^pe^{-x}=\frac1p\gammaf(p+1).\] \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Předchozí věta má obecnější platnost, platí pro $p \in \C$. \item $\gammaf(1) =1$, pomocí předchozí věty pak $\gammaf(n+1)=n!$ pro $n\in\N$, \item $\gammaf(1/2) =\sqrt{\pi}$, \item $\gammaf(p+n)=(p+n-1)\cdots p\gammaf(p)$, \item $\gammaf$ je definovaná na $(0,+\infty)$. Lze prodloužit i~na záporná $p$ indukcí \[\gammaf(p)=\frac{\gammaf(p+1)}{p}\] pro $p\in(-1,0)$ a takto to natáhnu na $(-n+1,n)$. \item Použitím vztahu \[\ln\alpha=\lim_{n\to\infty}n(\sqrt[n]{\alpha}-1)\] dostaneme \[ \begin{split} \gammaf(p+1)&= \int_0^{+\infty}x^p e^{-x}\d x= \int_0^1\left(\ln\frac1t\right)^p\d t= \int_0^1\lim_{n\to\infty}n^p\left( 1-t^{\frac1n}\right)^p\d t= \lim_{n\to\infty}n^p\int_0^1 \tau^{n-1}(1-\tau)^p\,\d\tau=\\ &=\lim_{n\to\infty}n^{p+1}\betaf(n,p+1)= \lim_{n\to\infty}\frac{n^{p+1}(n-1)!\,p\gammaf(p)} {(p+1)\cdots p\gammaf(p)}= \lim_{n\to\infty}\frac{n^p\,n!}{\prod_{k=0}^n(p+k)}. \end{split} \] Takto lze definovat $\gammaf$ i~pro $\C$, ale problémy jsou s~$\Zm$. \item Funkce $\gammaf$ je třídy $\c{\infty}$, neboť integrál \[\gammaf^{(k)}(p)=\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\ln^k x\,\d x\] existuje --- má integrabilní majorantu (pro každé $p$ existuje okolí $(p_1,p_2)$, na němž majoranta existuje): \[\int_0^1\underbrace{x^{p-1}e^{-x}\ln^k x} _{\le x^{p_1-1}e^{-x}\abs{\ln x}^{k+1}}\,\d x+ \int_1^{+\infty}\underbrace{x^{p-1}e^{-x}\ln^{k+1} x} _{\le x^{p_2-1}e^{-x}\ln^k x}\,\d x.\] \[\gammaf''(p)=\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\ln^2 x\,\d x>0,\] takže $\gammaf$ je konvexní. $\gammaf(1)=\gammaf(2)=1$, z~Rolleovy věty existuje $p_0\in(1,2)$ takové, že $\gammaf'(p_0)=0$. Funkce $\gammaf'$ je rostoucí, takže $\gammaf'(p)>0$, právě když $p>p_0$, tedy $\gammaf$ roste konvexně od $p_0$. Z~Heineovy věty a spojitosti vyplývá \[\lim_{p\to\infty}\gammaf(p)=+\infty,\quad \gammaf(p)=\frac{\gammaf(p+1)}{p}\implies\lim_{p\to 0}\gammaf(p)=+\infty.\] \end{enumerate} \begin{figure} \includegraphics{01MAA4_gamma.pdf} \caption{Průběh funkce gama} \end{figure} \end{remark} \clearpage \begin{theorem}[Legendrův vzorec] \[\gammaf(p)\gammaf(p+\frac12)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2p-1}}\gammaf(2p).\] pro $p\geq 0$ \begin{proof} Po úpravě a substituci $\frac12-x=\frac12\sqrt{t}$ dostaneme \[ \begin{split} \betaf(p,p)&=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{p-1}= \int_0^1(x-x^2)^{p-1}=\int_0^1\left[ \frac14-\left(\frac12-x\right)^2 \right]^{p-1}=\\ &=\int_0^{\frac12}+\int_{\frac12}^1= 2\int_0^{\frac12}\left[ \frac14-\left(\frac12-x\right)^2 \right]^{p-1}= 2\int_0^1\frac{1}{2^{2p}}t^{-\frac12}(1-t)^{p-1}\,\d t=\\ &=\frac{1}{2^{2p-1}}\,\betaf\left(\frac12,p\right)= \frac{1}{2^{2p-1}}\frac{\gammaf(\frac12)\gammaf(p)}{\gammaf(p+\frac12)}= \frac{\gammaf^2(p)}{\gammaf(2p)}. \end{split} \] \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Stirlingova formule] \[\gammaf(p)=\sqrt{2\pi}\,p^{p-\frac12}e^{-p}(1+r(p)), \text{ kde} \abs{r(p)}\le\left(e^{\frac1{12p}}-1\right).\] \begin{proof} \[\gammaf(n+1)=n!=\sqrt{2\pi}(n+1)^{n+\frac12} e^{-n-1}(1+r(n+1))\approx\sqrt{2\pi}\,n^{n+\frac12}e^{-n},\] tedy \[\frac{n!}{n^ne^{-n}}\approx\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}\right)^{-1}.\] \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Funkci $\gammaf$ lze jednoznačně definovat takto: $F\in\c{1}$ na $(0,+\infty)$, $F(p+1)=pF(p)$, \[F(p)F(1-p)=\frac{\pi}{\sin p\pi},\quad F(p)F\left(p+\frac12\right)= \frac{\sqrt{\pi}}{2^{2p+1}}F(2p).\] \end{remark}